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二次函数根与系数的关系课件

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根系关系,二次函数解析

根系关系,二次函数解析
（1）求抛物线和直线的解析式；
（2）设点 是直线 上一点，且 ABP： BPC ，求点 的坐标；
（3）若直线 与（1）中所求的抛物线交于 、 两点，问:
①是否存在 的值，使得 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由；
②猜想当 时， 的取值范围（不写过程，直接写结论）.
（参考公式：在平面直角坐标系中，若 ， ，则 ， 两点间的距离为 ）
②k取任何值时，设点A（x1， x12﹣1），B（x2， x22﹣1），
则 + = + = = ，
联立 ，
消掉y得，x2﹣4kx﹣4=0，
由根与系数的关系得，x1+x2=4k，x1•x2=﹣4，
所以，x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1•x2=16k2+8，
x12•x22=16，
∴ + = = =1，
=x12+x22+y12+y22
=x12+x22+（x1+1）2+（x2+1）2[来源:学科网ZXXK]
=x12+x22+（x12+2x1+1）+（x22+2x2+1）
=2（x12+x22）+2（x1+x2）+2[来源:学科网ZXXK]
=2（1+2）+2×1+2
=10，
∴AB2=OA2+OB2，
∴△AOB是直角三角形；
（3）∵ ，且在抛物线上，
∴b+8=0，∴b=﹣8，∵a+c=﹣b，∴a+c=8，
把B、C两点代入直线解析式易得：c﹣a=4，
即 解得： ，

二次函数根与系数的关系公式

二次函数根与系数的关系公式

二次函数根与系数的关系公式二次函数是代数中的一种重要函数类型，其形式为：f(x) = ax² + bx + c其中，a、b、c是常数且a≠0。

二次函数的根是使得函数等于零的x值。

根据二次函数的定义，当f(x) = ax² + bx + c = 0时，求解x的值就是求二次函数的根。

求二次函数的根是我们经常需要做的一种数学问题。

在计算过程中，我们需要了解二次函数的根与系数之间的关系公式，以便更好地理解和解决这类问题。

从解二次方程的角度来看，二次函数的根可以通过求解相应的二次方程来获得。

对于一般的二次方程ax² + bx + c = 0，我们可以使用以下公式来求解：x = (-b ± √(b² - 4ac)) / 2a这个公式称为二次方程的求根公式，它给出了二次方程的根与系数a、b、c之间的关系。

