谈谈等积式的证明

等积式证明的常用方法等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学生头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂，线段较多的题目中，往往令人眼花瞭乱无从下手。

等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许多等积式的证明也是有规律可循的。

常用方法一：三点定形法例1如图：在Rt△ABC中，°于D，E为AC的中点，ED的延长线交CB 的延长线于点P，求证：.分析：先把转化为比例式，在比例式左边线段PD、PB的端点分别为点P、D、B，由点P、D、B可确定△PBD，同理由比例式右边的线段PC、PD的端点P、C、D可确定△PCD. 所以要证明等积式，只需要证明比例式，要证明，由三点定形法只需要证明△∽△PCD即可.证明：°°又AC的中线，°又°°°又△∽△PCD注：三点定形法证明等积式的一般步骤：1．先把等积式转化为比例式；2．观察比例式的线段确定可能相似的两个三角形；3．再找这两个三角形相似所需的条件.常用方法二：找相等的量（比、线段、等积式）替换例2 如图：已知梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD交于点O，BE∥AD交AC的延长线于点E，求证：分析：要证明，只需要证明即可，但OA、OC、OE在一条直线上，不能直接用三点定形法来证明，但可以用中间比。

由题意可知：，从而可证.证明：∵BE∥AD又∵AB∥CD例3 已知：等腰△ABC中，于D，CG∥AB，BG分别交AD、AC于E、F，求证：.分析：在中，线段BE、EF、EG在一条直线上，但可以找相等的线段来替换，由等腰三角形性质可知，AD为BC的垂直平分线，故，从而转化为证，也就是证它们确定的△CEF和△GEC相似.证明：连结EC，AD垂直平分BC，即∥AB又∴△CEF∽△GEC例4 如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上取一点P，连结AP，垂足为G，交CE于D，求证：.分析：在中，线段CE、PE、DE在一条直线上无法直接用“三点定形法”来证，并且也找不到相等的比、线段来替换，但我们可以用相等的等积式来替换，可以先证：，再证.证明：°，°又°°又△AEC∽△CEB°，°°在△PAE中，°°又°△PEA∽△BED注：当要证明的比例式中的线段在同一条直线上时，可以用相等的比、相等的线段、相等的等积式来替换相应的量，把看似无路可走的题目盘活，从而达到“车到山前疑无路，柳暗花明又一村”的效果.常用方法三：利用相似三角形的性质例5 如图，Rt△ABC中，°，于点D，的平分线AE交CD于点F，交CB于点E.求证：.分析：观察中的四条线段，发现AF、AE在一条直线上，而且没有相等的量（比、线段、等积式）可替换，但AF、AE分别是△ACD和△ABC的内角平分线，CD、CB也是△ACD和△ABC的边，所以只要证明△ACD∽△ABC即可.证明：°又°又△CDA∽△BCA注：相似三角形的对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比，我们可以利用这些性质来证明有关的等积式往往会起到事半功倍的效果！。

教学内容概要证明等积式常用的方法是添平行线或寻找相似三角形，本节课主要探讨如何用相似的方法证明等积式。

一，直接寻找相似三角形等积式转换成等比式，用三点定形法寻找三角形，证明三角形相似【例1】如图，△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，过D作AB的垂线交AC于E，交BC的延长线于F，求证：DC2=DE⋅DF证明：△DCE与△DCF相似二，等量代换法等积式先转换成等比式，寻找可能相似的三角形，当找不到三角形或无法证明三角形相似，需要根据已知条件找到与原比例式中某条线段相等的一条线段替换，重新寻找三角形。

【例2】如图在△ABC中，AB=AC，AD是中线，P是AD上一点，过点C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF与点F，证明：BP2=PE⋅PF联结PC，可证明PC=PB，证明△PCE与△PCF相似三，等比代换法当用前两种方法寻找不到可以代换的线段时，可考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，然后再用三点定形法确定三角形。

