数学分析(2)：定积分计算与应用

摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法 (1)2.2 分段积分法 (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：1122()()f x k g x k g x ()+，若右端的积分会求，则应用法则1122()()b b baaaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+,其中1k ，2k 是不全为零的任意常数，就可求出积分()baf x dx ⎰，这就是分项积分法.例2-1[1]计算定积分414221(1)dxx x π+⎰.解 利用加减一项进行拆项得414221(1)dx x x π+⎰=2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰=41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dx x x π+-+⎰ =41421dx x π⎰-41221dx x π⎰+412211dx x π+⎰=-313x 412π+4121xπ+arctan x412π.=364415arctan 323ππ-+-+. 例2-2计算定积分21⎰.解 记J=21⎰=1⎰=3221x dx ⎰+21⎰再将第二项拆开得 J=3221x dx ⎰+3221(1)x dx -⎰+1221(1)x dx -⎰=522125x +52212(1)5x -+32212(1)3x -=52225+23. 2.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰.解 由于1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为偶函数，在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的分界点为3π，所以221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰=221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰+2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰ =0+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰=23π+.例2-4 计算定积分2(1)f x dx -⎰，其中1,011,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩.解 由于函数()f x 的分界点为0，所以，令1t x =-后，有2(1)f x dx -⎰=11()f t dt -⎰=0111x dx e -+⎰+1011dx x +⎰ =011x xe dx e ---+⎰+10ln(1)x +=01ln(1)xe ---++ln 2=ln(1)e +.2.3 换元积分法（变量替换法） 换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”） 例2-5[3]计算定积分21sin tan dxx xπ+⎰.解21sin tan dxx x π+⎰=21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰=22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰ =2211tan 2tan 22tan2xx d x π-⎰ =2111(tan )tan 222tan 2x x d x π-⎰ =2221111ln tan tan 2242x xππ-=21111ln tan tan 2424-+-.例2-6计算定积分241x dx x-+.解241x dx x -+=222111x dx xx -+=02211()1d x x x x -++=0211()1()2d x x x x-++-= 0011()()11()()d x d x x x x x x x ⎡⎤++⎢⎥-⎢⎢+-++⎣=15.2.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换． 下面具体介绍这些方法． ① 三角替换例2-7[4] 计算定积分31240(1)x x dx -⎰.解 由于31240(1)x x dx -⎰=3124201(1)2x dx -⎰，故可令2sin x t =，于是 31240(1)x x dx -⎰=arcsin1401cos 2tdt ⎰=2arcsin101(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 4)2t dt + =arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t +2arcsin10sin sin ))t -=224101(3arcsin 4(1216x x x x +-=2101(3arcsin 5216x x x +=3arcsin116.②幂函数替换例2-8 计算定积分220sin sin cos xdx x xπ+⎰. 解 作变量代换2x t π=-，得到220sin sin cos x dx x xπ+⎰=220cos sin cos t dt t t π+⎰，因此220sin sin cos x dx x x π+⎰=2222001sin cos ()2sin cos sin cos x t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰= 20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰= 3441cos )sin x x ππ-. ③倒替换例2-9计算定积分1解11令1t x=得1=11-=1arcsin-=6π. 2.4 分部积分法定理 3-1[5]若()x μ'，()x ν'在[],a b 上连续，则bb b a aauv dx uv u vdx ''=-⎰⎰或b bba aaudv uv vdu =-⎰⎰.利用分部积分求()baf x dx ⎰的解题方法（1）首先要将它写成b audv ⎰()bauv dx '⎰或得形式．选择,u v ，使用分布积分法的常见题型： 表一（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出． （3）用分部积分法有时可导出()ba f x dx ⎰的方程，然后解出．（4）有时用分部积分法可导出递推公式． 例2-10[6]计算定积分2220sin x xdx π⎰.解 于21sin (1cos 2)2x x =-，所以2220sin x xdx π⎰=2201(1cos 2)2x x dx π-⎰=322211sin 264x x d x ππ-⎰ 连续使用分部积分得222sin x xdx π⎰=3222111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰ =3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰ =32201111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=3488ππ+.例2-11[7]计算定积分220sin x x e xdx π⎰．解 因为20sin x e xdx π⎰=20sin xxde π⎰=2sin xe xπ-20cos x xde π⎰=20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰ 所以2sin xe xdx π⎰=1220(sin cos )xe x x π- =21(1)2e π+ 于是 20cos x e xdx π⎰=cos xe x20π+20sin x e xdx π⎰=201(sin cos )2x e x x π+=21(1)2e π- 从而220s i n xx e x d x π⎰=2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dx π--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰ 201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdx π-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=2221(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=221(1)242e ππ-+. 例2-12[8]计算定积分0sin n x x dx π⎰，其中n 为正整数．解(21)2s i n k k x x d x ππ+⎰=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰作变量替换2t x k π=-得(21)2sin k k x xdx ππ+⎰=0(2)sin t k tdt ππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdt πππ+⎰⎰=0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰=(41)k π+(22)(21)sin k k x xdx ππ++⎰=(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰作变量替换2t x k π=-得(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰=2(2)sin t k tdt πππ-+⎰=-22sin 2sin t tdt k tdt πππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+ 当n 为偶数时，sin n x x dx π⎰=12(21)(22)2(21)0(sin sin )nk k k k k x xdx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π 当n 为奇数时，sin n x x dx π⎰=32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x xdx x xdx x x dx ππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑ =324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=2n π.2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4]形如(,)p q B =1110(1)p q x x dx ---⎰的含参变量积分称为Beta 函数，或第一类Euler 积分。

