2.4 一元二次方程根与系数的关系.ppt

是2，求它的另一个根及k的值. 2 解：设方程 5x kx 6 0 的两个根 x1 2 。 分别是 x1 、x 2 ，其中 6 x1 x2 2 x2 所以： 5 3 即： x 5 3 k 由于 x1 x2 2 ( 5 ) 5 得：k=-7 3 答：方程的另一个根是 5 ，k=-7
22.2.4 一元二次方程 的根与系数的关系
1.一元二次方程的一般形式是什么？
ax bx c 0(a 0)
2
2.一元二次方程的求根公式是什么？
3.一元二次方程的根的情况怎样确定？
b 2 4ac
b b 4ac 2 x (b 4ac 0) 2a
2
0 有两个不相等的实数根 0 有两个相等的实数根 0 没有实数根
2
1
3 2
猜想： 如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根 分别是 x1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？
已知：如果一元二次方程 ax bx c 0(a 0) 的两个根分别是 x1 、 x 2 。
2
b 求证： x1 x2 a
2
解：设方程的两个根是x1 x2，那么
用根与系数的关系，不解方程，几种常见的求值
x1 x2 1 1 1. x1 x2 x1 x2
x1 x 2 x x 2. x1 x2 x 2 x1
2 1
2 2
( x1 x2 ) 2 2 x1 x2 x1 x2
3.(x1 1)(x2 1) x1 x2 ( x1 x2 ) 1
1 ∴两根之积2m10 m 且 0,
∴
2 1 m时 ,方程有一根为零. 2

那么列二元一次方程解应用题的步骤呢？你知道吗？
讲授新课
一 利用一元二次方程解决图形问题
如图所示，用一块长80cm，宽60cm的薄钢片，在四个角上截 去四个相同的小正方形，然后做成底面积为1500cm2的没有 盖的长方体盒子．求截去的小正方形的边长.
x 60
x
80
60-2x 80-2x
解：设截去的小正方形的边长xcm，则长和宽分别为 （80-2x）cm、（60-2x）cm.
方法归纳
列一元二次方程解应用题的步骤与列一元一次方程 解应用题的步骤类似，即审、找、列、解、答．这里要特 别注意．在列一元二次方程解应用题时，由于所得的根一 般有两个，所以要检验这两个根是否符合实际问题的要 求．
二 利用一元二次方程解决数字问题
问题引导 问题1：连续三个奇数，若第一个为x，则后2个为___x_+_2_，__x_+_4___. 问题2：连续的五个整数，若中间一个数位n， 其余的为___n_+_2_，__n_+_1_，__n_-_1_，__n_-_2___ 问题3：一个两位数，十位数字为a，个位数字为b，
当堂练习
1.三个连续整数，两两之积的和为587，求这三个数.
解：设这三个连续整数为x-1，x，x+1，
(x-1)x+(x-1)(x+1)+x(x+1)=587 3x2-588=0 x1=14,x2=-14.
x-1 = 13 x+1= 15
x-1= -15 x+1= -13
答：这三个数为13,14,15或-13，-14，-15。
22.3 实践与题
学习目标
1．能列出关于图形、数字问题的一元二次方程；（重点） 2．体会一元二次方程在实际生活中的应用；（重点、难点） 3.经历将实际问题转化为数学问题的过程，提高数学应用意 识．

