系统镇定受控系统通过状态反馈

第2章 状态反馈极点配置设计基本理论2.1引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。

反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。

其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。

状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。

图2.1是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图2.1 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+= (2.1)由图2.1可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+ (2.2)其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++= (2.3)闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦ (2.4)由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。

2.2极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。

（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。

（3） 矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ= (2.5a)FX G = (2.5b)（4） 特征向量法—先找到特征向量x j （等式(2.5)中矩阵X 的列向量），然后利用等式(2.5b)求解F 。

方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。

方法（3）需要解(2.5a)方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。

最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。

其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。

对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。

状态反馈极点配置基本理论与方法IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】第2章 状态反馈极点配置设计基本理论引言大多数的控制系统的基本结构是由被控对象和反馈控制器构成的闭环系统。

反馈的基本类型包括状态反馈和输出反馈。

其中状态反馈能够提供更加丰富的状态信息。

状态反馈是将系统的每一个状态变量乘相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成的控制规律，作为被控系统的控制输入。

图是一个多输入多输出线性时不变系统状态反馈的基本结构：图 多输入-多输出系统的状态反馈结构图其中受控系统的状态空间表达式为：x Ax Buy Cx=+=由图可知，加入状态反馈后，受控系统的输入为：u Fx v =+其中v 为参考输入，F 为状态反馈增益阵，因此可以得到状态反馈闭环系统的状态空间表达式：()x A BF x Bv y Cx=++=闭环系统的传递函数矩阵：()()1s W s C sI A BF B -=-+⎡⎤⎣⎦由此可见，引入状态反馈后，通过F 的选择，可以改变闭环系统的特征值，是系统获得所要求的性能。

极点配置方法的选择对于一个线性时不变系统进行状态反馈极点配置，一般有四种方法： （1） 传统方法—将系统转化为一个或多个单输入单输出系统。

（2） 直接法—使用稳定的酉矩阵，将这种系统转化为标准型。

（3）矩阵方程法—对矩阵F ，直接解方程AX X BG -Λ=FX G =（4）特征向量法—先找到特征向量x j （等式中矩阵X 的列向量），然后利用等式求解F 。

