高中数学二次函数(1)新人教A版必修1

二次函数与一元二次不等式一、知识聚焦考点一 数学建模-不等式的应用例题6. 国家原计划以2 400元/吨的价格收购某种农产品m 吨．按规定，农户向国家纳税为：每收入100元纳税8元(称作税率为8个百分点，即8%)．为了减轻农民负担，制定积极的收购政策．根据市场规律，税率降低x 个百分点，收购量能增加2x 个百分点．试确定x 的范围，使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 【解析】设税率调低后“税收总收入”为y 元．y ＝2 400m (1＋2x %)·(8－x )%＝－1225m (x 2＋42x －400)(0<x ≤8)． 依题意，得y ≥2 400m ×8%×78%，即－1225m (x 2＋42x －400)≥2 400m ×8%×78%， 整理，得x 2＋42x －88≤0，解得－44≤x ≤2. 根据x 的实际意义，知x 的范围为0<x ≤2.考点二 数学运算-解不等式例题7、解下列不等式(1)－x 2＋2x －3<0； (2)－3x 2＋5x －2>0. 【答案】(1) R (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <1【解析】(1)原不等式可化为x 2－2x ＋3>0， 由于Δ<0，方程x 2－2x ＋3＝0无解， ∴不等式－x 2＋2x －3<0的解集为R . (2)原不等式可化为3x 2－5x ＋2<0，由于Δ>0，方程3x 2－5x ＋2＝0的两根为x 1＝23，x 2＝1， ∴不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪23<x <1. 考点三 直观想象-不等式恒成立例题8.若函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1时，y <0恒成立，如何求x 的取值范围？【答案】不存在【解析】要使对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立，只需满足⎩⎨⎧2x ＋x 2－4x ＋4＜0－3×2x ＋x 2－4x ＋4＜0， 即⎩⎨⎧x 2－2x ＋4<0，x 2－10x ＋4<0.因为x 2－2x ＋4<0的解集是空集，所以不存在实数x ，使函数y ＝x 2＋2(a －2)x ＋4对任意－3≤a ≤1，y <0恒成立． 二、学业质量测评一、选择题1．（2019·全国高一课时练习）不等式(1)(2)0x x +-≤的解集为 （ ）A ．{|12}x x ≤≤－B ．{|12}x x <<－C ．1-12x x x ⎧⎫>-≤⎨⎬⎩⎭或 D ．}{21x x x <-或【答案】A【解析】由二次函数()()12y x x =+-的图象可知，不等式的解是12x ≤≤－，故选A.2．（2019·全国高一课时练习）若关于x 的一元二次方程2(2)26k x kx k --+=有实数根，则k 的取值范围为（ ） A ．0k ≥ B ．0k ≥且2k ≠ C ．32k ≥D ．32k ≥且2k ≠ 【答案】D【解析】（k -2）x 2-2kx +k -6=0，∵关于x 的一元二次方程（k -2）x 2-2kx +k =6有实数根，∴220(2)4(2)(6)0k k k k -≠⎧⎨∆=----⎩…，解得：32k ≥且k ≠2． 故选D ．3．（2019·全国高一课时练习）若0a <，则不等式()110a x x a ⎛⎫++< ⎪⎝⎭的解集是（ ) A ．1 1,a ⎛⎫--⎪⎝⎭B ．1 ,1a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1 ,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭D ．()1,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D【解析】0a <，对应二次函数()11y a x x a ⎛⎫=++⎪⎝⎭抛物线开口向下，小于零的解集为“两根之外”，又101a ->>-，故解集为()1,1,a ⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭，故选D . 4．（2018·全国高二单元测试）设R x ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意得，不等式2210x x +->，解得1x <-或12x >，所以“12x >”是“2210x x +->”的充分而不必要条件，故选A ．5．（2019·全国高一课时练习）已知方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，则实数m 的取值范围是（ ) A.(][) 5,44,--⋃+∞ B.(]5,4--C.() 5,-+∞D.[)[)4,24,--⋃+∞【答案】B【解析】方程()2250x m x m +-+-=的两根都大于2，则二次函数()225y x m x m =+-+-的图象与x 轴的两个交点都在x=2的右侧，根据图象得：方程的判别式0∆≥；当2x =时函数值0y >；函数对称轴222m -->。

