定积分的应用练习题

专升本高数定积分练习题### 专升本高数定积分练习题#### 一、基础题1. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^2 dx\)。

2. 计算定积分 \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx\)。

3. 计算定积分 \(\int_{-2}^{2} x dx\)。

4. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi/2} \sin x dx\)。

#### 二、提高题5. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} e^x dx\)。

6. 计算定积分 \(\int_{-1}^{1} \cos x dx\)。

7. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} \ln x dx\)。

8. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi} \tan x dx\)。

#### 三、应用题9. 计算定积分 \(\int_{0}^{a} \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} dx\)，其中 \(a > 0\)。

10. 计算定积分 \(\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x dx\)。

#### 四、挑战题11. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} x^3 \ln x dx\)。

12. 计算定积分 \(\int_{0}^{1} \frac{\sin x}{x} dx\)。

#### 答案解析1. \(\int_{0}^{1} x^2 dx = \left[\frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{1} = \frac{1}{3}\)2. \(\int_{1}^{2} \frac{1}{x} dx = [\ln x]_{1}^{2} = \ln 2 -\ln 1 = \ln 2\)3. \(\int_{-2}^{2} x dx = \left[\frac{1}{2}x^2\right]_{-2}^{2} = 2 - (-2) = 4\)4. \(\int_{0}^{\pi/2} \sin x dx = [-\cos x]_{0}^{\pi/2} = -\cos(\pi/2) + \cos(0) = 1\)5. \(\int_{0}^{1} e^x dx = [e^x]_{0}^{1} = e - 1\)6. \(\int_{-1}^{1} \cos x dx = [\sin x]_{-1}^{1} = \sin(1) -\sin(-1) = 2\sin(1)\)7. \(\int_{0}^{1} \ln x dx = \left[x\ln x - x\right]_{0}^{1}= (1\ln 1 - 1) - (0\ln 0 - 0) = -1\)8. \(\int_{0}^{\pi} \tan x dx\) 此积分发散，因为 \(\tan x\)在 \(x = \frac{\pi}{2}\) 处无界。

图3 定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续曲线()(()0),y f x f x x a x b =≥==及及x 轴所围成的平面图形面积为()baA f x dx =⎰②设平面图形由上下两条曲线y f 上(x )及y f 下(x )及左右两条直线x a 及x b 所围成 则面积元素为[f 上(x ) f 下(x )]dx 于是平面图形的面积为： dxx f x f S b a ⎰-=)]()([下上③连续曲线()(()0),x y y c y d φφ=≥==及y 及y 轴所围成的平面图形面积为()dc A y dy φ=⎰④由方程1()x y φ=及2()x y φ=以及,y c y d ==所围成的平面图形面积为12[()()]d c A y y dy φφ=-⎰ 12()φφ>例１ 计算两条抛物线2x y =及2y x =所围成的面积．解 求解面积问题，一般需要先画一草图（图3），我们要求的是阴影部分的面积．需要先找出交点坐标以便确定积分限，为此解方程组：⎩⎨⎧==22y x x y得交点(0,0)和(1,1)．选取x 为积分变量，则积分区间为]1,0[，根据公式(1) ，所求的面积为一般地，求解面积问题的步骤为：(1) 作草图，求曲线的交点，确定积分变量和积分限．(2) 写出积分公式． (3) 计算定积分． 例2 计算抛物线y22x 及直线y x 4所围成的图形的面积解 (1)画图(2)确定在y 轴上的投影区间: [2 4](3)确定左右曲线4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ(4)计算积分例3 求在区间[21,2 ]上连续曲线 y=ln x ,x 轴及二直线 x =21,及x = 2所围成平面区域（如图2）的面积 。

解：已知在[21,2 ]上，ln x ≤ 0 ; 在区间[ 1 , 2 ]上，ln x ≥0 ,则此区域的面积为： A = dx x ⎰221ln = dx x ⎰-221ln + dx x ⎰21ln例4 求抛物线 y 2=x 及x-2y-3=0所围成的平面图形（图 3）的面积 A 。

定积分求面积专升本练习题### 定积分求面积专升本练习题#### 练习题一：计算曲线下的面积设函数 \( f(x) = 2x - x^2 \)，求该函数在区间 \([0, 2]\) 上的面积。

解题步骤：1. 确定积分区间：\([0, 2]\)。

2. 写出积分表达式：\(\int_{0}^{2} (2x - x^2) dx\)。

3. 计算积分：\(\int (2x - x^2) dx = x^2 - \frac{1}{3}x^3 +C\)。

4. 代入积分区间的上下限：\(\left[ x^2 - \frac{1}{3}x^3\right]_{0}^{2} = (4 - \frac{8}{3}) - (0 - 0) = \frac{4}{3}\)。

5. 得出结果：面积为 \(\frac{4}{3}\) 平方单位。

#### 练习题二：计算曲线与x轴围成的面积设函数 \( g(x) = x^3 - 3x^2 + 2 \)，求该函数在区间 \([0, 3]\) 上与x轴围成的面积。

解题步骤：1. 确定积分区间：\([0, 3]\)。

2. 写出积分表达式：\(\int_{0}^{3} (x^3 - 3x^2 + 2) dx\)。

3. 计算积分：\(\int (x^3 - 3x^2 + 2) dx = \frac{1}{4}x^4 -x^3 + 2x + C\)。

4. 代入积分区间的上下限：\(\left[ \frac{1}{4}x^4 - x^3 + 2x\right]_{0}^{3} = (20.25 - 27 + 6) - (0 - 0 + 0) = 1.25\)。

