下载文档原格式
机械控制工程之频率特性分析介绍机械控制工程中的频率特性分析是一种重要的分析方法，用于研究机械系统的动态响应和导致系统稳定性的因素。
频率特性分析可以帮助工程师了解机械系统的频率响应特性，从而进行系统设计、调节和优化。
频率特性分析通常通过传递函数来描述机械系统的响应特性。
传递函数是一个复数函数，它描述了输入信号与输出信号之间的关系。
在频率特性分析中，我们主要关注系统的幅频特性和相频特性。
幅频特性分析幅频特性分析是研究机械系统振幅响应随频率变化的分析方法。
通过幅频特性分析，我们可以了解机械系统在不同频率下的振幅响应情况。
在幅频特性分析中，我们会绘制振幅频率响应曲线（Bode图）。
Bode图是一种以对数坐标绘制的图形，横坐标表示频率，纵坐标表示振幅，通常使用分贝（dB）作为单位。
Bode图可以同时展示系统的增益和相位信息。
根据系统的传递函数，我们可以计算出不同频率下的系统增益和相位，并在Bode图上绘制出相应的曲线。
通过分析和比较Bode图，我们可以判断系统的稳定性、共振频率以及衰减能力等重要的特性。
幅频特性分析可以帮助我们设计合适的控制系统来满足特定的性能要求。
例如，如果我们希望系统具有较好的稳定性，我们可以通过调整系统的增益来实现；如果系统存在共振频率，我们可以通过调整系统的参数来避免或抑制共振现象。
相频特性分析相频特性分析是研究机械系统相位差随频率变化的分析方法。
通过相频特性分析，我们可以了解机械系统在不同频率下的相位响应情况。
在相频特性分析中，我们同样会绘制相频响应曲线。
相频响应曲线展示了系统的相位角随频率变化的情况。
相位角是指输入信号和输出信号之间的相位差，通常使用角度表示。
通过分析相频响应曲线，我们可以获得系统的相移角信息。
相移角的变化直接影响系统的稳定性和频率响应。
在设计机械控制系统时，我们通常会根据目标性能来调整系统的相位差，以实现系统的稳定性和响应速度。
频率特性分析的应用频率特性分析在机械控制工程中具有广泛的应用。
第四章系统的频率特性分析第四章系统的频率特性分析时间响应分析：主要用于分析线性系统的过渡过程，以时间t为独立变量，通过阶跃或脉冲输入作用下系统的瞬态时间响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(s)频率特性分析：以频率ω为独立变量，通过分析不同的谐波输入时系统的稳态响应来研究系统的性能；依据的数学模型为G(jω)频域分析的基本思想：把系统输入看成由许多不同频率的正弦信号组成，输出就是系统对不同频率信号响应的总和。
4.1频率特性概述1.频率响应与频率特性（1）频率响应：线性定常系统对谐波输入的稳态响应。
（frequencyresponse）对稳定的线性定常系统输入一谐波信号xi(t)=Xisin?t稳态输出（频率响应）:xo(t)=Xo(?)sin[ωt+?(ω)]【例】设系统的传递函数为输入谐波信号xi(t)=Xisin?t 则稳态输出（频率响应）与输入信号的幅值成正比与输入同频率，相位不同进行laplace逆变换，整理得同频率?幅值比A(?)相位差?(?)ω的非线性函数(揭示了系统的频率响应特性)输入:xi(t)=Xisinωt稳态输出（频率响应）:xo(t)=XiA(?)sin[ωt+?(ω)]幅频特性：稳态输出与输入谐波的幅值比相频特性：稳态输出与输入谐波的相位差?(?)[s]A(?)?(?)（2）频率特性：对系统频率响应特性的描述(frequencycharacteristic)频率特性定义为ω的复变函数，幅值为A(?)，相位为?(?)。
输入谐波函数xi(t)=Xisin?t，其拉式变换为2.频率特性与传递函数的关系设系统的微分方程为:则系统的传递函数为:则由数学推导可得出系统的稳态响应为根据频率特性定义，幅频特性和相频特性分别为故G(j?)=?G(j?)?ej?G(j?)就是系统的频率特性如例1，系统的传递函数为所以3.频率特性的求法(1)频率响应→频率特性稳态输出（频率响应）故系统的频率特性为或表示为(2)传递函数→频率特性将传递函数G(s)中的s换成jω，得到频率特性G(jω)。
第四章 频率特性分析讲授内容4.1频率特性概述一、频率响应与频率特性线性定常系统对谐波输入的稳态响应称为频率响应。
一个稳定的线性定常系统，在谐波函数作用下，其输出的稳态分量（频率响应）也是一个谐波函数，而且其角频率与输入信号的角频率相同，但振幅和相位则一般不同于输入信号的振幅与相位，而随着角频率的改变而改变。