⾼中数学⼆次函数与⼀元⼆次⽅程教案新课标⼈教版必修1（A）⼆次函数与⼀元⼆次⽅程（2）三维⽬标⼀、知识与技能1.会⽤函数图象的交点解释⽅程的根的意义.2.继续了解函数的零点与对应⽅程根的联系.3.理解在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0这⼀结论的实质.⼆、过程与⽅法1.体验并理解函数与⽅程的相互转化的数学思想⽅法.2.通过探究、思考，培养学⽣理性思维能⼒以及分析问题、解决问题的能⼒.三、情感态度与价值观通过现代信息技术的合理应⽤，转变学⽣对数学学习的态度，加强学⽣对数形结合、分类讨论等数学思想的进⼀步认识.教学重点“在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0”的理解.教学难点“在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0”的理解.教具准备多媒体课件、投影仪.教学过程⼀、创设情景，引⼊新课师：观察⼆次函数f（x）=x2－2x－3的图象（如下图），我们发现函数f（x）=x2－2x－3在区间［－2，1］上有零点.计算f（－2）与f（1）的乘积，你能发现这个乘积有什么特点?在区间［2，4］上是否也具有这种特点呢?引导学⽣探究，可以发现，在区间［－2，1］的端点上，f（－2）＞0，f（1）＜0，即f（－2）·f （1）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在区间（－2，1）内有零点x=－1，它是⽅程x2－2x－3=0的⼀个根.同样，在区间［2，4］的端点上，f（2）＜0，f（4）＞0，即f（2）·f（4）＜0，函数f（x）=x2－2x－3在（2，4）内有零点x=3，它是⽅程x2－2x－3=0的另⼀个根.我们能从⼆次函数的图象看到零点的性质：1.⼆次函数的图象是连续的，当它通过零点时（不是⼆重零点），函数值变号.例如，函数y=x2－x－6的图象在零点－2的左边时，函数值取正号，当它通过第⼀个零点－2时，函数值由正变负，再通过第⼆个零点3时，函数值⼜由负变正.2.相邻两个零点之间的所有函数值保持同号.师：对任意函数，结论也成⽴吗?同学们可以任意画⼏个函数图象，观察图象，看看是否得出同样的结论.⼆、讲解新课1.零点的性质如果函数y=f（x）在区间［a，b］上的图象是连续不断的⼀条曲线，并且有f（a）·f （b ）＜0，那么，函数y =f （x ）在区间（a ，b ）内有零点，即存在c ∈（a ，b ），使得f （c ）=0，这个c 也就是⽅程f （x ）=0的根.求⽅程f （x ）=0的实数根，就是确定函数y =f （x ）的零点.⼀般地，对于不能⽤公式法求根的⽅程f （x ）=0来说，我们可以将它与函数y =f （x ）联系起来，利⽤函数的性质找出零点，从⽽求出⽅程的根.2.应⽤举例【例1】教科书P 102例1.本例是考查函数零点的个数.通过它要让学⽣认识到函数的图象及其基本性质（特别是单调性）在确定函数零点中的重要作⽤.（1）函数f （x ）=ln x +2x －6的图象可以让学⽣利⽤计算器或计算机画出.通过观察教科书上的图3.1－3，发现函数的图象与x 轴有⼀个交点，从⽽对函数有⼀个零点形成直观的认识.（2）教科书上的表3－1，可以让学⽣⽤计算器或计算机得出，使学⽣通过动⼿实践获得对表3－1的认同感.通过观察表3－1，结合图象3.1－3，不难得出函数的⼀个零点在区间（2，3）内.（3）要说明函数仅有⼀个零点，除上述理由外，还必须说明函数在其定义域内是单调的.可以由增（减）函数的定义证明函数在（0，+∞）上是增函数，也可以由g （x ）=ln x 、h （x ）=2x －6在（0，+∞）上是增函数，说明函数f （x ）=g （x ）+h （x ）在（0，+∞）上是增函数.【例2】已知函数f （x ）=ax 2+bx +1具有以下性质：①对任意实数x 1≠x 2，且f （x 1）=f （x 2）时，满⾜x 1+x 2=2；②对任意x 1、x 2∈（1，+∞），总有f （221x x +）＞2)()(21x f x f +. 则⽅程ax 2+bx +1=0根的情况是A.⽆实数根B.有两个不等正根C.有两个异号实根D.有两个相等正根⽅法探究：（1）本题由条件①，知函数f （x ）的对称轴为x =1；由条件②，知函数f （x ）是凸函数，即a ＜0；再由函数f （x ）的表达式，知f （x ）的图象过点（0，1）.根据这三点，可画出函数f （x ）的草图，如下图，发现函数f （x ）与x 轴交点的位置，可知f （x ）=0有两个异号实根，故应选C.（2）由条件②，知函数f （x ）的图象开⼝向下，即a ＜0.⼜由x 1x 2=a1＜0，可知 f （x ）=0有两个异号实根，故应选C.