5. 得出结果：面积为 \(1.25\) 平方单位。

#### 练习题三：计算曲线与y轴围成的面积设函数 \( h(x) = \sqrt{4 - x^2} \)，求该函数在区间 \([-2, 2]\) 上与y轴围成的面积。

解题步骤：1. 确定积分区间：\([-2, 2]\)。

定积分在物理中的应用（时间：25分，满分50分）班级 姓名 得分1. 一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 3x ＋x(单位：N)的作用下沿与F (x )相同的方向，从x ＝0处运动到x ＝4(单位：m)处，则力F (x )做的功为( ) A ．44 J B ．46 J C ．48 J D ．50 J【答案】 B2．做直线运动的质点在任意位置x 处，所受的力F (x )＝1＋e x，则质点沿着与F (x )相同的方向，从点x 1＝0处运动到点x 2＝1处，力F (x )所做的功是( ) A ．1＋e B ．e C.1e D ．e －1【答案】 B【解析】 W ＝ʃ10F (x )d x ＝ʃ10(1＋e x )d x ＝(x ＋e x )|10＝(1＋e)－1＝e.3.以初速40 m/s 竖直向上抛一物体，t s 时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度 为( )． A.1603 m B.803 m C.403 m D.203m 【答案】 A【解析】 由v ＝40－10t 2＝0⇒t 2＝4，t ＝2. ∴h ＝⎰2(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 3⎪⎪⎪20＝80－803＝1603(m)．4．一物体在力F (x )＝3x 2－2x ＋5(力单位：N ，位移单位：m)作用力下，沿与力F (x )相同的方向由x ＝5 m 直线运动到x ＝10 m 处做的功是( )． A ．925 J B ．850 J C ．825 J D ．800 J 【答案】 C 【解析】 W ＝⎰105F (x )d x ＝⎰105(3x 2－2x ＋5)d x ＝(x 3－x 2＋5x )⎪⎪⎪105＝(1 000－100＋50)－(125－25＋25)＝825(J)．5．一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度v (t )＝7－3t ＋251t+(t 的单位：s ，v 的单位：m/s)行驶至停止．在此期间汽车继续行驶的距离(单位：m)是 ( ) A ．1＋25ln 5 B ．8＋25ln 113C ．4＋25ln 5D ．4＋50ln 2 【答案】C6．变速直线运动的物体的速度v (t )＝5－t 2，前2 s 所走过的路程为________． A.1603 B.223 C.403 D.203【答案】 B【解析】 设前2 s 所走过的路程为x (2)，∴x (2)＝⎰2v (t )d t ＝⎰2(5－t 2)d t ，∴x (2)＝⎝⎛⎭⎪⎫5t －13t 3⎪⎪⎪20＝223. 7．若1 N 的力能使弹簧伸长2 cm ，则使弹簧伸长12 cm 时克服弹力所做的功为________． 【答案】 0.36 J【解析】 弹簧的伸长与所受到的拉力成正比，设F ＝kx ，求得k ＝50，∴F (x )＝50x . ∴W ＝ʃ0.12050x d x ＝25x 2|0.12＝0.36 (J)． 8．质点直线运动瞬时速度的变化律为v (t )＝－3sin t ，则t 1＝3至t 2＝5时间内的位移是________．(精确到 0.01)【答案】 3.82 m 【解析】 s ＝⎰53v (t )d t ＝⎰53(－3sin t )d t ＝3cos t ⎪⎪⎪53＝3(cos 5－cos 3)≈3.82 m.9．一质点做直线运动，其瞬时加速度的变化规律为()2cos a t A t ω=-，在t =0时，v (0)=0，s (0)=A ，其中A 、ω为常数，求质点的位移方程.【解析】()()2()0(cos )t ta t dt A t dt v t v ω==--⎰⎰，∴()220|sin sin t v t A t A t ωω=-=-.∴()()2()0(sin )ttv t dt A t dt s t s ω==--⎰⎰，∴()22cos s t A A t A ωω-=-.∴()22cos s t A A t A ωω=+-.∴质点的位移方程为()22cos s t A A t A ωω=+-，t ∈［0，+∞).10．有一动点P 沿x 轴运动，在时间t 时的速度为v (t )＝8t －2t 2(速度的正方向与x 轴正方向一致)．求 (1)P 从原点出发，当t ＝6时，求点P 离开原点的路程和位移； (2)P 从原点出发，经过时间t 后又返回原点时的t 值．s 1＝ʃ40(8t －2t 2)d t －ʃ64(8t －2t 2)d t＝(4t 2－23t 3)|40－(4t 2－23t 3)|64＝1283.当t ＝6时，点P 的位移为ʃ60(8t －2t 2)d t ＝(4t 2－23t 3)|60＝0.(2)依题意知ʃt0(8t －2t 2)d t ＝0， 即4t 2－23t 3＝0，解得t ＝0或t ＝6，t ＝0对应于P 点刚开始从原点出发的情况，t ＝6是所求的值．所以，t ＝6.。