【例3】如图，△ABC中，AD、BE分别是BC、AC上的高，过D作AB的垂线交AB于F，交BE于G，交AC 延长线于H，求证：DF2=FG⋅FH先证明△AFD与△BFD相似，得到等积式DF2=AF⋅BF，再证明△AFH与△BFG相似【练习】1、如图，△ABC中，点DE在边BC上，且△ADE是等边三角形，∠BAC=120°求证：（1）AB⋅AC=AD⋅BC （2）DE2=DB⋅CE（2）用AD与AE替换DE，证明△ABD与△ACE相似2、如图，正方形ABCD中，点E、F分别是边CB、DC延长线上的点，且BE=CF，联结AE、FB，FB的延长线交AE于点M，求证：（1）△BEM ∽△BFC （2）CF2=FB⋅ME（1）先证明△ABE与△BCF全等，得到∠E=∠F，可证相似（2）用BE替换CF，证明△CBF与△BME相似3、如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AC、AB上，DA=DB，BD与CE相交于点F，∠AFD=∠BEC 求证：（1）AF=CE （2）BF2=EF⋅AF（1）证明△ABF与△ACE全等（2）用（1）中结论替换AF为CE，再替换BF=AE，证明△AEF与△ACE相似4、已知，如图，△ABC 是等边三角形，过AC 边上的点D 作DG ∥BC ，交AB 于点G ，在GD 的延长线上取点E ，使DE ＝DC ，连接AE 、BD（1）求证：△AGE ≌ △DAB （2）延长BD 交AE 于点M ，求证：BG 2=ME ⋅AE（1）SAS（2）BG=CD=DE ，证明△MED 与△ADE 相似5、如图，在△ABC 中，正方形EFGH 内接于△ABC ，点E 、F 在边AB 上，点G 、H 分别在BC 、AC 上，且FB AE EF ⋅=2（1）求证：∠C=90° （2）求证：AH ⋅CG=AE ⋅FB（1）证明△AEH 与△BFG 相似，可得∠A 与∠B 互余（2）可证△HCG 与△BFG 相似，可得FB ：CG=BG ：HG=BG ：GF ，即证明△AHE 与△BFG 相似即可6、如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，求证：FD2=FC FB联结AF，替换FD，证明△FCA与△AFB相似7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点M、N分别在边AC、BC上，将△MCN沿直线MN折叠，点C 落在AB边上的点P，过点A作AD\\BC交CP的延长线于D求证：（1）∠D=∠PMN （2）PA：PB=MC：CN（1）△MCE与△ACD相似可证角等（或利用等角的余角相等）（2）替换等比式PA：PB=AD：BC，由BC=AC再替换相等线段，证明△ADC与△CNM相似8、已知在△BAC中，AD是角平分线，AE是外角平分线，交BC的延长线于点E，T为DE的中点求证：TE2=BT⋅CT可证∠DAE=90°，即T是直角三角形斜边中点，可得AT=DT=TE，即证△ABT与△ACT相似9、如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，BE⊥AC，EG⊥BC，L是AF的中点，求证：CD2=EG⋅DL 联结EL，ED，将CD替换成DE，证明△DEG与△DEL相似。

等积式的证明原题呈现：如图1，已知D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且△ADE=△C.求证：AD·AB=AE·AC.（华师大九年级上册P74例8）图1思路分析：根据比例的基本性质，欲证AD·AB=AE·AC，只需证明AD AEAC AB=，而相似三角形的对应边成比例，所以只需证明由这四条线段所确定的两个三角形相似即可.由线段AD，AE确定的三角形是△AED，由线段AB，AC确定的三角形是△ABC，根据题意和图形可知这两个三角形已有两组对应角相等，于是问题得证.（同学们自己完成证明过程）方法引荐：上述证明等积式的方法我们称之为“三点定形法”，一般步骤是：（1）把等积式转化为比例式；（2）观察成比例的四条线段确定可能相似的两个三角形；（3）找出使这两个三角形相似的条件.若在步骤（2）中，发现四条线段不在两个三角形中，我们可以用相等的量替换其中一个或两个量，包括等比替换，等线段替换，等积替换.变式探究一、等比替换例1 如图2，在四边形ABCD中，AD△BC，对角线AC，BD相交于点O，过点B作BE△CD，交CA的延长线于点E．求证：OC2=OA·OE．图2分析：等积式中的三条线段不能确定两个三角形，但将等积式转化成比例式OC OEOA OC=后，可根据两组平行线得到一个与两个比都相等的比OBOD，利用等比替换得证.证明：因为AD△BC，所以OC OB OA OD=.因为BE△CD，所以OE OB OC OD=.所以OC OEOA OC=，即OC2=OA·OE．二、等线段替换例2 如图3，在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD△BC于点D，CG△AB，连接BG分别交AD，AC于点E，F．求证：BE2=EF·EG．图3分析：等积式中的三条线段不能确定两个三角形，但可根据等腰三角形的对称性得CE=BE，则等积式转化为CE2=EF·EG.由新等积式的三条线段可确定△CEF和△GEC，设法证明这两个三角形相似即可.证明：如图3，连接CE.因为AB=AC，AD△BC，所以△ABC=△ACB，AD垂直平分BC.所以BE=CE.所以△EBC=△ECB.所以△ABE=△ECF.因为CG△AB，所以△ABE=△EGC.所以△ECF=△EGC.又因为△FEC=△CEG，所以△CEF△△GEC.所以CE EFGE EC=，即CE2=EF·EG.所以BE2=EF·EG．三、等积替换例3 如图4，CE是直角三角形ABC的斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，过点B作BG△AP于点G，交CE于点D.求证：CE2=PE·DE．图4分析：等积式中的三条线段不能确定两个三角形，但由三角形相似可得到一个与等号两边的乘积式都相等的乘积式AE·BE，利用等积替换得证.证明：因为△ACB=90°，CE△AB，所以△ACE+△BCE=△ACE+△CAE=90°.所以△CAE=△BCE.所以Rt△ACE△Rt△CBE.所以CE AEBE CE=，即CE2=AE·BE.因为BG△AP，所以△PGD=△DEB=△PEA=90°.因为△1=△2，所以△P=△3.所以Rt△AEP△Rt△DEB.所以PE AEBE DE=，即PE·DE=AE·BE.所以CE2=PE·DE．。

