1.1 集合与常用逻辑用语(改)1

第一章集合与常用逻辑用语第一章集合与常用逻辑用语§1.1集合的概念与运算一、知识导学1.集合：一般地，一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合.2.元素：集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元.3.子集：如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素（若则），则称集合A为集合B的子集，记为AB或BA；如果AB，并且AB，这时集合A称为集合B的真子集，记为AB或BA.4.集合的相等：如果集合A、B同时满足AB、BA，则A=B.5.补集：设AS，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的补集，记为.6.全集：如果集合S包含所要研究的各个集合，这时S可以看做一个全集，全集通常记作U.7.交集：一般地，由所有属于集合A且属于B的元素构成的集合，称为A与B的交集，记作AB.8.并集：一般地，由所有属于集合A或者属于B的元素构成的集合，称为A与B的并集，记作AB.9.空集：不含任何元素的集合称为空集，记作.10.有限集：含有有限个元素的集合称为有限集.11.无限集：含有无限个元素的集合称为无限集.12.集合的常用表示方法：列举法、描述法、图示法（Venn 图）.13.常用数集的记法：自然数集记作N，正整数集记作N+或N，整数集记作Z，有理数集记作Q，实数集记作R.二、疑难知识导析1.符号，，，，=，表示集合与集合之间的关系，其中“”包括“”和“=”两种情况，同样“”包括“”和“=”两种情况.符号，表示元素与集合之间的关系.要注意两类不同符号的区别.2.在判断给定对象能否构成集合时，特别要注意它的“确定性”，在表示一个集合时，要特别注意它的“互异性”、“无序性”.3.在集合运算中必须注意组成集合的元素应具备的性质.4.对由条件给出的集合要明白它所表示的意义，即元素指什么，是什么范围．用集合表示不等式（组）的解集时，要注意分辨是交集还是并集，结合数轴或文氏图的直观性帮助思维判断．空集是任何集合的子集，但因为不好用文氏图形表示，容易被忽视，如在关系式中，B=易漏掉的情况.5.若集合中的元素是用坐标形式表示的，要注意满足条件的点构成的图形是什么，用数形结合法解之.6.若集合中含有参数，须对参数进行分类讨论，讨论时既不重复又不遗漏.7.在集合运算过程中要借助数轴、直角坐标平面、Venn图等将有关集合直观地表示出来.8.要注意集合与方程、函数、不等式、三角、几何等知识的密切联系与综合使用.9.含有n个元素的集合的所有子集个数为：，所有真子集个数为：-1三、经典例题导讲[例1] 已知集合M={y|y=x2＋1,x∈R},N={y|y =x＋1,x∈R}，则M∩N=（）A．（0，1），（1，2）B．{（0，1），（1，2）}C．{y|y=1,或y=2}D．{y|y≥1}错解：求M∩N及解方程组得或∴选B错因：在集合概念的理解上，仅注意了构成集合元素的共同属性，而忽视了集合的元素是什么．事实上M、N的元素是数而不是实数对(x,y)，因此M、N是数集而不是点集,M、N分别表示函数y=x2＋1(x∈R)，y=x＋1(x∈R)的值域，求M∩N即求两函数值域的交集．正解：M={y|y=x2＋1,x∈R}={y|y≥1}，N={y|y=x＋1,x∈R}={y|y∈R}．∴M∩N={y|y≥1}∩{y|(y∈R)}={y|y≥1},∴应选D．注：集合是由元素构成的，认识集合要从认识元素开始，要注意区分{x|y=x2＋1}、{y|y=x2＋1,x∈R}、{(x,y)|y=x2＋1,x ∈R}，这三个集合是不同的．[例2] 已知A={x|x2－3x＋2=0},B={x|ax－2=0}且A∪B=A，求实数a组成的集合C．错解：由x2－3x＋2=0得x=1或2．当x=1时，a=2，当x=2时，a=1．错因：上述解答只注意了B为非空集合，实际上，B=时，仍满足A∪B=A.当a=0时，B=，符合题设，应补上，故正确答案为C={0，1，2}．正解：∵A∪B=A ∴BA又A={x|x2－3x＋2=0}={1，2}∴B=或∴C={0，1，2}[例3]已知mA,nB, 且集合A=，B=，又C=，则有：（）A．m+nA B. m+nB C.m+nC D.m+n不属于A，B，C中任意一个错解：∵mA，∴m=2a,a,同理n=2a+1,aZ,∴m+n=4a+1,故选C错因是上述解法缩小了m+n的取值范围.正解：∵mA,∴设m=2a1,a1Z, 又∵n,∴n=2a2+1,a2 Z ,∴m+n=2(a1+a2)+1,而a1+a2 Z , ∴m+nB, 故选B.[例4］已知集合A={x|x2－3x－10≤0}，集合B={x|p＋1≤x≤2p－1}．若BA，求实数p的取值范围．错解：由x2－3x－10≤0得－2≤x≤5．欲使BA，只须∴p的取值范围是－3≤p≤3.错因：上述解答忽略了"空集是任何集合的子集"这一结论，即B=时，符合题设．正解：①当B≠时，即p＋1≤2p－1p≥2.由BA得：－2≤p＋1且2p－1≤5.由－3≤p≤3.∴2≤p≤3②当B=时，即p＋1>2p－1p＜2.由①、②得：p≤3.点评：从以上解答应看到：解决有关A∩B=、A∪B=，AB 等集合问题易忽视空集的情况而出现漏解，这需要在解题过程中要全方位、多角度审视问题．[例5] 已知集合A={a,a＋b,a＋2b}，B={a,ac,ac2}．若A=B，求c的值．分析：要解决c的求值问题，关键是要有方程的数学思想，此题应根据相等的两个集合元素完全相同及集合中元素的确定性、互异性，无序性建立关系式．解：分两种情况进行讨论．（1）若a＋b=ac且a＋2b=ac2，消去b得：a＋ac2－2ac=0，a=0时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故a≠0．∴c2－2c＋1=0，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．（2）若a＋b=ac2且a＋2b=ac，消去b得：2ac2－ac－a=0，∵a≠0，∴2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故c=－．点评：解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验.[例6] 设A是实数集，满足若a∈A，则A，且1?A.⑴若2∈A，则A中至少还有几个元素？求出这几个元素.⑵A能否为单元素集合？请说明理由.⑶若a∈A，证明：1－∈A.⑷求证：集合A中至少含有三个不同的元素.解：⑴2∈A ? －1∈A ? ∈A ? 2∈A∴A中至少还有两个元素：－1和⑵如果A为单元素集合，则a＝即＝0该方程无实数解，故在实数范围内，A不可能是单元素集⑶a∈A ? ∈A ? ∈A?A，即1－∈A⑷由⑶知a∈A时，∈A，1－∈A.现在证明a,1－, 三数互不相等.①若a=,即a2-a+1=0，方程无解，∴a≠②若a=1－，即a2-a+1=0，方程无解∴a≠1－③若1－=，即a2-a+1=0，方程无解∴1－≠.综上所述，集合A中至少有三个不同的元素.点评：⑷的证明中要说明三个数互不相等，否则证明欠严谨. [例7] 设集合A={|=,∈N+}，集合B={|=,∈N+}，试证：AB．证明：任设∈A，则==(＋2)2－4(＋2)＋5(∈N+),∵n∈N*，∴n＋2∈N*∴a∈B故①显然，1，而由B={|=,∈N+}={|=，∈N+}知1∈B，于是A≠B②由①、②得AB．点评：（1）判定集合间的关系，其基本方法是归结为判定元素与集合之间关系．（2）判定两集合相等，主要是根据集合相等的定义．四、典型习题导练1．集合A={x|x2－3x－10≤0，x∈Z}，B={x|2x2－x－6＞0，x∈Z}，则A∩B的非空真子集的个数为（）A．16B．14C．15 D．322．数集{1，2，x2－3}中的x不能取的数值的集合是（）A．{2，-2 } B．{－2，－}C．{±2，±} D．{，－}3.若P={y|y=x2,x∈R}，Q={y|y=x2＋1,x∈R}，则P∩Q等于（）A．P B．QC．D．不知道4. 