第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件【高考会这样考】1．考查四种命题的意义及相互关系．2．考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解．3．考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题．【复习指导】复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判定．基础梳理1．命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．3．充分条件、必要条件与充要条件(1)如果p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的充要条件．一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假．三种方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p则q”、“若q则p”的真假．并注意和图示相结合，例如“p⇒q”为真，则p是q的充分条件．(2)等价法：利用p⇒q与綈q⇒綈p，q⇒p与綈p⇒綈q，p⇔q与綈q⇔綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．(3)集合法：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件．双基自测1．(人教A版教材习题改编)以下三个命题：①“a＞b”是“a2＞b2”的充分条件；②“|a|＞|b|”是“a2＞b2”的必要条件；③“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件．其中真命题的序号是________．解析①由2＞－3⇒/ 22＞(－3)2知，该命题为假；②a2＞b2⇒|a|2＞|b|2⇒|a|＞|b|，该命题为真；③a＞b⇒a＋c＞b＋c，又a＋c＞b＋c⇒a＞b；∴“a＞b”是“a＋c＞b＋c”的充要条件为真命题．答案②③2．(2011·陕西)设a，b是向量，命题“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是()．\A．若a≠－b，则|a|≠|b| B．若a＝－b，则|a|≠|b|C．若|a|≠|b|，则a≠－b D．若|a|＝|b|，则a＝－b解析“若a＝－b，则|a|＝|b|”的逆命题是“若|a|＝|b|，则a＝－b”．答案 D3．(2011·山东)对于函数y＝f(x)，x∈R，“y＝|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y ＝f(x)是奇函数”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析若y＝f(x)是奇函数，则f(－x)＝－f(x)，∴|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y＝|f(x)|的图象关于y轴对称，如y＝f(x)＝x2，而它不是奇函数，故选B.答案 B4．(2011·安徽)命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是()．A．所有不能被2整除的整数都是偶数B．所有能被2整除的整数都不是偶数C．存在一个不能被2整除的整数是偶数D．存在一个能被2整除的整数不是偶数解析原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选D.答案 D5．命题“若a＞b，则2a＞2b－1”的否命题为.答案若a≤b，则有2a≤2b－1考向一命题正误的判断【例1】►(2011·海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题：①A⃘B⇔对任意x∈A都有x∉B；②A⃘B⇔A∩B＝∅；③A⃘B⇔B⃘A；④A⃘B⇔存在x∈A，使得x∉B.其中真命题的序号是______(把符合要求的命题序号都填上)．[审题视点] 对于假命题，举出恰当的反例是一难点．解析①不正确，如A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，有A⃘B但2∈A且2∈B.②不正确，如A＝{1,2}，B＝{2,3}，有A⃘B而A∩B＝{2}．③不正确，如A＝{1,2}，B＝{2}，有A⃘B但B⊆A.④正确．答案④正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者同样重要．【训练1】给出如下三个命题：①四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是ad＝bc；②设a，b∈R，且ab≠0，若ab＜1，则ba＞1；③若f(x)＝log2x，则f(|x|)是偶函数．其中不正确命题的序号是()．A．①②③B．①②C．②③D．①③解析对于①，可举反例：如a，b，c，d依次取值为1,4,2,8，故①错；对于②，可举反例：如a、b异号，虽然ab＜1，但ba＜0，故②错；对于③，y＝f(|x|)＝log2|x|，显然为偶函数，故选B.答案 B考向二四种命题的真假判断【例2】►已知命题“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()．A．否命题是“若函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝e x－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题[审题视点] 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键．解析f′(x)＝e x－m≥0在(0，＋∞)上恒成立，即m≤e x在(0，＋∞)上恒成立，故m≤1，这说明原命题正确，反之若m≤1，则f′(x)＞0在(0，＋∞)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数”，故选D. 