二次函数 必修一

高一数学必修一b版知识点总结本文将对高一数学必修一b版的知识点进行总结，旨在帮助同学们更好地复习和掌握这些内容。

一、集合与函数1. 集合的概念：元素、包含关系、空集、全集等。

2. 集合的运算：交集、并集、差集、补集等。

3. 函数的概念：定义域、值域、对应关系等。

4. 函数的表示法：映射图、列表、解析式等。

5. 函数的性质：一一对应、满射、单射等。

二、二次函数1. 二次函数的定义：标准形式、一般形式、顶点形式等。

2. 二次函数的图像与性质：开口方向、对称轴、顶点坐标、零点等。

3. 二次函数的图像的平移与伸缩：平移、纵向伸缩、横向伸缩等。

4. 二次函数的应用：最值问题、解方程等。

三、平面几何1. 平面几何基本概念：点、线、面等。

2. 直线与角的性质：同位角、对顶角、余角等。

3. 三角形与四边形：三角形的分类、四边形的性质等。

4. 圆的定义与性质：圆心角、弧、弦等。

5. 平面几何的证明：直角三角形性质的证明等。

四、立体几何1. 空间几何基本概念：线段、平面、立体等。

2. 空间几何的投影：平行投影、垂直投影等。

3. 空间几何的相交关系：垂直、平行等。

4. 空间几何的计算：体积、表面积等。

五、概率统计1. 概率的概念：频率、实验、样本空间等。

2. 概率的计算：相对频率、等可能性等。

3. 统计的概念：均值、中位数、众数、极差等。

4. 统计图表的绘制与分析：直方图、折线图、饼图等。

六、数列与数学归纳法1. 数列的定义与表示：通项公式、递推公式等。

2. 等差数列与等比数列：公差、公比等。

3. 数列的求和与性质：等差数列求和、等比数列求和等。

4. 数学归纳法的原理与应用。

七、三角函数1. 角度与弧度制：角度的度与弧度的关系。

2. 三角函数的定义与性质：正弦、余弦、正切等。

3. 三角函数的图像与性质：周期、对称性等。

4. 三角函数的基本关系：和差化积、倍角公式等。

综上所述，本文总结了高一数学必修一b版的知识点，包括集合与函数、二次函数、平面几何、立体几何、概率统计、数列与数学归纳法以及三角函数。

f x 在区间 a, a 2 上的最小值.
聚焦·典例精析
例2.已知函数
f ( x) x 2 2ax 3 在区间 1,5 f ( x) x 2 2ax 3 ， x 1,5 f ( x) x 2ax 3 ，x 1,5
2
上是单调函数，则实数 a 的取值范围是____________.
o
对称轴：
yபைடு நூலகம்
x 1
x 1
（2 ）
-2
x
-2
o
5
x
当x 2,0 时， f ( x) max f (2) 5 f ( x) min f (0) 3
当x 2,5 时， f ( x) max f (5) 12 f ( x) min f (1) 4
小结
二次函数闭区间的最值问题
【方法点睛】 1.影响二次函数 f ( x) 在区间 m, n 上最值的要素有三个,即抛物 线的开口方向、对称轴位置、闭区间；常用数形结合思想求解, 但当三要素中有一要素不确定时，要分情况讨论. 2.常结合二次函数在该区间上的单调性或图像求解，在区间的
端点或二次函数图像的顶点处取得最值；
3.注意分类讨论。
变式1.已知函数
求函数
f ( x)
的最小值.
变式2.已知函数
若 f ( x) 0
恒成立,求实数
a 的取值范围.
挑战·突破自我
学业水平测试压轴题:
已知函数
f ( x) x 2 4ax 3 ,是否存在实数 a ，
使得函数 f ( x) 在区间 a, a 2 上有最小值 -6？ 若存在，请求出实数 a 的值；若不存在，请说明理由.