若P={y|y=x2,x∈R}，Q={(x，y)|y=x2,x∈R}，则必有（）A．P∩Q=B．P Q C．P=QD．P Q5．若集合M＝｛｝，N＝{|≤}，则MN＝（）A．B．C．D．6.已知集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，若A∩R＋=，则实数m的取值范围是_________．7.（06高考全国II卷）设，函数若的解集为A，，求实数的取值范围.8.已知集合A=和B=满足A∩B=，A∩B=，I=R，求实数a,b的值.§1.2．常用逻辑用语一、知识导学1．逻辑联结词：“且”、“或”、“非”分别用符号“”“”“”表示.2．命题：能够判断真假的陈述句．3．简单命题：不含逻辑联结词的命题4．复合命题：由简单命题和逻辑联结词构成的命题，复合命题的基本形式：p或q；p且q；非p5．四种命题的构成：原命题：若p则q；逆命题：若q则p；否命题：若p 则q ；逆否命题：若q 则p.6．原命题与逆否命题同真同假，是等价命题，即“若p则q”“若q 则p ”.7．反证法：欲证“若p则q”，从“非q”出发，导出矛盾，从而知“若p则非q”为假，即“若p则q”为真.8．充分条件与必要条件：①pq：p是q的充分条件；q是p的必要条件；②pq：p是q的充要条件.9．常用的全称量词：“对所有的”、“对任意一个”“对一切”“对每一个”“任给”等；并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称命题.10．常用的存在量词：“存在一个”、“至少有一个”、“有些”、“有一个”、“有的”、“对某个”；并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做特称命题.二、疑难知识导析1．基本题型及其方法（1）由给定的复合命题指出它的形式及其构成；（2）给定两个简单命题能写出它们构成的复合命题，并能利用真值表判断复合命题的真假；（3）给定命题，能写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并能运用四种命题的相互关系，特别是互为逆否命题的等价性判断命题的真假.注意：否命题与命题的否定是不同的. （4）判断两个命题之间的充分、必要、充要关系；方法：利用定义（5）证明的充要条件是；方法：分别证明充分性和必要性（6）反证法证题的方法及步骤：反设、归谬、结论.反证法是通过证明命题的结论的反面不成立而肯定命题的一种数学证明方法，是间接证法之一.注：常见关键词的否定：关键词是都是（全是）（）至少有一个至多有一个任意存在否定不是不都是（全是）（）一个也没有至少有两个存在任意。

第一章集合与常用逻辑用语§1.1 集合的概念及运算已知数集A＝{0，1，x＋2}，那么x的取值集合为() A．{x⎪⎪⎪x≠－2} B．{x⎪⎪⎪x≠－1}C．{x⎪⎪⎪x≠－2且x≠－1} D．x∈R下列判断正确的命题个数为()①a∈{a}; ②{a}∈{a，b}；③{a，b}⊆{b，a}; ④∅⊆{0}；A．1个B．2个C．3个D．4个集合A＝{1，2，3}的非空真子集的个数为()A．3个B．6个C．7个D．8个设全集U＝R，A＝{x⎪⎪x<1}，B＝{x⎪⎪x>m}，若∁U A⊆B，则实数m的取值范围为()A．m<1 B．m≤1 C．m>1 D．m≥1已知{1，2}⊆A⊆{1，2，3，4，5}，则集合A的个数为____________ .设全集U＝R，A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∩B＝____________；A∪B＝____________；A∪∁U B＝____________．【知识导图】【知识梳理】集合与元素(1)集合中元素的三个特征：______、______、______．(2)元素与集合的关系是____或______两种，用符号__或____表示． (3)集合的表示法：______、______、______． (4)常见数集的记法集合间的基本关系集合的基本运算知识点一 集合的含义与表示已知集合A ＝{m ＋2，2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为____________．【跟踪反馈】(2020·江苏模拟)已知a ，b ∈R ，若⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b ，0}，则a2019＋b2019＝____________.若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝()A.92 B.98C．0D．0或98知识点二集合的基本关系(2019·安徽三模)已知集合A＝{x|x(x－2)<0}, B＝{x⎪⎪ln x>0}，则A∩B是( )A．{x|1<x<2} B．{x|0<x<2}C．{x⎪⎪x>0} D．{x⎪⎪x>2}【跟踪反馈】(2019·广东三模)已知集合A＝{x|x2＋x－2<0}，集合B＝{x|x>0}，则集合A∪B＝( )A．{x|x<1} B．{x|x>－2}C．{x|0<x<1} D．{x|－2<x<1}已知集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|－m<x<m}，若B⊆A，则m的取值范围为____________．知识点三集合中的新定义问题(1)(2020·武汉模拟)设A，B是两个非空集合，定义集合A－B＝{x|x∈A，且x∉B}．若A＝{x∈N|0≤x≤5}，B＝{x|x2－7x＋10＜0}，则A－B＝() A．{0，1} B．{1，2}C．{0，1，2} D．{0，1，2，5}(2)若对任意的x∈A，有1x∈A，则称A是“伙伴关系集合”，则集合M＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，0，12，1，2的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为____________．【跟踪反馈】设A ，B 是非空集合，定义A ⊗B ＝{x |x ∈A ∪B 且x ∉A ∩B }．已知集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{y |y ≥0}，则A ⊗B ＝____________.若全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－5x －6＜0}，B ＝{x |2x ＜1}，则如图1-1-1所示阴影部分表示的集合是( )A ．{x |2＜x ＜3}B ．{x |－1＜x ≤0}C ．{x |0≤x ＜6}D ．{x |x ＜－1}图1-1-1一、选择题已知集合A＝{y|y＝|x|－1，x∈R}，B＝{x|x≥2}，则下列结论正确的是( ) A．－3∈A B．3∉BC．A∩B＝B D．A∪B＝B(2019·石嘴山三模)已知集合P＝{－1，1}，集合Q＝{x∈N|x<3}，则P∪Q ＝( )A．{－1，1，2} B．{－1，0，1，2}C．{－1，1，2，3} D．{－1，0，1，2，3}(2019·海南三模)设集合A＝{a，a＋1}，B＝{1，2，3}，若A∪B的元素个数为4，则a的取值集合为( )A．{0} B．{0，3}C．{0，1，3} D．{1，2，3}已知集合A＝{x|－1<x<0}，B＝{x|x≤a}，若A⊆B，则a的取值范围为( ) A．(－∞，0] B．[0，＋∞)C．(－∞，0) D．(0＋∞)(2020·沈阳模拟)已知全集U ＝{1，3，5，7}，集合A ＝{1，3}，B ＝{3，5}，则如图1-1-2所示阴影区域表示的集合为( )A ．{3}B ．{7}C ．{3，7}D ．{1，3，5}图1-1-2(多选)设集合M ＝{－1，1}，N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x |1x ＜2，则下列结论中正确的是()A ．NM B ．M NC ．M ∩N ＝M D. M ∩N ＝N二、填空题(2020·江苏模拟)若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝____________.