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第一节 定积分及其计算
Microsoft Office PowerPoint，是微软
公司的演示文稿软件。用户可以在投影仪或
者计算机上进行演示，也可以将演示文稿打
印出来，制作成胶片，以便应用到更广泛的
领域中。利用Microsoft Office PowerPoint不
仅可以创建演示文稿，还可以在互联网上召
则称函数 f(x) 在[a, b] 上可积, 并称这个极限为函数
f(x) 在区间[a,b]上的定积分，记作 b f ( x)dx , 即 a
b
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
a
f ( x)dx lim 0 i1
f (i )xi
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第五章 定积分及其应用
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
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exit
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
性质8 (对称区间上奇偶函数的积分性质) 设f(x)在对称
区间[-a, a]上连续，
①如果f(x)为奇函数，则
性质5 (积分的保序性) : 如果在区间[a,b]上, 恒有
f(x)g(x) , 则
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
例2 比较定积分 1 x2dx 与 1 x3dx 的大小 .
0
0
因为在区间 [0, 1] 上, 有 x2 x3
由定积分保序性质得 1 x2dx 1 x3dx
0
0
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第五章 定积分及其应用
一.积分的概念与性质
(一)定积分问题举例
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线
以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
第一节 定积分及其计算
y f (x)
A?
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式
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
1. 闭区间上的连续函数是可积的; 闭区间上只有有 限个间断点的有界函数也是可积的．
2. 定积分是一个确定的常数，它取决于被积函数f(x)
和积分区间[a,b]，而与积分变量使用的字母的选取
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
例1 利用定积分的几何意义, 证明 1 1 x2 dx
1
2
令 y 1 x2 , x [1,1] ，显然 y 0
则由 y 1 x2 和直线x=-1,x=1,y=0所围成的曲边
梯形是单位圆位于x轴上方的半圆. 因为单位圆的面积，所以半圆 的面积为/2 .
xi1 xi
i
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度
在 [T1 , T2 ]
上连续,
求在运动时间 [T1 , T2 ] 内物体所经过
的路程 s .
解决步骤:
1) 分割 2) 取近似 3) 求和 4) 取极限
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“分割 , 近似 , 求和 , 取极限 ” • 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限
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第五章 定积分及其应用
(二) 定积分的概念
第一节 定积分及其计算
定义5.1.1 设函数 f(x)在区间[a,b]上有定义, 分割:
不论a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
性质4 如果被积函数 f(x)=C ( C为常数 )，则
b
a cdx c(b a)
特别地 , 当c=1时，有
b
dx b a
a
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
第五章 定积分及其应用
(四) 定积分的性质
第一节 定积分及其计算
性质1
b
b
kf ( x)dx k f ( x)dx
a
a
性质2
b f ( x) g( x)dx
b
f ( x)dx
b
g( x)dx
a
a
a
此性质可推广到有限多个函数之和的情况
b
a [ f1( x) L fn( x)]dx
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
性质6 (积分估值定理) 如果函数 f(x)在区间 [a,b]上有
最大值 M 和最小值 m , 则
b
m(b a) a f ( x)dx M(b a)
y
y=f (x)
i
n
A lim 0 i1
f (i )x
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
解决步骤 : 1) 分割 在区间 [a , b] 中任意插入 n –1 个分点
a x0 x1 x2 xn1 xn b 用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形;
无关，即有
b
f ( x)dx
b
f (t)dt.
a
a
3. 在定积分的定义中, 有a<b , 为了今后计算方便，
我们规定:
a
b
a
b f ( x)dx a f ( x)dx a f ( x)dx 0
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第五章 定积分及其应用
a
f ( x)dx 0
;
a
②如果f(x)为偶函数，则 a f ( x)dx 2 a f ( x)dx .
a
0
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第五章 定积分及其应用
例如
(1)
2
sin5
第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
2. 变速直线运动的路程
设某物体作直线运动, 已知速度
在 [T1 , T2 ]
上连续,
求在运动时间 [T1 , T2 ] 内物体所经过
的路程 s .
解决步骤:
1) 分割
将它分成
n 个小段
在每个小段上物体经
过的路程为
2) 近似
得
si v(i )ti (i 1, 2, , n)
第五章 定积分及其应用
n
n
3) 求和 A Ai f (i )xi
i1
i1
第一节 定积分及其计算
4) 取极限 令
则曲边梯形面积
n
y
A
lim
0
i1
Ai
n
lim
0
i1
f
(i
)xi
o
a
x1
n
A lim 0 i1
f (i )x
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b
b
a f1( x)dx L a fn( x)dx
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第五章 定积分及其应用
第一节 定积分及其计算
性质3 (积分区间的可加性): 对任意的点c，有
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
观察下列演示过程, 注意当分割加细时, 矩形面 积和与曲边梯形面积的关系.
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播幻灯片 75放
第五章 定积分及其应用
解决步骤: 1) 分割 2) 取近似
y
第一节 定积分及其计算
3) 求和 4) 取极限
o a x1 xi1 xi
第一节 定积分及其计算
(三) 定积分的几何意义
b f ( x)dx : 介于曲线f(x) , x轴及两条直线x=a,x=b之 a
间的各部分面积的代数和
设A为曲边梯形面积, 则
b
a f ( x)d x A1 A2 A3 A4 A5 各部分面积的代数和
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任取分点 a x0 x1 x2 xn1 xn b 把区间
[a,b] 分割成 n个小区间 [xi-1, xi] , 第i个小区间的长度
为 xi
xi xi1(i 1, , n)
，记
max 1 i n
xi
．，
近似: 在每个小区间[xi-1, xi]上任取一点 i (i=1, 2 … n)
M
M (ba)
m b a f (x) dx
m(ba) Oa
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bx
第五章 定积分及其应用
例3 估计定积分 1 e x2 dx 的值 . 1
