人教B版高中数学必修一二次函数练习题及答案

4.2.2 二次函数的性质与图象1．二次函数的概念函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)叫做二次函数，其定义域为R . 2．二次函数的性质与图象思考：由函数y＝ax2(a≠0)的图象作怎样的变换就能得到函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象？[提示]y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)的图象可以看作由y＝ax2的图象平移得到的，h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．1．二次函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，则当x＝1时，y的值为()A．－7B．1C．17D．25D[因为函数y＝4x2－mx＋5的图象的对称轴为直线x＝－2，所以m8＝－2，即m＝－16，所以y＝4x2＋16x＋5，所以当x＝1时，y＝25.] 2．函数y＝－2(x＋1)2＋8的最值情况是()A．最小值是8，无最大值B．最大值是－2，无最小值C．最大值是8，无最小值D．最小值是－2，无最大值C[y＝－2(x＋1)2＋8的图象开口向下，所以当x＝－1时取最大值8，无最小值．]3．把函数y＝x2－2x的图象向右平移2个单位，再向下平移3个单位所得图象对应的函数解析式为________．y＝x2－6x＋5[将函数y＝x2－2x的图象平移后，得到的解析式为y＝(x－2)2－2(x－2)－3＝x2－6x＋5.]4．已知函数f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上________(填“单调递增”或“单调递减”)．单调递增[因为f(x)＝(m－1)x2－2mx＋3是偶函数，所以2m＝0，即m＝0，所以f(x)＝－x2＋3，因为二次函数对应的抛物线开口向下，所以f(x)＝－x2＋3在(－∞，0)上单调递增．]【例1】()A B C D(2)函数y＝x2＋m的图象向下平移2个单位，得到函数y＝x2－1的图象，则实数m＝________.(3)当m为何值时，函数y＝(2－m)xm2＋m－4＋(m＋8)x是二次函数？(1)D(2)1[(1)A图，a＜0，c＜0，－b2a＜0，∴b＜0，∴abc＜0，不合题意．B图，a＜0，c＞0，－b2a＞0，∴b＞0，∴abc＜0，不合题意．C图，a＞0，c＜0，－b2a＜0，∴b＞0，∴abc ＜0，不合题意．D 图，a ＞0，c ＜0，－b2a ＞0，∴b ＜0，此时abc ＞0满足题意，故选D. (2)y ＝x 2－1的图象向上平移2个单位，得到函数y ＝x 2＋1的图象，则m ＝1.](3)解：由二次函数的定义知⎩⎨⎧2－m ≠0，m 2＋m －4＝2，即⎩⎨⎧m ≠2，m 2＋m －6＝0，解得⎩⎨⎧m ≠2，m ＝－3或m ＝2，所以m ＝－3.所以当m ＝－3时，函数y ＝(2－m )xm 2＋m －4＋(m ＋8)x 为二次函数．观察图象主要是把握其本质特征：开口方向决定a 的符号，在y 轴上的交点决定c 的符号(值)，对称轴的位置决定－b2a 的符号.另外，还要注意与x 轴的交点，函数的单调性等，从而解决其他问题.1．在同一直角坐标系中，函数y ＝mx ＋m 和函数y ＝－mx 2＋2x ＋2(m 是常数，且m ≠0)的图象可能是( )A BC DD [当m ＞0时，函数y ＝mx ＋m 递增，且在y 轴上的截距为正，函数y ＝－mx 2＋2x ＋2的图象开口向下，对称轴在y 轴右侧．当m ＜0时，函数y ＝mx ＋m 递减，且在y 轴上的截距为负，函数y ＝－mx 2＋2x ＋2的图象开口向上，对称轴在y 轴左侧．满足上述条件的只有D 选项．]【例a 的取值范围是________．(2)若函数y ＝x 2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b ]的图象关于直线x ＝2对称，则b ＝________.(3)已知函数f (x )＝－12x 2－3x －52.①求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； ②已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝158，不计算函数值求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52；③不直接计算函数值，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154的大小．[思路探究] (1)f (x )的单调性⇒对称轴与区间关系． (2)图象对称⇒对称轴⇒定义域关于对称轴对称．(3)二次函数配方法⇒顶点、对称轴⇒利用对称性求值比较大小． (1)(－∞，－4]∪[1，＋∞) (2)10 [(1)f (x )的对称轴方程为x ＝－(a ＋1)， 又因为f (x )在区间[－2,3]上是单调函数， 所以－(a ＋1)≤－2或－(a ＋1)≥3. 解得a ≥1或a ≤－4，所以a 的取值范围是(－∞，－4]∪[1，＋∞)．(2)由题意可知函数对称轴为2，且a ，b 关于x ＝2对称，所以⎩⎪⎨⎪⎧－a ＋22＝2，a ＋b ＝2×2，解得⎩⎨⎧a ＝－6，b ＝10，所以b 的值为10.](3)解：f (x )＝－12x 2－3x －52＝－12(x 2＋6x ＋5) ＝－12(x ＋3)2＋2.①顶点坐标为(－3,2)，对称轴为x ＝－3.②f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－72＝f (－3.5)＝f (－3－0.5)＝f (－3＋0.5)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝158. ③f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3－34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3＋34＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94. ∵－14，－94∈[－3，＋∞)，而f (x )在[－3，＋∞)上是减函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－94，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－154.1．利用二次函数的单调性求参数的取值范围的方法已知函数的单调性，求函数解析式中参数的范围，是函数单调性的逆向思维问题．解答此类问题的关键在于借助函数的对称轴，通过集合间的关系来建立变量间的关系．2．比较二次函数函数值的大小的方法(1)若抛物线开口向上，则离对称轴越近，函数值越小． (2)若抛物线开口向下，则离对称轴越近，函数值越大． 3．二次函数图象的对称轴的三种求法(1)利用配方法求二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的对称轴为x ＝－b 2a . (2)若二次函数f (x )对任意x 1，x 2∈R 都有f (x 1)＝f (x 2)，则对称轴为x ＝x 1＋x 22.(3)若二次函数y ＝f (x )对定义域内所有x 都有f (a ＋x )＝f (a －x )，则对称轴为x ＝a (a 为常数)．2．(1)设函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1.若对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．(2)如果函数f (x )＝x 2＋bx ＋c 对任意实数t 都有f (2＋t )＝f (2－t )，比较f (1)，f (2)，f (4)的大小．(1)[－5，＋∞) [二次函数f (x )＝x 2＋(a －1)x ＋1对任意x 1，x 2∈[3，＋∞)，x 1≠x 2，不等式f(x1)－f(x2)x1－x2>0恒成立，说明f(x)在[3，＋∞)上为增函数．又f(x)开口向上，所以－a－12≤3，解得a≥－5，所以a的取值范围是[－5，＋∞)．](2)解：函数f(x)对任意实数t，都有f(2＋t)＝f(2－t)，所以二次函数的对称轴为x＝2，又开口向上并且|1－2|<|4－2|，所以f(2)<f(1)<f(4).[探究问题1．如果一个二次函数的对称轴在一个定区间内，如何求其最值？提示：函数在对称轴处取得最值．2．已知函数f(x)＝－x2＋4x＋a(x∈[0,1])，若f(x)有最小值－2，求f(x)的最大值．提示：∵f(x)＝－x2＋4x＋a开口向下，对称轴x＝2，∴f(x)在[0,1]上单调递增，最小值为f(0)＝a＝－2，最大值为f(1)＝－1＋4＋a＝1.【例3】已知二次函数f(x)＝x2－2x＋2.(1)当x∈[0,4]时，求f(x)的最值；(2)当x∈[2,3]时，求f(x)的最值．[思路探究]首先用配方法确定抛物线的顶点坐标或对称轴，再看各区间内是否包含对称轴(数值)，从而确定各区间的性质后求其最值．[解]f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1.∴抛物线的对称轴为x＝1.(1)∵x＝1∈[0,4]，∴当x＝1时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(1)＝1.∵f(0)＝2<f(4)＝10，∴当x＝4时，f(x)有最大值，f(x)max＝f(4)＝10.(2)∵x＝1∉[2,3]．∴f(x)在[2,3]上是单调增函数．∴当x＝2时，f(x)有最小值，f(x)min＝f(2)＝2，当x ＝3时，f (x )有最大值，f (x )max ＝f (3)＝5.(变条件)本题中解析式不变，求“当x ∈[t ，t ＋1]时，f (x )的最小值g (t )”． [解] f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，顶点坐标为(1,1)，当t ＋1<1，即t <0时，函数在[t ，t ＋1]上为减函数，g (t )＝f (t ＋1)＝t 2＋1；当t ＋1≥1且t <1，即0≤t <1时，g (t )＝f (1)＝1； 当t ≥1时，函数在[t ，t ＋1]上为增函数， g (t )＝f (t )＝t 2－2t ＋2.∴g (t )＝⎩⎨⎧t 2＋1(t <0)，1(0≤t <1)，t 2－2t ＋2(t ≥1).求二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在[m ，n ]上的最值的步骤： (1)配方，找对称轴； (2)判断对称轴与区间的关系；(3)求最值.若对称轴在区间[m ，n ]外，则f (x )在[m ，n ]上单调，利用单调性求最值；若对称轴在区间[m ，n ]内，则在对称轴处取得最小值，最大值在[m ，n ]端点处取得.1．本节课的重点是二次函数的图象与性质，难点是二次函数性质的应用． 2．本节课要掌握的规律(1)根据函数的解析式确定函数图象． (2)利用函数的性质求参数的范围． (3)求二次函数的最值问题．3．本节课的易混点是当二次函数的对称轴不确定时求函数的区间最值问题.1．思考辨析(1)若函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为奇函数，则a ＝c ＝0.( )(2)二次函数y ＝ax 2＋c 在y 轴左侧是减函数，在右侧是增函数．( ) [解析] (1)因为y ＝ax 2＋bx ＋c 是奇函数，对任意的x 都有2ax 2＋2c ＝0，故函数y ＝ax 2＋bx ＋c 为奇函数的条件是a ＝c ＝0.(2)当a ＞0时，函数在y 轴左侧是减函数，在右侧是增函数；当a ＜0时，函数在y 轴左侧是增函数，在右侧是减函数．[答案] (1)√ (2)×2．若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象只可能是( )A B C DC [由y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限可知a ＜0，b ＜0，所以y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下、对称轴方程x ＝－b2a ＜0，结合图选项可知，选C.]3．函数f (x )＝－x 2＋2x －3在闭区间[0,3]上的最大值、最小值分别为( ) A ．0，－2 B ．－2，－6 C ．－2，－3D ．－3，－6B [∵f (x )＝－(x －1)2－2，∴当x ＝1时有最大值－2，当x ＝3时有最小值－6.]4．已知函数f (x )＝3x 2＋2x ＋1.(1)求这个函数图象的顶点坐标和对称轴； (2)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1，不计算函数值求f (0)；(3)不直接计算函数值，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34与f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154的大小． [解] f (x )＝3x 2＋2x ＋1＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋23.(1)顶点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，23，对称轴是直线x ＝－13.(2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1，又⎪⎪⎪⎪⎪⎪0－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－23－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13，所以结合二次函数的对称性可知f (0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝1.(3)由f (x )＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋132＋23知二次函数图象开口向上，且对称轴为x ＝－13，所以离对称轴越近，函数值越小．又⎪⎪⎪⎪⎪⎪－34－⎝⎛⎭⎪⎫－13<⎪⎪⎪⎪⎪⎪154－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫154.。

