频率特性稳定性分析

在复平面的虚轴上 当ω很小时，半圆弧的 在复平面的虚轴上，当 很小时 半圆弧的 数学方程式rej,r0时，从0变到/2。
G ( j ) H ( j )
s lim re j r 0
K
(T s 1)
j
m
s

j 1 n
( s 1)
i i 1
s lim re j r 0
二 乃奎斯特稳定判据 二、乃奎斯特稳定判据 设系统的特征方程
F ( s) 1 G ( s) H ( s) 0
( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) G ( s ) H ( s ) K1 ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
G ( s) H (s) F ( s) 1
映射曲线围绕原点的情况相当于G（S）H（S） 的封闭曲线围绕（-1 1，0）的运动情况。
绘制映射曲线的方法 （1）令S=jω带入G（S）H（S），得到开环频率特性。 （2）画出对应于大半圆对应的部分 实际物理系统 n>m时 n=m时 n>=m G（S）H（S）趋于零 G（S）H（S）为常数
( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) F ( s ) 1 K1 ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) K1 ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn ) ( s s1 )( s s2 ) ( s sn ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
则对应与S平面下除了有限的奇点之外的任意一点， F（S）为解析函数，即为单值、连续的函数。 ）为解析函数 即为单值 连续的函数
jS平面s1 NhomakorabeajV
F（S） 平面
F ( s3 )
o s3
s2

o F ( s1 )
F ( s2 )
U
曲线的形状：由F（S）的特性决定，无需关心 ）的特性决定 无需关心 曲线的运动方向：可能是顺时钟，也可能是逆时钟 曲线包围原点的情况：包围的次数，关心！！！
F（S）的零点是闭环系统的极点，极点则是开环极点 ）的零点是闭环系统的极点 极点则是开环极点 系统稳定的充要条件： 特征方程的根都在S平面的左半平面，右面无极点 F（S）的零点都在S平面的左半平面，右面无零点
j
F (s) 1 G(s) H (s) 0
jV
o
Re j R R
F（S） 平面
频率特性稳定性分析
邹斌
单 位：上海大学 机电工程与自动化学院 地 址：上海市延长路149号 电子邮件: zoubin@ 电 话：13122601880
一、映射定理 映射定理 设复变函数为
K1 ( s z1 )( s z 2 ) ( s z m ) F ( s) ( s p1 )( s p2 ) ( s pn )
的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。
三、虚轴上有开环极点时的乃奎斯特判据 虚轴上含有开环极点的情况
不可直接应用映射定理！！！ 映射定理要求乃奎斯特回线不能经过F 映射定理要求乃奎斯特回线不能经过 F（S）的奇点。 用半径ε→ 0的半圆在虚轴上极点的右侧绕过这 些极点 即将这些极点划到左半s平面。 些极点，即将这些极点划到左半 平面

GH(jw)
o
U
1 GH(j ) 1+GH(jw)
根据映射定理 S沿乃氏回线顺时钟移动 根据映射定理， 沿乃氏回线顺时钟移动一周时 周时，在 在 F（S）平面上的映射曲线将按逆时钟围绕坐标原点N=P-Z周。 系统是稳定的，Z=0，N=P 稳定性判据： 如果在S平面上，S沿乃奎斯特回线顺时钟移动一周时， 在F（S）平面上的映射曲线围绕坐标原点按逆时钟旋转 N=P周，则系统是稳定的。
K j j lim e e r 0 r
当S沿着小半圆运动时，映射曲线为无穷大的圆按顺时钟 方向从

2
经过 过0变化到

2
例：绘制开环传递函数
(4 s 1) G ( s) H ( s) 2 s ( s 1)(2 s 1)
的乃奎斯特图并判定系统的稳定性。
五、根据伯德图判定系统的稳定性
原点为圆心的单位圆 0 分贝线。 单位圆以外L(ω)>0的部分； 的部分 单位圆内部L(ω)<0的部分。 负实轴－180°线。 线。 Nyquist曲线的辅助线 (0+) +v 90°线 相连 起始点 (0+) (v 为开环积分环节的数目 为开环积分环节的数目) )
乃奎斯特稳定性判据： 乃奎斯特稳定性判据 控制系统稳定的充要条件是，当ω从负无穷变化到正无穷 大时 系统的开环频率特性G(jω)H(jω)按逆时钟方向包围 大时，系统的开环频率特性 (-1，j0)点P周，P为位于S平面右半部的开环极点数。
例：绘制开环传递函数
K G ( s) H ( s) ( 1s 1)( 2 s 1)
S平面
F ( s ) ( s z j ) ( s pi ) i 1 j j 1 jV z1 F (s)
m
n
F（S） 平面
p1 p2 p3 o z2

o
U
映射定理
设S平面上的封闭曲线包围了复变函数F（S） 的P个极点和Z个零点，并且此曲线不经过 个零点 并且此曲线不经过F（S） 的任一零点和极点，当复变量S沿封闭曲线顺时钟 方向移动 周时 在F（S）平面上的影射曲线包 方向移动一周时，在 围坐标原点P-Z周。
(-1, j0)点以左实轴的穿越点 L(ω)>0范围内的与－180°线的 穿越点。
正穿越对应于对数相频特 曲线当ω增大时从下向上穿越－ 增大时从下向上穿越 180°线(相角滞后减小 )； 负穿越对应于对数相频特性曲线当ω增大时， 从上向下穿越－180°线( 从上向下穿越 线( 相角滞后增大)。 相角滞后增大)