方法（1）一般难以应用或者数值不稳定。

方法（3）需要解方程，并且对于系统矩阵A 的特征值不能再分配。

最有效并且数值稳定的方法是方法（2）和方法（4）。

其中方法（4）通过使用一系列的迭代算法找到最优解，所以比较复杂。

对于方法（2），当系统的输入多于一个信号输入时，不能确定系统的鲁棒性。

本文结合以上方法提出了一种新的设计方法：首先通过酉变换将状态方程化为一种控制规范形，然后利用最小二乘法解方程的得到最佳的状态反馈矩阵。

《现代控制理论》模拟题一.单选题1.为一个n阶系统设计一个观测器,维数与受控系统维数相同的称为全维观测器.若系统有输出矩阵秩为m,那么()个状态分量可以用降维观测器进行重构.A.nB.mC.n-mD.n=m+1[答案]:C[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:2.若系统的所有实现维数都相同,该系统绝对().A.能观B.能控C.稳定D.最优[答案]:B[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:3.主对角线上方元素均为1,最后一行可取任意值,其余全为零,满足这些条件的矩阵为().A.约旦矩阵B.对角矩阵C.友矩阵D.变换矩阵[答案]:C[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:4.同一个系统的不同实现的()是不同的.A.状态变量的个数B.矩阵AC.特征根D.传递函数阵[答案]:B[二级属性]:[难度]:[公开度]:5.已知系统的状态空间表达式,建立框图时积分器的数目应该等于()的个数.A.输入变量B.状态变量C.输出变量D.反馈变量[答案]:B[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:6.状态空间表达式是对系统的一种()的描述.A.一般B.抽象C.假设D.完全[答案]:D[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:7.关于系统状态的稳定性,下列说法正确的是:().A.系统状态的稳定性与控制输入无关B.当控制输入的强度很大时,系统状态就有可能不稳定C.如果系统全局稳定,则系统只有唯一一个平衡点D.非线性系统不可能有渐进稳定平衡点[答案]:A[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:8.根据线性系统的叠加原理,非齐次线性状态方程的解由零输入响应分量与()响应分量的和构成.A.零初始状态B.输出C.稳态D.动态[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:9.一个线性连续系统的能控性等价于它的()系统的能观性.A.开环B.对偶C.精确离散化D.状态反馈闭环系统[答案]:B[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:10.降维观测器设计时,原系统初始状态为3,反馈矩阵增益为6,要使观测误差为零,则观测器的初始状态应为().A.3B.-6C.9D.15[答案]:A[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:11.基于能量的稳定性理论是由()构建的.A.LyapunovB.KalmanC.RouthD.Nyquist[答案]:A[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:12.下列语句中,正确的是().A.系统状态空间实现中选取状态变量是唯一的,其状态变量的个数也是唯一的B.系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的,其状态变量的个数也不是唯一的C.系统状态空间实现中选取状态变量是唯一的,其状态变量的个数不是唯一的D.系统状态空间实现中选取状态变量不是唯一的,其状态变量的个数是唯一的[答案]:D[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:13.受控系统采用状态反馈能解耦的充要条件是().A.系统能控能观B.传递函数矩阵满秩C.结构分解后子系统是渐近稳定的D.mXm维矩阵E非奇异[答案]:D[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:14.引入各种反馈构成闭环后,系统的能控性与能观性会影响系统的性能,对单输入-单输出系统而言,状态反馈会().A.改变系统的能控性B.改变系统的能观性C.改变系统的极点D.改变系统的零点[答案]:C[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:15.()问题的本质上其实是极点配置问题的一种特殊情况.A.极点配置B.系统解耦C.状态反馈D.最优控制[答案]:A[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:16.李雅普诺夫第二法的基本方法是通过()来判断系统的稳定性.A.系统状态方程的解B.李雅普诺夫函数C.特征方程跟的分布D.系统瞬态响应的质量[答案]:B[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:17.李雅普诺夫第一法的基本方法是通过()来判断系统的稳定性.A.系统状态方程的解B.李雅普诺夫函数C.特征方程跟的分布D.系统瞬态响应的质量[答案]:A[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:18.在经典控制理论,频域中的()是判定稳定性的通用方法.A.劳斯判据B.胡维茨判据C.奈奎斯特判据D.李雅普诺夫方法[答案]:C[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:19.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的()是输出矩阵C中,对于每个约旦块开头的一列元素不全为0.A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.不充分不必要[答案]:C[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:20.系统的能控性是取决于状态方程中的系统矩阵A和控制矩阵b,其中控制矩阵b是与()有关的.A.系统的结构B.系统的内部参数C.控制作用的施加点D.外部扰动的施加点[答案]:C[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:21.一个系统可以通过选取许多种状态变量,可以具有不同的状态空间表达式,所选取的状态矢量之间,实际上是一种矢量的().A.旋转变换B.线性变换C.矢量D.坐标平移[答案]:B[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:22.一个系统可以具有多种不同的状态空间表达式,具有()的传递函数阵.A.相同个数B.唯一C.多种D.无数[答案]:B[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:23.对于能控能观的线性定常连续系统,采用静态输出反馈闭环系统的状态().A.能控且能观B.能观C.能控D.ABC三种情况都有可能[答案]:A[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:24.对SISO线性定常连续系统,传递函数存在零极点对消,则系统状态().A.不能控且不能观B.不能观C.不能控D.ABC三种情况都有可能[答案]:D[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:25.动态系统从参数随时间变化性来分,可分为().A.定常系统和时变系统B.线性系统与非线性系统C.开环系统和闭环系统D.连续系统与离散系统[答案]:A[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:26.一个线性系统可控性反映的是控制作用能否对系统的所有()产生影响.一个线性系统可观性反映的是能否在有限的时间内通过观测输出量,识别出系统的所有().A.输出,输出B.输出,状态C.状态,状态D.状态,输出[答案]:C[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:27.SISO线性定常系统的状态反馈系统与原系统的零点是()的.A.相同B.不同C.视情况而定D.无法判断[答案]:A[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:28.一个R-L-C串联网络,一般选取()作为此系统的状态变量(uc.ul.ur表示电容.电感.电阻两端电压,i表示回路电流)A.uc和urB.uc和ulC.uc和iD.ul和i[答案]:C[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:29.关于lyapunov稳定性分析下列说法错误的是().A.Lyapunov稳定是工程上的临界稳定B.Lyapunov渐近稳定是与工程上的稳定是不等价的C.Lyapunov工程上的一致渐近稳定比稳定更实用D.Lyapunov不稳定等同于工程意义下的发散性不稳定[答案]:B[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:30.已知x'=-5x+3u,y=4x,t≥0,则该系统是().A.能控不能观的B.能控能观的C.不能控能观的D.不能控不能观的[答案]:B[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:二.判断题1.系统1和系统2是互为对偶的两个系统,则系统1能控能观,则系统2也能控能观.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:2.镇定问题是系统极点配置的一种特殊情况.它要求将极点严格的配置在期望的位置上. [答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:3.状态稳定一定输出稳定,但输出稳定不一定状态稳定[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:4.所有的微分方程或传递函数都能求得其实现[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:5.系统中含有非线性元件的系统一定是非线性系统.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:6.在反馈连接中,两个系统(前向通道和反馈通道)都是正则的,则反馈连接是正则或非奇异的. [答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:7.对线性连续定常系统,渐近稳定等价于大范围渐近稳定.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:8.