2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一 第二部分 函数1、函数的定义域、值域2、判断相同函数3、分段函数4、奇偶性5、单调性1．定义域 值域（最值） 1．函数()()3log 3f x x =++的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x ==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),()f x x g x ==3．分段函数基本思路：分段讨论 （1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________ 2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)， （1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升 单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+ B．y =．1()2xy = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（ ）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称 例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且 （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。

第二章 基本初等函数 单元测试卷（B ）时间：120分钟 分值：150分第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．有下列各式：①na n＝a ；②若a ∈R ，则(a 2－a ＋1)0＝1；③3x 4＋y 3＝x 43 ＋y ；④3－5＝6(－5)2.其中正确的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．32．三个数log 215，20.1,20.2的大小关系是( ) A ．log 215<20.1<20.2B ．log 215<20.2<20.1C ．20.1<20.2<log 215D ．20.1<log 215<20.23．(2016·山东理，2)设集合A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，B ＝{x |x 2－1<0}，则A ∪B ＝( ) A ．(－1,1) B ．(0,1) C ．(－1，＋∞)D ．(0，＋∞)4．已知2x＝3y，则xy ＝( )A.lg2lg3B.lg3lg2 C ．lg 23 D ．lg 325．函数f (x )＝x ln|x |的图象大致是( )6．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则( ) A ．f (x )与g (x )均为偶函数 B ．f (x )为奇函数，g (x )为偶函数 C ．f (x )与g (x )均为奇函数 D ．f (x )为偶函数，g (x )为奇函数7．函数y ＝(m 2＋2m －2)x 1m -1 是幂函数，则m ＝( ) A ．1 B ．－3 C ．－3或1D ．28．下列各函数中，值域为(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝2－x2B ．y ＝1－2xC ．y ＝x 2＋x ＋1D ．y ＝31x +19．已知函数：①y ＝2x；②y ＝log 2x ；③y ＝x －1；④y ＝x 12 ；则下列函数图象(第一象限部分)从左到右依次与函数序号的对应顺序是( )A ．②①③④B ．②③①④C ．④①③②D ．④③①②10．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1＋log 2(2－x ) (x <1)2x －1 (x ≥1)，则f (－2)＋f (log 212)＝( )A ．3B ．6C ．9D ．1211．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x ，x ≥2，(12)x－1，x ＜2满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(－∞，2) B ．(－∞，138] C ．(－∞，2]D ．[138，2)12．(2016·汉中高一检测)如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M (1,1)，N (1,2)，P (2,1)，Q (2,2)，G (2，12)中，可以是“好点”的个数为( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知a 12 ＝49(a ＞0)，则log 23a ＝________.14．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x ＞0，3x ，x ≤0，则f (f (14))＝________. 15．若函数y ＝log 12 (3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，则实数a 的取值范围是________.16．(2016·邵阳高一检测)如图，矩形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 分别在函数y ＝log 22 x ，y ＝x 12 ，y ＝(22)x 的图象上，且矩形的边分别平行于两坐标轴．若点A 的纵坐标为2，则点D 的坐标为________.三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(本小题满分10分)计算：10.25＋(127)－13 ＋(lg3)2－lg9＋1－lg 13＋810.5log 35.18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝(12)ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2). (1)求a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．19．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，(a ＞0，a ≠1). (1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求f (x )的最值； (2)求使f (x )－g (x )＞0的x 的取值范围．20．(本小题满分12分)求使不等式(1a )x 2－8>a －2x 成立的x 的集合(其中a >0，且a ≠1).21．(本小题满分12分)(2016·雅安高一检测)已知函数f (x )＝2x 的定义域是[0,3]，设g (x )＝f (2x )－f (x ＋2)， (1)求g (x )的解析式及定义域； (2)求函数g (x )的最大值和最小值．22．(本小题满分12分)若函数f (x )满足f (log a x )＝a a 2－1·(x －1x )(其中a ＞0且a ≠1).(1)求函数f (x )的解析式，并判断其奇偶性和单调性；(2)当x ∈(－∞，2)时，f (x )－4的值恒为负数，求a 的取值范围．第二章 基本初等函数 单元综合测试二 答案第Ⅰ卷(选择题，共60分)一、选择题(每小题5分，共60分) 1．[答案] B [解析] ①na n＝⎩⎪⎨⎪⎧|a |，n 为偶数，a ，n 为奇数(n >1，且n ∈N *)，故①不正确．②a 2－a ＋1＝(a －12)2＋34>0，所以(a 2－a ＋1)0＝1成立．③3x 4＋y 3无法化简．④3－5<0，6(－5)2>0，故不相等．因此选B. 2．[答案] A[解析] ∵log 215<0,0<20.1<20.2， ∴log 215<20.1<20.2，选A. 3．[答案] C[解析] A ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }＝{y |y >0}．B ＝{x |x 2－1<0}＝{x |－1<x <1}，∴A ∪B ＝{x |x >0}∪{x |－1<x <1}＝{x |x >－1}，故选C. 4．[答案] B[解析] 由2x ＝3y 得lg2x ＝lg3y ，∴x lg2＝y lg3， ∴x y ＝lg3lg2. 5．[答案] A[解析] 由f (－x )＝－x ln|－x |＝－x ln|x |＝－f (x )知，函数f (x )是奇函数，故排除C ，D ，又f (1e )＝－1e <0，从而排除B ，故选A.6．[答案] D[解析]因为f(－x)＝3－x＋3x＝f(x)，g(－x)＝3－x－3x＝－g(x)，所以f(x)是偶函数，g(x)为奇函数，故选D.7．[答案] B[解析]因为函数y＝(m2＋2m－2)x 1m-1是幂函数，所以m2＋2m－2＝1且m≠1，解得m＝－3.8．[答案] A[解析]A，y＝2－x2＝(22)x的值域为(0，＋∞)．B，因为1－2x≥0，所以2x≤1，x≤0，y＝1－2x的定义域是(－∞，0]，所以0＜2x≤1，所以0≤1－2x＜1，所以y＝1－2x的值域是[0,1)．C，y＝x2＋x＋1＝(x＋12)2＋34的值域是[34，＋∞)，D，因为1x＋1∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以y＝31x+1的值域是(0,1)∪(1，＋∞)．9．[答案] D[解析]根据幂函数、指数函数、对数函数的图象可知选D. 10．[答案] C[解析]f(－2)＝1＋log2(2－(－2))＝3，f(log212)＝2log212－1＝2log26＝6，∴f(－2)＋f(log212)＝9，故选C.11．[答案] B[解析]由题意知函数f(x)是R上的减函数，于是有⎩⎨⎧a －2＜0，(a －2)×2≤(12)2－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是(－∞，138]，选B. 12．[答案] C[解析] 设指数函数为y ＝a x (a >0，a ≠1)，显然不过点M 、P ，若设对数函数为y ＝log b x (b >0，b ≠1)，显然不过N 点，选C.第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分) 13．[答案] 4[解析] ∵a 12 ＝49(a ＞0)， ∴(a 12)2＝[(23)2]2，即a ＝(23)4， ∴log 23 a ＝log 23 (23)4＝4.14．[答案] 19[解析] ∵14＞0，∴f (14)＝log 214＝－2. 则f (14)＜0，∴f (f (14))＝3－2＝19. 15．[答案] (－8，－6][解析] 令g (x )＝3x 2－ax ＋5，其对称轴为直线x ＝a6，依题意，有⎩⎨⎧a 6≤－1，g (－1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－6，a ＞－8.∴a ∈(－8，－6]． 16．[答案] (12，14)[解析] 由图象可知，点A (x A,2)在函数y ＝log 22 x 的图象上，所以2＝log 22 x A ，x A ＝(22)2＝12. 点B (x B,2)在函数y ＝x 12 的图象上， 所以2＝x B 12 ，x B ＝4.点C (4，y C )在函数y ＝(22)x的图象上， 所以y C ＝(22)4＝14. 又x D ＝x A ＝12，y D ＝y C ＝14， 所以点D 的坐标为(12，14)．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分) 17．[解析] 原式＝10.5＋(3－1)－13 ＋(lg3－1)2－lg3－1＋(34)0.5log 35 ＝2＋3＋(1－lg3)＋lg3＋32log 35 ＝6＋3log 325＝6＋25＝31.18．[解析] (1)由已知得(12)－a＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝(12)x，又g (x )＝f (x )，则4－x－2＝(12)x ，即(14)x －(12)x－2＝0，即[(12)x ]2－(12)x－2＝0，令(12)x ＝t ，则t 2－t －2＝0，即(t －2)(t ＋1)＝0， 又t >0，故t ＝2，即(12)x ＝2，解得x ＝－1. 19．[解析] (1)当a ＝2时，f (x )＝log 2(1＋x )， 在[3,63]上为增函数，因此当x ＝3时，f (x )最小值为2. 当x ＝63时f (x )最大值为6. (2)f (x )－g (x )＞0即f (x )＞g (x ) 当a ＞1时，log a (1＋x )＞log a (1－x ) 满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋x ＞1－x 1＋x ＞01－x ＞0∴0＜x ＜1当0＜a ＜1时，log a (1＋x )＞log a (1－x ) 满足⎩⎪⎨⎪⎧1＋x ＜1－x 1＋x ＞01－x ＞0∴－1<x ＜0综上a ＞1时，解集为{x |0＜x ＜1} 0＜a ＜1时解集为{x |－1<x ＜0}． 20．[解析] ∵(1a )x 2－8＝a 8－x 2， ∴原不等式化为a 8－x 2>a －2x . 当a >1时，函数y ＝a x 是增函数， ∴8－x 2>－2x ，解得－2<x <4； 当0<a <1时，函数y ＝a x 是减函数，∴8－x2<－2x，解得x<－2或x>4.故当a>1时，x的集合是{x|－2<x<4}；当0<a<1时，x的集合是{x|x<－2或x>4}．21．[解析](1)∵f(x)＝2x，∴g(x)＝f(2x)－f(x＋2)＝22x－2x＋2.因为f(x)的定义域是[0,3]，所以0≤2x≤3,0≤x＋2≤3，解得0≤x≤1.于是g(x)的定义域为{x|0≤x≤1}．(2)设g(x)＝(2x)2－4×2x＝(2x－2)2－4.∵x∈[0,1]，∴2x∈[1,2]，∴当2x＝2，即x＝1时，g(x)取得最小值－4；当2x＝1，即x＝0时，g(x)取得最大值－3.22．[解析](1)令log a x＝t(t∈R)，则x＝a t，∴f(t)＝aa2－1(a t－a－t)．∴f(x)＝aa2－1(a x－a－x)(x∈R)．∵f(－x)＝aa2－1(a－x－a x)＝－aa2－1(a x－a－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．当a＞1时，y＝a x为增函数，y＝－a－x为增函数，且a2a2－1＞0，∴f(x)为增函数．当0＜a＜1时，y＝a x为减函数，y＝－a－x为减函数，且a2a2－1＜0，∴f(x)为增函数．∴f(x)在R上为增函数．(2)∵f(x)是R上的增函数，∴y＝f(x)－4也是R上的增函数．由x＜2，得f(x)＜f(2)，要使f(x)－4在(－∞，2)上恒为负数，只需f(2)－4≤0，即aa2－1(a2－a－2)≤4.∴aa2－1(a4－1a2)≤4，∴a2＋1≤4a，∴a2－4a＋1≤0，∴2－3≤a≤2＋ 3.又a≠1，∴a的取值范围为[2－3，1)∪(1,2＋3]．。