数学分析（⼆）预习——2、定积分（2）：可积性问题2、定积分（2）：可积性问题 上⼀篇中我们介绍了定积分的黎曼和定义，然后介绍了⽜顿-莱布尼茨公式，这是求定积分的最简单⽅法。

不过我们还没有解决“可积性问题”，即什么样的函数是可积的。

这是⼀个⽐较理论的问题，⽽且有些繁琐，甚⾄可能超出我们⽬前的知识范围，因此只是介绍，但当然，它是我们研究定积分的必须解决的基本问题。

只有明⽩了什么函数可积，才能放⼼地使⽤定积分。

这要求我们去寻找函数在闭区间上可积的充要判则。

为了找到这些充要条件，还需要⼀些准备。

⾸先我们有这样⼀个必要条件：闭区间上可积的必要条件：若f∈R[a,b]，则f在[a,b]上有界。

定理的证明可以不应⽤反证法，但反证法⽐较容易理解：假设f在[a,b]上⽆界，则对任意分割：Δ:a=x0<x1<...<x n=b，⾄少存在1≤i0≤n，使得f在[x i−1,x i0]上⽆界。

对于Δ的任意黎曼和，我们取定除[x i0−1,x i0]外的其余区间上的介点，记S1=∑ni=1,i≠i0f(ξi)Δx i。

对于任意的M>0，由于f在[x i0−1,x i0]上⽆界，则可以取到ξi0，使得|f(ξi0)|>M+|S1|Δx i0，从⽽知道这个黎曼和S>M。

这就证明了f不可积，因⽽与条件⽭盾，从⽽证明了可积的必要条件。

有了这个必要条件，我们下⾯便不讨论⽆界的函数。

为了得到可积的充分必要条件，有⼏种不同的理论，下⾯我们介绍⽬前可以充分地证明的达布理论。

准备：若⼲规定 上⼀篇介绍了分割、黎曼和等定义，达布理论引⽤了更多的定义。

因此在介绍达布理论之前，我们再来规定⼀下各种记号：1、闭区间[a,b]上的分割Δ是这样⼀些点：Δ:a=x0<x1<...<x n=b，其中集合{x i:i=0,1,...,n}称为分点集。

记Δx i:=x i−x i−1,i=1,2,...,n。

定积分的应用教案第一章：定积分的概念1.1 引入定积分的概念解释定积分的定义：定积分是函数在区间上的积累效果，表示为∫ab f(x)dx。

强调定积分表示的是函数在区间上的面积或长度。

1.2 定积分的性质介绍定积分的性质：线性性质、保号性、可积函数的有界性等。

通过示例说明定积分的性质在实际问题中的应用。

第二章：定积分的计算方法2.1 牛顿-莱布尼茨公式介绍牛顿-莱布尼茨公式：如果F(x) 是函数f(x) 的一个原函数，∫ab f(x)dx = F(b) F(a)。

