根与系数的关系

一、基本知识原理设一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x1 ，x2 ，则有根与系数的关系：x1 +x2 = -(b/a)；x1 x2 =c/a ；根与方程的关系：ax12+bx1+c=0 ，ax22+bx2+c=0 。

二、解题方法与策略对于中考数学中这种常见填空题型，出题方式一般是，条件中直接告诉方程有两个根，但通常不会告诉这两个根的具体值，就算你用求根公式可以解出根的具体值，看起来非常繁琐，也不利于求解。

所以，对于这种题目我们的解题方法与策略是：（1）运用根与系数的关系，先求出方程两个根的和与积；（2）对方程进行适当变形，使二次项转化为一次项或常数；或对所求代数表达式进行适当的变形，使其变为含有两根的和或积的形式；（3）代入两个根的和与积，或者代入根与方程的关系，进行计算，问题便迎刃而解。

三、例题详解例1、已知a，b是一元二次方程x2﹣2x﹣2020＝0的两个根，则a2+2b﹣3的值等于解：由题意可知：a2﹣2a＝2020，（对方程进行适当的变形，使高次项转化为一次项或常数）由根与系数的关系可知：a+b＝2，（根据方程求出两个根的和）∴原式＝a2﹣2a+2a+2b﹣3 （对所求代数表达式进行适当的变形，使表达式中含有两根之和的形式；）＝2020+2（a+b）﹣3＝2020+2×2﹣3＝2021例2、一个直角三角形的两条直角边的长度恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是.例4、已知关于x的方程x2-4x+k-1=0的两根之差等于6，那么k ．解：设方程的两根为a、b，∴a+b=4 , ab = k-1（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab = 42 -4(k-1)=36解得：k=-4例5、设m、n是一元二次方程x2-2018x+1=0的两个实数根，则代数式2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 的值为（）解：由已知得m+n = 2018 , mn=1（先求出方程两个根的和与积）m2+n2 =(m+n)2 -2mn = 20182 -2 （利用和与积化简高次项为常数）∴2017m2+2018n2-2018n-2017×20182 （对所求代数表达式进行适当的变形）= 2017(m2+n2) + n2 -2018n-2017×20182= 2017( 20182 -2)-1-2017×20182= -4035。