采样是将时间上连续的信号转换成时间上离散的脉冲或数字序列的过程;保持是将离散的采样信号恢复到连续信号的过程[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:9.在状态空间建模中,选择不同的状态变量,得到的系统特征值不同的.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:10.通过特征分解,提取的特征值表示特征的重要程度,而特征向量则表示这个特征是什么. [答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:11.线性变换的目的是为得到较为简洁且在一定程度上消除变量间耦合关系的形式.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:12.线性映射与线性变换的区别是前者是两个相同空间之间映射,而后者则是两个不同空间之间的映射[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:13.对线性定常系统基于观测器构成的状态反馈系统和状态直接反馈系统,它们的传递函数矩阵是相同的.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:14.某系统有两个平衡点,在其中一个平衡点稳定,另一个平衡点不稳定,这样的系统不存在.[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:15.由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵,进而决定系统的动态特性[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:16.具有对角型状态矩阵的状态空间模型描述的系统可以看成是由多个一阶环节串联组成的系统[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:17.若线性二次型最优控制问题有解,则可以得到一个稳定化状态反馈控制器[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:18.状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量,因此都是具有物理意义.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:19.要使得观测器估计的状态尽可能快地逼近系统的实际状态,观测器的极点应该比系统极点快10倍以上.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:20.反馈控制可改变系统的稳定性.动态性能,但不改变系统的能控性和能观性.[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:21.互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:22.传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:23.输出变量是状态变量的部分信息,因此一个系统状态能控意味着系统输出能控.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:24.等价的状态空间模型具有相同的传递函数.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:25.相比于经典控制理论,现代控制理论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:26.若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的,则它是大范围渐近稳定的;[答案]:T[二级属性]:[难度]:[公开度]:27.如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在,那么我们就可以断定该系统是不稳定的. [答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:28.若系统状态完全能控,则对非渐近稳定系统通过引入状态反馈实现渐近稳定,称为镇定问题.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:29.系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性,与系统的输入和输出无关[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:30.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:31.系统的状态观测器存在的充分必要条件是:系统能观测,或者系统虽然不能观测,但是其不能观测的子系统的特征值具有负实部.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:32.如果系统不能控,就不能通过状态反馈使其镇定.[答案]:T[二级属性]:[难度]:[公开度]:33.经典控制理论用于研究线性系统,现代控制理论用来研究非线性系统.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:34.引入状态反馈后,系统的能控性和能观性一定会发生改变.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:35.李亚普诺夫稳定性与系统受干扰前所处得平衡位置有关.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:36.状态变量的选取是唯一的.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:37.对一个线性定常的单输入单输出5阶系统,假定系统可控可观测,通过设计输出至输入的反馈矩阵H的参数能任意配置系统的闭环极点.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:38.通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时,要求系统必须同时可控和可观测.[答案]:F[二级属性]:[难度]:[公开度]:39.用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:40.线性定常系统经过非奇异线性变换后,系统的可控性不变.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:41.李雅普诺夫函数是正定函数,李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性. [答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:42.李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:43.用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:44.描述系统的状态方程不是唯一的.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[公开度]:45.对于线性连续定常系统,状态反馈不改变系统的能观性,但不能保证系统的能控性不变. [答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:46.对线性连续定常系统,极点配置法与线性二次型最优控制采用的反馈方式是一样的,而反馈系数矩阵的构造方法不一样.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:47.对不能观测的系统状态可以设计全维观测器对其观测.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:48.线性连续定常系统的最小实现的维数是唯一的.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:49.采用理想采样保持器进行分析较实际采样保持器方便.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:50.在反馈连接中,两个系统(前向通道和反馈通道中)都是正则的,则反馈连接也是正则的. [答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:51..对于线性系统有系统特征值和传递函数(阵)的不变性以及特征多项式的系数这一不变量. [答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:52.非线性系统在有些情况下也满足叠加定律.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:53.对于线性连续定常系统的输出最优调节器问题的,采用的是输出反馈方式构造控制器. [答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:54.对于线性连续定常系统,状态反馈的极点配置法与线性二次型最优控制采用的反馈方式是一样的,而反馈系数矩阵的构造方法不一样.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:55.动态规划方法给出的是最优控制的充分条件而非必要条件.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:56.动态规划方法保证了全过程性能指标最小,但并不能保证每一段性能指标最小.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:57.对于线性定常连续系统,就传递特征而言,带状态观测器的反馈闭环系统完全等效于同时带串联补偿和反馈补偿的输出反馈系统.[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:58.基于状态观测器的反馈闭环系统与直接状态反馈闭环系统的响应在每一时刻都是相等的. [答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:59.对于任一线性定常连续系统,若其不可观,则用观测器构成的状态反馈系统和状态直接反馈系统是不具有相同的传递函数矩阵的.[答案]:F[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:60.对于一个n维的线性定常连续系统,若其完全能观,则利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统是2n维的[答案]:T[一级属性]:[二级属性]:[难度]:[公开度]:。

