高数 定积分的应用

第六章定积分的应用

教学目的

1、理解元素法的基本思想；

2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、

旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。

3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均

值等）。

教学重点：

1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面

面积为已知的立体体积。

2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。

教学难点：

1、截面面积为已知的立体体积。

2、引力。

§6.1 定积分的元素法

回忆曲边梯形的面积:

设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分,

⎰=b a

dx x

f

A)

(

是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数

⎰=x a

dt t

f

x

A)(

)

(

就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值∆A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素.

以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以

[a , b ]为积分区间的定积分:

⎰=b

a dx x f A )( .

一般情况下, 为求某一量U , 先将此量分布在某一区间[a , b ]上, 分布在[a , x ]上的量用函数U (x )表示, 再求这一量的元素dU (x ), 设dU (x )=u (x )dx , 然后以u (x )dx 为被积表达式, 以[a , b ]为积分区间求定积分即得

⎰=b

a dx x f U )(.

用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).

§6. 2 定积分在几何上的应用

一、平面图形的面积 1．直角坐标情形

设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为 dx x f x f S b

a ⎰-=)]()([下上.

类似地, 由左右两条曲线x =ϕ左(y )与x =ϕ右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为

⎰-=d c dy y y S )]()([左右ϕϕ.

例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.

解 (1)画图.

(2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1]. (3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上. (4)计算积分

3

1]3132[)(10323

102=-=-=⎰x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积. 解 (1)画图.

(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4]. (3)确定左右曲线: 4)( ,2

1)(2+==y y y y 右左ϕϕ.

(4)计算积分

⎰--+=4

22)214(dy y y S 18]61421[42

32=-+=-y y y .

例3 求椭圆12

2

22

=+

b y a

x 所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以

⎰=a

ydx S 04.

椭圆的参数方程为: x =a cos t , y =b sin t ,

于是 ⎰=a ydx S 04⎰=0

2

)cos (sin 4πt a td b

⎰-=0

22

sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2π

dt t ab ππab ab =⋅=2

2.

2．极坐标情形

曲边扇形及曲边扇形的面积元素:

由曲线ρ=ϕ(θ)及射线θ =α, θ =β围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素

为

θθϕd dS 2)]([2

1=.

曲边扇形的面积为

⎰=β

αθθϕd S 2)]([2

1.

例4. 计算阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)上相应于θ从0变到2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.

解: ⎰=π

θθ202)(2

1d a S 32203234]31[21πθπa a ==.

例5. 计算心形线ρ=a (1+cos θ ) (a >0) 所围成的图形的面积.

解: ⎰+=πθθ02]cos 1([2

12d a S ⎰++=π

θθθ02)2cos 21cos 221(d a

πθθθπ2

022

3]2sin 4

1sin 22

3[a a =++=.

二、体 积 1．旋转体的体积

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴.

常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体.

旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.

设过区间[a , b ]内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ), 当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为∆V =π[f (x )]2dx , 于是体积元素为 dV = π[f (x )]2dx , 旋转体的体积为

dx x f V b

a 2)]([π⎰=.

例1 连接坐标原点O 及点P (h , r )的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角