根据这个公式，可以看出：1. 根的个数：二次方程的根的个数由判别式决定，即b² - 4ac。

如果判别式大于零，则方程有两个不相等的实数根；如果判别式等于零，则方程有两个相等的实数根；如果判别式小于零，则方程没有实数根。

2.根的取值：根的取值由公式中的正负号决定。

在求根公式中，我们可以看到±号，这表示在求解根的过程中，我们需要考虑两个可能的根。

取正号的根对应着加号，取负号的根对应着减号。

此外，二次函数的系数a、b、c之间也存在一定的关系。

我们可以看出：1.a的正负：二次函数的系数a的正负决定了抛物线开口的方向。

当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。

2.a的绝对值：二次函数的系数a的绝对值决定了抛物线的背离x轴的程度。

绝对值越大，抛物线与x轴的交点越远。

3.根的和与积：根的和可以通过系数b/a得到，根的积可以通过常数项c/a得到。

具体地，根的和为-b/a，根的积为c/a。

这些关系对于解决一些实际问题时，可以提供便利。

二次函数根与系数的关系公式

二次函数根与系数的关系公式

二次函数根与系数的关系公式二次函数是指具有形如 y=ax^2+bx+c 的函数，其中 a,b,c 是常数。

其中 x 称为自变量，y 称为因变量。

在二次函数中，最重要的就是函数的根。

根是指满足方程 y=ax^2+bx+c=0 的 x 的值。

它可以是一个实数或者是一个复数。

在二次函数中，根的个数和系数 a,b,c 之间是有一定的关系的。

首先，我们来看一个二次函数的图像。

当二次函数的系数a>0时，它的图像开口向上；当系数a<0时，它的图像开口向下。

当系数a的绝对值越大时，图像的开口越窄。

当 a=0 时，二次函数就变成了一次函数，即 y=bx+c，没有二次项。

此时的图像是一条直线。

对于二次函数 y=ax^2+bx+c，我们可以用求根公式来求解它的根。

求根公式是一个很重要的公式，它的形式是：x= (-b±sqrt(b^2-4ac))/(2a)其中的± 表示可以取正号或者负号。

也就是说，对于一个二次函数而言，一般情况下有两个根。

但是，当 b^2-4ac<0 时，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。

我们可以通过这个求根公式来推导二次函数的根与系数之间的关系。

首先考虑一个情况，就是当方程有两个实根的时候。

由求根公式可知，当 b^2-4ac>0，即判别式大于零时，方程有两个不相等的实根。

可以得到：x1=(-b+sqrt(b^2-4ac))/(2a)x2=(-b-sqrt(b^2-4ac))/(2a)我们可以对方程进行因式分解，得到：y=a(x-x1)(x-x2)也就是说，对于一个二次函数而言，可以通过它的两个根来唯一确定一个二次函数。

反过来，如果知道一个二次函数的系数a,b,c以及根x1,x2，就可以唯一确定一个二次函数。

从上面的分解式可以看出，当x=x1或者x=x2时，y=0。

也就是说，x1和x2就是二次函数的根。

接下来，我们来推导方程没有实根的情况。

当 b^2-4ac<0，即判别式小于零时，方程没有实根，只有复根。

一元二次方程课件

一元二次方程课件
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计算判别式
02
$Delta = b^2 - 4ac$
判别式Δ的几何意义
03
代表一元二次函数图像与x轴交点的个数
判别式Δ与方程解的关系
当$Delta > 0$时， 方程有两个不相等的 实根
当$Delta < 0$时， 方程无实根，即根为 复数
当$Delta = 0$时， 方程有两个相等的实 根，即一个重根
一元二次方程可能有两个实数解、一个实数解或无实数解，这取决于判别式b²-4ac的值。当b²-4ac>0时，方程有两个不相等 的实数解；当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数解，即一个实数解；当b²-4ac<0时，方程无实数解。
02 一元二次方程解法
直接开平方法
适用情况
注意事项
适用于形如 $(x+a)^2=b$ 的一元二 次方程。
根与系数关系在解题中的应用
利用根与系数的关系可以解决一些与 方程根相关的问题，如判断方程的根 的情况、求方程的根的取值范围等。
VS
例如，已知方程ax^2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) 的两个根x1、x2满足x1 < 0， x2 - 2x1 > 0，则可以推断出系数a、 b、c的符号关系。具体推导为：由x1 * x2 = c/a > 0，知c与a同号；由x1 + x2 = -b/a < 0，结合x1 < 0，得a 与b异号；由x2 - 2x1 > 0，得x2 > 2x1，即x2 - x1 > x1，结合x1 + x2 < 0，得x2 - x1 > -(x1 + x2) = b/a > 0，得a与b异号。

根与系数的关系

根与系数的关系

二、求对称代数式的值：
所谓对称式，即若将代数式中的任意两个字母交换， 代数式不变，则称这个代数式为完全对称式. 如x2+y2,
1 1 等。 x y
扩展后，可以视x-y中x与-y对称。
典例选讲： 例1：（2012四川攀枝花3分）已知一元二次方程： x2-3x-1=0的两个根分别是x1、x2，则 x12x2+x1x22的值为( A ) A．-3 B． 3 C．-6 D．6 例2（2012山东莱芜3分）已知m、n是方程x2+2 2 x+1=0 的两根，则代数式 m 2 n 2 3mn 的值为( C )
例2（2012四川宜宾8分）某市政府为落实“保障性住房政 策，2011年已投入3亿元资金用于保障性住房建设，并规 划投入资金逐年增加，到2013年底，将累计投入10.5亿元 资金用于保障性住房建设． （1）求到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率 （只需列出方程）； （2）设(1)中方程的两根分别为x1，x2，且 mx12- 4m2x1x2+mx22的值为12，求m的值． 解（1） 设到2013年底，这两年中投入资金的平均年增长率为x，
A．b=-1，c =2 C．b=1，c =2
B．b=1，c =-2 D．b=-1，c =-2
例3（2012内蒙古包头3分）关于x的一元二次方程 x2-mx+5(m-5)=0的两个正实数根分别为x1，x2， 且2x1+x2=7，则m的值是( ) A.2 B. 6 C. 2或6 D . 7
【分析】 ∵方程x2-mx+5(m-5)=0有两个正实数根
A．9 B．±3 C．3 D．5
例3.(2012江苏南通3分)设m、n是一元二次方程 x2+3x-7=0的两个根，则m2+4m+n= 4 ．