典例精解

类型三：找中间比利用等积式代换
如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC 的中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的 中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
证明：∵∠A＝90°，AD⊥BC ∴∠1＝∠C＝90°－∠ABC 而∠BDA＝∠ADC ＝90° ∴△ABD∽△CAD
∴ AB BD AC AD
∵AD⊥BC，E为直角边AC中点 ∴DE＝EC ∴∠3＝∠C 又∵∠3＝∠2，∠1＝∠C ∴∠1＝∠2 而∠F是△FBD与△FDA的公共角 ∴△FBD∽△FDA
初中数学知识点精讲课程
比例式、等积式的常见证明方法
比例式、等积式的证明是初中几何非常常见的题型，同时也是令许多学 生头疼的一种题型，特别是在一些图形复杂、线段较多的题目中，往往令人 眼花瞭乱无从下手.
等积式的证明有没有技巧呢？其实只要我们冷静分析，我们将会发现许 多等积式的证明也是有规律可循的。
典例精解
F
∴∠CDF＝∠E
A
B
∴△DCF∽△EAD E
∴ DC CF AE AD
变式题
如图，△ABC 中，∠BAC＝90°，M 为 BC 的中点，DM⊥BC 交 CA 的延长
线于 D，交 AB 于 E，求证：AM2＝MD·ME.
D
证明：
∴∠D＝∠B＝90°－∠C
∵∠BAC＝90°，

4、如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中点， 过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
E
B D
C
F
证明线段比例式或等积式时，如果按类型一、 类型二的方法仍无法证明，可以尝试将等积 式化为比例式，结合图形找到能够与比例式 中的两个比分别相等的中间比，从而证明所 求
3、 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是 AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F.求证：BP2＝PE·PF.
A
F E
P
BDBiblioteka C运用类型一的方法证明线段的比例式或等积式时，如果相关的线段不在某两个三角 形中，则需要将其中的某条线段用与之相等的另一条线段替换
，再按类型一 的方法证明.
比例式、等积式的常见证明方法
学习目标：灵活运用三点定型法 证明相似中的比例式、等积式
如图，□ABCD 中，E 是 AB 延长线上的一点，DE 交 BC 于 F.求证：
DC CF . AE AD
证明线段比例式或等积式时，通常先找所涉及的线段位于哪两个 三角形中，再证明所属的两个三角形相似。
二、学以致用 1、如图，在平行四边形ABCD中，点E在边BA的延长线上，CE交AD于F， ∠ECA=∠D。
求证：AC·BE＝CE·AD.
2、如图，△ABC中，BD、CE是高，EH⊥BC于H，
交BD于G,交CA的延长线于M.求证：HE2＝ HG·MH.

例2 如图， □ ABCD中，E为边AD延长线上的 一点，BE交CD于F.求证：CD·BC=AE·FC.
分析： 欲证 CD·BC=AE·FC 需证
CD CF AE BC
AB CF AE BC
即证△ABE∽△CFB
例2 如图， □ ABCD中，E为边AD延长线上的 一点，BE交CD于F.求证：CD·BC=AE·FC.
证明：∵ AB∥CD D C ∴ ∠C=∠A O ∵ AO=OB，DF=FB E ∴ ∠A= ∠B， ∠B= ∠FDB ∴ ∠C= ∠FDB A F 又 ∵ ∠DEO= ∠DEC 等积式化比例式， ∴ △EDC∽△EOD ∴
ED EO 即ED2=EO · EC EO EC
B
横找竖找找相似。
三点定型
证明：∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB∥CD，AB=CD,∠A= ∠C ∴ △ABE∽△CFB AB CF ∴
AE BC
∴ CD CF
AE
BC
即CD·BC=AE·FC
相似若是不好找， 等量代换试一试.
例３ 如图，梯形ABCD中，AB∥DC，AE=BE，直 线DE分别与对角线AC，直线BC相交于M和N.求证： MD·NE=ME·ND.
相似三角形应用
——等积式的证明方法
永昌县第七中学
魏学琴
例１如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF 交AC于E.求证：ED2=EO· EC. 分析：欲证 ED2=EO·EC 需证
ED EC = EO ED
A D O E B C
F
即证△EDO∽△ECD
例１如图，AB∥CD，AO=OB，DF=FB，DF 交AC于E,求证：ED2=EO· EC.
分析：欲证MD·NE=ME·ND 需证