答案 D判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假．如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假．【训练2】已知命题“函数f(x)、g(x)定义在R上，h(x)＝f(x)·g(x)，如果f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是()．A．0 B．1 C．2 D．3解析由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)＝f(x)·g(x)为偶函数，反之则不成立，如h(x)＝x2是偶函数，但函数f(x)＝x2e x，g(x)＝ex都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确．答案 C考向三充要条件的判断【例3】►指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一种作答)．(1)在△ABC中，p：∠A＝∠B，q：sin A＝sin B；(2)对于实数x、y，p：x＋y≠8，q：x≠2或y≠6；(3)非空集合A、B中，p：x∈A∪B，q：x∈B；(4)已知x、y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0.[审题视点] 结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系．解(1)在△ABC中，∠A＝∠B⇒sin A＝sin B，反之，若sin A＝sin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为180°)，所以只有A＝B.故p是q的充要条件．(2)易知，綈p：x＋y＝8，綈q：x＝2且y＝6，显然綈q⇒綈p，但綈p⇒/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件．(3)显然x∈A∪B不一定有x∈B，但x∈B一定有x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件．(4)条件p：x＝1且y＝2，条件q：x＝1或y＝2，所以p⇒q但q⇒/ p，故p是q的充分不必要条件．判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．【训练3】(2010·山东)设{a n}是首项大于零的等比数列，则“a1＜a2”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析a1＜a2且a1＞0，则a1(1－q)＜0，a1＞0且q＞1，则数列{a n}递增；反之亦然．答案：C难点突破2——高考中充要条件的求解从近几年课改区高考试题可以看出，高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一般难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查．考查形式主要有两种：一是判断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件．判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分．一、充要条件与不等式的解题策略【示例】►(2011·天津)设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件二、充要条件与方程结合的解题策略【示例】►(2011·陕西)设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________.三、充要条件与数列结合的解题策略【示例】►(2010·山东)设{a n}是等比数列，则“a1＜a2＜a3”是“数列{a n}是递增数列”的()．A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件四、充要条件与向量结合的解题策略【示例】►(2010·福建)若向量a ＝(x,3)(x ∈R )，则“x ＝4”是“|a |＝5”的( )．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件五、充要条件与三角函数结合的解题策略【示例】► (2010·上海)“x ＝2k π＋π4(k ∈Z )”是“tan x ＝1”成立的()． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件。
2019年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语课时达标2命题及其关系充分条件与必要条件理[解密考纲]考查命题及其相互关系、充分条件及必要条件的定义，与高中所学知识交汇考查，常以选择题、填空题的形式呈现，考卷中常排在靠前的位置．一、选择题1．(2016·上海卷)设a∈R，则“a>1”是“a2>1”的( A )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件2．原命题为“△ABC中，若cos A<0，则△ABC为钝角三角形”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( B )A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．真，假，假解析：因为cos A<0,0<A<π，则A必为钝角，△ABC为钝角三角形，所以原命题为真，从而逆否命题也为真；△ABC为钝角三角形，可能是B或C为钝角，A为锐角，则cos A>0，所以逆命题为假，从而否命题也为假，故选B．3．(2015·湖北卷)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线，q：l1，l2不相交，则( A )A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件解析：两直线异面，则两直线一定无交点，即两直线一定不相交；而两直线不相交，有可能是平行，不一定异面，故两直线异面是两直线不相交的充分不必要条件，故选A．