⽅法技巧：解析（2）的求解过程明显⽐解析（1）简捷，但却不如解析（1）直观，⽤数形结合思想解题可以使问题变得直观清晰，便于理解.但不难发现，如果解析（1）中的三个函数语⾔之中有1个没有转化（或错误地转化）为图形语⾔，那么本题就可能会错选.⽤数形结合思想解题，要注意由数到形，由形到数转化过程的等价性.【例3】研究⽅程|x 2－2x －3|=a （a ≥0）的不同实根的个数.⽅法探究：纯粹从解⽅程⾓度来考虑，必须研究两个⽅程，讨论相当⿇烦.从函数图象⾓度分析，只需研究函数y =|x 2－2x －3|与y =a 的图象的交点的个数.解：设y =|x 2－2x －3|和y =a ，利⽤Excel 、图形计算器或其他画图软件，分别作出这两个函数的图象，它们的交点的个数，即为所给⽅程实根的个数.如下图，当a =0或a ＞4时，有两个实根；当a =4时，有三个实根；当0＜a ＜4时，有四个实根.⽅法技巧：有关实根个数的题⽬，通常都采⽤数形结合思想.做这类题⽬，必须遵循两个步骤：⼀是构造两个熟悉的函数，⼆是画出图象，关键点画图要准确.【例4】设⼆次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0），⽅程f （x ）－x =0的两个根x 1，x 2满⾜0＜x 1＜x 2＜a 1. （1）当x ∈（0，x 1）时，求证：x ＜f （x ）＜x 1；（2）设函数f （x ）的图象关于直线x =x 0对称，求证：x 0＜21x . ⽅法探究：由于已知⼆次⽅程f （x ）－x =0的两个根，因此新出现的⼆次函数f （x ）－x 应有双根式、⼀般式两种表现形式.故本题⼀定是在此进⾏问题设置，解题的关键就是恰当地把握好两种形式的转化.证明：（1）∵x 1，x 2是⽅程f （x ）－x =0的两根，且f （x ）=ax 2+bx +c （a ＞0），∴f （x ）－x =a （x －x 1）（x －x 2）=a （x 1－x ）（x 2－x ）.∵0＜x 1＜x 2，且x 1＜x 2＜a1，a ＞0，∴a （x 1－x ）（x 2－x ）＞0，即f （x ）－x ＞0，a （x 1－x ）（x 2－x ）＜a ·a 1（x 1－x ）=x 1－x ，即f （x ）－x ＜x 1－x .故0＜f （x ）－x ＜x 1－x ，即x ＜f （x ）＜x 1.（2）∵f （x ）－x =ax 2+（b －1）x +c ，且f （x ）－x =0的两根为x 1，x 2，∴⼆次函数f （x ）－x =0的对称轴为x =221x x +=－a b 21-. ∴21x =－a b 2+a21－22x . ⼜由已知，得x 0=－a b 2，∴21x =x 0+a21－22x . ⼜∵x 2＜a 1，∴a 21－22x ＞0. 故21x =x 0+a21－22x ＞x 0，即x 0＜21x . ⽅法技巧：函数与⽅程思想的恰当转化，是解决本题的关键，这种思想⽅法的转化往往是多次的.三、课堂练习教科书P 103练习题1.（1）（2），2.（1）（2）.解答：1.（1）令f（x）=－x2+3x+5，作出函数f（x）的图象，它与x轴有两个交点，所以⽅程－x2+3x+5=0有两个不相等的实数根.（2）2x（x－2）=－3可化为2x2－4x+3=0，令f（x）=2x2－4x+3，作出函数f（x）的图象，它与x轴没有交点，所以⽅程2x（x－2）=－3⽆实根.2.（1）作出函数图象，因为f（1）=1＞0，f（1.5）=－2.875＜0，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有⼀个零点.⼜因为f（x）是（－∞，+∞）上的减函数，所以f（x）=－x3－3x+5在区间（1，1.5）上有且只有⼀个零点.（2）作出函数图象，因为f（3）＜0，f（4）＞0，所以f（x）=2x·ln（x－2）－3在区间（3，4）上有⼀个零点.⼜因为f（x）=2x·ln（x－2）－3在（2，+∞）上是增函数，所以f（x）在（2，+∞）上有且仅有⼀个（3，4）上的零点.四、课堂⼩结1.本节学习的数学知识：零点的性质：在函数的零点两侧函数值乘积⼩于0；零点的确定.2.本节学习的数学⽅法：归纳的思想、函数与⽅程思想、数形结合思想.五、布置作业补充题：1.定义在区间［－c，c］上的奇函数f（x）的图象如下图所⽰，令g（x）=af（x）+b，则下列关于函数g（x）的叙述正确的是A.若a＜0，则函数g（x）的图象关于原点对称B.若a=－1，－2＜b＜0，则函数g（x）有⼤于2的零点C.若a≠0，b=2，则函数g（x）有两个零点D.若a≥1，b＜2，则函数g（x）有三个零点2.⽅程x2－2mx+m2－1=0的两根都在（－2，4）内，则实数m的取值范围为________.3.已知⼆次函数f（x）=x2+2（p－2）x+3p，若在区间［0，1］内⾄少存在⼀个实数c，使得f（c）＞0，则实数p的取值范围是________.板书设计3.1.1⽅程的根与函数的零点（2）⼆次函数零点的性质零点的性质例1例2例3例4课堂练习课堂⼩结。

