湖北省武汉一中等部分重点中学联考2014-2015学年高一下学期期中数学试卷(理科)

湖北省武汉一中等部分重点中学联考2014-2015学年高一下学期期中数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．+1与﹣1的等差中项是（）

A． 1 B． ﹣1 C． D．±1

2．计算sin77°cos47°﹣sin13°cos43°的值等于（）

A． B． C． D．

3．符合下列条件的三角形△ABC有且只有一个的是（）

A． a=1，b=，A=30° B． a=1，b=2，c=3

C． b=c=1，B=45° D． a=1，b=2，A=100°

4．已知，则sin4θ﹣cos4θ的值为（）

A． B． C． D．

5．若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当{an}的前n项和最大时n的值为（）

A． 7 B． 8 C． 9 D．10

6．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）

A． B． C． D．

7．已知等比数列{an}前n项和为Sn，且a2015=3S2014+2015，a2014=3S2013+2015，则公比q等于（）

A． 3 B． C． 4 D．

8．如图D，C，B三点在地面同一直线上，DC=a，从C，D两点测得A点的仰角分别为β，α（α＜β），则A点离地面的高度AB=（）

A． B．

C． D．

9．已知等比数列{an}中a2=2，a5=，则a1•a2+a2•a3+a3•a4+…+an•an+1等于（）

A． 16（1﹣4﹣n） B． 16（1﹣2n） C． D．

10．在△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边长分别是a、b、c．若sinC+sin（B﹣A）=sin2A，则△ABC的形状为（）

A． 等腰三角形 B． 直角三角形

C． 等腰直角三角形 D． 等腰三角形或直角三角形

11．将正奇数1，3，5，7，…按如表的方式进行排列，记aij表示第i行第j列的数，若aij=2015，则i+j的值为（）

第1列 第2列 第3列 第4列 第5列

第1行 1 3 5 7

第2行 15 13 11 9

第3行 17 19 21 23

第4行 31 29 27 25

第5行 39 37 35 33

… … … … … …

A． 505 B． 506 C． 254 D．253

12．给出以下命题：

①存在两个不等实数α，β，使得等式sin（α+β）=sinα+sinβ成立；

②若数列{an}是等差数列，且am+an=as+at（m、n、s、t∈N*），则m+n=s+t；

③若Sn是等比数列{an}的前n项和，则S6，S12﹣S6，S18﹣S12成等比数列；

④若Sn是等比数列{an}的前n项和，且Sn=Aqn+B；（其中A、B是非零常数，n∈N*），则A+B为零；

⑤已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2+b2＞c2，则△ABC一定是锐角三角形．

其中正确的命题的个数是（）

A． 1个 B． 2个 C． 3个 D．4个

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上．）

13．已知＜θ＜π，且sinθ=，则tan=．

14．已知△ABC中，设三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，且a=1，，A=30°，则c=．

15．已知数列{an}，{bn}都是等差数列，Sn，Tn分别是它们的前n项和，并且，则=．（用最简分数作答）

16．数列{an}的首项a1=1，数列{bn}为等比数列且bn=，若b10b11=2015，则a21=．

三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（1）已知数列{an}的前n项和为Sn，若，求an

（2）等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10=30，a20=50，Sn=242，求n．

18．已知cos（+α）•cos（﹣α）=﹣，α∈（，），求：

（Ⅰ）sin2α；

（Ⅱ）tanα﹣．

19．在△ABC中，三个内角2的对边分别为a，b，c，cosA=﹣，asinA+bsinB﹣csinC=asinB．

（1）求B的值；

（2）设b=10，求△ABC的面积S．

20．已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1•a2=2，a3•a4=32．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）设数列{bn}满足+++…+=an+1﹣1（n∈N*），求数列{bn}的前n项和．

21．如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N （异于村庄A），要求PM=PN=MN=2（单位：千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．

22．数列{an}的首项为a（a≠0），前n项和为Sn，且Sn+1=t•Sn+a（t≠0）．设bn=Sn+1，cn=k+b1+b2+…+bn（k∈R+）．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）当t=1时，若对任意n∈N*，|bn|≥|b3|恒成立，求a的取值范围；