2.2.3 一元二次不等式的解法(教师独具内容)课程标准:1.理解一元二次不等式和一元二次不等式的解集的概念.2.理解一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数的关系.3.熟练掌握一元二次不等式的两种解法．教学重点:1.一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.2.一元二次不等式的解法．教学难点:一元二次方程、一元二次不等式与一元二次函数之间的关系.【情境导学】(教师独具内容)我国南宋数学家杨辉曾提出这样一个问题:“直田积(矩形面积),八百六十四(平方步),只云阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),问阔及长各几步？”若将上述问题改为“阔(宽)不及长一十二步(宽比长少12步),直田积(矩形面积)不小于八百六十四(平方步)”,你能求出阔和长的取值范围吗？【知识导学】知识点一元二次不等式的概念01一元二次不等式,其中a,b,c是常数,而且□02a≠0.一元二次一般地,形如ax2＋bx＋c>0的不等式称为□03“<”“≥”“≤”等．不等式中的不等号也可以是□【新知拓展】1．代数法将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方法求解．当m<n时,若(x－m)(x－n)>0,则可得x>n或x<m；若(x－m)(x－n)<0,则可得m<x<n.有口诀如下:大于取两边,小于取中间．2．含有参数的一元二次型的不等式在解含有参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑:①关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a＝0.②关于不等式对应的方程根的讨论:两个不同的实根(Δ>0),两个相同的实根(Δ＝0),无实根(Δ<0)．③关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1＝x2,x1<x2.1．判一判(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)x(x－2)>0的解集为(0,2)．( )(2)(x＋a)(x＋a＋1)<0(a是常数)是一元二次不等式．( )(3)不论实数a 取什么值,不等式ax 2＋bx ＋c≥0的解集一定与相应方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解有关．( )(4)设二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两解为x 1,x 2(x 1<x 2),则一元二次不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集不可能为{x|x 1<x<x 2}．( )答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 2．做一做(请把正确的答案写在横线上) (1)不等式x 2－2x ＋3>0的解集为________． (2)不等式－x 2－3x ＋4>0的解集为________．(3)已知不等式ax 2－bx ＋2<0的解集为{x|1<x<2},则a ＋b ＝________. 答案 (1)R (2){x|－4<x<1} (3)4题型一 不含参数的一元二次不等式的解法 例1 求下列不等式的解集:(1)2x 2＋7x ＋3>0；(2)x 2－4x －5≤0； (3)－4x 2＋18x －814≥0；(4)－12x 2＋3x －5>0；(5)－2x 2＋3x －2<0.[解] (1)方程可变为(2x ＋1)(x ＋3)>0,从而转化为两个不等式组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1>0，x ＋3>0或⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1<0，x ＋3<0.因此原不等式的解集为(－∞,－3)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞.(2)原不等式可化为(x －5)(x ＋1)≤0, 因此原不等式的解集为[－1,5]．(3)原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －922≤0,所以原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝94. (4)原不等式可化为x 2－6x ＋10<0,即(x －3)2＋1<0,因此原不等式的解集为∅.(5)原不等式可化为2x 2－3x ＋2>0,即2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋78>0,因此原不等式的解集为R.金版点睛解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式的变形,使不等式右侧为0,使二次项系数为正． (2)对不等式左侧因式分解,若不易分解,则用配方法求解．[跟踪训练1] 求下列不等式的解集: (1)3x 2＋5x －2>0；(2)－9x 2＋6x －1<0； (3)x 2－4x ＋5>0；(4)2x 2＋x ＋1<0.解 (1)原不等式可化为(3x －1)(x ＋2)>0,所以原不等式的解集为(－∞,－2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞. (2)原不等式可化为(3x －1)2>0,所以原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫13，＋∞.(3)原不等式可化为(x －2)2＋1>0,所以原不等式的解集为R.(4)原不等式可化为2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78<0,所以原不等式的解集为∅.题型二 含参数的一元二次不等式的解法例2 求不等式ax 2－(a ＋1)x ＋1<0(a ∈R)的解集． [解] 若a ＝0,原不等式为－x ＋1<0,解集为(1,＋∞)；若a<0,原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)>0,解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1,＋∞)； 若a>0,原不等式可化为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1a (x －1)<0,(*)其解的情况应由1a 与1的大小关系决定,故①当a ＝1时,由(*)式可得解集为∅；②当a>1时,由(*)式可得解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1； ③当0<a<1时,由(*)式可得解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a . 综上所述,当a<0时,解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，1a ∪(1,＋∞)；当a ＝0时,解集为(1,＋∞)；当0<a<1时,解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ；当a ＝1时,解集为∅；当a>1时,解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，1.金版点睛解含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)讨论二次项系数:二次项若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为二次项系数为正的形式．(2)若二次项系数为定值,则按不含参数的步骤解,再根据参数的取值确定解集范围．[跟踪训练2]解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解原不等式可化为(x－a)(x－a2)>0.方程x2－(a＋a2)x＋a3＝0的两根为x1＝a,x2＝a2.由a2－a＝a(a－1)可知:①当a<0或a>1时,a2>a.解原不等式得x>a2或x<a,不等式的解集为(－∞,a)∪(a2,＋∞)．②当0<a<1时,a2<a,解原不等式得x>a或x<a2,不等式的解集为(－∞,a2)∪(a,＋∞)．③当a＝0时,原不等式为x2>0,∴x≠0,不等式的解集为(－∞,0)∪(0,＋∞)．(4)当a＝1时,原不等式为(x－1)2>0,∴x≠1,不等式的解集为(－∞,1)∪(1,＋∞)．综上可知,当a<0或a>1时,原不等式的解集为(－∞,a)∪(a2,＋∞)；当0<a<1时,原不等式的解集为(－∞,a2)∪(a,＋∞)；当a＝0时,原不等式的解集为(－∞,0)∪(0,＋∞)；当a＝1时,原不等式的解集为(－∞,1)∪(1,＋∞)．1．在下列不等式中,解集是∅的是( )A．x2－3x＋5>0 B．x2＋4x＋4>0C．x2＋4x－4<0 D．－2＋3x－2x2>0答案 D解析A的解集为R；B的解集是(－∞,－2)∪(－2,＋∞)；方程x2＋4x－4＝0的Δ＝42＋4×4>0,故C的解集不为空集,用排除法应选D.2．在R上定义运算⊙:a⊙b＝ab＋2a＋b,则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为( )A．(0,2) B．(－2,1)C．(－∞,－2)∪(1,＋∞) D．(－1,2)答案 B解析∵x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0,∴x2＋x－2<0即(x－1)(x＋2)<0,解集为(－2,1)．∴选B.3．不等式－0.1x2－5x＋3000>0的解集为( )A．(－∞,－200) B．(150,＋∞)C．(150,200) D．(－200,150)答案 D解析原不等式可化为x2＋50x－30000<0,(x－150)·(x＋200)<0,所以不等式的解集为(－200,150)．4．若t>2,则关于x 的不等式(x －t)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，t B ．(－∞,t)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，＋∞C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，1t ∪(t,＋∞)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，1t答案 A解析 ∵t>2,∴t>1t ,∴(x －t)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1t <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，t .5．解不等式1<x 2－3x ＋1<9－x. 解 由x 2－3x ＋1>1得x 2－3x>0,x(x －3)>0,不等式的解集为(－∞,0)∪(3,＋∞)． 由x 2－3x ＋1<9－x,得x 2－2x －8<0, (x ＋2)(x －4)<0,不等式的解集为(－2,4)．(－∞,0)∪(3,＋∞)与(－2,4)的交集为(－2,0)∪(3,4),所以,原不等式的解集为(－2,0)∪(3,4)．。