在ax2+bx+c=0(a≠0)中,当b2-4ac≥0时,由求根公式可得x1= b
b2 4ac 2a
b b2 4ac
,x2= 2a
,
所以x1+x2=b
b2
2a
4ac
&(b2 4ac) 4a 2
=
c a
=-
b a
,x1·x2=
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
4.(2016山东德州中考)方程2x2-3x-1=0的两根为x1,x2,则 x12 + x22 =
.
13
答案 4
解析 由根与系数的关系可得x1+x2=- ba = 32 ,x1·x2= ac =- 12 ,∴ x12 + x22 =(x1+x2)2-
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
栏目索引
5.(2018上海静安期末)已知关于x的方程x2+(3-2k)x+k2+1=0的两个实数
根分别是x1、x2,当|x1|+|x2|=7时,k的值是
.
答案 -2
解析 由题意得Δ=(3-2k)2-4×1×(k2+1)≥0,9-12k+4k2-4k2-4≥0,∴k≤ 5 ,
12
∵x1·x2=k2+1>0,∴x1、x2同号.分两种情况:①当x1、x2同为正数时,x1+x2=7,
把x1+x2、x1·x2的值整体代入,即可求出所求代数式的值.
*21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系
题型三 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围
栏目索引
例3 (2018湖北仙桃中考)已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-2=0. (1)若该方程有两个实数根,求m的最小整数值; (2)若方程的两个实数根为x1,x2,且(x1-x2)2+m2=21,求m的值.

1．家庭电路是最常见、最基本的实用电路，它由两根 _进__户__线___、_电__能__表___、_总__开__关___、_保__险__装__置_、用电器 和导线等组成。家庭电路中的各用电器之间是 ___并___联的；控制用电器的开关与用电器____串____联 ，接在____火____线和用电器之间。
(1)3x2＋2x－3＝0；
解：设x1，x2是一元二次方程的两根，
则(1)x1＋x2＝－
2 3
，x1x2＝－1.
(2)x2＋x＝6x＋7；
整理，得x2－5x－7＝0，∴x1＋x2＝5，x1x2＝－7.
(3)3x2＋7x＝6.
整理，得3x2＋7x－6＝0，
∴x1＋x2＝－
7 3
，x1x2＝－2.
6．【2020·黔东南州】已知关于x的一元二次方程x2＋5x－ m＝0的一个根是2，则另一个根是( A ) A．－7 B．7 C．3 D．－3
7．关于x的方程x2＋(k2－4)x＋k＋1＝0的两个根互为相反
数，则k的值是( D )
A．－1 B．±2 C．2 D．－2
【点拨】由题意知，－
b a
＝－(k2－4)
＝0，即k＝±2，当k＝2时，方程无
解，故舍去．故选D.
8．【2021·荆州期末】已知x1，x2是一元二次方程x2＋(2m ＋1)x＋m2－1＝0的两个不相等的实数根，且x12＋x22＋ x1x2－17＝0，则m的值是( )
() A．m＞34 C．－12＜m＜2
B．m＞34且 m≠2 D.34＜m＜2
【 点 拨 】 因 为 关 于 x 的 一 元 二 次 方 程 (m － 2)x2 ＋ (2m ＋ 1)x＋m－2＝0有两个不相等的正实数根，所以m－2≠0， Δ＝b2－4ac＞0，x1＋x2＞0，x1·x2＞0，从而得到关于m 的不等式组，再求出m的取值范围．本题容易出错的地 方是由根的取值情况，直接利用根与系数的关系，忽略 了根的判别式的取值情况．

1
且0,
2
∴两根之和10, 1,且0
∴两根之积210, =
∴1时,方程的两根互为相反数.
∴ = 时,方程有一根为零.
②∵两根互为倒数 265,
∴两根之积211,1且0,
∴1时,方程的两根互为倒数.
1
2
课堂小结 分层作业
1.一元二次方程根与系数的关系是什么?
解: 根据根与系数的关系，可知:
1 + 2 = 4,
1 ⋅ 2 = 1
∴ 1 2 + 2 2 = (1 + 2 )2 − 21 2
= 42 − 2 × 1
= 14

1 + 2 = −

1 ∙ 2 =


课堂练习 巩固提升
试一试
1.口答下列方程的两根之和与两根之积.
1 2 − 8 + 4 = 0

− ，

1 ∙ 2 =


.
这就是一元二次方程根与系数的关系，也叫韦达定理.
学以致用 深化理解
例题1
不解方程，请直接写出方程的两根之和和与两根之积各是多少？
1 2 − 3 + 2 = 0
解:
1