(2)EF·CG＝DF·BG. 证明：在△AEF 和△ABG 中， ∠AED＝∠B，∠EAF＝∠BAG， ∴△A E F∽△A B G.∴BEGF ＝AAGF . 由(1)知△A DF ∽△A CG.∴DCGF＝AAGF .
∴E F ＝DF .∴E F ·CG＝DF ·B G.
BG CG
∴△A B F ∽△CB E .∴AB BC＝ACFE .
◆类型二 等线段代换法 2．【2022 新课标·综合性】如图，AB 为⊙O 的直径， BC，CD 均为⊙O 的切线，射线 CD 交 BA 的延长线于 点 E，连接 AD，BD，OC.求证：ED·CD＝OB·BE.
证明：如图，连接 DO， ∵BC，CE 为⊙O 的切线， ∴∠E DO＝∠E B C＝90°，B C＝CD.
又∵∠E ＝∠E ，
∴△E OD∽△E CB . ∴EBDE ＝OBCD. ∴E D·B C＝OD·B E . ∵OD＝OB ，B C＝CD，∴E D·CD＝OB ·B E .
◆类型三 等比(或等积)代换法 3．如图，已知在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 在边 BC 上，CE⊥AB，CF⊥AD，E、F 分别是垂足，连接 E F.求证：AF ·A D＝A E ·A B . 证明：∵∠A CB ＝90°，CF ⊥A D， ∴∠A CD＝∠A F C.又∠CA D＝∠FA C， ∴△A CD∽△A F C.∴A C＝A D.∴A C2＝A F ·A D.同理可
AF AC 证△ACE∽△ABC，∴AC＝AE，即 AC2＝AE·AB.
AB AC ∴A F图，在△ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上， ∠AED＝∠B，AG 分别交线段 DE，BC 于点 F，G，且 A D∶A C＝DF ∶CG.求证： (1)AG 平分∠BAC； 证明：∵∠DA E ＋∠A E D＋∠A DE ＝180°， ∠B A C＋∠B ＋∠C＝180°，∠A E D＝∠B ， ∴∠ADE＝∠C.在△ADF 和△ACG 中， A D∶A C＝DF ∶CG，∠A DE ＝∠C， ∴△ADF∽△ACG.∴∠DAF＝∠CAG.∴AG 平分∠BAC.

相似椎体模型总结2(比例式、等积式的常
见证明方法)
相似椎体模型总结2（比例式、等积式的常见证明方法）
一、比例式证明方法
比例式证明方法是通过比较两个相似椎体的边长或高度之比来
证明它们相似的方法。

常见的比例式证明方法包括以下几种：
1. 比较边长：首先，我们可以比较两个相似椎体的底面边长之
比和高度之比。

如果它们的比值相等，即两个椎体的底面边长之比
等于高度之比，那么可以得出它们相似的结论。

2. 比较斜边长：有时候，我们可以通过比较两个相似椎体的斜
边长之比来证明它们相似。

如果两个椎体的斜边长之比相等，那么
可以说明它们相似。

3. 比较面积：除了边长之比，我们还可以通过比较两个相似椎
体的底面积或侧面积之比来证明它们相似。

如果它们的面积比相等，则可以推断出它们相似。

二、等积式证明方法
等积式证明方法是通过比较两个相似椎体的体积来证明它们相似的方法。

常见的等积式证明方法包括以下几种：
1. 比较体积：我们可以比较两个相似椎体的体积之比来判断它们是否相似。

如果两个椎体的体积比相等，那么可以得出它们相似的结论。

2. 比较高度：有时候，我们可以通过比较两个相似椎体的高度来判断它们是否相似。

如果两个椎体的高度相等，则可以说明它们相似。

总结：在证明相似椎体模型时，我们可以使用比例式证明方法或等积式证明方法。

比例式证明方法是通过比较边长、斜边长或面积之比来判断相似性，而等积式证明方法则是通过比较体积或高度来判断相似性。

根据具体情况选择合适的证明方法，能够简化证明过程，同时避免法律复杂性。

证明线段的比例式或等积式的方法要证明线段的比例式或等积式，有多种方法可以使用。

下面我们将介绍几个常用的方法。

方法一：向量法利用向量的性质可以很方便地证明线段的比例式或等积式。

假设有线段AB和CD，要证明它们的比例式或等积式，可以先求出向量AB和向量CD，然后判断它们是否平行或共线，再比较它们的模长大小。

如果向量AB和向量CD平行或共线，我们可以根据向量的定义得知它们的比例式：AB：CD=，AB，：，CD如果向量AB和向量CD不平行或不共线，但线段AB与线段CD的比例式或等积式成立，我们也可以利用向量的性质推导出它们的比例关系。

具体的推导过程需要根据具体的题目条件来确定。

方法二：相似三角形法利用相似三角形的性质也可以方便地证明线段的比例式或等积式。

相似三角形是指两个或多个三角形的对应角相等且对应边成比例。

如果有线段AB和CD，我们可以通过构造相似三角形来证明它们的比例式。

假设我们可以找到一个三角形ABC与三角形CDE相似，那么根据相似三角形的性质有：AB：CD=AC：CE这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。

方法三：重心法利用重心的性质也可以证明线段的比例式或等积式。

重心是指一个几何图形的平衡点，即重心到图形上各点的距离乘以图形上各点的质量（或面积）之和为零。

对于线段AB和CD，我们可以找到它们的重心O，并将线段AO和BO 延长到与CD相交于点E和F。

那么根据重心的性质，线段AO与线段OD 以及线段BO与线段OC的比例关系可以推导出：AO：OC=BO：OD进一步地，根据线段分线段外部点定理，我们可以得出：AO：OD=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。