2.2.3 一元二次不等式的解法最新课程标准：从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图像，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图像ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图像法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图像简图；③由图像得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )A．a2x2＋2≥0 B.1x2<3C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－∞，－1] D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为( )A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞)D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x－x2>0，得x2＋6x－7<0，即(x＋7)(x－1)<0，所以－7<x<1，故选B. 答案：B4．不等式1＋2x＋x2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x＋x2≤0化为(x＋1)2≤0，解得x＝－1.答案：{－1}题型一解不含参数的一元二次不等式[教材P65例1 P66例3、例4]例1 (1)求不等式x2－x－2>0的解集．(2)求不等式x2－6x－1≤0的解集．(3)求不等式－x2＋2x－1<0的解集．【解析】(1)因为x2－x－2＝(x＋1)(x－2)，所以原不等式等价于(x＋1)(x－2)>0，因此所求解集为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．(2)因为x2－6x－1＝x2－6x＋9－9－1＝(x－3)2－10，所以原不等式可化为(x－3)2－10≤0，即(x－3)2≤10，两边开平方得|x－3|≤10，从而可知－10≤x－3≤10，因此3－10≤x≤3＋10，所以不等式的解集为[3－10，3＋10]．(3)原不等式可化为x2－2x＋1>0，又因为x2－2x＋1＝(x－1)2，所以上述不等式可化为(x－1)2>0.注意到只要x≠1，上述不等式就成立，所以不等式的解集为(－∞，1)∪(1，＋∞).教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1 解下列不等式： (1)x 2－7x ＋12>0； (2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝4.再根据函数y ＝x 2－7x ＋12的图像开口向上，可得不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x 2＋2x －3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝1.再根据函数y ＝x 2＋2x －3的图像开口向上，可得不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1.再根据函数y ＝x 2－2x ＋1的图像开口向上，可得不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图像开口向上，所以原不等式的解集为R .状元随笔化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→函数图像结果题型二 三个“二次”之间的关系[经典例题]例2 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解析】 方法一 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 方法二 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎝⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 状元随笔由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a<0的解集 方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图像与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的X 围．跟踪训练2 已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．解析：因为x2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0，整理得x 2－x －6<0，解得－2<x <3.即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}． 状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集题型三 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题] 例3 解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.【解析】 对于方程2x 2＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2－16＝(a ＋4)(a －4)．①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)．∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16). ②当a ＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x 1＝x 2＝－1， ∴原不等式的解集为{x |x ≠－1}．③当a ＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x 1＝x 2＝1， ∴原不等式的解集为{x |x ≠1}．④当－4<a <4时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R .状元随笔 二次项系数为2，Δ＝a 2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数.方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图像的开口方向； (2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图像与x 轴交点的个数； (3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值X 围，写出一元二次不等式的解集． 跟踪训练3 解关于x 的不等式x 2－(a ＋a 2)x ＋a 3>0.解析：原不等式可变形为(x －a )·(x －a 2)>0，则方程(x －a )(x －a 2)＝0的两个根为x 1＝a ，x 2＝a 2，(1)当a <0时，有a <a 2，∴x <a 或x >a 2，此时原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； (2)当0<a <1时，有a >a 2，即x <a 2或x >a ，此时原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； (3)当a >1时，有a 2>a ，即x <a 或x >a 2，此时原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； (4)当a ＝0时，有x ≠0；∴原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； (5)当a ＝1时，有x ≠1，此时原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}； 综上可知：当a <0或a >1时，原不等式的解集为{x |x <a 或x >a 2}； 当0<a <1时，原不等式的解集为{x |x <a 2或x >a }； 当a ＝0时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}； 当a ＝1时，原不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠1}．状元随笔不等式左边分解因式→讨论a 的X 围→ 比较a 与a 2的大小→写出不等式的解集题型四 一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x (百台)，其总成本为g (x )万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么X 围？(2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】 (1)依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3＜x ＜9或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，x <10.5.则3＜x ≤7或7＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的X 围内．(2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5，而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题． (2)根据第(1)题所求X 围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题． 方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值X 围． 解析：(1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值X 围是{x |0＜x ≤2}．状元随笔 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：原计划 降税后 价格(元/担)200 200税率 10% (10－x)%(0<x<10)收购量(万担) a a(1＋2x%) 收购总金额(万元) 200a 200·a(1＋2x%) 税收y(万元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%课时作业 12一、选择题1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1C ．∅D ．R解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .答案：D2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( ) A ．{x |x <－n 或x >m } B ．{x |－n <x <m } C ．{x |x <－m 或x >n } D ．{x |－m <x <n }解析：不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为x 1＝m ，x 2＝－n .由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式(x －m )(x ＋n )<0的解集是{x |－n <x <m }，故选B.答案：B 3．不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝ca.解得a ＝－6，c ＝－1.答案：B4．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值X 围是( )A ．(2，＋∞) B．(－∞，2) C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2－4×1×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2，故答案为D.答案：D 二、填空题5．不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________．解析：方程(2x －5)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝52，x 2＝－3，函数y ＝(2x －5)(x ＋3)的图像与x 轴的交点坐标为(－3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52.答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －3<x <52 6．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________． 解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12 7．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的X 围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25)2＋625(0<x <50)．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25.即当矩形的长、宽都为25 m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：25 25三、解答题8．解下列不等式：(1)x 2＋2x －15>0；(2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解析：(1)x 2＋2x －15>0⇔(x ＋5)(x －3)>0⇔x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}．(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2－3x ＋5图像的开口方向，所以原不等式的解集为R .(3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23.结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图像知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠23. 9．若关于x的一元二次不等式ax 2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0， 代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)． 即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0， 所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}． [尖子生题库] 10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判断式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }；(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅.综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；当a <0时，{x |2a <x <－a }；当a ＝0时，∅.。