数学必修一难点归纳总结数学是一门需要逻辑思维和抽象推理能力的学科，对很多学生而言，数学的学习常常是一项艰巨的任务。

而在数学必修一这门课程中，有一些难点知识点常常让学生们感到困惑和挫败。

本文将对数学必修一的难点知识进行归纳总结，帮助学生们更好地理解和掌握这些内容。

一、一次函数一次函数是数学必修一重要的知识点之一，其相关概念及性质需要学生们掌握。

首先，一次函数的定义是 f(x) = ax + b，其中 a 和 b 分别是常数。

而一次函数的图像是一条直线，其斜率 a 决定了直线的斜率和走势。

学生们常常容易混淆斜率和截距的含义，需要特别注意它们的概念区分。

而在一次函数的应用中，学生们还要掌握直线的平行和垂直关系，以及如何通过一次函数方程求解相关问题。

这些内容需要学生们结合具体例题进行实践训练，进一步加深理解和应用。

二、二次函数二次函数是数学必修一的另一个难点知识点。

二次函数的定义是f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 均为常数。

二次函数的图像为抛物线，其开口方向和顶点位置取决于系数 a 的正负和值。

学生们需要掌握如何通过二次函数方程的标准形式来分析和求解相关问题。

在二次函数的学习中，学生们还需要理解二次函数图像关于 x 轴对称的性质，并能够根据给定的条件确定二次函数的解析式。

此外，二次函数的最值问题也是常见的考点，需要掌握如何求解二次函数的最大值或最小值，并能够运用到实际问题中。

三、平面解析几何平面解析几何是数学必修一的又一难点内容。

在平面解析几何中，学生们需要熟练掌握平面直角坐标系的相关知识，包括点的坐标表示和向量的定义及运算。

另外，学生们还需要了解直线和圆的解析式，并能够根据给定条件进行求解和分析。

在解析几何的学习中，学生们还需要掌握线段的中点和长度公式，以及如何判断两条直线的位置关系和两个圆的位置关系。

此外，学生们还需要理解平面解析几何和其它数学内容之间的联系，能够灵活运用解析几何的方法解决实际问题。

高中数学必修一第二章一元二次函数方程和不等式知识点总结全面整理单选题1、已知x>0，y>0，x+2y=1，则1x +1y的最小值为（）A．3+2√2B．12C．8+4√3D．6答案：A分析：根据基本不等中“1”的用法，即可求出结果. 因为x>0，y>0，x+2y=1，所以(1x +1y)(x+2y)=3+2yx+xy≥3+2√2，当且仅当2yx =xy，即x=√2−1,y=2−√22时，等号成立.故选：A.2、当0<x<2时，x(2−x)的最大值为（）A．0B．1C．2D．4答案：B分析：利用基本不等式直接求解.∵0<x<2，∴2−x>0，又x+(2−x)=2∴x(2−x)≤[x+(2−x)]24=1，当且仅当x=2−x，即x=1时等号成立，所以x(2−x)的最大值为1故选：B3、已知x∈R，则“(x−2)(x−3)≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的（）条件．A．充分不必要B．必要不充分C．充分必要D．既不充分也不必要答案：C分析：先证充分性，由（x−2）(x−3）≤0求出x的取值范围，再根据x的取值范围化简|x−2|+|x−3|即可，再证必要性，若|x−2|+|x−3|=1，即|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，再根据绝对值的性质可知（x−2）(x−3）≤0．充分性：若（x−2）(x−3）≤0，则2≤x≤3，∴|x−2|+|x−3|=x−2+3−x=1，必要性：若|x−2|+|x−3|=1，又∵|（x−2）−（x−3）|=1，∴|x−2|+|x−3|=|（x−2）−（x−3）|，由绝对值的性质：若ab≤0，则|a|+|b|=|a−b|，∴（x−2）(x−3）≤0，所以“（x−2）(x−3）≤0成立”是“|x−2|+|x−3|=1成立”的充要条件，故选：C．4、若非零实数a，b满足a<b，则下列不等式成立的是（）A．ab <1B．ba+ab>2C．1ab2<1a2bD．a2+a<b2+b答案：C分析：举出符合条件的特例即可判断选项A，B，D，对于C，作出不等式两边的差即可判断作答.取a=−2,b=−1，满足a<b，而ab=2>1，A不成立；取a=−2,b=1，满足a<b，而ba +ab=−12+(−2)=−52<2，B不成立；因1ab2−1a2b=a−ba2b2<0，即有1ab2<1a2b，C成立；取a=−2,b=−1，满足a<b，而a2+a=2,b2+b=0，即a2+a>b2+b，D不成立．故选：C5、对∀x∈R，不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0恒成立，则a的取值范围是（）A．−2<a≤2B．−2≤a≤2C．a<−2或a≥2D．a≤−2或a≥2答案：A分析：对a讨论，结合二次函数的图象与性质，解不等式即可得到a的取值范围.不等式(a−2)x2+2(a−2)x−4<0对一切x∈R恒成立，当a −2=0，即a =2时，−4<0恒成立，满足题意；当a −2≠0时，要使不等式恒成立，需{a −2<0Δ<0，即有{a <24(a −2)2+16(a −2)<0 ， 解得−2<a <2.综上可得，a 的取值范围为(−2,2].故选：A.6、已知实数x ，y 满足x 2+y 2=2，那么xy 的最大值为（ ）A ．14B ．12C ．1D ．2答案：C分析：根据重要不等式x 2+y 2≥2xy 即可求最值，注意等号成立条件.由x 2+y 2=2≥2xy ，可得xy ≤1，当且仅当x =y =1或x =y =−1时等号成立.故选：C.7、设a >b >c >0，则2a 2+1ab +1a(a−b)−10ac +25c 2取得最小值时，a 的值为（ ）A ．√2B ．2C ．4D ．