理解根与系数之间的关系在数学中，我们经常遇到解方程的问题。

解方程的关键是理解根与系数之间的关系。

根是指方程的解，而系数则是方程中各项的系数。

这两者之间的关系是解方程的基础，也是数学中的重要概念之一。

一、一次方程与根的关系首先，我们来看一次方程与根的关系。

一次方程是指次数为1的方程，通常形式为ax + b = 0。

其中，a和b是系数，x是未知数。

解一次方程的关键是求出x的值，即根。

对于一次方程来说，只有一个根。

这是因为一次方程只有一个未知数，所以只有一个解。

根与系数之间的关系可以通过求解一次方程来理解。

假设我们有一个一次方程2x + 3 = 0，其中a = 2，b = 3。

通过求解，我们可以得到x = -3/2。

这就是该方程的根。

从这个例子可以看出，根与系数之间的关系是通过方程的解来体现的。

系数决定了方程的形式，而根则是方程的解。

在一次方程中，系数a决定了根的大小和正负，而系数b则决定了方程的常数项。

二、二次方程与根的关系接下来，我们来看二次方程与根的关系。

二次方程是指次数为2的方程，通常形式为ax^2 + bx + c = 0。

其中，a、b和c是系数，x是未知数。

与一次方程不同，二次方程可以有两个根。

这是因为二次方程的次数更高，所以有更多的解。

根与系数之间的关系在二次方程中更加复杂。

我们可以通过求解二次方程来理解这种关系。

假设我们有一个二次方程x^2 - 4x + 3 = 0，其中a = 1，b = -4，c = 3。

通过求解，我们可以得到x = 1和x = 3。

这就是该方程的两个根。

从这个例子可以看出，二次方程的根与系数之间存在着复杂的关系。

系数a决定了方程的开口方向和形状，系数b则决定了根的位置，而系数c则决定了方程的常数项。

三、高次方程与根的关系除了一次方程和二次方程，还有许多其他类型的方程，如三次方程、四次方程等。

这些方程的根与系数之间的关系更加复杂。

在高次方程中，根的个数与方程的次数有关。

一元二次方程ax^2+bx+c (a不为0)中
设两个根为x和y
则x+y=-b/a
xy=c/a
追问:能给全部吗？关于根与系数的所有公式，回答得好给你加50分
补充:1.一元二次方程的根的判别式
一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△＝b2-4ac
当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；
当△＝0时，方程有两个相等的实数根，
当△＜0时，方程没有实数根．
2.一元二次方程的根与系数的关系
(1)如果一元二次方程ax^2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1，x2，那么，x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a
(2)如果方程x^2+px+q=0的两个根是x1，x2，那么x1+x2=-P，
x1x2=q
(3)以x1，x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x2-(x1+x2)x+x1x2=0．
3.二次三项式的因式分解(公式法)
在分解二次三项式ax^2+bx+c的因式时，如果可用公式求出方程ax^2+bx+c=0的两个根是X1,x2，那么ax^2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)．
实例:已知x^2-2x-3=0的两根x1,x2,求x1平方+x2平方
解法一:求得方程2根为-1和3,所以x1平方+x2平方=10
解法二:不解方程直接用韦达定理,x1平方+x2平方=(x1+x2)^2-2x1*x2=4+6=10。

多项式的根与系数之间的关系多项式在数学领域中有着广泛的应用，从简单的代数运算到微积分、差分方程等复杂的数学问题都需要用到多项式。

其中，多项式的根与系数之间的关系是一个重要而又复杂的问题。

一、多项式根的定义一个n次多项式f(x)的根是指满足f(x)=0的x值。

例如，二次多项式f(x)=3x^2-2x+1的根可以通过求解方程3x^2-2x+1=0得到，其解为x=1/3和x=1。

二、多项式根与系数之间的关系在一定的条件下，多项式的根与系数之间有确定的关系。

这个关系被称为Vieta定理。

设f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0是一个n次多项式，其根为x_1,x_2,...,x_n，则有以下公式成立：1. 一个多项式的常数项a_0等于其根的乘积的相反数，即a_0=(-1)^n a_n x_1 x_2 ... x_n。

2. 一个多项式的一次项系数a_1等于其根的和的相反数，即a_1=(-1)^{n-1} a_n (x_1+x_2+...+x_n)。

3. 对于一个偶次多项式（即n为偶数），其二次项系数a_2等于其根的两两乘积的和的相反数，即a_2=(-1)^n-2 a_n(x_1x_2+x_1x_3+...+x_{n-1}x_n)。

4. 对于一个奇次多项式（即n为奇数），它的二次项系数为0。

例如，对于一个三次多项式f(x)=x^3-3x^2+2x+4，根可以通过解方程x^3-3x^2+2x+4=0得到。

通过Vieta定理，可以得出a_0=4、a_1=2和a_2=-3。

Vieta定理为研究多项式根的性质和多项式系数的关系提供了一个有力的工具。

三、多项式根的性质多项式根的性质在代数学中有着重要的地位。

以下是一些常见的多项式根的性质：1. 多项式的根具有互异性。

也就是说，一个多项式的根必须是不同的。

如果存在重复的根，则这些根都必须是代数上不同的。

2. 多项式的根必须在复数域上。

数学中根与系数的关系稿子一：嗨呀，亲爱的小伙伴们，今天咱们来聊聊数学里超有趣的根与系数的关系！你知道吗，这就像是数学世界里的小秘密。

比如说一元二次方程ax² + bx + c = 0 ，它的两个根 x₁和 x₂，它们和系数之间有着神奇的联系。

那系数 a、b、c 就像是方程的“家长”，而根 x₁和 x₂就是“孩子”。

这“家长”和“孩子”之间的关系可紧密啦！韦达定理告诉我们，x₁ + x₂就等于 b/a ，x₁ × x₂呢，就等于c/a 。

是不是感觉有点神奇？想象一下，我们通过知道“家长”的情况，就能猜出“孩子”之间的某种规律。

比如说，如果系数 a 是正数，b 是负数，那大概能猜到两个根相加是个正数，是不是很有意思？而且哦，在解题的时候，根与系数的关系可帮了大忙啦！有时候我们不需要费劲地去求出根具体是多少，通过它们和系数的关系就能得到很多有用的信息。