描述：高中数学必修1(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第二章 函数 2.1 函数一、学习任务1. 通过同一过程中的变量关系理解函数的概念；了解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），会求一些简单函数的定义域和值域；初步掌握换元法的简单应用．2. 了解映射的概念，能判断一些简单的对应是不是映射．3. 理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数．了解简单的分段函数，能写出简单情境中的分段函数，并能求出给定自变量所对应的函数值，会画函数的图象．4. 理解函数的单调性及其几何意义，会判断一些简单函数的单调性；理解函数最大（小）值的概念及其几何意义；了解函数奇偶性的含义．二、知识清单函数的相关概念函数的表示方法 映射函数的定义域的概念与求法函数的值域的概念与求法 函数的解析式的概念与求法分段函数复合函数 函数的单调性函数的最大（小）值 函数的奇偶性三、知识讲解1.函数的相关概念函数的概念设 ， 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 和它对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数(function)．记作：其中， 叫做自变量，自变量取值的范围（数集 ）叫做这个函数的定义域． 叫做因变量，与 的值相对应的 值叫做函数在 处的函数值，所有函数值构成的集合叫做这个函数的值域．相同函数的概念A B f Ax B f (x )f :A →B A By =f (x ),x ∈A .x A y x y x {y | y =f (x ),x ∈A }N集合 的函数关系的有（ ）012．数轴表示为（2）{x | 2⩽x⩽8 且8]（3）函数 的图象是由 t 的映射的是（ ）N（2）函数图象如图所示：y的距离 与点y=f(x)如图为函数 的图象，试写出函数解： [1,2]2（5）（图象法）画出。

人教B版高中数学必修课后习题答案第一章函数与方程1.1 函数的概念和性质课后习题答案1.函数的定义：函数是一种规定了输入和输出之间关系的映射关系。

在数学中，函数常用字母 f、g 或 h 来表示。

例如，函数 f(x) = 2x 将输入的值 x 加倍作为输出。

2.函数的性质：–单调性：函数的值随自变量的增减而有规律地增减。

–奇偶性：函数通过原点对称称为奇函数，函数经过坐标轴的对称称为偶函数。

–周期性：函数的图像在某个长度为 T 的区间上有特定的重复性。

1.2 二次函数的图像和性质课后习题答案1.二次函数的定义：二次函数是函数的一种形式，其公式为 f(x) = ax^2 + bx + c，其中 a、b 和 c 是常数。

2.二次函数的图像特点：–对称轴：二次函数的图像关于对称轴对称。

–顶点坐标：顶点坐标为 (-b/2a, f(-b/2a))。

–开口方向：当 a>0 时，二次函数开口向上；当a<0 时，二次函数开口向下。

1.3 四种函数的比较与选择课后习题答案1.线性函数：线性函数的表达式为 f(x) = kx + b，其中k 和 b 是常数。

线性函数图像为一条直线，即斜率为 k，截距为 b 的直线。

2.一次函数：一次函数是线性函数的一个特例，当 b= 0 时，一次函数就是线性函数。

一次函数图像为一条经过原点的直线。

3.二次函数：二次函数的图像为一条开口向上或开口向下的抛物线。

二次函数有一个顶点，它是图像的最高点或最低点。

4.指数函数：指数函数的表达式为 f(x) = a^x，其中 a 是常数。

指数函数的图像是一条通过点(0,1) 的递增曲线，当 a>1 时，曲线增长迅速；当 0<a<1 时，曲线递减缓慢。

5.对数函数：对数函数的表达式为f(x) = logₐx，其中a 是常数。

对数函数的图像是一条斜率始终为正的递增曲线，当 x 增大时，函数值也相应增大。

1.4 反函数的概念和性质课后习题答案1.反函数的定义：如果函数 f 将集合 A 中的每一个元素 x 对应到集合 B 中唯一确定的 f(x)，则称 f 为从 A 到 B的一对一的映射。