《现代控制理论》复习题一、填空题1．动态系统的状态是一个可以确定该系统 的信息集合。

这些信息对于确定系统 的行为是充分且必要的。

2．以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交 空间，称之为 。

3． 定义: 线性定常系统的状态方程为()()()x t Ax t Bu t =+&,给定系统一个初始状态00()x t x =,如果在10t t >的有限时间区间10[,]t t 内,存在容许控制()u t ,使1()0x t =,则称系统状态在0t时刻是的;如果系统对任意一个初始状态都 , 称系统是状态完全 的。

4．系统的状态方程和输出方程联立，写为⎩⎨⎧+=+=)()()()()()(t Du t Cx t y t Bu t Ax t x &，称为系统的 ，或称为系统动态方程，或称系统方程。

5．当系统用状态方程Bu Ax x+=&表示时，系统的特征多项式为 。

6．设有如下两个线性定常系统7002()05000019I x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&则系统（I ），（II ）70001()0504000175II x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&的能控性为，系统（I ） ,系统（II ） 。

7．非线性系统()xf x =&在平衡状态e x 处一次近似的线性化方程为x Ax =&，若A 的所有特征值 ，那么非线性系统()x f x =&在平衡状态e x 处是一致渐近稳定的。

8．状态反馈可以改善系统性能，但有时不便于检测。

解决这个问题的方法是： 一个系统，用这个系统的状态来实现状态反馈。

9．线性定常系统齐次状态方程解)()(0)(0t x e t x t t A -=是在没有输入向量作用下，由系统初始状态0)(x t x =激励下产生的状态响应，因而称为 运动。

10．系统方程()()()()()x t Ax t bu ty t cx t=+⎧⎨=⎩&为传递函数()G s的一个最小实现的充分必要条件是系统。

非线性控制系统的状态反馈全局镇定问题
蒋丹墀
【期刊名称】《贵州大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】1994(011)004
【摘要】本文对于由部分线性化递推算法所获得的结构研究其全局渐近稳定性问题,证明了"不受控制"的非线性部分的全局渐近稳定性可以导出整个系统能用状态反馈使之全局渐近稳定,该结论不同于Sussmann对与"零动态"有关的部分线性化结构所得出的结论且能导出他的结论。

