九年级人教版一元二次方程根与系数的关系课件

1第02讲_一元二次方程的根与系数的关系知识图谱

根与系数的关系

知识精讲一．韦达定理

韦达定理（1）如果20(0)axbxca的两根

是

1x，

2x，则

12b

xx

a，

12c

xx

a

（隐含条件：0）

（2）当二次项系数为1时，

20xbxc的两个根，则

12xxb，

12xxc22

1244

+=

2

=bbacbbac

xx

a

b

a

＋＋

22

1244

=

22

=bbacbbac

xx

aa

c

a

＋－

应用（1）已知方程的一个根，求另一个根以

及确定方程参数的值；若方程240xxc的一个根为

23，则

根据韦达定理，

124xx，

∴

2423=23x－＋

12xxc

，∴c=1

（2）已知方程，求方程的两根；2320xx－

123xx

，122xx

1212xx

（3）公式的变形

例：x

1，x

2是一元二次方程x2＋2x＋2m

＝0的两个根，且x

12＋x

22＝8，求m的

值x

1＋x

2＝-2，x

1x

2＝2m

x

12＋x

22＝（x

1＋x

2）2－2x

1x

2

＝4－4m＝8，

∴m＝-1，

当m＝-1时，△＞0，∴成立，m＝-1

（4）已知方程的两根，求作方程；

例：

已知一元二次方程的两根为

1+212、－

，求该方程121+2122b

xx

a+－

121+212-1c

xx

a－

2caba

令a=1，则方程为2210xx

（5）结合根的判别式，讨论根的符号特

征；若0c

a，0b

a，则

12xx

若0c

a

，0b

a，则

12xx

若0c

a，0b

a，则

120xx

若0c

a

，0b

a，则

210xx

（6）逆用构造一元二次方程辅助解题：

当已知等式具有相同的结构时，就可以

把代数式看作某个一元二次方程的两

根，以便利用韦达定理（a+b）+（c+d）=8

（a+b）（c+d）=16

运用韦达定理可得a+b=4，c+d=4

易错点：在使用韦达定理的时候没有提前检验0是否成立

《一元二次方程的根与系数的关系》（数学人教九上）

教材剖析:

本课是在先生曾经学习了一元二次方程求根公式的基础上，对一元二次方程的根与系数之间的关系停止再探求，经过本课的学习，使先生进一步了解一元二次方程两根之和、两根之积与一元二次方程中系数之间的关系．

教学目的：

【知识与才干目的】

1.掌握一元二次方程根与系数的关系；

2.能运用根与系数的关系处置详细效果.

【进程与方法】

阅历探求一元二次方程根与系数的关系的进程,体验观察→发现→猜想→验证的思想转化进程，培育先生剖析效果和处置效果的才干.

【情感态度与价值观】

经过观察、归结取得数学猜想，体验数学活动充溢着探求性和发明性，了解事物间相互联络、相互制约的辩证唯心主义观念，掌握由〝特殊——普通——特殊〞的数学思想方法，培育先生勇于探求的肉体.

教学重难点：

【教学重点】一元二次方程根与系数的关系及其运用.

【教学难点】探求一元二次方程根与系数的关系.

课前预备：

多媒体 教学进程：

效果1：〔1〕一元二次方程的普通方式是什么？

〔2〕一元二次方程有实数根的条件是什么？

〔3〕当Δ>0，Δ＝0，Δ<0时，一元二次方程根的状况如何？

〔4〕一元二次方程的求根公式是什么？

[师生活动]教员指点先生回想知识，先生停止口答，教员指出重点．

[答]〔1〕一元二次方程普通方式为ax2+bx+c=0(a≠0)；

（2）当△≥0时，一元二次方程有两个实数根；

（3）当△＞0时，一元二次方程有两个不等实根；当△=0时，一元二次方程有两个相等实根；当△＜0时，一元二次方程没有实根；

（4）方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为aacbbx242〔△≥0〕.

【设计意图】经过对一元二次方程相关知识的温习稳固旧知识，并为新知识的学习做铺垫。

效果2：请完成下面的表格

观察、思索表格中方程两根之和与两根之积与系数有何关系，你能从中发现什么规律？你有什么发现？

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根与系数关系

1、一元二次方程根与系数关系的推导及应用；

2、熟练应用根与系数的关系.

结论：

【知识梳理】

1、 一元二次方程)0(02acbxax的求根公式为)04(2422acbaacbbx。

2、 一元二次方程)0(02acbxax根的判别式为：acb42

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（1）当b2－4ac＞0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）•有两个不相等实数根即x1＝242bbaca，x2＝242bbaca。

（2）当b-4ac=0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个相等实数根即x1＝x2＝2ba。

（3）当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）没有实数根。

反之：方程有两个不相等的实数根，则 ；方程有两个相等的实数根，则 ；方程没有实数根，则 。

[韦达定理相关知识]

如果方程)0(02acbxax的两个实数根是21,xx，那么abxx21,acxx21。

也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，这个方程的两个根与系数的关系是：两根之和，等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积，等于常数项除以二次项系数所得的商。

➢ 韦达定理的逆定理：

如果实数21,xx满足acxxabxx2121，，那么21,xx是一元二次方程02cbxax的两个根。

利用韦达定理的逆定理，可以比较简捷地检验解一元二次方程所得结果是否正确。

➢ 韦达定理的两个重要推论：

推论1：如果方程02qpxx的两个根是21,xx，那么pxx21，qxx21。

推论2：以两个数21,xx为根的一元二次方程(二次项系数为1)是0)(21212xxxxxx。

➢ 一元二次方程的根与系数的关系的应用：

初中数学学案汇编

- 1 - 21.2.6一元二次方程的根与系数关系

教学媒体 多媒体

教

学

目

标 知识

技能 1.熟练掌握一元二次方程的根与系数关系.

2.灵活运用一元二次方程的根与系数关系解决实际问题.

3.提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力.

过程

方法 学生经历探索,尝试发现韦达定理,感受不完全归纳验证以及演绎证明.

情感

态度 培养学生观察,分析和综合,判断的能力,激发学生发现规律的积极性,激励学生勇于探索的精神.

教学重点 一元二次方程的根与系数关系

教学难点 对根与系数关系的理解和推导

教学过程设计

教学程序及教学内容 师生行为 设计意图

一、复习引入

导语:一元二次方程的根与系数有着密切的关系,早在16世纪法国的杰出数学家韦达发现了这一关系,你能发现吗？

二、探究新知

1.课本思考

分析:将(x- x1)(x-x2)＝0化为一般形式x2-( x1 ＋x2)x＋ x1 x2＝0与x2＋px＋ q＝0对比,易知p＝-( x1 ＋x2),

q＝ x1 x2. 即二次项系数是1的一元二次方程如果有实数根,则一次项系数等于两根和的相反数,常数项等于两根之积.

2.跟踪练习

求下列方程的两根x1 、x2. 的和与积.

x2＋3x＋2＝0; x2＋2x-3＝0; x2-6x＋5＝0; x2-6x-15＝0

3. 方程2x2-3x＋1＝0的两根的和、积与系数之间有类似的关系吗？

分析:这个方程的二次项系数等于2,与上面情形有所不

教师出示问题,引出课题学生初步了解本课所要研究的问题

学生通过去括号、合并得到一般形式的一元二次方程,教师适时点拨,分析总结得到结论.

学生独自完成

巩固上诉知识

教师出示探究问题,学生通过特殊例子入手,再通过一般形式推

创设问题情境,激发学生好奇心,求知欲

通过思考问题,让学生知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数关系,为后面继续研究做铺垫