《相似三角形的性质与判定》小结复习教案授课人：蔡俊伟一、教学目标知识技能：掌握相似三角形的性质与判定方法，并会运用相似三角形的性质与判定方法证明有关线段等积式或比例式。
过程与方法：通过引导分析，解答两道典型例题，使学生学会综合运用相似三角形性质与判定解答有关等积式与比例式的问题情感态度与价值观：通过相似三角形性质与判定的综合运用，体现事物之间的相互转化与内在联系。
二、教学重难点重点：熟练掌握相似三角形的性质与判定方法；难点：灵活运用相似三角形性质与判定方法证明线段等积式或比例式。
三、数学思想：化归思想 四、教学过程 （一）复习提问1、判定两三角形相似有什么方法？2、相似三角形的性质有哪些？3、几种常见的相似三角形基本图形：（1）如图DE ∥BC ，则ADE ∆∽ABC ∆，称为“平行线型”的相似三角形。
（2）如图，其中12∠=∠，则ADE ∆∽ABC ∆，称为“相交线型”的相似三角形。
（3）如图，12∠=∠，B D ∠=∠，则ADE ∆∽ABC ∆，称为“旋转型”的相似三角形。
EDCBA EDCBA ED CBA21E DC BA ABC（D ）E 21ABC21E DEDBA21第（3）题图（4）如图，123∠=∠=∠，则ADE ∆∽CBA ∆，称为“三等角型”的相似三角形；（5）如图，如图，90ACB ∠=︒,CD AB ⊥于D ，则A D C ∆∽ACB ∆∽CDB ∆.称为“子母型”的相似三角形。
（二）范例讲解例1、如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，M 为BC 中点，DM BC ⊥于M ，交BA 的延长线于点D ，连接AM .求证： 2MA MD ME =；例2、如图，在ABC ∆中，DE ∥BC ,BE 与CD 相交于点O .求证：AD DOAB CO=.21ME DAB 第（4）题图321E DCBA第（5）题图DCBAEODCBA（三）巩固训练1、如图，若ABC ∆∽DEF ∆，则∠D 的度数为______________．2、ABC △中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点， ADE ∆与ABC ∆的周长之比为 ，面积比为 。
例说证明线段比例式或等积式的方法与技巧何美兰证明线段比例式或等积式的常用方法之一是利用相似三角形，而相似三角形是初中数学中的一个非常重要的知识点，它也是历年中考的热点内容，通常考查以下三个部分：（1）考查相似三角形的判定；（2）考查利用相似三角形的性质解题；（3）考查与相似三角形有关的综合内容。
以上试题的考查既能体现开放探究性，又能加深知识之间的综合性。
但不少学生证题却是不会寻找相似三角形，特别是对比较复杂的图形，感到眼花缭乱，无从下手。
为了帮助学生们扩大解题思路，迅速而正确地解题。
下面以一些例题来说明解答策略及规律。
一三点定形法利用两个三角形相似去解决比例式或等积式证明的方法。
解决问题的基本思想是：先找出与结论中的线段有关的两个三角形，然后根据原题所给条件，对照图形分析，寻找这两个三角形的相似条件，再证明这两个三角形相似，利用“相似三角形对应边成比例”推出结论。
寻找并证明两个三角形相似是解题的关键，寻找相似三角形的基本方法是“三点定形法”，即由有关线段的三个不同的端点来确定三角形的方法。
具体做法是：先看比例式前项和后项所代表的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，若能，则只要证明这两个三角形相似就可以了，这叫做“横定”；若不能，再看每个比的前后两项的两条线段的两条线段的三个不同的端点能否分别确定一个三角形，则只要证明这两个三角形相似就行了，这叫做“竖定”。
例1：如图1，ABCD是⊙O的内接四边形，过C作DB的平行线，交AB的延长线于E。
求证BE·AD＝BC·CD。
分析：要证BE·AD＝BC·CD，即＝。
横定：这个比例式的前项中的线段BE、CD共有四个不同的端点，不能确定一个三角形；竖定：这个比例式的比中的线段BE、BC它们有三个不同的端点，可以确定一个△BEC，另一个比中的线段CD、AD的三个不同的端点也可以确定一个△ACD，于是只要证明△BEC∽△DCA，这样，证明所需添加的辅助线AC也就显示在眼前了。