比如说，要判断两个根的正负，或者计算两根之和、两根之积的范围，都能靠这个关系轻松搞定。

怎么样，是不是觉得根与系数的关系不再那么枯燥，反而有点可爱啦？稿子二：嘿，朋友们！咱们来唠唠数学里那个神奇的根与系数的关系。

这玩意儿啊，就像是数学给咱们设的一个小魔法。

咱就拿一元二次方程来说，一旦有了它，根和系数就像一对默契的小伙伴。

你看啊，当方程ax² + bx + c = 0 摆在那，它的根 x₁和 x₂可没闲着。

它们和系数 a、b、c 之间有着特殊的约定。

比如说，x₁ + x₂就等于 b/a ，这就好像是它们之间的秘密暗号。

而 x₁ × x₂等于 c/a ，是不是很奇妙？有时候，咱们做题遇到难题，感觉走投无路的时候，想起这个根与系数的关系，就像找到了一把神奇的钥匙。

比如说，题目告诉你方程的一个根，让你求另一个根，这时候根与系数的关系就能大显身手啦。

还有哦，如果让你判断根的大小、正负啥的，只要看看系数的情况，心里就大概有底了。

一元二次方程的根与系数的关系
知识点归纳
1．一元二次方程的根与系数的关系定理：
如果关于x 的方程ax 2＋bx ＋c=0(a ≠0)的两根为
，那么
2
．一元二次方程的根与系数的关系推论：如果方程的两个根是
，那么 典例讲解
例1、
已知方程的一个根是，求它的另一个根及b 的值．
解：
设方程的另一根为，则由方程的根与系数关系得：
解得：
故得它的另一个根为3，b的值为－5．
另解：由题意得
解得：
设另一根为，则
例2、已知方程的两根为，求下列代数式的值：
（1）；（2）；（3）
解：由已知得，
则（1）
（2）
（3）
例3、已知是两个不相等的实数，且满足
，求的值．
解：
由题意，是方程的两个不等实根，
因而有，
所以．
例4、已知方程
（1）若方程两根之差为5，求k．
（2）若方程一根是另一根的2倍，求这两根之积．解：
（1）设方程两根为与，则
∴
（2）设方程两根，由根与系数关系知，
例5、已知方程两根之比为1∶3，判别式值为16，
求a、b的值．
解：设已知方程的两根为
于是
即
∴x1=2或－2
故a=－8或8， b=12．。

一元二次方程的根与系数之间的关系一元二次方程是数学中经常遇到的一类方程，它由一个未知数的二次多项式等于一个常数构成，通常的一元二次方程的一般形式为：ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，而x为未知数。

解一元二次方程的根是求出使得方程成立的未知数的值。

在研究一元二次方程的根之前，我们先来了解一下一元二次方程的系数。

系数是指方程中各个项的系数，即a、b和c。

在一元二次方程中，系数与根之间存在着一些规律和关系。

首先，我们来探讨一元二次方程的两个根与系数之间的关系。

根据求根公式，一元二次方程的根可以通过以下公式求得：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)。

从该公式中可以看出，根的值与方程的系数a、b和c有关。

具体来说，b^2 - 4ac称为判别式，它决定了方程有多少个根以及根的性质。

1. 当判别式大于0时（b^2 - 4ac > 0），方程有两个不相等的实根。

这意味着方程在坐标系中图像与x轴交于两个点。

此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为实数，且有两个解分别为x1和x2。

可以推导出，这两个解与系数的关系为：x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = c/a2. 当判别式等于0时（b^2 - 4ac = 0），方程有两个相等的实根。