（3）当t≠1时，试求三个正数a，t，k的一组值，使得{cn}为等比数列，且a，t，k成等差数列．

湖北省武汉一中等部分重点中学联考2014-2015学年高一下学期期中数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．）

1．+1与﹣1的等差中项是（）

A． 1 B． ﹣1 C． D．±1

考点： 等差数列．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 由等差中项的定义易得答案．

解答： 解：设x为+1与﹣1的等差中项，

则﹣1﹣x=x﹣+1，即x==

故选：C

点评： 本题考查等差中项，属基础题．

2．计算sin77°cos47°﹣sin13°cos43°的值等于（）

A． B． C． D．

考点： 两角和与差的正弦函数．

专题： 三角函数的求值．

分析： 由诱导公式及两角差的正弦函数公式即可求值． 解答： 解：sin77°cos47°﹣sin13°cos43°

=sin77°cos47°﹣cos77°sin47°

=sin（77°﹣47°）

=sin30°

=．

故选：A．

点评： 本题主要考查了诱导公式，两角差的正弦函数公式的应用，属于基础题．

3．符合下列条件的三角形△ABC有且只有一个的是（）

A． a=1，b=，A=30° B． a=1，b=2，c=3

C． b=c=1，B=45° D． a=1，b=2，A=100°

考点： 解三角形．

专题： 综合题．

分析： 利用已知选项的条件，通过正弦定理，组成三角形的条件，判断能不能组成三角形，以及三角形的个数．

解答： 解：对于A、a=1，b=，A=30°三角形中B可以是45°，135°，组成两个三角形．

对于B、a=1，b=2，c=3组不成三角形．

对于D、a=1，b=2，A=100°组不成三角形．

对于C、b=c=1，B=45°显然只有一个三角形．

故选C．

点评： 本题是基础题，考查三角形的基本性质，注意正弦定理的应用，大角对大边，小角对小边，常考题型．

4．已知，则sin4θ﹣cos4θ的值为（）

A． B． C． D．

考点： 二倍角的余弦；同角三角函数间的基本关系；二倍角的正弦．

专题： 三角函数的求值．

分析： 已知等式左边利用二倍角的余弦函数公式化简求出cos2θ﹣sin2θ的值，所求式子利用平方差公式化简，再利用同角三角函数间的基本关系整理后将cos2θ﹣sin2θ的值代入计算即可求出值．

解答： 解：∵cos2θ=cos2θ﹣sin2θ=，

∴sin4θ﹣cos4θ=（sin2θ+cos2θ）（sin2θ﹣cos2θ）=﹣（cos2θ﹣sin2θ）=﹣．

故选B．

点评： 本题考查二倍角的余弦函数公式，考查学生的计算能力，熟练掌握公式是解本题的关键．

5．若等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，则当{an}的前n项和最大时n的值为（） A． 7 B． 8 C． 9 D．10

考点： 等差数列的性质．

专题： 等差数列与等比数列．

分析： 由题意和等差数列的性质可得{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，由此易得结论．

解答： 解：∵等差数列{an}满足a7+a8+a9＞0，a7+a10＜0，

∴3a8=a7+a8+a9＞0，a8+a9=a7+a10＜0，

∴a8＞0，a9＜0，

∴等差数列{an}的前8项为正数，从第9项开始为负数，

∴当{an}的前n项和最大时n的值为8，

故选：B．

点评： 本题考查等差数列的性质，考查等差数列项的符号，属基础题．

6．已知tan（α+β）=，tan（β﹣）=，那么tan（α+）等于（）

A． B． C． D．

考点： 两角和与差的正切函数．

专题： 计算题．

分析： 把已知的条件代入=tan[（α+β）﹣（β﹣）]=，运算求得结果．

解答： 解：∵已知，

∴=tan[（α+β）﹣（β﹣）]===，

故选C．

点评： 本题主要考查两角和差的正切公式的应用，属于中档题．

7．已知等比数列{an}前n项和为Sn，且a2015=3S2014+2015，a2014=3S2013+2015，则公比q等于（）

A． 3 B． C． 4 D．

考点： 等比数列的通项公式．

专题： 等差数列与等比数列．