(2019·江苏卷)集合{－1，0，1}共有____________个子集．已知集合A＝{m＋2，2m2＋m}，若3∈A，则实数m的值为____________．(2019·江苏卷)已知集合A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，则A∩B ＝____________，A∩B的子集个数为____________．三、解答题(2020·江苏模拟)已知全集U＝{2，3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|，2}，∁U A ＝{5}，求实数a的值．(2020·江苏模拟)已知集合A＝{x|1＜x＜3}，集合B＝{x|2m＜x＜1－m}．(1)当m＝－1时，求A∪B；(2)若A⊆B，求实数m的取值范围；(3)若A∩B＝∅，求实数m的取值范围．【B 组】 提升篇一、选择题(2019·安徽三模)设集合A ＝{x ∈N |x 2－4x －5<0}，集合B ＝{y |y ＝4－x ，x∈[2，4]}，则A ∩B 等于( )A ．{1，2}B ．{3，4}C ．∅D ．{0，1，2}(2020·湖南模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ＋31－x ≥0，则∁R A ＝( )A ．[－3，1)B ．(－∞，－3]∪(1，＋∞)C ．(－3，1)D ．(－∞，－3)∪[1，＋∞)(多选)已知集合P ＝{2，3，4，5，6}，Q ＝{3，5，7}．若M ＝P ∩Q ，则下列结论正确的有( )A ．集合M 中有2个元素B ．集合M 的真子集个数为3C ．集合M 的子集个数为3D ．集合M 的子集个数为4二、填空题若集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}，集合B ＝{x |5－m ＜x ＜2m －1}，若全集U＝R ，A ∩(∁U B )＝A ，则实数m 的取值范围是____________．若＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫cos π2，a 2，a ＋b ，则a ＝____________，a2020＋b2020的值为____________．三、解答题若集合A＝{(x，y)|x2＋mx－y＋2＝0，x∈R}，B＝{(x，y)|x－y＋1＝0，0≤x≤2}，当A∩B≠∅时，求实数m的取值范围．C因为集合的元素满足互异性，所以x＋2≠0且x＋2≠1，得x≠－2且x≠－1，故选C.C①集合的表示方法，正确；②两个集合之间的关系，不正确；③正确；④∅是任何集合的子集，正确，故选C.B若一个集合的元素个数为n，则其子集个数为2n，真子集的个数为2n－1，非空子集的个数为2n－1，则非空真子集的个数为2n－2，故选B.A因为集合A＝{x⎪⎪x<1}，所以集合∁U A＝{x⎪⎪⎪x≥1}，又∁U A⊆B，所以m<1，故选A.，全集与补集的性质．8问题可转化为求集合{3，4，5}的子集个数，即集合A的个数为8.{x|2＜x≤3}；{x|1≤x＜4}；{x|x≤3或x≥4}在数轴上分别表示出集合A，B，∁U B，即得∁U B＝{x≤2或x≥4}．交集与并集的概念；②交集与并集的运算和性质．集合与元素确定性、互异性、无序性．属于或不属于∈或∈/列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合间的基本关系A B(或B A)集合的基本运算知识点一 集合的含义与表示－32因为3∈A ，所以m ＋2＝3或者2m 2＋m ＝3.当m ＋2＝3时，m ＝1，此时m ＋2＝2m 2＋m ，不成立，舍去．当2m 2＋m ＝3时，m ＝1(舍去)或者m ＝－32 ，此时集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3.综上所述，满足条件的实数m ＝－32.确定元素与集合之间的关系，注意检验集合是否满足元素的互异性． 【跟踪反馈】－1由条件得ba ＝0，所以b ＝0.因此{a ，0，1}＝{a 2，a ，0}，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝1，a ≠1，所以a ＝－1.所以a2019＋b2019＝－1.D知识点二 集合的基本关系A因为集合A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x ⎪⎪x >1}，所以A ∩B ＝{x ⎪⎪1<x <2}，故答案选A.判断集合间的关系，要注意先对集合进行化简，再进行判断，并且在描述关系时，要尽量精确．常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【跟踪反馈】B因为集合A ＝{x |－2<x <1}，所以A ∪B ＝{x ⎪⎪⎪x >－2}，故选B.m ≤1当m ≤0时，B ＝∅；当m ＞0时， ⎩⎪⎨⎪⎧m ≤2，－m ≥－1，得0＜m ≤1.所以m ≤1.知识点三 集合中的新定义问题(1)D ；(2)7(1)A ＝{0，1，2，3，4，5}，B ＝{x |2<x <5}，所以A －B ＝{0，1，2，5}． (2)具有伙伴关系的元素组有－1；1；2和12共三组，它们中任一组、两组、三组均可组成非空伙伴关系集合，所以非空伙伴关系集合分别为{1}，{－1}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，{－1，1}，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，2，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1，12，2，共7个．(1)紧扣“新”定义，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚．(2)把握“新”性质，要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．(3)遵守“新”法则，准确把握新定义的运算法则【跟踪反馈】{0}∪[2，＋∞)A ∪B ＝{x |x ≥0}，A ∩B ＝{x |0<x <2}，则A ⊗B ＝{0}∪[2，＋∞).CA＝{x|－1＜x＜6}，B＝{x|x＜0}，阴影表示数字集合A∩(∁U B)，而∁U B＝{x|x≥0}，所以A∩(∁U B)＝{x|0≤x＜6}．故选C.C因为集合A＝{y|y≥－1}，所以A∩B＝{x|x≥2}＝B，A∪B＝{x|x≥－1}＝A，故选C.B因为集合Q＝{0，1，2}，所以P∪Q＝{－1，0，1，2}，故选B.B若a＝0，则A∪B＝{0，1，2，3}共4个元素；若a＝1，则A∪B＝{1，2，3}共3个元素；若a ＝2，则A ∪B ＝{1，2，3}共3个元素；若a ＝3，则A ∪B ＝{1，2，3，4}共4个元素．所以a ＝0或a ＝3，故选B.D因为A ⊆B ，则a >0，故选D.B将元素按要求填入相应区域可得阴影区域表示的集合为{7}．故选B.BC因为集合N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥12或x ≤0，所以M N ，故选B ，C二、填空题0或98因为集合A 只有一个元素，所以a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，（－3）2－8a ＝0，得a ＝0或a＝98.8元素个数为n的集合的子集个数为2n.－32∵3∈A，∴m＋2＝3或2m2＋m＝3；当m＋2＝3时，m＝1，2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性，m＝1不合题意(舍去)；当2m2＋m＝3时，m＝1(舍去)或m＝－32，m＝－32时，A＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，3，符合题意，综上m＝－3 2.{1，6}；4因为A＝{－1，0，1，6}，B＝{x|x>0，x∈R}，故A∩B＝{1，6}．