2.3 二次函数与一元二次方程、不等式最新课程标准：(1)从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系．(2)从函数观点看一元二次不等式．①经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程，了解一元二次不等式的现实意义．能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集．②借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.知识点二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系Δ>0Δ＝0Δ<0y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}{x|x≠－b2a}Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅状元随笔一元二次不等式的解法：(1)图象法：一般地，当a>0时，解形如ax2＋bx＋c>0(≥0)或ax2＋bx＋c<0(≤0)的一元二次不等式，一般可分为三步：①确定对应方程ax2＋bx＋c＝0的解；②画出对应函数y＝ax2＋bx＋c的图象简图；③由图象得出不等式的解集．对于a<0的一元二次不等式，可以直接采取类似a>0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解．(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p<q时，若(x－p)(x－q)>0，则x>q或x<p；若(x－p)(x－q)<0，则p<x<q.有口诀如下“大于取两边，小于取中间”．[教材解难]教材P50思考能．可以从2个角度来看①函数的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0表示二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值大于0，图象在x轴的上方；一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集即二次函数图象在x轴上方部分的自变量的取值范围．②方程的角度：一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集的端点值是一元二次方程ax2＋bx ＋c＝0的根．[基础自测]1．下列不等式中是一元二次不等式的是( )A．a2x2＋2≥0 B.1x2<3C．－x2＋x－m≤0 D．x3－2x＋1>0解析：选项A中，a2＝0时不符合；选项B是分式不等式；选项D中，最高次数为三次；只有选项C符合．答案：C2．不等式x(x＋1)≤0的解集为( )A．[－1，＋∞) B．[－1,0)C．(－∞，－1] D．[－1,0]解析：解不等式得－1≤x≤0，故选D.答案：D3．函数y＝17－6x－x2的定义域为( )A．[－7,1]B．(－7,1)C．(－∞，－7]∪[1，＋∞) D．(－∞，－7)∪(1，＋∞)解析：由7－6x －x 2>0，得x 2＋6x －7<0，即(x ＋7)(x －1)<0，所以－7<x <1，故选B. 答案：B4．不等式1＋2x ＋x 2≤0的解集为________．解析：不等式1＋2x ＋x 2≤0化为(x ＋1)2≤0，解得x ＝－1. 答案：{－1}题型一 解不含参数的一元二次不等式[教材P 52例1、2、3] 例1 (1)求不等式x 2－5x ＋6>0的解集． (2)求不等式9x 2－6x ＋1>0的解集． (3)求不等式－x 2＋2x －3>0的解集．【解析】 (1)对于方程x 2－5x ＋6＝0，因为Δ>0，所以它有两个实数根．解得x 1＝2，x 2＝3.画出二次函数y ＝x 2－5x ＋6的图象(图1)，结合图象得不等式x 2－5x ＋6>0的解集为{x |x <2，或x >3}．(2)对于方程9x 2－6x ＋1＝0，因为Δ＝0，所以它有两个相等的实数根，解得x 1＝x 2＝13.画出二次函数y ＝9x 2－6x ＋1的图象(图2)，结合图象得不等式9x 2－6x ＋1>0的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ≠13(3)不等式可化为x2－2x＋3<0.因为Δ＝－8<0，所以方程x2－2x＋3＝0无实数根．画出二次函数y＝x2－2x＋3的图象(图3)．结合图象得不等式x2－2x＋3<0的解集为∅.因此，原不等式的解集为∅.因为方程x2－5x＋6＝0的根是函数y＝x2－5x＋6的零点，所以先求出x2－5x＋6＝0的根，再根据函数图象得到x2－5x＋6>0的解集．教材反思我们以求解可化成ax2＋bx＋c>0(a>0)形式的不等式为例，用框图表示其求解过程．跟踪训练1 解下列不等式：(1)x2－7x＋12>0；(2)－x 2－2x ＋3≥0； (3)x 2－2x ＋1<0； (4)－2x 2＋3x －2<0.解析：(1)因为Δ＝1＞0，所以方程x 2－7x ＋12＝0有两个不等实根x 1＝3，x 2＝4.