根与系数的关系与二次函数

根与系数的关系与二次函数

△=1-4 ＜ 0 ，函数图像与 x 轴无交点，应将
2
y 2x x 1
m=2 舍去，函数解析式为
二、二次函数图像与 x 轴两交点之间的距离问题。 例 2：（扬州市考题）已知二次函数 y x2 kx k 3
（1 ）求证：不论 k 取何值，这个函数的图像与 x 轴总有两个交点。
（2 ）实数 k 为何值时，这两个交点之间的距离最小，并求这个最小距离。
消去 k 解得 m 1 =2 ， m 2= 1 3
∵x1 x2 ＞0，即 m ＞1， ∴将m= 1 舍去，从而 m=2 ，函数解析式为 y
3
x 2 2x 3 .
简解：（1 ）只需证△＞0，过程从略。
（ 2 ） 解 ： 由 根 与 系 数 的 关 系 可 得 ： x1 x2 k ， x1 x2 k 3 ，
d | x1 x2 | ( x1 x2 ) 2
( x1 x2 )2 4x1x2
k 2 4k 12 (k 2) 2 8
当 k=2 时， d 有最小值，最小值为 2 2 。 三、二次函数图像与 x 轴两交点的相对位置问题 例 3：（南京市中考题）如果抛物线 y x 2 2( m 1) x m 1与 x 轴交于 A 、 B 两点，点 A 在 x 轴的正半轴上，点 B 在 x 轴的负半轴上，0A=a,0B=b, 若 a:b=3:1 ， 求抛物线的解析式。
A （ x1，0 ），B（ x2 ，0），且满足 (x1 1)( x2 1) m 1，求此二次函数解析式。 解：由根与系数的关系可得：
1
1
x1 x2 m 1 x1 x2 m 1
( x1 1)( x2 1) x1x2 (x1 x2 ) 1 m 1
2
即
m ，解得 m 2 或 m 1

二次函数与二次方程的根与系数的关系

二次函数与二次方程的根与系数的关系二次函数和二次方程是高中数学中重要的概念，它们之间存在着紧密的联系。

本文将探讨二次函数与二次方程的根与系数的相互关系。

1. 二次函数的定义及一般形式二次函数是指形如 f(x) = ax² + bx + c 的函数，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。

在二次函数中，x 是自变量，f(x) 是因变量。

二次函数的图像通常是一个抛物线。

2. 二次方程的定义及一般形式二次方程是指形如 ax² + bx + c = 0 的方程，其中 a、b、c 是实数，且a ≠ 0。

在二次方程中，x 是未知数。

求解二次方程的根可以通过因式分解、配方法或求根公式等方法得到。

3. 二次函数的根与系数的关系对于二次函数 f(x) = ax² + bx + c，可以推导出以下关系：3.1 零点等于根二次函数的零点即为函数的根，也就是函数图像与 x 轴相交的点。

根据二次函数的定义，当 f(x) = 0 时，求解该方程可以得到二次函数的根。

如果二次函数有两个不同的实根，那么方程必有两个不同的解。

如果二次函数有一个重根（两个根相等），那么方程也有一个重解。

3.2 判别式与根的关系对于二次方程 ax² + bx + c = 0，判别式 D = b² - 4ac 可以用来判断方程的根的性质。

当判别式 D > 0 时，方程有两个不同实根；当 D = 0 时，方程有一个重实根；当 D < 0 时，方程没有实根，有两个虚根。

3.3 根与系数的关系根与系数之间存在着一一对应的关系。

对于一般形式的二次方程ax² + bx + c = 0，根据求根公式可得：根 x₁ = (-b + √D) / (2a)根 x₂ = (-b - √D) / (2a)可以发现，根与系数 a、b、c 之间存在着明确的线性关系。

根的值受到系数的影响，不同的系数会导致不同的根的取值。

一元二次方程根与系数关系

一元二次方程根与系数关系一元二次方程是数学中最基础的方程类型之一，它涉及系数之间的关系，可以用来求解函数的最大值或最小值，也可以解决物理问题。

许多有关二次函数的研究都涉及它的根，而它的根和它的系数之间存在着一定的关系。

一元二次方程形式如下：ax^2+bx+c=0它的根可以从其解析解中得出：x1 = (-b + sqrt(b^2-4ac))/2ax2 = (-b - sqrt(b^2-4ac))/2a从上面可以看出，一元二次方程的根和系数之间的关系主要有以下几点：1、如果给定的a≠0，那么一元二次方程必定有解。