方法四：三角形面积法利用三角形面积的性质也可以证明线段的比例式或等积式。

假设有线段AB和CD，我们可以构造三角形AOB与三角形COD，其中O为点A和C 的连接线与BC的交点。

根据三角形面积的性质，有：三角形AOB的面积：三角形COD的面积=AB：CD这样我们就证明了线段AB和CD的比例式。

ＢＤ Ｆ ．
倒６ 如 图６． Ｄ为ＡＢ的 中 点 ． Ｅ为ＡＣ上
一
直线 上 ， 然 无法 直接 证 两个 三 角形相 显
点， ＤＥ的延 长线 交ＢＣ的 延 长线 于 求
似 ， 等 边 三 角形ＡＢ 中 ， Ｂ Ｂ ＝ Ｃ， 但 Ｃ 有Ａ ＝ Ｃ Ａ
把 结 论 中 的 两 个 Ｇ分 别 用ＡＢ． ＡＣ等 量 代 换 后 ． 要 证 ＡＢ・ 只 ＡＣ＝ ＥＣ・ Ｄ就 行 了． Ｂ 证 明 因 为 ／ ＤＡＥ＝１ ０ ． 以 Ｄ＋ ２ 。所
倒２ 如 图２， ＡＡＢ 在 Ｃ中 ， ＡＣ， ＡＢ＝ ＡＤ
是 中线。是 ｃ Ｅ 上一点 ，Ｆ／ Ｂ Ｅ Ｃ ／Ａ 交Ｂ 的延
长 线 于Ｆ， 交ＡＤ于Ｐ， 证 ： 蝴 求 ・ Ｆ Ｐ．
分 析 要 证 曰 朋 ・ 可 以转 化 为 证 严＝ Ｐ
ＢＰ
一
不 同 的等 线段 代 换．
＝
．
①
口
Ｃ
因 为 ＤＥ是 Ｈｌ △ＡＢＣ斜 边 上 的 中 线 ．
所 ￣ Ｄ Ｅ： Ａ ：
２
用 平 行 线 构 造 相 似 三 角 形 或 平 行 线 分 线 段 成 比 例 定 理 来 证 明
图 ３
Ｃ＝ ＡＥ． 所 以 ／ Ａ ： ／ ＿ＥＤＡ ：
分析
一
由于ＢＣ， Ｂ － 线 段 在 同 ＥＣ， ＤＳ 条
倒３ 如 图 ３ 在 等边 三 角形ＡＢ ， Ｃ中 。 Ｅ
：
，
这 时 可 以 ￣ ＊ ＢＰ， ． 三 条 ｉＪ ￣ 朋
在曰 延 长 线上 ， Ｃ Ｄ在Ｃ 延 长线 上 ． Ｄ Ｅ Ｂ Ｌ Ａ ＝
０５ ２
投稿都 ｓｊ ｖ ． ３ ｏ 籀： ｋ ｉ１ ｒ ｘ ＠ ｐ ｃｎ ６

比例式等积式证明的常用方法在数学中，我们经常会遇到需要证明等式或不等式的情况。

其中，比例式等积式是一种常见的数学问题，需要通过推理和运算来证明两个比例式或等积式之间的等式关系。

在本文中，我将介绍一些常用的方法和策略，帮助读者更好地理解和解决比例式等积式证明的问题。

一、分数乘法分数乘法是比例式等积式证明中常用的一种方法。

我们可以利用分数乘法的性质，将等式中的分数进行运算，推导出等号两边相等的关系。

例如，我们需要证明以下比例式：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)首先，我们可以将等式右边的分数进行乘法运算：(3/5) × (5/7) = (4/7) × (x/3)(15/35) = (4x/21)接下来，我们可以通过交叉乘积的方法来求解未知数x：15 × 21 = 35 × 4x315 = 140xx = 315/140x = 9/4通过分数乘法的方法，我们成功地证明了上述比例式的成立，并求解出了未知数x的值。

二、对角线乘积对角线乘积也是比例式等积式证明中常用的一种方法。

对于一个由两个平行线段组成的类似平行四边形的图形，我们可以利用对角线的性质，将等式中的线段长度进行运算，证明两个等式或不等式之间的关系。

例如，我们需要证明以下等积式：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)首先，我们可以将等式左边和右边的对角线进行乘积运算：(2x + 3) × (5x - 1) = (3x + 2) × (4x - 5)(10x^2 - 2x + 15x - 3) = (12x^2 - 20x + 8x - 10)接下来，我们合并同类项并化简等式：10x^2 + 13x - 3 = 12x^2 - 12x - 100 = 2x^2 - 25x - 7最后，我们可以通过求解二次方程来求解未知数x的值。