再根据函数y ＝x 2－7x ＋12的图象开口向上，可得不等式x 2－7x ＋12＞0的解集是{x |x ＜3或x ＞4}．(2)不等式两边同乘－1，原不等式可化为x 2＋2x －3≤0.因为Δ＝16＞0，所以方程x2＋2x －3＝0有两个不等实根x 1＝－3，x 2＝1.再根据函数y ＝x 2＋2x －3的图象开口向上，可得不等式－x 2－2x ＋3≥0的解集是{x |－3≤x ≤1}．(3)因为Δ＝0，所以方程x 2－2x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝1.再根据函数y ＝x 2－2x ＋1的图象开口向上，可得不等式x 2－2x ＋1＜0的解集为∅.(4)原不等式可化为2x 2－3x ＋2＞0，因此Δ＝9－4×2×2＝－7＜0，所以方程2x 2－3x ＋2＝0无实根，又二次函数y ＝2x 2－3x ＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R .状元随笔 化二次项系数为正―→计算相应方程的判别式Δ及两根x 1，x 2――→函数图象结果题型二 三个“二次”之间的关系[经典例题]例2 已知关于x 的不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求关于x 的不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【解析】 方法一 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根，由根与系数的关系可知b a ＝－5，c a ＝6.由a <0知c <0，b c ＝－56，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即x 2＋b c x ＋a c >0，即x 2－56x ＋16>0，解得x <13或x >12，所以不等式cx2＋bx ＋a <0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 方法二 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}可知，a <0，且2和3是方程ax2＋bx ＋c ＝0的两根，所以ax 2＋bx ＋c ＝a (x －2)(x －3)＝ax 2－5ax ＋6a ⇒b ＝－5a ，c ＝6a ，故不等式cx 2＋bx ＋a <0，即6ax 2－5ax ＋a <0⇒6a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －13⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12<0，故原不等式的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，13∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞. 状元随笔 由给定不等式的解集形式→确定a<0及关于a ，b ，c 的方程组→ 用a 表示b ，c →代入所求不等式→求解cx 2＋bx ＋a<0的解集方法归纳一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系，在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．(1)若一元二次不等式的解集为区间的形式，则区间的端点值恰是对应一元二次方程的根，要注意解集的形式与二次项系数的联系．(2)若一元二次不等式的解集为R 或∅，则问题可转化为恒成立问题，此时可以根据二次函数图象与x 轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的范围．跟踪训练2 已知一元二次不等式x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集．解析：因为x 2＋px ＋q <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0的两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1>0即为－16x 2＋16x ＋1>0，整理得x 2－x －6<0，解得－2<x <3.即不等式qx 2＋px ＋1>0的解集为{x |－2<x <3}． 状元随笔观察给定不等式的解集形式→由根与系数的关系得p ，q 的方程组→确定p ，q 的值→求不等式qx 2＋px ＋1>0的解集题型三 含参数的一元二次不等式的解法[经典例题] 例3 解关于x 的不等式2x 2＋ax ＋2>0.