【总页数】4页(P199-202)
【作者】蒋丹墀
【作者单位】无
【正文语种】中文
【中图分类】O231
【相关文献】
1.一类非线性控制系统的输出反馈半局镇定 [J], 李彪;翟景春;张勇
2.系统的增速依赖于不可测状态非线性系统全局输出反馈渐近镇定 [J], 尚芳;刘允刚;张承慧
3.非线性控制系统的全局可镇定 [J], 王连圭;田太心
4.非线性控制系统的全局镇定 [J], 王连圭
5.一类非线性控制系统的局部反馈镇定问题 [J], 陈贤峰;李杰;张伟江
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现代控制理论参考答案第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式; 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示;以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程; 解：由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y =有电路原理可知：•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为：1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵;解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图; 解：令..3.21y x y x y x ===，，,则有 相应的模拟结构图如下： 1-6 2已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图解：ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++=1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘（1） 画出其模拟结构图（2） 求系统的传递函数 解：2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量3⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解：A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 或令111-=p ,得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 当21-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p解得： 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P或令112=p ,得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P 当31-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P 1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型并联分解2⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解：A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 当32=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P 当13=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1s 和W 2s试求两子系统串联联结和并联连接时,系统的传递函数阵,并讨论所得结果 解：1串联联结 2并联联结1-11 第3版教材已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：1-11第2版教材 已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u 的系数b 即控制列阵为 1⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b 解法1： 解法2：求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以,状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e ;2 A=1141⎛⎫⎪⎝⎭解：第一种方法： 令0I A λ-=则11041λλ--=-- ,即()2140λ--=;求解得到13λ=,21λ=- 当13λ=时,特征矢量11121p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由 111Ap p λ=,得11112121311341p p p p ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即112111112121343p p p p p p +=⎧⎨+=⎩,可令112p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦当21λ=-时,特征矢量12222p p p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦由222Ap p λ=,得121222221141p p p p -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦即1222121222224p p p p p p +=-⎧⎨+=-⎩ ,可令212p ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则1122T ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,111241124T -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦第二种方法,即拉氏反变换法：第三种方法,即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知13λ=,21λ=-2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求与之对应的A 阵;3()22222222t tt t ttt t e e e e t e e e e --------⎡⎤--Φ=⎢⎥--⎣⎦ 4()()()()3333112412t t t t t tt t e e e e t e e e e ----⎡⎤+-+⎢⎥Φ=⎢⎥⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦解：3因为 ()10001I ⎡⎤Φ==⎢⎥⎣⎦,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 4因为()10001I ⎡⎤Φ==⎢⎥⎣⎦,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件2-6 求下列状态空间表达式的解：初始状态()101x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,输入()u t 时单位阶跃函数;解： 0100A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 因为 01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,()()u t I t =2-9 有系统如图所示,试求离散化的状态空间表达式;设采样周期分别为T=和1s,而1u 和2u 为分段常数; 图 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图 列出状态方程则离散时间状态空间表达式为 由()At G T e =和()0TAt H T e dtB =⎰得：当T=1时 ()()()()11111001111k e e x k x k u k e ke ----⎡⎤-⎡⎤+=+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦当T=时 ()()()()()0.10.10.10.11001110.90.1k e e x k x k u k e k e ----⎡⎤-⎡⎤⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦第三章习题3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性;系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关,若有关,其取值条件如何 1系统如图所示： 解：由图可得： 状态空间表达式为：由于•2x 、•3x 、•4x 与u 无关,因而状态不能完全能控,为不能控系统;由于y 只与3x 有关,因而系统为不完全能观的,为不能观系统; 3系统如下式：解：如状态方程与输出方程所示,A 为约旦标准形;要使系统能控,控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有0,0≠≠b a ;要使系统能观,则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有0,0≠≠d