解释原函数的概念：原函数是导函数的不定积分。

2.2 定积分的换元法介绍换元法的步骤：选择适当的代换变量，求导数，计算新积分。

通过具体例子演示换元法的应用。

第三章：定积分在几何中的应用3.1 平面区域的面积解释平面区域面积的概念：平面区域内所有点的坐标的绝对值的平均值。

利用定积分计算平面区域的面积，示例包括矩形、三角形、圆形等。

3.2 曲线围成的面积介绍利用定积分计算曲线围成的面积的方法：选择适当的上下限，计算定积分。

通过具体例子演示计算曲线围成的面积。

第四章：定积分在物理中的应用4.1 定积分与力的累积解释力的累积概念：力在一段时间内的积累效果。

利用定积分计算力的累积，示例包括恒力作用下的位移、变力作用下的位移等。

4.2 定积分与功的计算介绍利用定积分计算功的方法：计算力与位移的乘积的定积分。

通过具体例子演示计算功的应用。

第五章：定积分在经济学中的应用5.1 定积分与总成本解释总成本的概念：企业在生产一定数量产品所需的成本。

利用定积分计算总成本，示例包括固定成本和变动成本的情况。

5.2 定积分与总收益介绍利用定积分计算总收益的方法：计算产品的售价与销售数量的乘积的定积分。

通过具体例子演示计算总收益的应用。

第六章：定积分在概率论中的应用6.1 定积分与概率密度解释概率密度的概念：随机变量在某个区间内的概率。

利用定积分计算概率密度，示例包括均匀分布、正态分布等。

摘要定积分是数学分析中的一个基本问题，而计算定积分是最基本最重要的问题.它在许多实际问题有着广泛的应用.下面针对定积分的计算方法做一个比较详细的总结，常见的包括分项积分、分段积分法、换元积分法、分部积分法.但对于不能直接找出原函数的定积分，或者被积函数比较复杂时，往往是比较难求出原函数的，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，本文总结用欧拉积分求解定积分、留数在定积分上的运用、巧用二重积分求解定积分、反函数求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用，并列举相应的例子进行说明.关键词: 定积分; 被积函数; 原函数; 牛顿-莱布尼兹公式目录1 引言2 定计算的计算方法2.1 分项积分法······························ (1)2.2 分段积分法······························ (2)2.3 换元积分法 (3)2.4 分部积分法 (5)2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用 (9)2.6 留数在定积分计算上的应用 (10)2.7 巧用二重积分求解定积分 (10)2.8 反函数法求解定积分 (10)2.9 带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用 (11)3 总结 (12)浅谈定积分的计算1.引言定积分的计算是微积分学的重要内容，其应用十分广泛，它是包括数学及其其他学科的基础.本文归纳总结了常见的定积分计算方法(如[1-4])，其中包括分项积分法、分段积分法、换元积分法以及分部积分法.另外对于找不出原函数的定积分，或者被积函数十分复杂时，往往是很难求出其原函数，从而无法用牛顿-莱布尼兹公式求解.针对这样的情形，我们有必要在此基础上研究出新的计算方法.对此本文总结了一些另外的方法(如[5-9])，其中包括欧拉积分求解定积分、运用留数计算定积分、巧用二重积分求解定积分、反函数法求解定积分以及带积分型余项的泰勒公式在定积分上的应用,进行了一一列举，并通过例子加以说明.2.定积分的计算方法2.1 分项积分法我们常把一个复杂的函数分解成几个简单的函数之和：，若右端的积分会求，则应用法则1122()()f x k g x k g x =()+,其中，是不全为零的任意常数，就可求1122()()bbba aaf x dx kg x dx k g x dx =⎰⎰⎰()+1k 2k 出积分，这就是分项积分法.()baf x dx ⎰例2-1[1] 计算定积分. 414221(1)dx x x π+⎰解 利用加减一项进行拆项得==414221(1)dx x x π+⎰2241422(1)(1)x x dx x x π+-+⎰41421dx x π⎰-2241222(1)(1)x x dxx x π+-+⎰=+=++.41421dx xπ⎰-41221dx x π⎰412211dx x π+⎰-313x 412π4121xπarctan x412π=.364415arctan 323ππ-+-+例2-2 计算定积分.1⎰解 记J ==1⎰1⎰=+3221x dx ⎰21⎰再将第二项拆开得J=++=++3221x dx ⎰3221(1)x dx -⎰1221(1)x dx -⎰522125x 52212(1)5x -32212(1)3x -=+.52225232.2 分段积分法分段函数的定积分要分段进行计算，这里重要的是搞清楚积分限与分段函数的分界点之间的位置关系，以便对定积分进行正确的分段.