【解析】 对于方程2x 2＋ax ＋2＝0，其判别式Δ＝a 2－16＝(a ＋4)(a －4)． ①当a >4或a <－4时，Δ>0，方程2x 2＋ax ＋2＝0的两根为x 1＝14(－a －a 2－16)，x 2＝14(－a ＋a 2－16)． ∴原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x <14(－a －a 2－16)或x >14(－a ＋a 2－16).②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1，∴原不等式的解集为{x|x≠－1}．③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}．④当－4<a<4时，Δ<0，方程无实根，∴原不等式的解集为R.状元随笔二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数．方法归纳含参数一元二次不等式求解步骤(1)讨论二次项系数的符号，即相应二次函数图象的开口方向；(2)讨论判别式的符号，即相应二次函数图象与x轴交点的个数；(3)当Δ>0时，讨论相应一元二次方程两根的大小；(4)最后按照系数中的参数取值范围，写出一元二次不等式的解集．跟踪训练3 解关于x的不等式x2－(a＋a2)x＋a3>0.解析：原不等式可变形为(x－a)·(x－a2)>0，则方程(x－a)(x－a2)＝0的两个根为x1＝a，x2＝a2，(1)当a<0时，有a<a2，∴x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(2)当0<a<1时，有a>a2，即x<a2或x>a，此时原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；(3)当a>1时，有a2>a，即x<a或x>a2，此时原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；(4)当a＝0时，有x≠0；∴原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；(5)当a＝1时，有x≠1，此时原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}；综上可知：当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x<a或x>a2}；当0<a<1时，原不等式的解集为{x|x<a2或x>a}；当a＝0时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＝1时，原不等式的解集为{x|x∈R且x≠1}．状元随笔不等式左边分解因式→讨论a的范围→比较a与a 2的大小→写出不等式的解集题型四一元二次不等式的实际应用[经典例题]例4 某工厂的固定成本为3万元，该工厂每生产100台某产品的生产成本为1万元，设生产该产品x(百台)，其总成本为g(x)万元(总成本＝固定成本＋生产成本)，并且销售收入r (x )满足r (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋7x －10.5，0≤x ≤7，13.5，x ＞7.假定该产品产销平衡，根据上述统计规律求： (1)要使工厂有盈利，产品数量x 应控制在什么范围？ (2)工厂生产多少台产品时盈利最大？【解析】 (1)依题意得g (x )＝x ＋3，设利润函数为f (x )，则f (x )＝r (x )－g (x )，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－0.5x 2＋6x －13.5，0≤x ≤7，10.5－x ，x ＞7，要使工厂有盈利，则有f (x )>0，因为f (x )>0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，－0.5x 2＋6x －13.5＞0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，x 2－12x ＋27＜0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞7，10.5－x ＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤7，3＜x ＜9或⎩⎪⎨⎪⎧x >7，x <10.5.则3＜x ≤7或7＜x ＜10.5，即3＜x ＜10.5，所以要使工厂盈利，产品数量应控制在大于300台小于1 050台的范围内．(2)当3＜x ≤7时，f (x )＝－0.5(x －6)2＋4.5，故当x ＝6时，f (x )有最大值4.5，而当x ＞7时，f (x )＜10.5－7＝3.5，所以当工厂生产600台产品时盈利最大.(1)求利润函数f(x)⇒解不等式f(x)>0⇒回答实际问题． (2)根据第(1)题所求范围，分类讨论求函数最值⇒回答实际问题． 方法归纳解不等式应用题的四步骤(1)审：认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系． (2)设：引进数学符号，用不等式表示不等关系． (3)求：解不等式． (4)答：回答实际问题．