4．(2017·安徽合肥八中月考)已知a，b是两个非零向量，给定命题p：|a＋b|＝|a|＋|b|；命题q：∃t∈R，使得a＝t b；则p是q的( A )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：|a＋b|＝|a|＋|b|⇔a与b同向，∃t∈R，使得a＝t b⇔a与b同向或反向，显然p⇒q，q⇒/p，故选A．5．(2016·四川卷)A＝{x||x－1|≥1，x∈R}，B＝{x|log2x＞1，x∈R}，则“x∈A”是“x∈B”的( B )A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既非充分也非必要条件解析：由已知得A ＝(－∞，0]∪[2，＋∞)，B ＝(2，＋∞)，若“x ∈B ”，则必有“x ∈A ”，反之不成立，即得“x ∈A ”是“x ∈B ”的必要非充分条件，故选B ．6．下列四个选项中错误的是( B )A ．命题“若x ≠1，则x 2－3x ＋2≠0”的逆否命题是“若x 2－3x ＋2＝0，则x ＝1”B ．若p ∨q 为真命题，则p ，q 均为真命题C ．若命题p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≠0，则¬p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1＝0D ．“x ＞2”是“x 2－3x ＋2＞0”的充分不必要条件解析：对于A ，显然是正确的；对于B ，根据复合命题的真值表知，有p 真q 假、p 假q 真、p 真q 真三种情况，故选项B 是错误的；对于C ，由全称命题的否定形式知选项C 是正确的；对于D ，x 2－3x ＋2>0的解是x >2或x <1，故选项D 是正确的．二、填空题7．(2017·山东邹城模拟)已知命题p ：“若a >b >0，则log 12 a <log 12b ＋1”，命题p的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中真命题的个数为2.解析：∵a >b >0，∴log 12 a <log 12b ，∴命题p 为真命题，其逆命题为：若log 12 a <log 12b ＋1，则a >b >0，∵a ＝2，b ＝2时，log 12 a <log 12b ＋1，而a ＝b .∴逆命题为假命题．根据命题与其逆否命题的真假相同，逆命题与否命题互为逆否命题，知命题p 的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中只有原命题及其逆否命题是真命题．8．记不等式x 2＋x －6<0的解集为集合A ，函数y ＝lg(x －a )的定义域为集合B ．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数a 的取值范围为(－∞，－3]．解析：由x 2＋x －6<0得－3<x <2，即A ＝(－3,2)，由x －a >0，得x >a ，即B ＝(a ，＋∞)，若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则A ⊆B ，则a ≤－3.9．下列四个命题中，真命题的序号是①②③④.(写出所有真命题的序号)①若a ，b ，c ∈R ，则“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件；②命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”；③命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”；④函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上有且仅有一个零点． 解析：①若c ＝0，则不论a ，b 的大小关系如何，都有ac 2＝bc 2，而若ac 2＞bc 2，则有a＞b ，故“ac 2＞bc 2”是“a ＞b ”成立的充分不必要条件，故①为真命题；②特称命题的否定是全称命题，故命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，故②为真命题；③命题“若p ，则q ”的否命题是“若¬p ，则¬q ”，故命题“若|x |≥2，则x ≥2或x ≤－2”的否命题是“若|x |＜2，则－2＜x ＜2”，故③为真命题；④由于f (1)f (2)＝⎝⎛⎭⎪⎫ln 1＋1－32⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋2－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 2＋12＜0，则函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上存在零点，又由函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上为增函数，所以函数f (x )＝ln x ＋x －32在区间(1,2)上有且仅有一个零点，故④为真命题． 三、解答题10．已知p ：－4<x －a <4，q ：(x －2)(3－x )>0，若¬p 是¬q 的充分条件，求实数a 的取值范围．解析：p ：－4<x －a <4⇒a －4<x <a ＋4，q ：(x －2)(3－x )>0⇒2<x <3，又¬p 是¬q 的充分条件，即¬p ⇒¬q ，等价于q ⇒p ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －4≤2，a ＋4≥3，解得－1≤a ≤6，即a ∈[－1,6]．11．(2016·山东淄博期末)函数f (x )＝lg(x 2－2x －3)的定义域为集合A ，函数g (x )＝2x －a (x ≤2)的值域为集合B ．(1)求集合A ，B ；(2)已知命题p ：m ∈A ，命题q ：m ∈B ，若¬p 是¬q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．