c ; 3-2时不变系统试用两种方法判别其能控性和能观性; 解：方法一：方法二：将系统化为约旦标准形;⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1-111T ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=21212121T 1- B T -1中有全为零的行,系统不可控;CT 中没有全为0的列,系统可观; 3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i i βα和 解：构造能控阵：要使系统完全能控,则211αα≠+,即0121≠+-αα 构造能观阵：要使系统完全能观,则121αα-≠-,即0121≠+-αα 3-4设系统的传递函数是1当a 取何值时,系统将是不完全能控或不完全能观的 2当a 取上述值时,求使系统的完全能控的状态空间表达式; 3当a 取上述值时,求使系统的完全能观的状态空间表达式; 解：1 方法1 ：)6)(3)(1()()()(++++==s s s as s u s y s W 系统能控且能观的条件为Ws 没有零极点对消;因此当a=1,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观; 方法2：系统能控且能观的条件为矩阵C 不存在全为0的列;因此当a=1,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观;2当a=1, a=3或a=6时,系统可化为能控标准I 型3根据对偶原理,当a=1, a=2或a=4时,系统的能观标准II 型为 3-6已知系统的微分方程为：u y y y y 66116...=+++试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数; 解：63611603210=====b a a a a ，，，，系统的状态空间表达式为 传递函数为其对偶系统的状态空间表达式为： 传递函数为61166)(23+--=s s s s W 3-9已知系统的传递函数为 试求其能控标准型和能观标准型;解：345213486)(222++++=++++=s s s s s s s s W系统的能控标准I 型为 能观标准II 型为3-10给定下列状态空间方程,试判别其是否变换为能控和能观标准型;解：[]100210311032010=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=C b A ，， 3-11试将下列系统按能控性进行分解1[]111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 解：[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--==9310004102b A Ab bM rankM=2<3,系统不是完全能控的; 构造奇异变换阵c R ：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==010*********R Ab R b R ，，,其中3R 是任意的,只要满足c R 满秩;即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=031100010c R 得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-010*******c R 3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解1 []111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 解： 由已知得[]111,100,340010121-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 则有⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4742321112CA CA C Nrank N=2<3,该系统不能观构造非奇异变换矩阵10R -,有10111232001R --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 则0311210001R --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解1[]211,221,102322001=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C b A 解：由已知得211121226202M A Ab Ab ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦rank M=3,则系统能控 rank N=3,则系统能观所以此系统为能控并且能观系统取211121226202c T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,则1217344173215344c T -⎡⎤-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦则002105014A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,12100c B T b -⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦,[]271323c c cT == 3-14求下列传递函数阵的最小实现; 1 ()111111w s s ⎡⎤=⎢⎥+⎣⎦解： 01α=,01111B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1001c A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 1001c B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1111c C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,0000c D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 系统能控不能观取101101R -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则01101R -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以10010ˆ01A R AR --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦,1011ˆ01c B R B -⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 010ˆ10c C C R ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,00ˆ00D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦所以最小实现为ˆ1m A =,[]ˆ11m B =,1ˆ1m C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,00ˆ00m D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 验证：()()1111ˆˆˆ111m mm C sI A B w s s -⎡⎤-==⎢⎥+⎣⎦3-15设1∑和2∑是两个能控且能观的系统1试分析由1∑和2∑所组成的串联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数； 2试分析由1∑和2∑所组成的并联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数; 解： 11∑和2∑串联当1∑的输出1y 是2∑的输入2u 时,331222x x x x =-++010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]001y x = 则rank M=2<3,所以系统不完全能控; 当2∑得输出2y 是1∑的输入1u 时011034100021x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]210y x = 因为 2001016124M bAbA b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦rank M=3 则系统能控因为2210321654c N cA cA ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦rank N=2<3 则系统不能观 21∑和2∑并联010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]211y x = 因为rank M=3,所以系统完全能控 因为rank N=3,所以系统完全能观现代控制理论第四章习题答案4-1判断下列二次型函数的符号性质：1222123122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- 2222123122313()4262v