练习四函数的单调性一、选择题1．若是的单调增区间，，且，则有（）A．B．C．D．2．函数的单调递减区间为（）A．B．C．D．3．下列函数中，在区间上递增的是（）B．C．D．A．4. 若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．5. 设函数在上是减函数，则有（）A．B．C．D．6. 如果函数在区间上是减函数，那么实数的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题7．函数的单调递增区间是____________.8．已知函数在是增函数，则,,的大小关系是__________________________.9．函数的单调递增区间是_______.10．若二次函数在区间是减函数，在区间上是增函数，则________.三、解答题11. 证明函数在上是增函数.12．判断函数在区间上的单调性，并给出证明．13．已知函数在上是减函数，且，求的取值范围．能力题14．若函数在上是单调递增函数，求的取值范围.15．讨论函数在内的单调性.练习四一、选择题二、填空题7．8．9．10．三、解答题11．设，且，则，则.，∴∴.∴在上是增函数.12．函数在区间上单调递增．证明如下：设，且，则，则．，∴，，，∴，∴在区间上的单调递增.13．函数在上是减函数，且,∴解得. ∴的取值范围是.能力题14．在上是单调增函数,∴ ，解得∴.15．，对称轴.∴若，则在上是增函数；若，则在上是减函数，在上是增函数；若，则在上是减函数.练习五函数的奇偶性一、选择题1．若是奇函数，则其图象关于（）A．轴对称B．轴对称C．原点对称D．直线对称2．若函数是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是（）A．B．C．D．3．下列函数中为偶函数的是（）B．C．D．A．4. 如果奇函数在上是增函数，且最小值是5，那么在上是（）A．增函数，最小值是-5 B．增函数，最大值是-5C．减函数，最小值是-5 D．减函数，最大值是-55. 已知函数是奇函数，则的值为（）A．B．C．D．6.已知偶函数在上单调递增，则下列关系式成立的是( )A．B．C．D．二、填空题7．若函数是奇函数，，则的值为____________ .8．若函数是偶函数，且，则与的大小关系为__________________________.9．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如右图所示，那么f (x) 的值域是 .10．已知分段函数是奇函数，当时的解析式为，则这个函数在区间上的解析式为．三、解答题11. 判断下列函数是否具有奇偶性：(1)； (2) ；(3)； (4)； (5).12．判断函数的奇偶性，并指出它的单调区间.13．已知二次函数的图象关于轴对称，写出函数的解析表达式，并求出函数的单调递增区间. 能力题14．设是定义在上的偶函数,且在上是增函数,则与（）的大小关系是（ ）A ．B ．C ．D ．与的取值无关若函数15．已知是奇函数，是偶函数，且在公共定义域上有，求的解析式. 练习五一、选择题二、填空题 7． 8． 9．10． 三、解答题11．(1)奇函数，(2)非奇非偶，(3)偶函数，(4) 非奇非偶函数，(5)偶函数12．偶函数. ∴函数的减区间是和，增区间是和.13．二次函数的图象关于轴对称，∴，则，函数的单调递增区间为.能力题14．B (提示: 是定义在上的偶函数,且在上是增函数,∴在上是减函数，.,∴，因此. )15．得 .练习六一次函数与二次函数一、选择题1．已知一次函数，满足，，则（）D．A．B．C．2．下列关于函数，的结论正确的是（）A．递增函数B．递减函数C．最小值是2 D．最大值是53．函数的值域为（）A．B．C．D．4. 若二次函数在区间是减函数，在区间上是增函数，则（）A．B．C．D．5. 若二次函数图象关于轴对称，则函数的单调增区间为 ( )A．B．C．D．6.函数上是单调递增的奇函数，则( )A．B．C．D．二、填空题7．二次函数的图象的顶点坐标为________，对称轴方程是_________ .8．已知定义域为，则实数的区值范围是 .9．已知，则直线一定不经过第象限.10．已知是一次函数的图象与轴交点的横坐标，又二次函数的图象与轴有交点则.三、解答题11. 已知二次函数：（1）求它的图象顶点坐标和与轴交点的坐标；（2）作出它的图象；（3）求点关于图象对称轴的对称点的坐标.12．已知函数判断该函数的奇偶性，并求该函数的最小值及单调区间.13．写出二次函数在区间上的最大值和最小值.能力题14．设函数，已知且，求实数的取值范围.15．已知，为常数，且，，且，方程有相等实根.（1）求函数的解析式，函数的最大值，并比较与的大小.若，判断的奇偶性，并证明你的结论.练习六一、选择题二、填空题7．，8．9．三10．三、解答题11．（1）顶点坐标，与轴交点的坐标，；（2）略；（3）二次函数图象对称轴为，∴点关于图象对称轴的对称点为，即.12．偶函数，，单减区间和；单增区间和. 13．当时，；当时，；当时，；当时,.能力题14．，即由于，，代入上式又有可解得的取值范围是.15．（1）由，得；由方程有相等实根，得，并且，即，由得，∴，，∴，故是奇函数.练习七函数的应用一、选择题t01．某学生从家里去学校上学，骑自行车一段时间，因自行车爆胎，后来推车步行，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示该生离学校的距离，则较符合该学生走法的图是（）2．某商店卖、两种价格不同的商品，由于商品连续两次提价%，同时商品连续两次降价%，结果都以每件元售出，若商店同时售出这两种商品各一件，则与价格不升、不降的情况相比较，商店盈利的情况是（ ） A ．多赚元 B ． 少赚元 C ．多赚元 D ．利益相同3．拟定从甲地到乙地通话分钟的电话费由给出，其中，是大于或等于的最小整数，(如，，)，则从甲地到乙地通话时间为分钟的话费为（ ）A ．B ．C ．D ．4．有一批材料可以建成长为的围墙，如果用材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形（如图），则围成的矩形的最大面积是（ ）A ．B ．C ．D ．5．某商品进货单价为元，若销售价为元，可卖出个，如果销售单价每涨元， 销售量就减少个，为了获得最大利润，则此商品的最佳售价应为（ ）A ．元B ．元C ．元D ．元6．抛物线型拱桥的跨度是米，拱高是米，建桥时每隔米用一根支柱支撑，其中最长的支柱是（ ）A ．米B ．米C ．米D ．米二、填空题7．某乡镇现在人均一年占有粮食千克，如果该乡镇人口平均每年增长%，粮食总产量平均每年增长%，那么年后若人均一年占有千克粮食，则函数关于的解析式是______________________.8．某客运公司定客票的方法是：如果行程不超过，票价是元，如果超过，超过部分按元定价，则客运票价元与行程公里数之间的函数关系式是．9．一个高中研究性学习小组对本地区年至年快餐公司发展情况进行了调查，制成了该地区快餐公司个数情况的条形图和快餐公司盒饭年销售量的平均数情况条形图（如图），根据图中提供的信息可以得出这三年中该地区每年平均销售盒饭万盒．10．某商人将彩电先按原价提高%，然后在广告中写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了元，则每台彩电原价是元.三、解答题11．把长为的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若求此框架围成平面图形的面积与之间的函数关系式，并求其定义域.12．经市场调查，某商品在过去天内的销售量和价格均为时间（）的函数，且销售量近似地满足（，）；前天价格为（，），后天的价格为（，），试写出该种商品的日销售额与时间的函数关系．13．某商场购进一批单价为元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多利润，商场决定提高销售价格．经试验发现，若按每件元的价格销售时，每月能卖件，若按元的价格销售时，每月能卖件，假定每月销售件数（件）是价格（元/件）的一次函数．（1）试求与之间的关系式；（2）在商品不积压，且不考虑其它因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能时每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？能力题14．某宾馆有相同标准的床位张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床价每天的租金）不超过元时，床位可以全部租出，当床位高于元时，每提高元，将有张床位空闲．为了获得较好的效益，该宾馆要给床位订一个合适的价格，条件是：①要方便结账，床价应为元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为元，床位出租的收入必须高于支出，而且高出得越多越好．若用表示床价，用表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）（1）把表示成的函数，并求出其定义域；（2）试确定该宾馆床位定为多少时既符合上面的两个条件，又能使净收入最多？15．经研究发现，学生的接受能力依赖于老师引入概念和描述总量所用的时间，开始讲题时，学生的兴趣保持较理想的状态，随后学生的注意力开始分散．分析结果和实验表明，用表示学生掌握和接受概念的能力，表示提出和讲授概念的时间（单位：分），有以下的公式：（1）开讲后分钟与开讲后分钟比较，学生的接受能力何时强呢？（2）开讲后多少分钟，学生的接受能力最强？能维持多长的时间？（3）若讲解这道数学题需要的接受能力以及分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到所需接受能力的状态下讲完这道题？练习七一、选择题二、填空题7．8．9．10．三、解答题11．.,由,有.12．13．设（），由解得所以．设利润为，则有所以，当时有最大值为元．能力题14．（1）由已知有，令解得且．所以函数的定义域为．（2）当时，显然当时，取得最大值为（元）；当时，，仅当时，取最大值．又因为，所以当时，取得最大值，最大值为元．比较两种情况的最大值，所以当床位定价为元时净收入最多．15．，，所以．所以开讲后分钟学生的接受能力比开讲后分钟强．当时，，所以是增函数，．当时，是递减的函数，所以，故开讲后钟学生达到最强的接受能力，并维持分钟．当时，令，解得．当时，令，解得则．因此，学生达到或超过的接受能力的时间分钟，小于分钟，故这位老师不能在学生所需状态下讲完这道题．练习九指数与指数函数一、选择题1．计算的结果是（）A．B．C．D．2．将根式化成分数指数幂为（）C．D．A．B．3．某林场计划第一年造林亩，以后每年比前一年多造林％，则第四年造林（）A．亩B．亩C．亩D．亩4．曲线分别是指数函数的图象,则与的大小关系是 ( )A．B．C．D．5．若，则下列不等式中成立的是( )A．B．C．D．6．要得到函数的图象，只需将函数的图象( )A．向右平移个单位B．向左平移个单位C．向右平移个单位D．向左平移个单位二、填空题7．函数是指数函数，则的取值为 . 8．比较下列各组数的大小:(1)______ ; (2) ______;(3)______9．函数的定义域是．10．若，则 .三、解答题11．化简12．已知函数的定义域是，求的取值范围.13．设，是上的偶函数．求的值；证明在上是增函数．能力题14. 已知，当该函数的值域为时，求的取值范围．15. 已知，判断的奇偶性；证明．练习九一、选择题二、填空题7．8．> > >9．10．三、解答题11．.12．由，得，因为定义域为，所以. 13．因为是上的偶函数，所以，即，解得，因为所以．在上任取，且，则，因为且，所以，即，且，所以式，即．所以在上是增函数．能力题14．设，则，即．因为，所以，所以．15．任取且，则．因为所以是偶函数．当时，，即，所以．所以，所以．因为是偶函数，所以当时，．所以当且时，都有.练习十对数与对数函数一、选择题1．若，那么用表示是（）A．B．C．D．2．若等于（）C．D．A．B．3．下列函数中，在区间(0，+∞)上是减函数的是（）A．B．C．D．4．下列函数与有相同图象的一个函数是（）A．B．C．D．5．函数（）A．是偶函数，在区间上单调递增B．是偶函数，在区间上单调递减C．是奇函数，在区间上单调递增D．是奇函数，在区间上单调递减6．已知，为不等于1的正数，则下列关系中正确的是（）A．B．C．D．二、填空题7．使对数式有意义的的取值范围是．8．比较大小； 1；0；0；；.9．函数与的图像关于对称．10．函数的值域是__________.三、解答题11．已知函数的定义域是，函数的定义域是，确定集合、的关系？12．已知函数在区间上的最大值是最小值的倍，求的值．13．已知函数且．（1）求函数的定义域；（2）求使的的取值范围．能力题14．（1）若函数的定义域为，求的取值范围；（2）若函数的值域为，求的取值范围．15．已知函数．（1）求函数的定义域；（2）讨论函数的奇偶性和单调性．练习十一、选择题二、填空题7．且8．9．轴10．三、解答题11．∵或，,∴．12．∵函数在区间上是减函数，∴．13．（1）函数的定义域是；（2）当时，；当时，．能力题14．（1）恒成立，则，得．（2）须取遍所有的正实数，当时，符合条件；当时，则，得，即．15．（1）函数的定义域为；（2）∵，∴为奇函数；在上为减函数．练习十一幂函数一、选择题1．下列所给出的函数中，是幂函数的是（）A．B．C．D．2．所有幂函数的图象都通过点（）A．B．C．D．3．函数在区间上的最大值是（）B．A．C．D．4．下列函数中为偶函数的是（）A．y =B．y = xC．y = x2 D．y = x3+15．当时，函数与函数的图象（）A．关于原点对称B．关于轴对称C．关于轴对称D．关于直线对称6．若函数在上为增函数，则的取值范围是（）A．B．C．R D．二、填空题7．函数的定义域是．8．比较大小；；.9．已知幂函数的图象经过点，这个函数的解析式为．10．已知幂函数，若，则幂函数在区间上是增函数；若，则幂函数在区间上是减函数．三、解答题11．比较下列两个代数式值的大小：（1），；（2），12．已知函数f (x) =-2.（1）求f (x) 的定义域；（2）证明函数f (x) =-2在 (0，+∞)上是减函数.13．已知幂函数轴对称，试确定的解析式.能力题14．如图所示，曲线是幂函数在第一象限内的图象，已知分别取四个值，写出图象，，，相应的解析式.15．求证：函数在R上为奇函数且为增函数.练习十一一、选择题二、填空题7．8．9．10．，三、解答题11．；≤12．（1）f (x) 的定义域是｛x∈R| x≠0｝；（2）设x1，x2是(0，+∞)上的两个任意实数，且x1 < x2，则x = x1-x2 < 0，y = f (x1) - f (x2) =-2- (-2) =-=.因为x2- x1 = -x >0，x1x2 >0 , 所以y >0.因此 f (x) =-2是 (0，+∞)上的减函数.13．由能力题14．：；：；：；：15．∵，∴在R上为奇函数.设x1，x2是R上的两个任意实数，且x1 < x2，则x = x1- x2 < 0，y = f (x1) - f (x2) =, 因为，=，由于，，且不能同时为0，否则，故.所以y<0.因此函数在R上为增函数.。