这意味着方程在坐标系中图像与x轴有且只有一个交点。

此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为0，解的公式变为：x = -b/(2a)。

可以看出，根与系数的关系为：x1 = x2 = -b/(2a)3. 当判别式小于0时（b^2 - 4ac < 0），方程没有实根，而是有两个共轭复根。

也就是说，方程在坐标系中与x轴没有交点。

此时，判别式的平方根√(b^2 - 4ac)为纯虚数，解的公式可以写成：x = (-b ± i√(|b^2 - 4ac|)) / (2a)，其中i为虚数单位。

因此，系数与根的关系可以表示为： x1 + x2 = -b/ax1 * x2 = -c/a由上述关系可知，一元二次方程的根与系数之间确实存在一些规律。

《根与系数的关系》教案一、教学目标1. 让学生理解一元二次方程的根与系数之间的关系。

2. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

3. 提高学生对一元二次方程的解法及应用的理解。

二、教学内容1. 一元二次方程的一般形式：ax^2 + bx + c = 0。

2. 根的判别式：Δ= b^2 4ac。

3. 根与系数的关系：(1) 若有两个实数根，则根的值为：x1 = (-b + √Δ) / (2a)，x2 = (-b √Δ) / (2a)。

(2) 若有两个相等的实数根，则根的值为：x1 = x2 = -b / (2a)。

(3) 若没有实数根，则方程无实数解。

三、教学重点与难点1. 教学重点：根与系数之间的关系。

2. 教学难点：理解根的判别式Δ的意义及应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生探究根与系数的关系。

2. 通过实例分析，让学生感受数学知识在实际问题中的应用。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解根与系数之间的关系。

五、教学准备1. 教学课件：展示一元二次方程的图像，直观地展示根与系数之间的关系。

2. 实例：准备一些实际问题，让学生运用根与系数的关系解决问题。

3. 练习题：设计一些有关根与系数关系的练习题，巩固所学知识。

六、教学过程1. 引入新课：通过复习一元二次方程的一般形式和根的判别式，引导学生思考根与系数之间的关系。

2. 讲解根与系数的关系：结合课件和实例，讲解一元二次方程的根与系数之间的关系。

3. 互动环节：学生分组讨论，尝试解决实例中的问题，教师巡回指导。

4. 练习环节：学生独立完成练习题，教师选取部分题目进行讲解和解析。

5. 总结与反思：学生分享学习心得，教师总结根与系数之间的关系及其应用。

七、教学拓展1. 探讨二元二次方程的根与系数之间的关系。

2. 研究多项式方程的根与系数之间的关系。

3. 引导学生思考根与系数关系在实际问题中的应用，如线性规划、优化问题等。

八、课后作业1. 复习根与系数的关系，巩固所学知识。

二次方程根与系数之间的关系二次方程是一种含有二次项的代数方程，其一般形式可表示为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为实数且a≠0。

二次方程的解被称为方程的根。

本文将探讨二次方程的根与系数之间的关系。

一、二次方程的求根公式已知二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为常数，根据求根公式，可以得到方程的根。

求根公式为：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)其中，±表示两个不同的解，√表示平方根运算。

二、判别式的作用在求解二次方程的根时，判别式起到了重要的作用。

判别式的计算公式为Δ = b^2 - 4ac。

根据判别式的值可以判断二次方程的根的情况：1. 当Δ > 0时，方程有两个不同的实数根。

该情况下，可以进一步使用求根公式计算出具体的根的数值。

2. 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根，也称为重根。

此时，可以通过求根公式计算得到相同的根的值。

3. 当Δ < 0时，方程没有实数根，而是两个共轭复数根。

复数根一般表示为x = α ± βi，其中α和β均为实数，i为虚数单位，满足i^2 = -1。

三、根与系数之间的关系1. 根与二次方程的系数a、b、c之间的关系如下：- 根的和等于-b/a；- 根的积等于c/a。

2. 具体而言，设方程ax^2 + bx + c = 0的根为x1和x2，根据根与系数之间的关系，可以得到以下两个等式：- x1 + x2 = -b/a- x1 * x2 = c/a这两个等式可以通过求根公式推导得出。

通过这两个等式，我们可以通过系数来推测方程的根的性质。

三、例题分析接下来，我们通过几个例题来具体说明根与系数之间的关系。

例题一：已知二次方程3x^2 - 5x + 2 = 0，求方程的根。

解：根据求根公式，代入a = 3，b = -5，c = 2，可得：x = (-(-5) ± √((-5)^2 - 4*3*2)) / (2*3)简化后可得：x = (5 ± √(25 - 24)) / 6x = (5 ± √1) / 6x1 = (5 + 1) / 6 = 1x2 = (5 - 1) / 6 = 2/3因此，该二次方程的根为x1 = 1，x2 = 2/3。