解析：(1)A ＝{x |x 2－2x －3＞0}＝{x |(x －3)(x ＋1)＞0}＝{x |x ＜－1或x ＞3}，B ＝{y |y ＝2x －a ，x ≤2}＝{y |－a ＜y ≤4－a }．(2)∵¬p 是¬q 的充分不必要条件，∴q 是p 的充分不必要条件，∴B A ，∴4－a <－1或－a ≥3，∴a ≤－3或a >5，即a 的取值范围是(－∞，－3]∪(5，＋∞)．12．已知p ：x 2－8x －20≤0；q ：x 2－2x ＋1－m 4≤0.(1)若p 是q 的必要条件，求m 的取值范围；(2)若¬p 是¬q 的必要不充分条件，求m 的取值范围．解析：由x 2－8x －20≤0得－2≤x ≤10，即p ：－2≤x ≤10，q ：1－m 2≤x ≤1＋m 2.(1)若p 是q 的必要条件， 则⎩⎪⎨⎪⎧1－m 2≥－2，1＋m 2≤10，即⎩⎪⎨⎪⎧ m 2≤3，m 2≤9，即m 2≤3，解得－3≤m ≤3， 即m 的取值范围是[－3，3]． (2)∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件．即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－m 2≤－2，1＋m 2≥10，即m 2≥9，解得m ≥3或m ≤－3. 即m 的取值范围是(－∞，－3]∪[3，＋∞)．。
命题及其关系、充分条件与必要条件【考点梳理】．命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．．四种命题及其相互关系()四种命题间的相互关系()四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系．．充分条件与必要条件()如果⇒，则是的充分条件，是的必要条件．()如果⇔，那么与互为充要条件．()如果，且，则是的既不充分也不必要条件．．集合与充要条件设集合＝{满足条件}，＝{满足条件}，则有：()若⊆，则是的充分条件，若，则是的充分不必要条件．()若⊆，则是的必要条件，若，则是的必要不充分条件．()若＝，则是的充要条件．【考点突破】考点一、四种命题的关系及其真假判断【例】()命题“若，则”的逆否命题是( ).若，则.若，则.若，则.若，则() 给出下列命题：①“∃∈，－＋≤”的否定；②“若＋－≥，则>”的否命题；③命题“若－＋＝，则＝”的逆否命题.其中真命题的个数是( )[答案] () ()[解析] ()命题“若，则”的逆否命题是“若，则”，显然：，：，所以该命题的逆否命题是“若，则”.() ①的否定是“∀∈，－＋>”是真命题，①正确；②的否命题是“若＋－<，则≤”，由＋－<，得－<<，∴≤成立，②正确；③由－＋＝，得＝或＝，原命题是假命题，因此可知逆否命题为假命题，③错误.综上可知，真命题是①，②.【类题通法】.写一个命题的其他三种命题时，需注意：()对于不是“若，则”形式的命题，需先改写；()若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提..判断命题真假的种方法()直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．()间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．【对点训练】.命题“若>，则＋>＋”的否命题是( ).若≤，则＋≤＋ .若＋≤＋，则≤.若＋>＋，则> .若>，则＋≤＋[答案][解析] 将条件、结论都否定.命题“若>，则＋>＋”的否命题是“若≤，则＋≤＋”..原命题：设，，∈，若“>”，则“>”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有( )个个个个。
第1讲 命题及其关系、充分条件与必要条件一、选择题1．(2017·高考全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{2，4，6，8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.因为集合A 和集合B 有共同元素2，4，所以A ∩B ＝{2，4}，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．(2017·高考北京卷)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x <－2或x >2}，则∁U A ＝( )A ．(－2，2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．[－2，2]D ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) 解析：选C.根据补集的定义可知，∁U A ＝{x |－2≤x ≤2}＝[－2，2]，故选C.3．(2017·高考天津卷)设集合A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1，2，4}C ．{1，2，4，6}D ．{x ∈R |－1≤x ≤5}解析：选B.因为A ＝{1，2，6}，B ＝{2，4}，所以A ∪B ＝{1，2，4，6}，又C ＝{x ∈R |－1≤x ≤5}，所以(A ∪B )∩C ＝{1，2，4}．故选B.4．(2018·广东五校协作体第一次诊断考试)已知集合A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，则A ∩B 中的元素个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选B.A ＝{x |2x 2－5x －3≤0}＝{x |－12≤x ≤3}，B ＝{x ∈Z |x ≤2}，A ∩B ＝{0，1，2}，故选B.5．(2018·福州综合质量检测)已知集合A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}，B ＝{x |1＜2x ≤4，x ∈N }，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．(1，2]C ．{2}D ．