三、解答题2因为∁U A ＝{5}，∴5∈U ， ∴a 2＋2a －3＝5，a 2＋2a －8＝0，∴a ＝2或a ＝－4.a ＝2时，|2a －1|＝3满足题设；a ＝－4时，|2a －1|＝9∈/ U ，舍去．所以a 的值为2.(1){x |－2<x <3}；(2)(－∞，－2]；(3)[0，＋∞)(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}，则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B知⎩⎪⎨⎪⎧2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，由A ∩B ＝∅得⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13. 综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．【B 组】 提升篇一、选择题D因为集合A ＝{0，1，2，3，4}，集合B ＝{x ⎪⎪⎪0≤x ≤2}，则A ∩B ＝{0，1，2}，故选D.D由x ＋31－x≥0，得(x ＋3)(x －1)≤0且x ≠1，∴A ＝{x |－3≤x ＜1}，∴∁R A ＝(－∞，－3)∪[1，＋∞)．故选D.ABD因为P ∩Q ＝{3，5}，所以集合M 的子集个数为4，真子集个数为3.故选A ，B ，D .二、填空题(－∞，3]∵集合A ＝{x |x 2＋2x －8＜0}＝{x |－4＜x ＜2}，B ＝{x |5－m ＜x ＜2m －1}，全集U ＝R ，∴∁U B ＝{x |x ≤5－m 或x ≥2m －1}，∵A ∩(∁U B )＝A ，∴A ⊆∁U B ，∴当B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜2m －1，5－m ≥2或⎩⎪⎨⎪⎧5－m ＜2m －1，2m －1≤－4，解得2＜m ≤3；当B ＝∅时，5－m ≥2m －1，m ≤2.综上所述，实数m 的取值范围是(－∞，3]．1；1因为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫sin π2，a ，b a ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫cos π2，a 2，a ＋b ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，a ，b a ＝{0，a 2，a ＋b}，所以⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝0，a a 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝0(舍去)，故a 2020＋b 2020＝1.三、解答题m ∈(－∞，－1]∵集合A ＝{(x ，y )|x 2＋mx －y ＋2＝0，x ∈R }＝{(x ，y )|y ＝x 2＋mx ＋2，x ∈R }，B ＝{(x ，y )|x －y ＋1＝0，0≤x ≤2}＝{(x ，y )|y ＝x ＋1，0≤x ≤2}，∴A ∩B ≠∅等价于方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2＋mx ＋2，y ＝x ＋1在x ∈[0，2]上有解，即x 2＋mx ＋2＝x ＋1在[0，2]上有解，即x 2＋(m －1)x ＋1＝0在[0，2]上有解，显然，x ＝0不是该方程的解，从而问题等价于－(m －1)＝x ＋1x 在(0，2]上有解．又∵当x ∈(0，2]时，1x ＋x ≥2(当且仅当1x ＝x ，即x ＝1时取“＝”)，∴－(m －1)≥2，∴m ≤－1，即m ∈(－∞，－1]．。

集合与常用逻辑用语第一节集合一、基础知识1．集合的有关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性．元素互异性，即集合中不能出现相同的元素，此性质常用于求解含参数的集合问题中．(2)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法．(3)元素与集合的两种关系：属于，记为∈ ；不属于，记为?.(4)五个特定的集合及其关系图：N *或 N ＋表示正整数集， N 表示自然数集，Z 表示整数集， Q 表示有理数集，R 表示实数集．2．集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，则称 A 是 B 的子集，记作 A? B(或 B? A)．(2)真子集：如果集合 A 是集合 B 的子集，但集合 B 中至少有一个元素不属于A，则称A 是B 的真子集，记作 A B 或 B A.A? B，既要说明 A 中任何一个元素都属于B，也要说明 B 中存在一个元素不A B?A≠ B.属于 A.(3)集合相等：如果 A? B，并且 B? A，则 A＝ B.A? B，A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性， B 中任意一两集合相等： A＝ B?A? B.个元素也符合 A 中元素的特性．(4)空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合 A 的子集，是任何非空集合 B 的真子集．记作 ?.?∈ { ?} ，?? { ?} ， 0??， 0?{ ?},0 ∈ {0} ，?? {0} ．3．集合间的基本运算(1)交集：一般地，由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A 与 B 交集，记作A∩ B，即 A∩ B＝ { x|x∈ A，且 x∈ B} ．(2)并集：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素组成的集合，称为 A 与 B 并集，记作A∪ B，即 A∪ B＝ { x|x∈ A，或 x∈ B} ．(3)补集：对于一个集合A，由全集U 中不属于集合 A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合 A 的补集，记作?U A，即 ?U A＝ { x|x∈ U，且 x?A} ．求集合 A 的补集的前提是“ A是全集U的子集”，集合A其实是给定的条件.从全集中取出集合 A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A.的的U二、常用结论(1)子集的性质：A? A， ?? A， A∩ B? A， A∩B? B.(2)交集的性质：A∩A＝ A， A∩?＝ ?， A∩ B＝B∩ A.(3)并集的性质：A∪B＝ B∪ A，A∪ B? A， A∪ B? B， A∪ A＝ A， A∪ ?＝ ?∪A＝ A.(4)补集的性质：A∪?U A＝U， A∩ ?U A＝ ?，?U(?U A)＝ A， ?A A＝ ?， ?A?＝ A.(5)含有 n 个元素的集合共有2n个子集，其中有2n－ 1 个真子集， 2n－ 1 个非空子集．(6)等价关系： A∩ B＝ A? A? B； A∪ B＝ A? A? B.考点一集合的基本概念[典例 ] (1)(2017全·国卷Ⅲ )已知集合 A＝ {( x，y)|x2＋ y2＝ 1} ，B＝ {( x，y)|y＝ x} ，则 A∩ B 中元素的个数为 ()A ． 3B． 2C．1D． 0b2 2 019 2 019(2)已知 a， b∈ R，若 a，a， 1＝{ a， a＋ b,0} ，则 a＋b的值为 ()A ． 1B． 0C．－ 1D．±1[解析 ] (1)因为 A 表示圆 x2＋y2＝1上的点的集合， B 表示直线 y＝ x 上的点的集合，直线 y＝ x 与圆 x2＋ y2＝1 有两个交点，所以A∩ B 中元素的个数为 2.b＝ 0，所以 b＝ 0，于是 a2＝1，即 a＝ 1 或 a＝－ 1.