特别提醒：确定答案时应注意变量具有的“实际含义”．跟踪训练4 某农贸公司按每担200元收购某农产品，并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点)，计划可收购a 万担，政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低x (x ≠0)个百分点，预测收购量可增加2x 个百分点．(1)写出税收y (万元)与x 的函数关系式；(2)要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的83.2%，试确定x 的取值范围．解析：(1)降低税率后的税率为(10－x )%，农产品的收购量为a (1＋2x %)万担，收购总金额为200a (1＋2x %)依题意得，y ＝200a (1＋2x %)(10－x )% ＝150a (100＋2x )(10－x )(0<x <10)． (2)原计划税收为200a ·10%＝20a (万元)． 依题意得，150a (100＋2x )(10－x )≥20a ×83.2%，化简得x 2＋40x －84≤0， ∴－42≤x ≤2.又∵0＜x ＜10，∴0＜x ≤2. ∴x 的取值范围是{x |0＜x ≤2}．状元随笔 根据题意，列出各数量之间的关系表，如下：原计划 降税后 价格(元/担)200 200税率 10% (10－x)%(0<x<10)收购量(万担) a a(1＋2x%) 收购总金额(万元) 200a 200·a(1＋2x%) 税收y(万元)200a·10%200·a(1＋2x%)(10－x)%一、选择题1．不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1<x <13 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <1 C ．∅ D ．R解析：因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝－8<0，所以抛物线y ＝3x 2－2x ＋1开口向上，与x 轴无交点，故3x 2－2x ＋1>0恒成立，即不等式3x 2－2x ＋1>0的解集为R .答案：D2．设m ＋n >0，则关于x 的不等式(m －x )(n ＋x )>0的解集是( )A ．{x |x <－n 或x >m }B ．{x |－n <x <m }C ．{x |x <－m 或x >n }D ．{x |－m <x <n }解析：不等式(m －x )(n ＋x )>0可化为(x －m )(x ＋n )<0，方程(x －m )(x ＋n )＝0的两根为x 1＝m ，x 2＝－n .由m ＋n >0，得m >－n ，则不等式(x －m )(x ＋n )<0的解集是{x |－n <x <m }，故选B.答案：B 3．不等式ax2＋5x ＋c >0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪13<x <12，则a ，c 的值分别为( ) A ．a ＝6，c ＝1 B ．a ＝－6，c ＝－1 C ．a ＝1，c ＝1 D ．a ＝－1，c ＝－6解析：由题意知，方程ax 2＋5x ＋c ＝0的两根为x 1＝13，x 2＝12，由根与系数的关系得x 1＋x 2＝13＋12＝－5a ，x 1·x 2＝13×12＝ca.解得a ＝－6，c ＝－1.答案：B4．若不等式x 2＋mx ＋m2>0的解集为R ，则实数m 的取值范围是( )A ．(2，＋∞)B ．(－∞，2)C ．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(0,2)解析：由题意知原不等式对应方程的Δ<0，即m 2－4×1×m2<0，即m 2－2m <0，解得0<m <2，故答案为D.答案：D 二、填空题5．不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为________．解析：方程(2x －5)(x ＋3)＝0的两根为x 1＝52，x 2＝－3，函数y ＝(2x －5)(x ＋3)的图象与x 轴的交点坐标为(－3,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，所以不等式(2x －5)(x ＋3)<0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－3<x <52 6．不等式2x －12x ＋1<0的解集为________．解析：原不等式可以化为(2x －1)(2x ＋1)<0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －⎝ ⎛⎭⎪⎫－12<0， 故原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12. 