{1，2}解析：选C.法一：因为A ＝{x |x 2－4x ＋3＜0}＝{x |1＜x ＜3}，B ＝{x |1＜2x ≤4，x ∈N }＝{1，2}，所以A ∩B ＝{2}，故选C.法二：因为1∉A ，所以1∉A ∩B ，故排除D ；因为1.1∉B ，所以1.1∉A ∩B ，故排除B ；因为2∈A ，2∈B ，所以2∈A ∩B ，故排除A.故选C.6．已知全集为整数集Z .若集合A ＝{x |y ＝1－x ，x ∈Z }，B ＝{x |x 2＋2x >0，x ∈Z }，则A ∩(∁Z B )＝( )A ．{－2}B ．{－1}C ．[－2，0]D ．{－2，－1，0}解析：选D.由题可知，集合A ＝{x |x ≤1，x ∈Z }，B ＝{x |x >0或x <－2，x ∈Z }，故A ∩(∁Z B )＝{－2，－1，0}，故选D.7．(2018·陕西质量检测(一))已知集合A ＝{x |log 2x ≥1}，B ＝{x |x 2－x －6＜0}，则A ∩B ＝( )A ．∅B ．{x |2＜x ＜3}C ．{x |2≤x ＜3}D ．{x |－1＜x ≤2}解析：选C.化简集合得A ＝{x |x ≥2}，B ＝{x |－2＜x ＜3}，则A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}，选C.8．(2018·洛阳第一次模拟)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4＞0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x ＜4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D.依题意得A ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，选D.9．设集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫5，b a ，a －b ，B ＝{b ，a ＋b ，－1}，若A ∩B ＝{2，－1}，则A ∪B ＝( ) A ．{2，3}B ．{－1，2，5}C ．{2，3，5}D ．{－1，2，3，5}解析：选D.由A ∩B ＝{2，－1}，可得⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2.当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝2，a －b ＝－1时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.此时B ＝{2，3，－1}，所以A ∪B ＝{－1，2，3，5}；当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝－1，a －b ＝2时，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1，此时不符合题意，舍去．10．已知集合A ＝{1，2，3}，B ＝{x |x 2－3x ＋a ＝0，a ∈A }，若A ∩B ≠∅，则a 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．1或2解析：选B.当a ＝1时，B ∩B ＝∅；当a ＝2时，B ＝{1，2}，A ∩B ＝{1，2}≠∅；当a ＝3时，B ＝∅，则 2.选B.11．已知集合A ＝{0，1，2，3，4}∈A }，则A ∩B 的真子集个数为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选C.由题意，得B ＝{0，1，2，3，2}，所以A ∩B ＝{0，1，2}，所以A ∩B的真子集个数为23－1＝7，故选C.12．设集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}，B ＝{x |x －a >0}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，－1]C ．(－∞，－2)D ．(－∞，－2]解析：选 B.因为集合A ＝{x |y ＝lg(－x 2＋x ＋2)}＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |x >a }，因为A ⊆B ，所以a ≤－1.二、填空题13．(2017·高考江苏卷)已知集合A ＝{1，2}，B ＝{a ，a 2＋3}．若A ∩B ＝{1}，则实数a 的值为________．解析：因为B ＝{a ，a 2＋3}，A ∩B ＝{1}，所以a ＝1或a 2＋3＝1，因为a ∈R ，所以a ＝1.经检验，满足题意．答案：114．设集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，则A ∩(∁I B )＝________． 解析：因为集合I ＝{x |－3<x <3，x ∈Z }＝{－2，－1，0，1，2}，A ＝{1，2}，B ＝{－2，－1，2}，所以∁I B ＝{0，1}，则A ∩(∁I B )＝{1}．答案：{1}15．设全集U ＝{x ∈N *|x ≤9}，∁U (A ∪B )＝{1，3}，A ∩(∁U B )＝{2，4}，则B ＝________．解析：因为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7，8，9}，由∁U (A ∪B )＝{1，3}，得A ∪B ＝{2，4，5，6，7，8，9}，由A ∩(∁U B )＝{2，4}知，{2，4}⊆A ，{2，4}⊆∁U B .所以B＝{5，6，7，8，9}．答案：{5，6，7，8，9}16．已知集合A＝{x|4≤2x≤16}，B＝[a，b]，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．解析：集合A＝{x|4≤2x≤16}＝{x|22≤2x≤24}＝{x|2≤x≤4}＝[2，4]，因为A⊆B，所以a≤2，b≥4，所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]。