又根据集合中(2)由已知得 a≠ 0，则a元素的互异性可知a＝ 1 应舍去，因此 a＝－ 1，故 a2 019＋ b2 019＝ (－ 1)2 019＋ 02 019＝－ 1.[答案 ] (1)B(2)C[ 提醒 ]集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．[题组训练 ]1．设集合 A ＝{0,1,2,3} ，B ＝ { x|－ x ∈ A,1－ x?A} ，则集合 B 中元素的个数为 ()A ． 1B ． 2C ．3D ． 4解析： 选 A若 x ∈ B ，则－ x ∈ A ，故 x 只可能是 0，－ 1，－ 2，－ 3，当 0∈B 时， 1－0＝ 1∈ A ；当－ 1∈ B 时， 1－ (－ 1)＝ 2∈A ；当－ 2∈ B 时， 1－ (－ 2)＝ 3∈A ；当－ 3∈B 时， 1 －( －3) ＝4?A ，所以 B ＝ { － 3} ，故集合 B 中元素的个数为 1.2．若集合 A ＝{ x ∈ R|ax 2－ 3x ＋ 2＝ 0} 中只有一个元素，则 a 等于 ()9 9 A. 2B.89C ．0D ． 0 或8解析：选 D若集合 A 中只有一个元素， 则方程 ax 2－ 3x ＋ 2＝0 只有一个实根或有两个相等实根．当 a ＝0 时， x ＝ 2，符合题意．329当 a ≠0 时，由 ＝ (－ 3) － 8a ＝ 0，得 a ＝ 8，所以 a 的值为90 或 .83.（ 2018·厦门模拟 ）已知 P={ x|2<x<k,x ∈N}, 若集合 P 中恰有 3 个元素，则 k 的取值范围为.解析： 因为 P 中恰有 3 个元素，所以 P=｛ 3， 4，5｝，故 k 的取值范围为 5<k ≤6.答案：（ 5， 6］考点二 集合间的基本关系[典例 ](1)已知集合 A ＝ { x|x 2－ 3x ＋ 2＝ 0，x ∈ R} ， B ＝ { x|0<x<5， x ∈ N} ，则 ()A ． B? AB ． A ＝ BC ．ABD ． B A(2)(2019 湖·北八校联考 )已知集合 A ＝ * 2－ 3x<0} ，则满足条件 B? A 的集合 B 的{ x ∈ N |x 个数为 ()A ． 2B ． 3C ．4D ． 8(3)已知集合 A ＝ { x|－ 1<x<3} ，B ＝ { x|－ m<x<m} ，若 B? A ，则 m 的取值范围为 ________．[解析 ](1)由 x 2－ 3x ＋ 2＝0 得 x ＝ 1 或 x ＝ 2，∴ A ＝ {1,2} ．由题意知 B ＝ {1,2,3,4} ，比较 A ， B 中的元素可知 A B ，故选 C.* 2*＝ {1,2}，又 B? A，∴满足条件 B? A 的集合(2)∵ A＝ { x∈ N |x－ 3x<0} ＝ { x∈ N |0<x<3}B 的个数为22＝ 4，故选 C.(3)当 m≤0 时， B＝ ?，显然 B? A.当m>0 时，因为 A＝ { x|－ 1<x<3} ．若 B? A，在数轴上标出两集合，如图，所以－m≥－1，m≤ 3，所以0<m≤1.－ m<m.综上所述， m 的取值范围为(－∞， 1]．[答案 ](1)C (2)C(3)( －∞， 1][变透练清 ](变条件 )若本例 (2)中 A 不变， C＝ { x|0<x<5 ， x∈ N} ，则满足条件A? B? C 的集合 B 1.的个数为 ()A ． 1B． 2C．3D． 4解析：选 D因为 A＝ {1,2} ，由题意知 C＝{1,2,3,4} ，所以满足条件的 B 可为 {1,2} ，{1,2,3} ，{1,2,4} ， {1,2,3,4} ．(变条件 )若本例 (3)中，把条件“ B? A”变为“ A? B”，其他条件不变，则m 的取值2.范围为 ________．解析：若 A? B，由－ m≤ － 1，得 m≥ 3，m≥3∴m 的取值范围为 [3，＋∞ )．答案： [3，＋∞ )3．已知集合A＝ {1,2} ， B＝ { x|x2＋ mx＋ 1＝ 0， x∈ R} ，若 B? A，则实数m 的取值范围为________．解析：①若 B＝ ?，则＝m2－4<0，解得－2<m<2；②若 1∈ B，则 12＋ m＋1＝ 0，解得 m＝－ 2，此时 B＝ {1} ，符合题意；2③若 2∈ B，则 2 ＋ 2m＋ 1＝ 0，解得 m＝－5，此时 B＝ 2，1，不合题意．22综上所述，实数m 的取值范围为 [－ 2,2)．答案： [－ 2,2)考点三集合的基本运算考法 (一 )集合的运算[典例 ](1)(2018天·津高考 )设集合A＝ {1,2,3,4} ， B＝ { － 1,0,2,3} ， C＝ { x∈ R|－ 1≤ x＜2} ，则 (A∪ B)∩ C＝ ()A ． { － 1,1}B． {0,1}C．{ － 1,0,1}D． {2,3,4}(2)已知全集 U＝ R，集合 A＝ { x|x2－ 3x－4>0} ， B＝ { x|－ 2≤ x≤2} ，则如图所示阴影部分所表示的集合为 ()A ． { x|－ 2≤x<4}B．{ x|x≤ 2 或 x≥ 4}C．{ x|－ 2≤ x≤－ 1}D． { x|－ 1≤x≤ 2}[解析 ](1)∵ A＝{1,2,3,4} ， B＝ { －1,0,2,3} ，∴A∪B＝{ －1,0,1,2,3,4} ．又C＝{ x∈R|－ 1≤x＜2} ，∴(A∪B)∩ C＝ { － 1,0,1} ．(2)依题意得 A＝ { x|x<－ 1 或 x>4} ，因此 ?R A＝ { x|－ 1≤ x≤ 4} ，题中的阴影部分所表示的集合为(?R A)∩ B＝ { x|－ 1≤ x≤ 2} ．[答案 ](1)C(2)D考法 (二 )根据集合运算结果求参数[典例 ](1)已知集合 A＝ { x|x2－x－ 12>0} ， B＝ { x|x≥ m} ．若 A∩ B＝ { x|x>4} ，则实数 m 的取值范围是 ()A ． (－ 4,3)B． [－ 3,4]C．( －3,4)D． (－∞， 4](2)(2019河·南名校联盟联考 )已知 A＝{1,2,3,4} ，B＝ { a＋ 1,2a} ，若 A∩ B＝ {4} ，则 a＝()A ． 3B． 2C．2 或3D． 3 或 1[解析 ](1)集合 A＝ { x|x<－3或 x>4} ，∵ A∩ B＝{ x|x>4} ，∴－ 3≤m≤ 4，故选 B.(2)∵ A∩ B＝ {4} ，∴ a＋ 1＝4或 2a＝4.若 a＋1＝ 4，则 a＝ 3，此时 B＝ {4,6} ，符合题意；若 2a＝ 4，则 a＝ 2，此时 B＝ {3,4} ，不符合题意．综上，a＝ 3，故选 A.[答案 ] (1)B(2)A[ 题组训练 ]1．已知集合A ． {1}C ．{0,1,2,3}解析： 选 CA ＝ {1,2,3}因为集合 ， B ＝ { x|(x ＋ 1)(x － 2)<0 ， x ∈ Z} ，则B ． {1,2}D ． { －1,0,1,2,3}B ＝ { x|－ 1<x<2， x ∈Z} ＝{0,1} ，而 A ∪ B ＝ ()A ＝ {1,2,3} ，所以 A ∪B ＝{0,1,2,3} ．2． (2019 ·庆六校联考重 )已知集合 A ＝{ x|2x 2＋ x － 1≤0} ， B ＝ { x|lg x<2} ，则 (?R A) ∩B ＝()1， 1001， 2A. 2B. 2 1， 100D ． ?C. 2解析： 选 A由题意得 A ＝ － 1，1， B ＝ (0,100)，则 ?R A ＝ (－ ∞ ，－ 1)∪1，＋ ∞ ，2 2 所以 (?R A)∩ B ＝1， 100 .213．(2019 合·肥质量检测 )已知集合 A ＝ [1，＋∞ )，B ＝ x ∈ R 2a ≤ x ≤2a － 1 ，若 A ∩ B ≠?，则实数 a 的取值范围是 ()1A ． [1，＋∞ )B. 2， 1 2，＋∞D ． (1，＋∞ )C. 3解析： 选 A因为 A ∩ B ≠?，1a ， 解得 a ≥ 1.所以 2a － 1≥1，a － 1≥2[ 课时跟踪检测 ]1．(2019 ·州质量检测福 )已知集合 A ＝ { x|x ＝ 2k ＋ 1，k ∈ Z} ，B ＝ { x|－ 1<x ≤ 4} ，则集合 A ∩ B中元素的个数为 ()A ． 1B ． 2C ．3D ． 4解析： 选 B依题意，集合 A 是由所有的奇数组成的集合，故A ∩B ＝ {1,3} ，所以集合A ∩B 中元素的个数为2.2．