Ｅ ｃ ， 需要 证 明 比例 式 “ ｃ ｘＤ ” 只 ＝ ”成立 就 可 以
于旧教材知识 的编排 ， 一般可考虑教材安排 的以下三个 知识点来解决 ： 、 １ 平行线 分线 段成 比例定理． 、 ２ 圆幂定
理． 、 ３ 三角 形相 似． 现 行新 教 材 中淡 化 了 “ 行 线 分 线 而 平
ＢＣ， Ａ ＝ Ｂ ＝ ９ 。（ ： 里 用 什 么 写 什 么 ， 如 ０ 注 这 比
Ｄ∥Ｂ Ａ Ｃ，Ｂ＝Ｂ Ｃ这些条件是 不用的 ， 以就 算是正 所
确 也 不 用 写 下 去 ） ， 所 以 △Ａ Ｅ Ｄ ＡＢ Ｆ， 以 Ｄ ＝ Ｃ ． Ｃ 所 Ｅ Ｆ 例 ２ （０ ９ 年 ２０
“ 等积式”的证 明是几何证明 的重点题型之一 ， 在
旧教 材 中 ，等 积式 ” “ 的证 明思 路 广 泛 、 方法 多 样 ， 得 益 这
２ ６０ ５ １０
张德 生
第一 步 ： 把等积式转化 为比例式 把等积式转化为 比例式 的根 据是 “ 比例式 的基本 性质 ” 如 ： ． 等积式 “ ”可 以转化 为 比例式 “ Ｂ ×Ｂ ＝ Ａ Ｄ
题 目知 之是在矩形 Ａ Ｃ Ｂ Ｄ中 ， 以想 到矩形 相关 的边 所
本 题一见要证 明 ＡＡ Ｅ ＡＡ Ｅ， Ｂ Ｃ 马上想到证 明
一
（ 对边 相等与平行 ） 角 （ 、 四个角相等且都 等于 ９ 。 的 ０）
般三 角形全等 的 四种 方法 ：Ａ 、 Ｓ Ａ Ｓ Ｓ Ｓ 而 Ｓ Ｓ Ａ Ａ、 Ａ 、Ｓ ， 公共边 ， 以想 到 Ｓ Ｓ Ｓ Ｓ 而另一边 也无 法求故 所 Ａ 与 Ｓ，
关系 ； 想相 关解题思路 ： 题想到是 用证 明三角 形 ③ 本
全等 的方 法来 证 ， 用全 等条 件 的哪一 个 呢？ 但 这两 三

「初中数学」证比例式或等积式的六种常用技巧证比例式或等积式的题目时，若问题中无平行线或相似三角形，则需要构造平行线或相似三角形，得到成比例线段.若比例式或等积式中的线段分布在两个三角形中，可尝试证这两个三角形相似;若比例式或等积式中的线段分布不在两个三角形中，可尝试将它们转化到两个三角形中;若比例式或等积式中的线段分布在两个明显不相似的三角形中，可尝试用中间比代换.技巧一.构造平行线法1.如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC 的延长线于点F，求证AE×CF=BF×EC.【分析】由AE×CF=BF×EC，变为AE/BF=EC/CF或AE/EC=BF/CF，成比例的线段明显的组不成三角形，于是寻求中间比进行代换，过C点作CM∥AB，交DF于M，如图，则BF/CF=BD/CM，AE/EC=AD/CM，而D为AB的中点，则AD=BD，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC.另，过C点作CM∥DF交AB于M，如图则AE/EC=AD/DM，又BF/CF=BD/DM，而AD=BD，∴AE/EC=BF/CF，即AE×CF=BF×EC.另，过B点作BM∥AC，交FD的延长线于M，如图则BF/CF=BM/EC，而D为AB的中点，易证AE=BM，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC，这里巧用AE等量代换了BM，得证.另，过B点作BM∥DF交AC的延长线于M，如图则BC/CF=CM/EC，∴(BC+CF)/CF=(CM+EC)/EC，即BF/CF=EM/EC，而DE是△ABM的中位线，AE=EM，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC.另，过A点作AM∥DF交BF的延长线于M，如图∵D为AB的中点，∴BF=FM，又AE/EC=FM/CF，∴AE/EC=BF/CF，即AE×CF=BF×EC.另，过A点作AM∥BC，交FD的延长线于M，如图则AM/CF=AE/EC，而D为AB的中点，易证AM=BF，∴BF/CF=AE/EC，即AE×CF=BF×EC.技巧二.构造相似三角形法2.已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD=CE，DE交AC于点F，求证AB×DF=BC×EF.【分析】由AB×DF=BC×EF，变形为AB/BC=EF/DF，成比例的线段可构成△ABC，而EF，DF构不成三角形，可寻求中间比代换，过D作DM∥BE，交AC于M，如图则出现A型相似，△ADM∽△ABC;X型相似，△CEF∽△MDF，∴有AB/BC=AD/DM，EF/DF=CE/DM，而AD=CE，∴AB/BC=EF/DF，即AB×DF=BC×EF.另，过E点作EM∥AB，交AC的延长线于M，如图同学们自己证一下.技巧三，三点定型法3.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，MD⊥BC，交AB于E，交CA的延长线于D，求证AM²=DM×EM.【分析】由AM²=DM×EM，化为AM/DM=EM/AM，锁定两个三角形ADM与△EAM，看是否相似，∵∠BAC=90°，M是BC的中点，∴BM=AM，∴∠B=∠BAM，而∠D，与∠B都是∠C的补角，∠B=∠D=∠EAM，∵∠AEM=∠D+∠DAE，∠DAM=∠EAM+∠DAE，∴∠AEM=∠DAM，又∠AME=∠DMA，∴△AME∽△DMA，∴AM/DM=EM/AM，即AM²=DM×EM.技巧四.等积过渡法4.如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D，求证CE²=DE×PE.【分析】从结论分析，成比例的线段不在三角形中，那么就要找等量代换，由BG⊥AP，DE⊥AB，∴∠AEP=∠BED=∠AGB=90°，∵∠P与∠ABG都是∠PAB的余角，∴∠P=∠ABG，∴△AEP∽△DEB，∴AE/DE=PE/BE，即AE×BE=DE×PE，又CE⊥AB，∠ACB=90°，易证△AEC∽△CEB，∴AE/CE=CE/BE，即AE×BE=CE²，∴CE²=DE×PE.技巧五.等比代换法5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AC的中点，连接ED并延长，交AB的延长线于点F，求证AB/AC=DF/AF【分析】由于AD⊥BC，∠BAC=90°，∴∠ADB=∠ADC=90°，又E是AC的中点，∴DE=EC=AC/2，∴∠C=∠CDE，又∠CDE=∠FDB，∵∠BAD+∠DAC=90°，∠C+∠DAC=90°，∴∠BAD=∠C=∠FDB，又∵∠F=∠F，∴△FDB∽△FAD，∴DB/AD=DF/AF，∵∠ADB=∠ADC，∠BAD=∠C，∴△ABD∽△CAD，∴BD/AD=AB/AC，∴AB/AC=DF/AF.技巧六.等线段代换法6.在△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，CF∥AB，BF交AD于点P，交AC于点E，求证PB²=PE×PF.【分析】由结论看，PB，PE，PF三线段在同一条线上，无法找到相似三角形，考虑代换，连接PC，而AB=AC，AD是BC边上的中线，则AD垂直平分BC，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，而∠ABC=∠ACB，∴∠ABP=∠ACP，又∵CF∥AB，∴∠F=∠ABP，∴∠F=∠ACP，又∠EPC=∠FPC，∴△PEC∽△PCF，∴PC/PF=PE/PC，∴PC²=PE×PF，∵PB²=PE×PF.如图【总结】几何证明题，多种多样，证等积式等比例式，究竟用什么方法，因题而异，考虑题中的条件，灵活代换，可以是等线段代换.等比代换，等积代换等。