1 + 2 = − = −
1 ∙ 2 =
2


2
−3
1
2 2 − 3 = 5
=3
2 2 − 2 − 12 = 0
3
2 − 7 = 0
4 3 2 = 8 + 4
5 2 2 + 3 − 5 = 0
课堂练习 巩固提升
试一试
2.已知一元二次方程的 2 + + = 0 两根分别为 和 − ，

b b 2 4ac 2a
b b 2 4ac 2a
●
b b 2 4ac 2a
4ac 4a 2
=
(b) 2 ( b 2 4ac) 2 4a 2
=
c = a
韦达（1540－1603） 法国数学家 十六世纪最有影响的 数学家之一，被尊称为 “代数学之父”。
2、 2x2 - 6x =0 3、 3x2 =4
x1+x2=3
x1+x2=0
x1x2=0
4 x1x2= 3
韦达定理
一：思考、发现， 噢，是这样哎！
二：疑问，为什么会是这样呢？能证明吗？
三：疑问，我学习它有什么用呢？
1、解方程
6 x 2 13x 5 0
可以检验一元二次方程的解是否正确； 2、已知3x2+2x-9=0的两根是x1 , x2 求关于一元二次方程的两根x1,x2的代数式的值；
1、韦达定理及证明 2、韦达定理的简单应用
3、利用韦达定理解决有关一元二次方程 根与系数问题时，注意隐含条件： 根的判别式△ ≥0
2、设x1，x2是方程x2-2(k-1)x+k2=0的两个实数根，且 x12+x22=4，求k的值。
解：由方程有两个实数根，得
4(k 1) 2 4k 2 0
即-8k+4≥0
k
由韦达定理得x1+x2= 2(k-1) , x1x2=k2 ∴ X12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=4(k-1)2-2k2=2k2-8k+4 由X12+x22 =4，得2k2-8k+4＝4
1 2
解得k1=0 , k2=4
经检验， k2=4不合题意，舍去。 ∴ k=0

A．－10 B．10 C．－6 D．2 5．(3 分)(2015·广西)已知实数 x1，x2 满足 x1＋x2＝7，x1x2＝12，则以 x1，x2 为根的一元
二次方程是( A )
A．x2－7x＋12＝0 B．x2＋7x＋12＝0 C．x2＋7x－12＝0 D．x2－7x－12＝0
6．(3 分)(2015·怀化)设 x1，x2 是方程 x2＋5x－3＝0 的两个根，则 x1（x1x＋1＋x2x）2）＋－1 2x1x2＝（47）2＋－7434－＋274×＋（1 －34）＝13021
四清导航
18．(10 分)关于 x 的一元二次方程 x2＋3x＋m－1＝0 的两个实数根分别为 x1，x2. (1)求 m 的取值范围； (2)若 2(x1＋x2)＋x1x2＋10＝0，求 m 的值．
16．(2015·荆门)方程 x2＋(m＋3)x＋m＋1＝0 的两个实数根为 x1，x2.若 x12＋x22＝4，则
m 的值为_－__1_或__－__．3
四清导航
三、解答题(共 44 分)
17．(12 分)设方程 4x2－7x－3＝0 的两根为 x1，x2，不解方程，求下列各式的值：
(1)(x1－3)(x2－3)；
四清导航
A．19 B．25 C．31 D．30
四清导航
7．(2 分)(2015·南京)已知方程 x2＋mx＋3＝0 的一个根是 1，则它的另一个根是____3____， m 的值是___－__4___．
8．(2 分)方程 x2－2x－1＝0 的两个实数根分别为 x1，x2，则(x1－1)(x2－1)＝__－__2____. 9．(2 分)若 x1，x2 是方程 x2＋x－1＝0 的两个根，则 x12＋x22＝____3____.