设集合U＝ {1,2,3,4,5,6} ， A＝ {1,3,5} ， B＝ {3,4,5} ，则 ?U(A∪ B)＝ ()A ． {2,6}C．{1,3,4,5}解析：选 A因为A＝ {1,3,5}B． {3,6}D． {1,2,4,6}，B＝ {3,4,5} ，所以 A∪ B＝ {1,3,4,5}．又U＝ {1,2,3,4,5,6}，所以 ?U (A∪ B)＝ {2,6} ．3．(2018 ·津高考天 )设全集为R，集合 A ＝ { x|0＜ x＜ 2} ，B＝ { x|x≥1} ，则 A∩ (?R B)＝ ()A ． { x|0＜ x≤1}B． { x|0＜x＜ 1}C．{ x|1≤ x＜ 2}D． { x|0＜x＜ 2}解析：选B∵全集为R， B＝ { x|x≥ 1} ，∴?R B＝ { x|x＜ 1} ．∵集合 A＝ { x|0＜ x＜ 2} ，∴A∩ (?R B)＝ { x|0＜ x＜ 1} ．4．(2018 ·宁毕业班摸底南)设集合 M＝ { x|x<4} ，集合 N＝ { x|x2－ 2x<0} ，则下列关系中正确的是()A ． M∩ N＝ MC．N∪ (?R M)＝ R解析：选 D由题意可得，B． M∪ (?R N)＝ MD． M∪ N＝ MN＝ (0,2)， M＝ (－∞，4)，所以M∪ N＝M.5．设集合 A＝ x 1≤ 2x< 2， B＝ { x|ln x≤ 0} ，则 A∩B 为 () 2A.0，1B． [－ 1,0) 21， 1D． [－ 1,1]C. 21x－ 1x1112，∴A＝ x－ 1≤ x<.∵ln x≤0，解析：选 A ∵≤ 2 < 2，即 2 ≤<2 2，∴－ 1≤ x<222即 ln x≤ ln 1，∴ 0<x≤1，∴ B＝ { x|0<x≤1} ，∴ A∩ B＝ x0<x<1. 26． (2019 郑·州质量测试 )设集合 A＝ { x|1<x<2} ，B＝ { x|x<a} ，若 A∩B＝ A，则 a 的取值范围是 ()A ． (－∞， 2]B． (－∞， 1]C．[1，＋∞ )D． [2，＋∞ )解析：选 D 由 A∩B＝ A，可得 A? B，又因为 A＝ { x|1<x<2} ，B＝ { x|x<a} ，所以 a≥ 2.7．已知全集 U＝ A∪B 中有 m 个元素，(?U A?U B个元素．若 A∩ B 非空，则)∪ ()中有nA∩ B 的元素个数为 ()A ． mn B． m＋nC ．n － mD ． m － n解析： 选 D( )中有 n个元素，如图中阴影部分所示， 因为 (?U A )∪ ?U B又 U ＝ A ∪ B 中有 m 个元素，故 A ∩B 中有 m －n 个元素．8．定义集合的商集运算为A ＝ x x ＝m， m ∈A ， n ∈B ，已知集合A ＝ {2,4,6} ，B ＝Bnx x ＝ k－1， k ∈ A，则集合 B∪ B 中的元素个数为 ()2AA ． 6B ． 7C ．8D ． 9解 析 ： 选 B由 题 意 知 ， B ＝ {0,1,2} ， B ＝0， 1， 1，1， 1，1， 则 B∪ B ＝A 2 4 63A1 1 1 10， 2， 4， 6， 1，3， 2 ，共有 7 个元素．9．设集合 A ＝{ x|x 2－ x － 2≤ 0} ， B ＝ { x|x<1，且 x ∈ Z} ，则 A ∩ B ＝ ________.解析： 依题意得 A ＝ { x|(x ＋ 1)(x － 2)≤ 0} ＝ { x|－ 1≤ x ≤ 2} ，因此A ∩B ＝{ x|－ 1≤x<1， x∈ Z } ＝ { －1,0} ．答案： { － 1,0}10．已知集合 U ＝ R ，集合 A ＝ [－ 5,2]， B ＝ (1,4) ，则下图中阴影部分所表示的集合为________．解析： ∵ A ＝ [－ 5,2]，B ＝ (1,4) ，∴ ?U B ＝ { x|x ≤1 或 x ≥ 4} ，则题图中阴影部分所表示的集合为 (?U B)∩A ＝ { x|－ 5≤ x ≤ 1} ．答案 ： { x|－ 5≤x ≤ 1}11．若集合 A ＝{( x ， y)|y ＝ 3x 2－ 3x ＋ 1} ，B ＝ {( x ， y)|y ＝ x} ，则集合 A ∩ B 中的元素个数为 ________．解析： 法一： 由集合的意义可知， A ∩ B 表示曲线 y ＝ 3x 2－ 3x ＋ 1 与直线 y ＝ x 的交点构成的集合．1y ＝ 3x 2－ 3x ＋ 1， x ＝3，x ＝ 1， 联立得方程组解得或y ＝ x ，1 y ＝ 1，y ＝31 1故 A ∩ B ＝ 3， 3 ， 1， 1 ，所以 A ∩ B 中含有 2 个元素．法二： 由集合的意义可知， A ∩ B 表示曲线 y ＝ 3x 2－ 3x ＋ 1 与直线 y ＝x 的交点构成的集合．因为 3x 2－ 3x ＋ 1＝ x 即 3x 2－4x ＋ 1＝ 0 的判别式 >0，所以该方程有两个不相等的实根，所以 A∩B 中含有 2 个元素．答案：212．已知集合 A＝ { x|log2x≤ 2} ，B＝ { x|x＜ a} ，若 A? B，则实数 a 的取值范围是__________ ．解析：由 log 2x≤ 2，得 0＜ x≤ 4，即A＝ { x|0＜x≤ 4} ，而 B＝{ x|x＜ a} ，由于 A? B，在数轴上标出集合A， B，如图所示，则a＞ 4.答案： (4，＋∞ )13．设全集U＝ R， A＝ { x|1≤ x≤ 3} ， B＝ { x|2<x<4} ， C＝ { x|a≤ x≤ a＋ 1} ．(1)分别求 A∩ B，A∪ (?U B)；(2)若 B∪ C＝ B，求实数 a 的取值范围．解： (1)由题意知， A∩ B＝ { x|1≤ x≤ 3} ∩ { x|2<x<4} ＝ { x|2<x≤ 3} ．易知 ?U B＝ { x|x≤ 2 或x≥4} ，所以 A∪(?U B)＝ { x|1≤ x≤ 3} ∪ { x|x≤2 或 x≥ 4} ＝ { x|x≤ 3 或 x≥ 4} ．(2)由 B∪ C＝ B，可知 C? B，画出数轴 (图略 )，易知 2<a<a＋ 1<4，解得 2<a<3.故实数 a 的取值范围是(2,3)．。

第1课时集合的含义考点学习目标核心素养集合的概念了解集合与元素的概念数学抽象理解元素与集合的关系，掌握数学元素与集合的关系数学抽象、逻辑推理中一些常见的集合及其记法理解集合中元素的特征，并能利用数学运算、数学抽象集合中元素的特征及应用它们进行解题问题导学预习教材P3－P5的内容，思考以下问题：1．集合和元素的概念是什么？2．如何用字母表示集合和元素？3．元素和集合之间有哪两种关系？4．常见的数集有哪些？分别用什么符号来表示？5．按元素个数的多少，集合可分为哪几类？1．元素与集合的概念(1)集合：把一些能够确定的、不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象组成的集合(有时简称为集)，通常用英文大写字母A，B，C，…表示．(2)元素：组成集合的每个对象都是这个集合的元素，通常用英文小写字母a，b，c，…表示．(3)元素的特性①确定性：集合的元素必须是确定的；②互异性：对于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的．③无序性：集合中的元素可以任意排列，与次序无关.■名师点拨(1)在解决集合问题时，首先要明确集合中的元素是什么，集合中的元素可以是点，也可以是一些人或一些物．(2)集合中的元素与顺序无关，只要两个集合中的元素是一样的，这两个集合就是同一个集合．2．元素与集合的关系关系 语言描述 记法 读法属于a 是集合A 中的元素 a ∈Aa 属于A不属于a 不是集合A 中的元素a ∉Aa 不属于A■名师点拨对元素和集合之间关系的两点说明(1)符号“∈”“∉”刻画的是元素与集合之间的关系．对于一个元素a 与一个集合A 而言，只有“a ∈A ”与“a ∉A ”这两种结果．(2)“∈”和“∉”具有方向性，左边是元素，右边是集合，形如“R ∈0”是错误的． 3．空集(1)定义：不含任何元素的集合． (2)符号：∅．4．常用的数集及其记法 常用的数集 自然数集正整数集 整数集 有理数集实数集 记法 NN *或N ＋ZQR5.集合的分类(1)集合⎩⎪⎨⎪⎧有限集：含有有限个元素的集合无限集：含有无限个元素的集合(2)空集是有限集．