∴∠4＝∠F 而 ∠ CPE 是 △ CPE 和
△FPC的公共角 ∴△CPE∽△FPC ∴PE∶PC＝PC∶PF ∴PC2＝PE·PF ∴BP2＝PE·PF
∵CF∥AB
∴∠3＝∠F
方法总结
运用类型一的方法证明线段的比例式或等积式时，如果相关的线段不在 某两个三角形中，则需要将其中的某条线段用与之相等的另一条线段替换， 再按类型一 的方法证明.
∴ DF BD AF AD
∴ AB DF AC AF
∴AB·AF＝AC·DF.
方法总结
证明线段比例式或等积式时，如果按类型一、类型二的方法仍无法证 明，可以尝试将等积式化为比例式，结合图形找到能够与比例式中的两个 比分别相等的中间比，从而证明所求证的结果成立.
XXX X
古 X
X X X
风 设
一 岁 只 叹 伊
， 饮 罢 飞 雪 ，
负 了 青 春 举
泪 溶 了 雪 ， 恰
光 ？ 谁 酒 三 尺
颜 刹 那 ？ 谁 饮
拾 弹 指 雪 花 ？
今 夜 无 月 亦 无
纷 纷 飘 香 。 雪
一 回 。 忆 苍 茫
前 尘 旧 梦 ， 不
， 怎 敌 我 浊 酒
古 韵 清
风
中 幽 舞
梦明
国 落 月
花， 间 。
类型三：找中间比利用等积式代换
如图，在△ABC中，已知∠BAC＝90 °，AD⊥BC于D，E为直角边AC的 中点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.
A
1
E
B
3
2D
C
F
如图，在△ABC中，已知∠A＝90°，AD⊥BC于D，E为直角边AC的中 点，过D、E作直线交AB的延长线于F.求证：AB·AF＝AC·DF.