2√5答案：A解析：转化条件为原式=1ab +ab +1a(a−b)+a(a −b)+(a −5c)2，结合基本不等式即可得解.2a 2+1ab +1a (a −b )−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)−ab −a(a −b)+2a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+a 2−10ac +25c 2 =1ab +ab +1a(a −b)+a(a −b)+(a −5c)2 ≥2√1ab ⋅ab +2√1a(a−b)⋅a(a −b)+0=4，当且仅当{ab =1a(a −b)=1a =5c ，即a =√2，b =√22，c =√25时，等号成立.小提示：易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.8、若x<0，则x+14x−2有（）A．最小值−1B．最小值−3C．最大值−1D．最大值−3答案：D分析：根据基本不等式，首先取相反数，再尝试取等号，可得答案.因为x<0，所以x+14x −2=−(−x+1−4x)−2≤−2√−x⋅1−4x−2=−3，当且仅当−x=1−4x，即x=−12时等号成立，故x+14x−2有最大值−3．故选：D.多选题9、对于任意实数a，b，c，d，则下列命题正确的是（）A．若ac2>bc2，则a>b B．若a>b，c>d，则a+c>b+dC．若a>b，c>d，则ac>bd D．若a>b，则1a >1b答案：AB分析：可由性质定理判断A、B对，可代入特例判断选项C、D错.解：若ac2>bc2，两边同乘以1c2则a>b，A对，由不等式同向可加性，若a>b，c>d，则a+c>b+d，B对，当令a=2，b=1，c=﹣1，d=﹣2，则ac=bd，C错，令a=﹣1，b=﹣2，则1a <1b，D错.10、关于x的一元二次不等式x2−2x−a≤0的解集中有且仅有5个整数，则实数a的值可以是（）A．2B．4C．6D．8答案：BC解析：求出不等式的解，分析其中只有5个整数解，得a的不等式，解之，然后判断各选项可得．易知Δ=4+4a≥0，即a≥−1，解原不等式可得1−√1+a≤x≤1+√1+a，而解集中只有5个整数，则2≤√1+a<3，解得3≤a<8，只有BC满足．故选：BC．11、已知实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0，则下列不等式一定成立的是（）A．ab>ac B．c(b−a)>0C．ac(a−c)<0D．cb2<ab2答案：ABC分析：根据c<b<a，且ac<0，得到a>0,c<0，然后利用不等式的基本性质，逐项判断.因为实数a，b，c满足c<b<a，且ac<0，所以a>0,c<0，由b>c,a>0，得ab>ac，故A正确；由b<a,c<0，得c(b−a)>0，故B正确；由a>c,ac<0，得ac(a−c)<0，故C正确；由a>c,b2≥0，得cb2≤ab2，当b=0时，等号成立，故D错误；故选：ABC填空题12、若不等式x2−2>mx对满足|m|≤1的一切实数m都成立，则x的取值范围是___________答案：x<−2或x>2分析：令f(m)=mx−x2+2，依题意可得−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，则{f(1)<0f(−1)<0，即可得到关于x 的一元二次不等式组，解得即可；解：因为x2−2>mx，所以mx−x2+2<0令f(m)=mx−x2+2，即f(m)<0在|m|≤1恒成立，即−1≤m≤1时f(m)<0恒成立，所以{f(1)<0f(−1)<0，即{x−x 2+2<0−x−x2+2<0，解x−x2+2<0得x>2或x<−1；解−x−x2+2<0得x>1或x<−2，所以原不等式组的解集为x∈(−∞,−2)∪(2,+∞)所以答案是：(−∞,−2)∪(2,+∞)13、已知−1<x+y<4,2<x−y<4，则3x+2y的取值范围是_____．答案：(−32,12)解析：利用换元法，结合不等式的性质进行求解即可.设x+y=m,x−y=n，因此得：x=m+n2,y=m−n2，−1<m<4,2<n<4，3x+2y=3⋅m+n2+2⋅m−n2=5m2+n2，因为−1<m<4,2<n<4，所以−52<5m2<10,1<n2<2，因此−32<5m2+n2<12，所以−32<3x+2y<12.所以答案是：(−32,12)14、关于x的不等式x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，则a的取值范围为________．答案：[−2,6]分析：根据不等式有解可得当x∈[1,6]时，a2−4a≤(x2−4x)max，结合二次函数的最值可求得结果. ∵x2−4x+4a≥a2在[1,6]内有解，∴a2−4a≤(x2−4x)max，其中x∈[1,6]；设y=x2−4x(1≤x≤6)，则当x=6时，y max=36−24=12，∴a2−4a≤12，解得：−2≤a≤6，∴a的取值范围为[−2,6].所以答案是：[−2,6].解答题15、若0<a<b，则下列不等式哪些是成立的？若成立，给予证明；若不成立，请举出反例.（1）a+1b <b+1a；（2）a2+1a2≥a+1a；（3）a2b +b2a>a+b.答案：（1）正确，证明见解析；（2）正确，证明见解析；（3）正确，证明见解析. 解析：(1)作差分解因式，即可得出答案；(2)作差分解因式，即可得出答案；(3)用基本不等式，即可得出答案.（1）正确a+1b −b−1a=(a−b)(1+1ab)<0（2）正确a2+1a2−(a+1a)=(a+1a)2−(a+1a)−2=(a+1a−2)(a+1a+1)≥0（3）正确a2b +b>2a,b2a+a>2b∴a2b+b2a+a+b>2a+2b∴a2b+b2a>a+b小提示：本题考查证明不等式，一般采用作差法、作商法、基本不等式，属于容易题.。