“十层相似”———相似十大技巧证明比例式或等积式的技巧“三点定型法”是证明线段等积式或比例式以及利用等积式、比例式求线段长时找相似三角形的最常用的方法，即设法找出等积式或比例式（或变化后的式子）中所包含的几个字母，看是否存在可由“三点”确定的两个三角形相似。
通常通过“横看”“竖看”两种方法找相似三角形 ，横看：即看两比例前项、两比例后项是否分别在两个相似三角形中；竖看：即看比例式等号两边各自的前、后项是否分别在两个相似三角形中。
技巧一：三点定型1．如图，在△ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，∠ADE ＝∠C ，求证：AD •AB ＝AE •AC ．技巧二：等线段代换2．如图，已知在△ABC 中，点D 、E 、F 分别是边AB 、AC 、BC 上的点，且DE ∥BF ，EF ∥BD ，求证：＝FC DE ．技巧三：等比例代换3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥CD ，求证：．技巧四：等积代换4．如图，已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，BG⊥AP垂足为G，交CE于D，求证：CE2＝PE•DE．5．如图，在△ABC中，D是AB上一点，E是△ABC内一点，DE∥BC，过D作AC的平行线交CE的延长线于F，CF与AB交于P，求证：＝．备注：上述技巧不仅用于证明等积式和比例式的题型，还可以灵活使用在其他题型中。
课堂练习1．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、B、C、E在同一条直线上，且∠DAE＝120°，求证：BC2＝CE•DB．2．已知，如图，在Rt△ABC中，CD是斜边上的中线，DE⊥AB交BC于点F，交AC的延长线于点E．求证：（1）△ADE∽△FDB；（2）CD2＝DE•DF．3．已知：如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，BA•BD＝BC•BE．（1）求证：△BDE∽△BCA；（2）如果AE＝AC，求证：AC2＝AD•AB．4．如图，点D、E分别在△ABC的边AC、AB上，延长DE、CB交于点F，且AE•AB＝AD •AC．（1）求证：∠FEB＝∠C；（2）连接AF，若＝，求证：EF•AB＝AC•FB．5．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，点F在DE的延长线上，AD ＝AF，AE•CE＝DE•EF．（1）求证：△ADE∽△ACD；（2）如果AE•BD＝EF•AF，求证：AB＝AC．6．已知：如图，△ADE的顶点E在△ABC的边BC上，DE与AB相交于点F，AE2＝AF•AB，∠DAF＝∠EAC．（1）求证：△ADE∽△ACB；（2）求证：＝．7．如图，M是平行四边形ABCD的对角线上的一点，射线AM与BC交于点F，与DC的延长线交于点H．（1）求证：AM2＝MF•MH．（2）若BC2＝BD•DM，求证：∠AMB＝∠ADC．8．△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．（1）如图1，求证：DE•CD＝DF•BE；（2）如图2，若D为BC中点，连接EF．求证：ED平分∠BEF．9．如图，已知正方形ABCD，以AB为边在正方形外作等边△ABE，过点E作EF⊥AB与边AB、CD分别交于点F、点G，点O在线段EG上，且DO＝CD．（1）求证：AE∥DO；（2）联结AO、DE，DE分别交AO、AB于点M、Q，求证：．10．如图所示，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，点E，F在线段BC上，点Q在线段AB 上，且CF＝BE，AE2＝AQ•AB．求证：（1）∠CAE＝∠BAF；（2）CF•FQ＝AF•BQ．11．已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AD的延长线上，DE＝DC，联结BE，分别交边DC、对角线AC于点F、G，AD＝FD．