x x x x x x x x x x =++--- 解：1由已知得110∆=-<,2112013-∆==>-,31111711302411112--∆=--=-<--- 因此()Q x 是负定的 2由已知得110∆=>,2113014-∆==>-,3111143160131--∆=--=-<--因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件;解：方法1：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定,则要求满足A 的特征值均具有负实部;即：有解,且解具有负实部; 即：1122112212210a a a a a a +<>且方法2：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定,等价于T A P PA Q +=-;取Q I =,令11121222PP P P P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则带入TA P PA Q +=-,得到 若 11211211222111221122122112222204()()0022a a a a a a a a a a a a a a +=+-≠,则此方程组有唯一解;即 其中11221221det A A a a a a ==- 要求P 正定,则要求 因此11220a a +<,且det 0A >4-3试用lyapunov 第二法确定下列系统原点的稳定性;11123x x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 21111x x -⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦解：1系统唯一的平衡状态是0e x =;选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>,则 ()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;2系统唯一的平衡状态是0e x =;选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>,则 ()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;4-6设非线性系统状态方程为： 试确定平衡状态的稳定性;解：若采用克拉索夫斯基法,则依题意有： 取P I =很明显,()Q x 的符号无法确定,故改用李雅普诺夫第二法;选取Lyapunov 函数为2212()0V x x x =+>,则()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;4-9设非线性方程：试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性; 解：1采用克拉索夫斯基法,依题意有：x →∞,有()V x →∞; 取P I =则2121013()132x Q x x ⎡⎤-+=⎢⎥-+⎣⎦,根据希尔维斯特判据,有： 2221121210310310132x x x -∆=∆==->-+，（）,()Q x 的符号无法判断; 2李雅普诺夫方法：选取Lyapunov 函数为421233()042V x x x =+>,则 ()V x •是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数 解：假设()V x 的梯度为： 计算()V x 的导数为：选择参数,试选112212211,0a a a a ====,于是得：12x V x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭,显然满足旋度方程12122121,0V V x xx x x x ∂∇∂∇∂∂===∂∂∂∂即,表明上述选择的参数是允许的;则有：如果121211202x x x x -><或,则()V x •是负定的,因此,1212x x <是12x x 和的约束条件; 计算得到()V x 为：()V x 是正定的,因此在121211202x x x x -><即范围内,0e x =是渐进稳定的;现代控制理论第五章习题答案5-1已知系统状态方程为：试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1,-2,-3; 解：依题意有：2011012112M bAbA b ⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦3rankM =,系统能控; 系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为：则将系统写成能控标准I 型,则有010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦; 引入状态反馈后,系统的状态方程为：()x A bK x bu =++,其中3K ⨯为1矩阵,设[]012K k k k =,则系统(,,)K A bK C =∑的特征多项式为：根据给定的极点值,得到期望特征多项式为：比较*()()f f λλ与各对应项系数,可解得：012599k k k =-=-=-，则有：[]-5-9-9K =;5-3有系统：（1） 画出模拟结构图;（2） 若动态性能不满足要求,可否任意配置极点 （3） 若指定极点为-3,-3,求状态反馈阵; 解1系统模拟结构图如下：2系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统0(,,)A b C =∑完全能控; 对于系统0(,,)A b C =∑有： []0111M bAb ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦2rankM =,系统能控,故若系统动态性能不满足要求,可任意配置极点;3系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为：则将系统写成能控标准I 型,则有010231x x u ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦; 引入状态反馈后,系统的状态方程为：()x A bK x bu =++,设[]01K k k =,则系统(,,)KA bK C =∑的特征多项式为：根据给定的极点值,得到期望特征多项式为：比较*()()f f λλ与各对应项系数,可解得：[]017373k k K =-=-=--，; 5-4设系统传递函数为试问能否利用状态反馈将传递函数变成 若有可能,试求出状态反馈K ,并画出系统结构图;解：6522)3)(2)(1()2)(1()(232--+-+=+-++-=s s s s s s s s s s s W由于传递函数无零极点对消,因此系统为能控且能观; 能控标准I 型为 令[] 210k k k K =为状态反馈阵,则闭环系统的特征多项式为由于状态反馈不改变系统的零点,根据题意,配置极点应为-2,-2,-3,得期望特征多项式为比较 )(λf 与 )(*λf 的对应项系数,可得 即[]52118---=K 系统结构图如下：5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定;11222 A 011,01011b ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦解：系统的能控阵为：2240010115M bAbA b -⎡⎤⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦3rankM =,系统能控; 由定理 5.2.1可知,采用状态反馈对系统0(,,)A b C =∑任意配置极点的充要条件是(,,)A b C =∑完全能控;又由于3rankM =,系统0(,,)A b C =∑能控,可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧,使闭环系统镇定; 5-7设计一个前馈补偿器,使系统 解耦,且解耦后的极点为1,1,2,2----; 解：0()()() d W s W s W s = 5-10已知系统：试设计一个状态观测器,使观测器的极点为-r,-2rr>0;解：因为1001c N cA ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦满秩,系统能观,可构造观测器; 系统特征多项式为[]21det det 0I A λλλλ-⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦,所以有10010,0,10a a L ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦ 于是11001100x T ATx T bu x u --⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 引入反馈阵12g G g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,使得观测器特征多项式：根据期望极点得期望特征式：比较()f λ与()*f λ各项系数得：即223r G r ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,反变换到x 状态下2201321023r r G TG r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 观测器方程为：。