被积函数中含有绝对值时，也可以看成分段函数，这是因为正数与负数的绝对值是以不同的方式定义的，0就是其分界点.例2-3[2]计算定积分.221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰解 由于为偶函数，在上的分界点为，所以1min ,cos 2x ⎧⎫⎨⎬⎩⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦3π=+221(1)min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫+⎨⎬⎩⎭⎰221min ,cos 2x x dx ππ-⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰2012min ,cos 2x dx π⎧⎫⎨⎬⎩⎭⎰==.+320312(cos )2dx xdx πππ+⎰⎰23π+例2-4 计算定积分，其中.20(1)f x dx -⎰111,01()xx x x e f x ≥+<+⎧⎪=⎨⎪⎩解 由于函数的分界点为，所以，令后，有()f x 01t x =-==+20(1)f x dx -⎰11()f t dt -⎰0111x dx e -+⎰1011dx x +⎰=+=+011xx e dx e---+⎰10ln(1)x +01ln(1)x e ---+ln 2=.ln(1)e +2.3 换元积分法（变量替换法）换元积分法可以分为两种类型：2.3.1 第一类换元积分法（也被俗称为“凑微分法”）例2-5[3] 计算定积分.21sin tan dxx xπ+⎰解==21sin tan dxx x π+⎰21cos sin (1cos )xdx x x π+⎰22213cos sin 224sin cos 22x x dx x x π-⎰= =2211tan 2tan 22tan 2xx d x π-⎰2111(tan tan 222tan2x xd x π-⎰=2221111ln tan tan 2242x x ππ-=.21111ln tan tan 2424-+-例2-6 计算定积分.解==1()x x -+=1()x x -+= ⎡-⎣=.152.3.2 第二换元积分法常用的变量替换有：①三角替换；②幂函数替换；③指数函数替换④倒替换．下面具体介绍这些方法．① 三角替换例2-7[4] 计算定积分.31240(1)x x dx -⎰解 由于=，故可令，于是31240(1)x x dx -⎰3124201(1)2x dx -⎰2sin x t ===31240(1)x x dx -⎰arcsin1401cos 2tdt ⎰2arcsin11(1cos 2)8t dt +⎰=arcsin101(12cos 28t ++⎰1cos 42t dt +=arcsin1011(32sin 2sin 4)164t t t ++=1(34sin 16t ++2arcsin10sin sin ))t -=2241(3arcsin 4(1216x x x x ++-=.21(3arcsin 5216x x x +-3arcsin116②幂函数替换例2-8 计算定积分.220sin sin cos xdx x xπ+⎰解 作变量代换，得到2x t π=-=，因此220sin sin cos x dx x xπ+⎰220cos sin cos t dt t t π+⎰==220sin sin cos x dx x x π+⎰2222001sin cos ()2sin cos sin cosx t dx dt x x t t ππ+++⎰⎰=20112sin cos dx x x π+⎰201sin()4dx x ππ+⎰3441sin dx x ππ⎰.3441cos )sin x x ππ-+③倒替换例2-9 计算定积分.解=令得1t x====.1-1-6π2.4 分部积分法定理 3-1[5]若，在上连续，则()x μ'()x ν'[],a b 或.bb b a aa uv dx uv u vdx ''=-⎰⎰bbba a a udv uv vdu =-⎰⎰利用分部积分求的解题方法()ba f x dx ⎰（1）首先要将它写成得形式．ba udv ⎰()ba uv dx '⎰或选择，使用分布积分法的常见题型：,u v 表一被积函数的形式所用方法，，()x n P x e α()sin n P x x α()cos n P x xα，其中为次多项式，为常数()n P x n α进行次分部积分，每次均取，n x e α，为，多项式部分sin x αcos x α()v x '为()u x ,，()n P x ln x ()n P x arcsin x α即多项式与对数函数或()n P x arctan x 取为，，，()n P x ()v x 'ln x arcsin x α等为．分部积分一次后被arctan x ()u x反三角函数的乘机积函数的形式发生变化，x e αsin x βx e αcos xβ取=（或），，x e α()v x '()u x sin x β为（或），进行两次分cos x β()u x ()v x '部积分（2）多次应用分部积分法，每分部积分一次得以简化，直至最后求出．