（1）求证：AC⊥BE；（2）求证：＝．12．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E、F分别在边AB、AD上，DE与CF 相交于点G．CD2＝CG•CF，∠AED＝∠CFD．（1）求证：AB＝CD；（2）延长AD至点M，联结CM，当CF＝CM时，求证：EA•AB＝AD•MD．13．如图，已知：△ABC和△ADE都是等边三角形，其中点D在边BC上，点F是AB边上一点，且BF＝CD．（1）求证：DE∥CF；（2）联结DF，设AD、CF的交点为M，如果DF2＝FM•FC，求证：DF∥AC．14．已知：如图，两个△DAB和△EBC中，DA＝DB，EB＝EC，∠ADB＝∠BEC，且点A、B、C在一条直线上，联结AE、ED，AE与BD交于点F．（1）求证：；（2）如果BE2＝BF•BD，求证：DF＝BE．15．已知：如图，四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，E为对角线BD的中点，点F 在边AD上，CF交BD于点G，CF∥AE，CF＝BD．（1）求证：四边形AECF为菱形；（2）如果∠DCG＝∠DEC，求证：AE2＝AD•DC．16．如图，AB＝9，AC＝8，P为AB上一点，∠A＝∠CPD＝∠B，连接CD．（1）若AP＝3，求BD的长；（2）若CP平分∠ACD，求证：PD2＝CD•BD．17．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AO上一点，BF⊥BD交DE的延长线于点F，且EF＝DE．（1）求证：四边形ABCD是菱形；（2）DF交AB于点G，若OD2＝OE•OA，求证：DF•AG＝AE•BD．18．如图，将矩形ABCD绕点B旋转，点A落到对角线AC上的点E处，点C、D分别落在点F、G处．（1）联结BG、CG，求证：四边形ABGC是平行四边形；（2）联结GE并延长交边AD于点H，求证：AB2＝AD•AH．19．如图，平行四边形ABCD中，它的两条高DE、BF相交于点H，∠DBC＝45°，BF与AD的延长线相交于点G，连接AH．（1）求证：BH＝AB；（2）求证：AH•BG＝AG•BD．。
相似三角形中的等积式说明“等积式”成立的理由是相似三角形中比较常见的题型之一。
解决这类证明题的思想是用数学中的转化思想。
首先，将“等积式”根据比例式的基本性质转化为比例式。
如：将BD AB DC EC ⨯=⨯转化为DC BD AB EC =，只需要说明DC BD AB EC =成立的理由就可以。
一般情况下，可以根据两个三角形相似来说明比例式的成立。
这类题根据难易程度分为三个层次。
下面分别举例介绍。
一、基本形式例题：如图1所示，点E 是四边形ABCD 的对角线BD上一点，并且∠1=∠2=∠3。
试说明BE·AD=CD·AE 的理由。
分析：可以将BE·AD=CD·AE 转化为比例式ADAE CD BE =，通过比例式可以看出只需要判断BE 、AE 所在的△BAE 和AD 、CD 所在的△ACD 相似即可。
解：∵∠1=∠2，∴∠1＋∠4=∠2＋∠4，即∠DAC=∠EAB 。
∵∠1＋∠ADE=∠AEB ，∠3＋∠ADE=∠ADC ，又∵∠1=∠3，∴∠AEB=∠ADC 。
∴△AEB ∽△ADC 。
∴ADAE CD BE =， ∴BE·AD=CD·AE 。
练习：如图2所示,ΔABC 中,∠ABC=2∠C,BD 平分∠ABC 。
试说明AB·BC=AC·CD 的理由。
二、等量代换例题：如图3所示，在□ABCD 中，E 为边AD 延长线上一点，BE 交边CD 于点F ，试说明FC AE BC CD ⋅⋅=的理由。
分析：可以将FC AE BC CD ⋅⋅=转化为比例式BCFC AE CD =，可是找不到三角形。
但是比例式中的CD 和AB 相等，可以进行等量代换，变形为BCFC AE AB =，而要想说明这个比例式成立，只需要说明AB 、AE 所在的△BAE 和FC 、BC 所在的△BFC 相似即可。
解：在□ABCD 中，AB ∥CD ，AD ∥BC ，DC=AB∴∠ABF=∠BFC ，∠E=∠CBF ，∴△AEB ∽△CBF 。