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)集合中的元素一定是数．( )(2)高一四班的全体同学组成一个集合．( )(3)由1，2，3构成的集合与由3，2，1构成的集合是同一个集合． ( ) (4)一个集合中可以找到两个相同的元素．( ) (5)集合N 中的最小元素为0.( ) (6)若a ∈Q ，则一定有a ∈R .( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ (6)√ 由“title ”中的字母构成的集合中元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5解析：选C.由“title ”中的字母构成的集合中元素为t ，i ，l ，e ，共4个． 下列关系中：①0.21∈Q ；②105∉N *；③－4∈N *；④4∈N ；⑤0∈∅.其中正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C.①是正确的；②中105＝2∈N *，故②错误；③中－4＝－2∉N *，故③错误；④4＝2∈N 是正确的，⑤0∉∅，故⑤错误．故①④正确．已知集合M 有两个元素3和a ＋1，且4∈M ，则实数a ＝________． 解析：由题意知a ＋1＝4，即a ＝3. 答案：3 集合的概念2019年9月，我们踏入了心仪的高中校园，找到了自己的班级．则下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)你所在班级中全体同学； (2)班级中比较高的同学；(3)班级中身高超过178 cm 的同学； (4)班级中比较胖的同学； (5)班级中体重超过75 kg 的同学； (6)学习成绩比较好的同学．【解】 (1)班级中全体同学是确定的，所以可以构成一个集合． (2)因为“比较高”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (3)因为“身高超过178 cm ”是确定的，所以可以构成一个集合． (4)因为“比较胖”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合． (5)因为“体重超过75 kg ”是确定的，可以构成一个集合．(6)因为“学习成绩比较好”无法衡量，所以对象不确定，所以不能构成一个集合．判断一组对象能否构成集合的方法一般地，确认一组对象a 1，a 2，a 3，…，a n (a 1，a 2，…，a n 均不相同)能否构成集合的过程为1．(2019·临川检测)考察下列每组对象，能组成一个集合的是( )①一中高一年级聪明的学生；②直角坐标系中横、纵坐标相等的点；③不小于3的正整数；④3的近似值．A．①②B．③④C．②③D．①③解析：选C.①“一中高一年级聪明的学生”的标准不确定，因而不能构成集合；②“直角坐标系中横、纵坐标相等的点”的标准是确定的，因而能构成集合；③“不小于3的正整数”的标准是确定的，因而能构成集合；④“3的近似值”的标准不确定，所以不能构成集合．2．中国男子篮球职业联赛(China Basketball Association)，简称中职篮(CBA)，是由中国篮球协会所主办的跨年度主客场制篮球联赛，是中国最高等级的篮球联赛．下列对象能构成一个集合的是哪些？并说明你的理由．(1)2018～2019赛季，CBA的所有队伍；(2)CBA中比较著名的队员；(3)CBA中得分前五位的球员；(4)CBA中比较高的球员．解：(1)CBA的所有队伍是确定的，所以可以构成一个集合．(2)“比较著名”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．(3)“得分前五位”是确定的，可以构成一个集合．(4)“比较高”没有衡量的标准，对象不确定，所以不能构成一个集合．元素与集合的关系(1)下列关系中，正确的有( )①12∈R；②2∉Q；③|－3|∈N；④|－3|∈Q.A．1个B．2个C．3个D．4个(2)满足“a∈A且4－a∈A，a∈N且4－a∈N”，有且只有2个元素的集合A的个数是( )A．0 B．1C．2 D．3【解析】 (1)12是实数，2是无理数，|－3|＝3是非负整数，|－3|＝3是无理数．因此，①②③正确，④错误． (2)因为a ∈A 且4－a ∈A ，a ∈N 且4－a ∈N ，若a ＝0，则4－a ＝4， 此时A 满足要求； 若a ＝1，则4－a ＝3， 此时A 满足要求； 若a ＝2，则4－a ＝2， 此时A 含1个元素不满足要求．故有且只有2个元素的集合A 有2个，故选C. 【答案】 (1)C (2)C判断元素和集合关系的两种方法(1)直接法：如果集合中的元素是直接给出的，只要判断该元素在已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的．(2)推理法：对于某些不便直接表示的集合，判断元素与集合的关系时，只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可．此时应首先明确已知集合的元素具有什么属性，即该集合中元素要符合哪种表达式或满足哪些条件．1．用适当的符号填空：已知集合A 中的元素x 是被3除余2的整数，则有： 17________A ；－5________A . 解析：由题意可设x ＝3k ＋2，k ∈Z ， 令3k ＋2＝17得，k ＝5∈Z . 所以17∈A .令3k ＋2＝－5得，k ＝－73∉Z .所以－5∉A .答案：∈ ∉2．已知集合A 中元素满足2x ＋a >0，a ∈R .若1∉A ，2∈A ，则实数a 的取值范围为________． 解析：因为1∉A ，2∈A ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2×1＋a ≤0，2×2＋a >0，即－4<a ≤－2. 答案：－4<a ≤－2 集合中元素的特征及应用已知集合A 中含有两个元素a 和a 2，若1∈A ，则实数a 的值为________． 【解析】 若1∈A ，则a ＝1或a 2＝1，即a ＝±1. 当a ＝1时，集合A 中有重复元素， 所以a ≠1；当a ＝－1时，集合A 含有两个元素1，－1，符合元素的互异性，所以a ＝－1. 【答案】 －11．(变条件)若去掉本例中的条件“1∈A ”，则实数a 的取值范围是什么？ 解：因为集合A 中含有两个元素a 和a 2， 所以a ≠a 2， 即a ≠0且a ≠1.2．(变条件)若将本例中的“1∈A ”改为“2∈A ”，则a 为何值？ 解：因为2∈A ， 所以a ＝2或a 2＝2， 即a ＝2或a ＝± 2.3．(变条件)若由a 和a 2构成的集合只有一个元素，则a 为何值？解：因为由a 和a 2构成的集合只有一个元素，所以a ＝a 2，即a ＝0或a ＝1.由集合中元素的特征求解字母取值(范围)的步骤1．若集合M 中的三个元素是△ABC 的三边长，则△ABC 一定不是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．等腰三角形解析：选D.由集合中元素的互异性可知，集合中的任何两个元素都不相同，故选D. 2．若集合A 中的三个元素x ，x ＋1，1与集合B 中的三个元素x ，x ＋x 2，x 2相同，求实数x 的值．解：因为集合A 与B 的元素相同，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2，1＝x 2＋x 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝x 2＋x ，1＝x 2. 解得x ＝±1.经检验，x ＝1不符合集合中元素的互异性，而x ＝－1符合， 所以x ＝－1.1．下列各组对象可以组成集合的是( ) A ．数学必修1课本中所有的难题 B ．小于8的所有质数C ．直角坐标平面内第一象限的一些点D ．所有小的正数解析：选B.A 中“难题”的标准不确定，因而不能构成集合；B 能构成集合；C 中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“直角坐标平面内第一象限的一些点”不能构成集合．