一
二
课前篇 自主预习
2.填空
方程 ax2+bx+c=a
x+2������������
2+4������������-������2(a≠0),
4������
(1)当 Δ=b2-4ac>0 时,方程的解集为
-������+
������2-4������������ 2������
,
-������-
������2-4������������ 2������
么可得 x=± ������或 mx+n=± ������,从而通过降次转化为一元一次方程. (2)配方法: 用配方法解一元二次方程的一般步骤是: ①化二次项系数为1:用二次项系数去除方程两边,将方程化为 x2+px+q=0的形式; ②移项:把常数项移至方程右边,将方程化为x2+px=-q的形式; ③配方:方程两边同时加上“一次项系数一半的平方”,使方程左边成 为含有未知数的完全平方形式,右边是一个常数,把方程化为 (x+m)2=n(n≥0)的形式; ④用直接开平方法解变形后的方程.
=
4������������ 4������.
(2)原方程等价于(x-2)(x+1)=0,
∴方程的两根为 x1=2,x2=-1.
x1+x2=1,x1x2=-2.
课前篇 自主预习
-8-
-9-
课堂篇 探究学习
探究一
探究二
思维辨析 当堂检测
反思感悟 一元二次方程的常见解法 (1)开平方法:如果方程能化成 x2=p 或(mx+n)2=p(p≥0)的形式,那
x1+x2= 2������ + 2������

x1 x2
解:（1）由方程根与系数之间的关系得
x1
x2
b a
4 5
,
x1
x2
c a
1 5
x12
x22
( x1
x2 )2
2x1x2
(4)2 5
2(1) 5
26 25
(2)
1
1
x
2
x 1
4.
x1 x2 x1x2
在方程ax2+bx+c=0(a≠0)中a,b,c的作用:
1.二次项系数a是否为零,决定着方程是否为二次方程;
2
x1
x
2
2
(
x1
x
2)
2
2
x1
x
,
2
1 1 x1 x2 , x1 x2 x1x2
x1 a x2 a x1x2 a x1 x2 a 2等.
.
检测反馈
1.若x1,x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两
个根,则x1+x2的值是 ( A )
A.-
2.一元二次方程x2+x-2=0的两根之积是 ( B )
A.-1 B.-2 C.1 D.2
3.已知方程x2-5x+2=0的两个解分别为x1,x2,则 x1+x2-x1·x2的值为 ( D )
A.-7 B.-3 C.7 D.3
4.方程x2=2x-1的两根之和等于 2 .
,
.5.已知方程x2-6x-2m+5=0的一个根为2, 求另一个根及m的值.
x1，x2,则x1+x2
b a
.
,x1x2
c a
(教材例4)根据一元二次方程的根与系

解： 〔1〕
〔2〕原方程可变形为
4x - 1= 0 或 5x + 7= 0
x1
=
14，x2
=
7 5
.
x(x + 2) = 3(x + 2) x(x + 2) -3(x + 2) = 0 (x + 2)(x - 3) = 0 x1 = 3，x2 = -2.
3. 用因式分解法解以下方程：【选自教材P47 习题2.7】
2
5 一元二次方程的 根与系数的关系
北师版九年级上册
复习导入
1. 一元二次方程的一般形式？ ax2 + bx + c = 0 ( a≠0 )
2.一元二次方程有实数根的条件是什么？ △ = b2-4ac ≥ 0
复习导入
3. 当△＞0，△=0，△＜0 根的情况如何？ △ > 0 时，方程有两个不相等的实数根； △ = 0 时，方程有两个相等的实数根；
〔2〕x2+3x-1=0.
x1+x2=
1 3
，x1x2 =
1 3
.
x1+x2= -3，x1x2 = -1 .
2. 解以下方程：【选自教材P51 习题2.8】
〔1〕12x2+7x+1 = 0； 〔2〕0.8x2 + x = 0.3.
〔3〕3x2+1=2 3 x； 〔4〕(x+1)(x-3) = 2x+5.
【选自教材P50 随堂练习】
解：x1x2 = -7.
x1 = 3.
x2
=
7 3
.
达标检测
1. 利用根与系数的关系，求以下方程的两根之和、两根之积： 2. 〔1〕x(3x - 1)-1= 0； 〔2〕(2x + 5) (x+1)= x + 7.