3.1.1函数及其表示方法第三章函数3.1 函数的概念与性质3.1.1函数及其表示方法课时1 函数的概念考点1函数的概念1.下列说法正确的是()。

A.函数值域中每一个数在定义域中一定只有一个数与之对应B.函数的定义域和值域可以是空集C.函数的定义域和值域一定是数集D.函数的定义域和值域确定后,函数的对应法则也就确定了答案：C解析：由函数的定义可知,函数的定义域和值域为非空的数集。

2.下列四个图形中,不是以x为自变量的函数的图像是()。

图3-1-1-1-1答案：C解析：根据函数定义,知对自变量x的任意一个值,都有唯一确定的实数(函数值)与之对应。

显然选项A,B,D 满足函数的定义,而选项C不满足。

故选C。

3.(2018·河北衡水中学高一月考)下列四组函数中,表示同一函数的是()。

3 B.y=1与y=x0A.y=√x2与y=√x3C.y=2x+1与y=2t+1D.y=x与y=(√x)2答案：C3=x,它们的对应关系不同,不是同一函数;对于B,y=1(x∈R),y=x0=1(x≠0),它们的解析：对于A,y=√x2=|x|,y=√x3定义域不同,不是同一函数;对于C,y=2x+1与y=2t+1,它们的定义域相同,对应关系也相同,是同一函数;对于D,y=x(x∈R),y=(√x)2=x(x≥0),它们的定义域不同,不是同一函数。

【易错点拨】考查同一函数的问题,注意把握同一函数的定义,必须保证是三要素完全相同,才是同一函数。

4.(2019·西安高一检测)下列式子中不能表示函数y=f(x)的是()。

A.x=y2B.y=x+1C.x+y=0D.y=x2答案：A5.给出下列两个集合间的对应关系:①A={-1,0,1},B={-1,0,1},f:A中的数的平方;②A={0,1},B={-1,0,1},f:A中的数的开方;③A=Z,B=Q,f:A中的数的倒数;④A=R,B={正实数},f:A中的数取绝对值;⑤A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},f:A中的数的2倍。