相似抛物线模型总结2(比例式、等积式的
常见证明方法)
相似抛物线模型总结2（比例式、等积式的常见证明方法）
1. 比例式证明方法
比例式证明方法是一种常见的证明相似抛物线模型的方法。

该方法通过建立两个相似抛物线模型之间的比例关系来进行证明。

具体步骤如下：
1. 首先，确定两个抛物线模型的特征参数，如焦点位置、准线方程等。

2. 然后，根据这些特征参数，建立起两个抛物线模型的比例关系。

3. 接下来，利用比例关系以及已知的特征参数，求解未知参数的值。

4. 最后，对比两个抛物线模型的参数值，如果它们满足比例关系，就可以得出它们是相似的结论。

比例式证明方法简单直观，适用于一些简单的抛物线模型。

2. 等积式证明方法
等积式证明方法是另一种常见的证明相似抛物线模型的方法。

该方法通过建立两个抛物线模型的面积相等的等式来进行证明。

具体步骤如下：
1. 首先，确定两个抛物线模型的特征参数，如焦点位置、准线
方程等。

2. 然后，根据这些特征参数，计算两个抛物线模型的面积。

3. 接下来，将两个抛物线模型的面积相等的等式进行展开化简。

4. 最后，通过求解等式中的未知参数，判断它们是否相等。

等积式证明方法相对比较复杂，需要进行面积计算和等式推导，适用于一些复杂的抛物线模型。

综上所述，比例式证明方法和等积式证明方法是常见的用于证
明相似抛物线模型的方法。

根据具体情况选择合适的方法进行证明，可以更好地理解和应用相似抛物线模型的性质和特点。

图3 例3如图3，△ABC中，DE∥BC,BE与CD交于点O， AO与DE、BC分别交于点N、M，试说明：. 利用等
比式代 换
AN AD DE AM AB BC
AN ON AM OM
图3
ON OE DE OM OB BC
例3．如图，已知：在△ABC中，∠BAC=900， AD⊥BC，E是AC的中点，ED交AB的延长线于F
A
BDEຫໍສະໝຸດ C如上图, ∠BAC=120°, △ADE是 等边三角形,小丽发现图中有些线 段是其他两条线段的比例中项,你 知道小丽说的是哪些线段吗? 它们 分别是哪些线段的比例中项吗?
比例式得：
，由等式左边得
到△CDF，由等式右边得到△EDC，
这样只要证明这两个三角形相似就
可以得到要证的等积式了。因为
∠CDE是公共角，只需证明
∠DCE=∠F就可证明两个三角形相
似。
例2如图2，在△ABC中，AB=AC,直线DF与AB交于D，与
BC交于E，与AC的延长线交于F.图2 试说明：. DE EF
求证：
。
分 析：比例式左边AB，AC 在△ABC中，右边DF、AF在 △ADF中，这两个三角形不相 似，因此本题需经过中间比进 行代换。通过证明两套三角形 分别相似证得结论。
“双垂直”指：
“Rt△ABC中，
∠BCA=900，
CD⊥AB于D”，（如
图）在这样的条件下
有下列结论：
A
C
D
B
（1）△ADC∽△CDB∽△ACB （2）由△ADC∽△CDB得CD2=AD·BD （3）由△ADC∽△ACB得AC2=AD·AB （4）由△CDB∽△ACB得BC2=BD·AB （5）由面积得AC·BC=AB·CD （6）勾股定理 我们应熟记这些结论，并能灵活运用。

求证等积式的三种策略“等积式化比例，横找直找找相似，相似若是找不到，左右相通必有桥。

”这首打油诗概括了证明等积式的三种基本策略。

一、直接通过相似三角形证明例1 如图1所示在△ABC 中，高线AD 、CE 交于点O 。

求证：OC BD AB OD ⋅=⋅。

图1分析：将等积式化比例式OC AB OD BD=，考虑比例式中的四条线能否是两个相似三角形的对应边。

横找：线段OC ，OD 是△OCD 的两边，而线段AB ，BD 是△ABD 的两边，易证△OCD 与△BAD 相似。

证明： AD CE ABC ，是的高线∆∴∠+∠=∠+∠∠=∠∴∠=∠∠=∠∴~∴=∴=EAO AOE DCO CODAOE CODEAO DCOADB ODC OCD BADOC AB OD BDOC BD AB OD ∆∆，··点评：由于比例的性质——比例的内项或外项可以交换位置，所以在根据比例式寻找相应的相似三角形时，有时需横找（分别从比例式的分子线段中与分母的线段中找相应的三角形），有时需直找（分别从比例式的左边线段中与右边的线段中找相应的三角形）。

二、 用等量线段代换后，再证通过相似三角形证明例2 如图2所示，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，AD 的中垂线交AD 于E ，交BC 的延长线于F ，求证：FD FB FC 2=·。

图2分析：要证明FD 是FB 与FC 的比例中项，由于FD ，FB ，FC 三线在同一直线上，不可能直接通过相似三角形证明。

由于题设中AD 的中垂线交BC 的延长线于点F ，则可考虑等线段代换，连结AF ，得FA=FD 。

证明：连结AF 。

∵EF 是AD 的中垂线∴=∴∠+∠=∠∠=∠+∠=∠+∠∴∠=∠∠=∠∴~FD FA B BB AFC BFAAFC BFA，又2344123 ∆∆∴=∴==FA FB FC FAFA FB FC FD FB FC22·即· 点评：证明同一条直线上的线段成比例，常可用等量线段代换法证明。