答案：⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －12<x <12 7．用一根长为100 m 的绳子能围成一个面积大于600 m 2的矩形吗？若“能”，当长＝________ m ，宽＝________ m 时，所围成的矩形的面积最大．解析：设矩形一边的长为x m ，则另一边的长为(50－x )m,0<x <50.由题意，得x (50－x )>600，即x 2－50x ＋600<0，解得20<x <30.所以，当矩形一边的长在(20,30)的范围内取值时，能围成一个面积大于600 m 2的矩形．用S 表示矩形的面积，则S ＝x (50－x )＝－(x －25)2＋625(0<x <50)．当x ＝25时，S 取得最大值，此时50－x ＝25.即当矩形的长、宽都为25 m 时，所围成的矩形的面积最大．答案：25 25三、解答题8．解下列不等式：(1)x 2＋2x －15>0；(2)x 2－3x ＋5>0；(3)4(2x 2－2x ＋1)>x (4－x )．解析：(1)x 2＋2x －15>0⇔(x ＋5)(x －3)>0⇔x <－5或x >3，所以不等式的解集是{x |x <－5或x >3}．(2)因为Δ＝(－3)2－4×1×5＝－11<0，再根据函数y ＝x 2－3x ＋5图象的开口方向，所以原不等式的解集为R .(3)由原不等式得8x 2－8x ＋4>4x －x 2.∴原不等式等价于9x 2－12x ＋4>0.解方程9x 2－12x ＋4＝0，得x 1＝x 2＝23. 结合二次函数y ＝9x 2－12x ＋4的图象知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ≠23. 9．若关于x 的一元二次不等式ax2＋bx ＋c <0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x <13或x >12，求关于x 的不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，13＋12＝－b a ，13×12＝c a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a <0，b ＝－56a >0，c ＝16a <0， 代入不等式cx 2－bx ＋a >0中得16ax 2＋56ax ＋a >0(a <0)． 即16x 2＋56x ＋1<0，化简得x 2＋5x ＋6<0， 所以所求不等式的解集为{x |－3<x <－2}． [尖子生题库] 10．解关于x 的不等式x 2－ax －2a 2<0.解析：方程x 2－ax －2a 2＝0的判断式Δ＝a 2＋8a 2＝9a 2≥0，得方程两根x 1＝2a ，x 2＝－a .(1)若a >0，则－a <x <2a ，此时不等式的解集为{x |－a <x <2a }；(2)若a <0，则2a <x <－a ，此时不等式的解集为{x |2a <x <－a }；(3)若a ＝0，则原不等式即为x 2<0，此时解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为：当a >0时，{x |－a <x <2a }；当a <0时，{x |2a <x <－a }；当a ＝0时，∅.。

高中数学人教A版（2019）必修第一册 第二章 二次函 数与一 元二次 方程、 不等式 课件
3．已知全集 U＝{x|x2＞1}，集合 A＝{x|x2－4x＋3＜0}，则∁UA＝ ( )
A．{x|1＜x＜3}
B.{x|x＜1 或 x≥3}
C．{x|x＜－1 或 x≥3}
D.{x|x＜－1 或 x＞3}
2．[含参的一元二次不等式的解法]解关于 x 的不等式－x2＋ax＋(a＋1)
＞0(a∈R )． 解：原不等式可化为 x2－ax－(a＋1)＜0， 即[x－(a＋1)](x＋1)＜0. 当 a＋1＝－1，即 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； 当 a＋1＜－1，即 a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； 当 a＋1＞－1，即 a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}． 综上所述：当 a＝－2 时，原不等式的解集为∅； a＜－2 时，原不等式的解集为{x|a＋1＜x＜－1}； a＞－2 时，原不等式的解集为{x|－1＜x＜a＋1}．
高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件 高中数学人教A版（ 必2修01第9）一必册修二第次一函册 数 第 与二 一章 元 二次函 方 数 程与 、一 不 元 等二 式次 优 方 秀程pp、t 课不件等式 课件
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