人教版高中数学必修一第二章 《一元二次函数、方程和不等式》测试题及答案解析(时间：120分钟 满分：150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．不等式x 2≥2x 的解集是( ) A ．{x |x ≥2} B ．{x |x ≤2} C ．{x |0≤x ≤2}D ．{x |x ≤0或x ≥2}解析：选D 由x 2≥2x 得x (x －2)≥0，解得x ≤0或x ≥2，故选D. 2．若A ＝a 2＋3ab ，B ＝4ab －b 2，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A ≤B B ．A ≥B C ．A <B 或A >BD ．A >B解析：选B ∵A－B ＝a 2＋3ab －(4ab －b 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＋34b 2≥0，∴A ≥B.3．不等式组⎩⎨⎧x 2－1<0，x 2－3x <0的解集为( )A ．{x |－1<x <1}B ．{x |0<x <3}C ．{x |0<x <1}D ．{x |－1<x <3}解析：选C 由⎩⎨⎧x2－1<0，x2－3x<0，得⎩⎨⎧－1<x<1，0<x<3，所以0<x<1，即不等式组的解集为{x|0<x<1}，故选C.4．已知2a ＋1<0，则关于x 的不等式x 2－4ax －5a 2>0的解集是( ) A ．{x |x <5a 或x >－a } B ．{x |x >5a 或x <－a } C ．{x |－a <x <5a }D ．{x |5a <x <－a }解析：选A 方程x 2－4ax －5a 2＝0的两根为－a ，5a.因为2a ＋1<0，所以a<－12，所以－a>5a.结合二次函数y ＝x 2－4ax －5a 2的图象，得原不等式的解集为{x|x<5a 或x>－a}，故选A.5．已知a ，b ，c ∈R ，则下列说法中错误的是( ) A ．a >b ⇒ac 2≥bc 2 B.a c >b c，c <0⇒a <b C ．a 3>b 3，ab >0⇒1a <1bD ．a 2>b 2，ab >0⇒1a <1b解析：选D 对于A ，c 2≥0，则由a>b 可得ac 2≥bc 2，故A 中说法正确； 对于B ，由a c >b c ，得a c －b c ＝a －bc >0，当c<0时，有a －b<0，则a<b ，故B 中说法正确；对于C ，∵a 3>b 3，ab>0，∴a 3>b 3两边同乘1a3b3，得到1b3>1a3，∴1a <1b，故C 中说法正确；对于D ，∵a 2>b 2，ab>0，∴a 2>b 2两边同乘1a2b2， 得到1b2>1a2，不一定有1a <1b，故D 中说法错误．故选D.6．若关于x 的一元二次不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．m ≤－2或m ≥2B ．－2≤m ≤2C ．m <－2或m >2D ．－2<m <2解析：选B 因为不等式x 2＋mx ＋1≥0的解集为R ，所以Δ＝m 2－4≤0，解得－2≤m≤2.7．某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可近似地表示为y ＝12x 2－300x ＋80 000，为使平均处理成本最低，该厂每月处理量应为( )A ．300吨B ．400吨C ．500吨D ．600吨解析：选B 由题意，月处理成本y(元)与月处理量x(吨)的函数关系为y＝12x 2－300x ＋80 000，所以平均处理成本为s ＝y x ＝12x2－300x ＋80 000x ＝x 2＋80 000x －300，其中300≤x≤600，又x 2＋80 000x－300≥2x 2·80 000x－300＝400－300＝100，当且仅当x 2＝80 000x 时等号成立，所以x ＝400时，平均处理成本最低．故选B.8．设正数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z 取得最大值时，2x ＋1y－2z的最大值是( ) A ．0 B ．1 C.94D ．3解析：选B 由题意得xy z ＝xy x2－3xy ＋4y2＝1x y ＋4y x －3≤14－3＝1，当且仅当x＝2y 时，等号成立，此时z ＝2y 2.故2x ＋1y －2z ＝－1y2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时，等号成立，故所求的最大值为1.二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <2，则下列结论正确的是( )A ．a >0B ．b >0C ．c >0D ．a ＋b ＋c >0解析：选BCD 因为不等式ax 2＋bx ＋c>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x<2，故相应的二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象开口向下，所以a<0，故A 错误；易知2和－12是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根，则有c a ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－1<0，－b a ＝2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝32>0，又a<0，故b>0，c>0，故B 、C 正确；因为ca ＝－1，所以a ＋c ＝0，又b>0，所以a ＋b ＋c>0，故D 正确．故选B 、C 、D.10．下列结论中正确的有( )A ．若a ，b 为正实数，a ≠b ，则a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2B ．若a ，b ，m 为正实数，a <b ，则a ＋m b ＋m <a bC ．若a c 2>bc2，则a >bD ．当x >0时，x ＋2x的最小值为2 2解析：选ACD 对于A ，∵a ，b 为正实数，a ≠b ，∴a 3＋b 3－(a 2b ＋ab 2)＝(a －b)2(a ＋b)>0，∴a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2，故A 正确；对于B ，若a ，b ，m 为正实数，a<b ，则a ＋m b ＋m －a b ＝m （b －a ）b （b ＋m ）>0，则a ＋m b ＋m >ab，故B 错误；对于C ，若a c2>bc2，则a>b ，故C 正确； 对于D ，当x>0时，x ＋2x 的最小值为22，当且仅当x ＝2时取等号，故D正确．故选A 、C 、D.11．下列各式中，最大值是12的是( )A ．y ＝x 2＋116x 2B ．y ＝x 1－x 2(0≤x ≤1)C ．y ＝x 2x 4＋1D ．y ＝x ＋4x ＋2(x >－2) 解析：选BCA中，y ＝x 2＋116x2≥2x2·116x2＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝±12时取等号，因此式子无最大值；B 中，y 2＝x 2(1－x2)≤⎝⎛⎭⎪⎫x2＋1－x222＝14，y ≥0， ∴0≤y ≤12，当且仅当x ＝22时y 取到最大值12； C 中，当x ＝0时，y ＝0，当x≠0时，y ＝1x2＋1x2≤12x2·1x2＝12，当且仅当x ＝±1时y 取到最大值12；D 中，y ＝x ＋4x ＋2＝x ＋2＋4x ＋2－2≥2（x ＋2）·4x ＋2－2＝2(x>－2)(当且仅当x ＝0时取等号)，无最大值，故选B 、C.12．某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏，若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400)的销售收入，则这批台灯的售价x (元)的取值可以是( )A ．10B ．15C ．16D ．20解析：选BC 设这批台灯的售价定为x 元，x ≥15，则[30－(x －15)×2]·x>400，即x 2－30x ＋200<0，因为方程 x 2－30x ＋200＝0的两根分别为x 1＝10，x 2＝20，所以x 2－30x ＋200<0的解集为{x|10<x<20}，又因为x≥15，所以15≤x<20.故选B 、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．已知a >b ，a －1a >b －1b同时成立，则ab 应满足的条件是________．解析：因为a －1a >b －1b ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫b －1b ＝（a －b ）（ab ＋1）ab >0.又a>b ，即a －b>0，所以ab ＋1ab>0，从而ab(ab ＋1)>0，所以ab<－1或ab>0.答案：ab<－1或ab>014．一个大于50小于60的两位数，其个位数字b 比十位数字a 大2.则这个两位数为________．解析：由题意知⎩⎨⎧50<10a ＋b<60，b －a ＝2，0<a ≤9，0≤b ≤9，解得4411<a<5311. 又a∈N*，∴a ＝5.∴b ＝7，∴所求的两位数为57. 答案：5715．一元二次不等式x 2＋ax ＋b >0的解集为{x |x <－3或x >1}，则a ＋b ＝________，一元一次不等式ax ＋b <0的解集为________．解析：由题意知，－3和1是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根， 所以⎩⎨⎧－3＋1＝－a ，－3×1＝b ，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3， 故a ＋b ＝－1.不等式ax ＋b<0即为2x －3<0， 所以x<32.答案：－1⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<32 16．已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则x ＋8yxy的最小值为________． 解析：因为x ，y 为正数，且x ＋2y ＝2，所以x 2＋y ＝1，所以x ＋8yxy ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋8x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋y ＝x 2y ＋8yx ＋5≥2x 2y ·8y x ＋5＝9，当且仅当x ＝4y ＝43时，等号成立，所以x ＋8yxy的最小值为9. 答案：9四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)解下列不等式： (1)2＋3x －2x 2>0； (2)x (3－x )≤x (x ＋2)－1.解：(1)原不等式可化为2x 2－3x －2<0，所以(2x ＋1)(x －2)<0，故原不等式的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x<2. (2)原不等式可化为2x 2－x －1≥0. 所以(2x ＋1)(x －1)≥0，故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x≤－12或x≥1.18．(本小题满分12分)当p ，q 都为正数且p ＋q ＝1时，试比较代数式(px ＋qy )2与px 2＋qy 2的大小．解：(px ＋qy)2－(px 2＋qy 2)＝p(p －1)x 2＋q(q －1)y 2＋2pqxy. 因为p ＋q ＝1，所以p －1＝－q ，q －1＝－p ，所以(px ＋qy)2－(px 2＋qy 2)＝－pq(x 2＋y 2－2xy)＝－pq(x －y)2. 因为p ，q 都为正数，所以－pq(x －y)2≤0，因此(px ＋qy)2≤px 2＋qy 2，当且仅当x ＝y 时等号成立．19．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0.当a 为何值时， (1)方程的一个根大于1，另一个根小于1?(2)方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3?解：(1)已知方程的一个根大于1，另一个根小于1，结合二次函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象(如图所示)知，当x ＝1时，函数值小于0，即12－2＋a<0，所以a<1.因此a 的取值范围是{a|a<1}．(2)由方程的一个根大于－1且小于1，另一个根大于2且小于3，结合二次函数y ＝x 2－2x ＋a 的图象(如图所示)知，x 取－1，3时函数值为正，x 取1，2时函数值为负，即⎩⎨⎧1＋2＋a>0，1－2＋a<0，4－4＋a<0，9－6＋a>0，解得－3<a<0.因此a 的取值范围是{a|－3<a<0}．20．(本小题满分12分)已知a >0，b >0且1a ＋2b＝1.(1)求ab 的最小值； (2)求a ＋b 的最小值．解：(1)因为a>0，b>0且1a ＋2b ＝1，所以1a ＋2b≥21a ·2b＝22ab，则22ab≤1， 即ab≥8，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2b ＝1，1a ＝2b ，即⎩⎨⎧a ＝2，b ＝4时取等号，所以ab 的最小值是8. (2)因为a>0，b>0且1a ＋2b ＝1，所以a ＋b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋2b (a ＋b)＝3＋b a ＋2ab≥3＋2b a ·2ab＝3＋22， 当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋2b ＝1，b a ＝2a b ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1＋2，b ＝2＋2时取等号，所以a ＋b 的最小值是3＋2 2.21．(本小题满分12分)设y ＝ax 2＋(1－a )x ＋a －2.(1)若不等式y ≥－2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围； (2)解关于x 的不等式ax 2＋(1－a )x ＋a －2<a －1(a ∈R)．解：(1)ax 2＋(1－a)x ＋a －2≥－2对于一切实数x 恒成立等价于ax 2＋(1－a)x ＋a≥0对于一切实数x 恒成立．当a ＝0时，不等式可化为x≥0，不满足题意； 当a≠0时，由题意得⎩⎨⎧a>0，（1－a ）2－4a2≤0，解得a≥13.所以实数a的取值范围是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a ⎪⎪⎪a ≥13.(2)不等式ax 2＋(1－a)x ＋a －2<a －1等价于ax 2＋(1－a)x －1<0. 当a ＝0时，不等式可化为x<1，所以不等式的解集为{x|x<1}； 当a>0时，不等式可化为(ax ＋1)(x －1)<0，此时－1a<1，所以不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x<1； 当a<0时，不等式可化为(ax ＋1)(x －1)<0，①当a ＝－1时，－1a＝1，不等式的解集为{x|x≠1}；②当－1<a<0时，－1a >1，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>－1a ；③当a<－1时，－1a <1，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<－1a 或x>1. 综上所述，当a<－1时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<－1a 或x>1；当a ＝－1时，不等式的解集为{x|x≠1}；当－1<a<0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x<1或x>－1a ；当a ＝0时，不等式的解集为{x|x<1}；当a>0时，不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1a <x<1. 22．(本小题满分12分)某企业准备投入适当的广告费对某产品进行促销，在一年内预计销售量Q (万件)与广告费x (万元)之间的关系式为Q ＝3x ＋1x ＋1(x ≥0)．已知生产此产品的年固定投入为3万元，每生产1万件此产品仍需再投入32万元，若该企业产能足够，生产的产品均能售出，且每件销售价为“年平均每件生产成本的150%”与“年平均每件所占广告费的50%”之和．(1)试写出年利润W (万元)与年广告费x (万元)的关系式；(2)当年广告费投入多少万元时，企业年利润最大？最大年利润为多少？ 解：(1)由题意可得，每年产品的生产成本为(32Q ＋3)万元，每万件销售价为⎝⎛⎭⎪⎫32Q ＋3Q ×150%＋x Q ×50%万元， ∴年销售收入为⎝⎛⎭⎪⎫32Q ＋3Q ×150%＋x Q ×50%·Q ＝32(32Q ＋3)＋12x ， ∴W ＝32(32Q ＋3)＋12x －(32Q ＋3)－x＝12(32Q ＋3)－12x ＝12(32Q ＋3－x) ＝－x2＋98x ＋352（x ＋1）(x≥0)．(2)由(1)得，W ＝－x2＋98x ＋352（x ＋1）＝－（x ＋1）2＋100（x ＋1）－642（x ＋1）＝－x ＋12－32x ＋1＋50.∵x ＋1≥1，∴x ＋12＋32x ＋1≥2x ＋12·32x ＋1＝8， ∴W ≤42，当且仅当x ＋12＝32x ＋1，即x ＝7时，W 有最大值42，即当年广告费投入7万元时，企业年利润最大，最大年利润为42万元．。