（3）用分部积分法有时可导出的方程，然后解出．()ba f x dx ⎰（4）有时用分部积分法可导出递推公式．例2-10[6]计算定积分.2220sin x xdx π⎰解 于，所以21sin (1cos 2)2x x =-==222sin x xdx π⎰2201(1cos 2)2x x dx π-⎰322211sin 264x x d x ππ-⎰连续使用分部积分得=222sin x xdx π⎰32220111(sin 2)sin 2642x x x x xdx ππ-+⎰=3222111(sin 2)cos 2644x x x xd x ππ--⎰=3221111(sin 2cos 2sin 2)6448x x x x x x π--+=.3488ππ+例2-11[7]计算定积分．220sin x x e xdx π⎰解 因为==20sin xe xdx π⎰20sin xxde π⎰20sin xe xπ-20cos xxde π⎰= 所以20(sin cos )xe x x π-20sin x e xdx π-⎰= = 于是2sin xe xdx π⎰1220(sin cos )xe x x π-21(1)2e π+=+20cos xe xdx π⎰cos xe x20π20sin x e xdxπ⎰==201(sin cos )2x e x x π+21(1)2e π-从而=220sin xx e xdx π⎰2201(sin cos )2x x d e x x π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦⎰ =2201(sin cos )2x x e x x π-20(sin cos )x xe x x dxπ--⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤--⎢⎥⎣⎦⎰201(sin cos )2x xd e x x π⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-21(sin cos )2x xe x x π--201(sin cos )2x e x x dx π+-⎰201(sin cos )2x xe x x π++201(sin cos )2x e x x dx π-+⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+20cos x e xdxπ-⎰=2201(sin cos )2x x e x x π-20cos xxe xπ+-201(sin cos )2x e x x π+=22201(1)sin (1)cos 2x e x x x x π⎡⎤---⎣⎦=.221(1)242e ππ-+例2-12[8] 计算定积分，其中为正整数．sin n x x dx π⎰n 解=(21)2sin k k x x dx ππ+⎰(21)2sin k k x xdxππ+⎰作变量替换得2t x k π=-=(21)2sin k k x xdx ππ+⎰(2)sin t k tdtππ+⎰=0sin 2sin t tdt k tdtπππ+⎰⎰==0cos cos 2cos t ttdt k tππππ-+-⎰(41)k π+=(22)(21)sin k k x x dx ππ++⎰(22)(21)sin k k x xdxππ++-⎰作变量替换得2t x k π=-==-(22)(21)sin k k x xdx ππ++-⎰2(2)sin t k tdt πππ-+⎰22sin 2sin t tdt k tdtπππππ--⎰⎰=222cos cos 2cos t tdttdt k tπππππππ-+⎰=(43)k π+当为偶数时，n =0sin n x x dx π⎰12(21)(22)2(21)0(sin sin )n k k k k k x x dx x xdx ππππ-+++=+∑⎰⎰=[]12(41)(43)n k k k ππ-=+++∑=(1)224222n n n π⎡⎤-⎢⎥=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦2n π当为奇数时，n =0sin n x x dx π⎰32(21)(22)2(21)(1)0(sin sin )sin n k k n k k n k x x dx x x dx x x dxππππππ-+++-=++∑⎰⎰⎰=[]321(41)(43)(41)2n k n k k πππ-=-++++⋅+∑=324(21)(21)n k k n ππ-=++-∑=31()()12242(21)22n n n n ππ--⎡⎤⋅⎢⎥-⋅++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=.2nπ2.5 欧拉积分在定积分计算中的应用定义 2-1[4] 形如=的含参变量积分称为函数，或(,)p q B 1110(1)p q x x dx ---⎰Beta 第一类积分。