D 中“小”没有明确的标准，所以不能构成集合．2．下列结论中，不正确的是( ) A ．若a ∈N ，则1a∉NB ．若a ∈Z ，则a 2∈Z C ．若a ∈Q ，则|a |∈Q D ．若a ∈R ，则3a ∈R解析：选A.A 不正确．反例：a ＝1∈N ，1a＝1∈N .3．若以方程x 2－5x ＋6＝0和x 2－x －2＝0的解为元素组成集合M ，则M 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C.方程x 2－5x ＋6＝0的解为x ＝2或x ＝3，x 2－x －2＝0的解为x ＝2或x ＝－1，所以集合M 中含有3个元素．4．下列集合中________是有限集，________是无限集(填序号)． (1)由小于8的正奇数组成的集合； (2)大于5小于20的实数组成的集合．解析：(1)因为小于8的正奇数有1，3，5，7，所以其组成的集合是有限集． (2)因为大于5小于20的实数包括整数、小数等，有无数个，所以其组成的集合是无限集．答案：(1) (2)5．已知集合A 是由0，m ，m 2－3m ＋2三个元素构成的集合，且2∈A ，则实数m ＝________． 解析：由题意知，m ＝2或m 2－3m ＋2＝2， 解得m ＝2或m ＝0或m ＝3，经验证， 当m ＝0或m ＝2时， 不满足集合中元素的互异性， 当m ＝3时，满足题意， 故m ＝3. 答案：3[A 基础达标]1．现有以下说法，其中正确的是( ) ①接近于0的数的全体构成一个集合； ②正方体的全体构成一个集合； ③未来世界的高科技产品构成一个集合； ④不大于3的所有自然数构成一个集合． A ．①② B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选D.在①中，接近于0的数的全体不能构成一个集合，故①错误；在②中，正方体的全体能构成一个集合，故②正确；在③中，未来世界的高科技产品不能构成一个集合，故③错误；在④中，不大于3的所有自然数能构成一个集合，故④正确．2．给出下列关系：①13∈R ；②5∈Q ；③－3∉Z ；④－3∉N ，其中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B.13是实数，①正确；5是无理数，②错误；－3是整数，③错误；－3是无理数，④正确．故选B.3．设A 是方程2x 2＋ax ＋2＝0的解集，且2∈A ，则实数a 的值为( ) A ．－5 B ．－4 C ．4D ．5解析：选A.因为2∈A ， 所以2×22＋2a ＋2＝0， 解得a ＝－5.4．设集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，则下列关系中正确的是( ) A ．a ∈M B ．a ∉M C ．a ＝MD ．a ≠M解析：选B.因为集合M 是由不小于23的数组成的集合，a ＝11，所以a 不是集合M 中的元素，故a ∉M .5．由实数x ，－x ，|x |，x 2，－3x 3所组成的集合，最多含有 ( ) A ．2个元素 B ．3个元素 C ．4个元素D ．5个元素解析：选A.x 2＝|x |，－3x 3＝－x . 当x ＝0时，它们均为0；当x >0时，它们分别为x ，－x ，x ，x ，－x ； 当x <0时，它们分别为x ，－x ，－x ，－x ，－x .通过以上分析，它们最多表示两个不同的数，故此集合中元素最多含有2个． 6．下列说法：①集合N 与集合N *是同一个集合；②集合N 中的元素都是集合Z 中的元素；③集合Q 中的元素都是集合Z 中的元素；④集合Q 中的元素都是集合R 中的元素；⑤方程x 2＋2x ＋3＝0的解集是∅.其中正确的有________(填序号)．解析：集合N *表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集，因为方程x 2＋2x ＋3＝0无解，所以它的解集为∅.所以①③的说法不正确，②④⑤的说法正确． 答案：②④⑤7．已知集合A 是由偶数组成的，集合B 是由奇数组成的，若a ∈A ，b ∈B ，则a ＋b ________A ，ab ________A ．(填“∈”或“∉”)解析：因为a 是偶数，b 是奇数，所以a ＋b 是奇数，ab 是偶数，故a ＋b ∉A ，ab ∈A . 答案：∉ ∈8．若a ，b ∈R ，且a ≠0，b ≠0，则|a |a ＋|b |b的可能取值所组成的集合中元素的个数为________．解析：当a >0且b >0时，|a |a ＋|b |b＝2；当a ·b <0时，|a |a ＋|b |b＝0；当a <0且b <0时， |a |a ＋|b |b＝－2.所以集合中的元素为2，0，－2. 即元素的个数为3. 答案：39．已知集合A 含有两个元素a －3和2a －1，a ∈R . (1)若－3∈A ，试求实数a 的值； (2)若a ∈A ，试求实数a 的值．解：(1)因为－3∈A ，所以－3＝a －3或－3＝2a －1.若－3＝a －3，则a ＝0.此时集合A 含有两个元素－3，－1，符合题意； 若－3＝2a －1，则a ＝－1.此时集合A 含有两个元素－4，－3，符合题意． 综上所述，实数a 的值为0或－1. (2)因为a ∈A ，所以a ＝a －3或a ＝2a －1. 当a ＝a －3时，有0＝－3，不成立；当a ＝2a －1时，有a ＝1，此时A 中有两个元素－2，1，符合题意．综上知a ＝1. 10．集合A 是由形如m ＋3n (m ∈Z ，n ∈Z )的数构成的，试分别判断a ＝－3，b ＝13－3，c ＝(1－23)2与集合A 的关系．解：因为a ＝－3＝0＋(－1)×3，而0，－1∈Z ，所以a ∈A ； 因为b ＝13－3＝3＋3（3－3）（3＋3）＝12＋36，而12，16∉Z ，所以b ∉A ；因为c ＝(1－23)2＝13＋(－4)×3，而13，－4∈Z ，所以c ∈A .[B 能力提升]11．集合A 中的元素y 满足y ∈N 且y ＝－x 2＋1，若t ∈A ，则t 的值为( ) A ．0 B ．1C ．0或1D ．小于或等于1解析：选C.由y ∈N 且y ＝－x 2＋1≤1，所以y ＝0或y ＝1，所以A ＝{0，1}．又因为t ∈A ，所以t ＝0或t ＝1，故选C.12．集合A 的元素y 满足y ＝x 2＋1，集合B 的元素(x ，y )满足y ＝x 2＋1(A ，B 中x ∈R ，y ∈R )．则下列选项中元素与集合的关系都正确的是( )A ．2∈A ，且2∈BB ．(1，2)∈A ，且(1，2)∈BC ．2∈A ，且(3，10)∈BD ．(3，10)∈A ，且2∈B解析：选C.集合A 中的元素为y ，是数集，又y ＝x 2＋1≥1，故2∈A ，集合B 中的元素为点(x ，y )，且满足y ＝x 2＋1，经验证，(3，10)∈B ，故选C.13．(2019·信阳检测)已知集合P 中元素x 满足：x ∈N ，且2<x <a ，又集合P 中恰有三个元素，则整数a ＝________.解析：因为集合P 中恰有三个不同元素，且元素x 满足x ∈N ，且2<x <a ，则满足条件的x 的值为3，4，5，所以a 的值是6.答案：614．设集合A 中的元素是实数，且满足1∉A ，且若a ∈A ，则11－a∈A .若2∈A ，写出集合A 中的元素．解：因为2∈A ，所以11－2＝－1∈A ， 所以11－（－1）＝12∈A ， 所以11－12＝2， 再求下去仍然只得到2，－1，12这三个数， 所以集合A 中的元素只有三个－1，12，2. [C 拓展探究]15．定义满足“如果a ∈A ，b ∈A ，那么a ±b ∈A ，且ab ∈A ，且a b∈A (b ≠0)”的集合A 为“闭集”．试问数集N ，Z ，Q ，R 是否分别为“闭集”？若是，请说明理由；若不是，请举反例说明．解：(1)数集N ，Z 不是“闭集”，例如，3∈N ，2∈N ，而32＝1.5∉N ；3∈Z ，－2∈Z ，而3－2＝－1.5∉Z ，故N ，Z 不是闭集． (2)数集Q ，R 是“闭集”．由于两个有理数a 与b 的和，差，积，商，即a ±b ，ab ，a b (b ≠0)仍是有理数，所以Q 是闭集，同理R 也是闭集．。