2、当b2-4ac大于0时，方程有两个不等的实数根，且它们的和等于-b/a，其积等于c/a；当b2-4ac等于0时，方程有两个相等的实数根，它们都等于-b/a；当b2-4ac小于0时，方程有两个不相等的虚数根，且它们的和等于-b/a，其积等于c/a。

3、解的值取决于方程中的参数值，改变参数值，解也会发生变化。

4、当当实数a、b、c中有两个或以上具有相同的参数，解的值也会有一定的改变。

5、关于一元二次方程的系数a、b、c，当a=0时，方程转换为一元一次方程，有一个实数解；当b=0时，方程转换为二次项系数为零的椭圆方程，有两个不等实数解；当c=0时，方程转换为两项系数为零的椭圆方程，有一个实数解；当a=b=c=0时，方程为任何值都满足，这种情况称为无穷多解。

6、一元二次函数的性质也可以由系数的关系得出，如当a>0时，函数是凸函数，x轴的极值点在x1处；当a<0时，函数是凹函数，x 轴的极值点在x2处。

以上就是关于一元二次方程系数的可能的关系。

系数与解之间存在着一定的关系，可以帮助我们更好地解决问题，也为我们提供了新的视角来理解问题。

这也使得数学更加丰富有趣，扩大我们对数学的认识。

二次函数性质及根的分布


要点二
题目2解析
由于函数$f(x) = x^2 - 2x + m$在区间$[-1,3]$上的最大值 为$4$，可以得出函数的对称轴为直线$x = 1$，且函数在区 间$[-1,3]$上单调递增。因此，当$x = 3$时，函数取得最大 值，即$9 - 6 + m = 4$，解得$m = 1$。
THANKS FOR WATCHING
若 $a > 0$，则对称轴是 $x = -frac{b}{2a}$；若 $a < 0$，则 对称轴是 $x = -frac{b}{2a}$。
二次函数的开口方向和顶点
二次函数的开口方向由系数 $a$ 决定。当 $a > 0$ 时，抛 物线开口向上；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向下。
二次函数的顶点坐标为 $left(-frac{b}{2a}, fleft(frac{b}{2a}right)right)$。顶点的纵坐标即为函数的最大 值或最小值。
二次函数是定义在实数域上的函数， 其定义域为全体实数。
二次函数的图像
01
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由系数 $a$ 决定。
02
当 $a > 0$ 时，抛物线开口向上 ；当 $a < 0$ 时，抛物线开口向 下。
二次函数的对称性
二次函数的图像关于其对称轴对称。对称轴的方程是 $x = frac{b}{2a}$。
题目2
若函数$f(x) = x^2 - 2x + m$在区 间$[-1,3]$上的最大值为$4$，则 $m$的值为多少？
进阶练习题
题目3
已知函数$f(x) = x^2 - 2x + a$在区 间$[0,3]$上有且只有一个零点，求 实数$a$的取值范围。

初中数学《二次函数》复习课名师教学PPT课件


3.某商场试销一种成本为每件60元的服装，规定试销期 间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于45%，经 试销发现，销售量y（件）与销售单价x（元）符合一次 函数y＝kx+b，且x＝65时，y＝55；x＝75时，y＝45；
(1)求一次函数的解析式；
(2)若该商场获得利润为W元，试写出利润W与销售单 价x之间的关系；销售单价定为多少时，商场可获得最 大利润，最大利润是多少元？
(3)若该商场所获得利润不低于500元，试确定销售单 价x的范围.
二次函数在几何问题中的应用
1.为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤 足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了 如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区 域的面积相等.设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的 面积为ym2.
A.图象关于直线x＝1对称 B.函数y=ax2+bx+c（a≠0）的 最小值是-4 C.抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴 的两个交点的横坐标分别是-1，3 D.当x＜1时，y随x的增大而增大
2.已知函数y＝(k-3)x2+2x+1的图象与x轴有交点，则k的 取值范围是（B）
A.k＜4 B.k≤4 C.k＜4且k≠3 D.k≤4且k≠3
1 x
2.已知函数y＝(m2+m)x2+mx+4为二次函数，则m的取值
范围是（ C）
A.m≠0 B.m≠－1 C.m≠0，且m≠－1 D.m＝－1
3.矩形的周长为24cm，其中一边为xcm（其中x＞0）， 面积为ycm2，则这样的矩形中y与x的关系可以写成 （ B）
A.y＝x2 C. y＝12－x2
B.y＝(12－x)x D.y＝2(12－x)
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