即，若系统的输入为t X t x i i ωsin )(=，则系统的稳态输出为)](sin[)()(0ωϕωω+=t X t x o 。
因此，往往将线性系统在谐波输入作用下的稳态输出称为系统的频率响应。
根据频率响应的概念，可以定义系统的幅频特性和相频特性。
幅频特性：输出信号与输入信号的幅值比称为系统的幅频特性，记为)(ωA 。
它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其幅值的衰减或增大特性。
显然io X X A )()(ωω=。
相频特性：输出信号与输入信号的相位差（或称相移）称为系统的相频特性，记为)(ωϕ。
它描述了在稳态情况下，当系统输入不同频率的谐波信号时，其相位产生的超前[0)(>ωϕ]或滞后[0)(<ωϕ]的特性。
通常将幅频特性)(ωA 和相频特性)(ωϕ统称为频率特性。
根据频率特性和频率响应的概念，还可以求出系统的谐波输入t X t x i i ωsin )(=作用下的稳态响应为)](sin[)()(ωϕωω+=t A X t x i o 。
二、频率特性的求法1．利用频率特性的定义来求取设系统或元件的传递函数)(s G 输入为谐波输入t X t x i i ωsin )(=则系统的输出为])([)(221ωω+=−s X s G L t x i o 系统的稳态输出为)](sin[)()(lim t t X t x x o o t oss ϕωω+==∞→根据频率特性的定义即可求出其幅频特性和相频特性。
2．在传递函数中令)(s G ωj s =来求取系统频率特性为ωωj s s G j G ==)()(。
其中，幅频特性为)(ωj G ；相频特性为)(ωj G ∠。
3．用实验方法求取根据频率特性的定义，首先，改变输入谐波信号的频率t j i e X ωω，并测出与此相应的稳态输出的幅值)(ωo X 与相移)(ωϕ。
然后，作出幅值比i o X X /)(ω对频率ω的函数曲线，此即幅频特性曲线；作出相移)(ωϕ对频率ω的函数曲线，此即相频特性曲线。
最后，对以上曲线进行辨识即可得到系统的频率特性。
三、频率特性的表示方法1．代数表示法：)](exp[)()(ωωωj G j j G j G ∠⋅=)()()](Im[)](Re[)(ωωωωωjv u j G j j G j G +=+=其中，)(ωj G 称为幅频特性；)(ωj G ∠称为相频特性；)(ωu 称为实频特性；)(ωv 称为虚频特性。
2．图示法：频率特性常用的几何表示方法有图、图等。
Nyquist Bode 四、频率特性的特点与作用1．频率特性实质上是系统的单位脉冲响应函数的F o u r i e r 变换。
即)]([)(t w F j G =ω。
2．频率特性分析通过分析不同的谐波输入时的稳态响应，揭示系统的动态特性。
3．频率特性分析主要针对系统的稳态响应而言，应用频率特性的概念可以非常容易求系统在谐波输入作用下系统的稳态响应。
另外，系统频率特性在研究系统的结构与参数对系统性能的影响时，比较容易。
4．频率特性分析在实验建模和复杂系统分析方面的应用要比时域分析法更方便。
4.2频率特性的图示法一、频率特性的极坐标图（图）Nyquist 在复平面[)(ωj G ]上表示)(ωj G 的幅值)(ωj G 和相角)(ωj G ∠随频率ω的改变而变化的关系图，这种图形称为频率特性的极坐标图，又称为图。
图中矢量Nyquist )(ωj G 的长度为其幅值)(ωj G ，与正实轴的夹角为其复角)(ωj G ∠，当频率ω从零变化到无穷大时，矢量)(ωj G 在复平面上移动所描绘出的矢端轨迹就是系统频率特性的图。
Nyquist 一）、绘制频率特性图的步骤Nyquist 1．在系统传递函数中令ωj s =，写出系统频率特性)(ωj G 。
2．写出系统的幅频特性)(ωj G 、相频特性)(ωj G ∠、实频特性)(ωu 、虚频特性)(ωv 。
3．令0=ω，求出0=ω时的)(ωj G 、)(ωj G ∠、)(ωu 、)(ωv 。
4．若频率特性矢端轨迹与实轴、虚轴存在交点，求出这些交点。
令0)(=ωu ，求出ω，然后代入)(ωv 的表达式即求得矢端轨迹与虚轴的交点；令0)(=ωv ，求出ω，然后代入)(ωu 的表达式即求得矢端轨迹与实轴的交点。
5．对于二阶振荡环节（或二阶系统）还要求n ωω=时的)(ωj G 、)(ωj G ∠、)(ωu 、)(ωv 。
若此环节（或系统）的阻尼比707.00<<ξ，则还要计算谐振频率r ω、谐振峰值及r M r ωω=时的)(ωu 、)(ωv 。
其中，谐振频率r ω、谐振峰值可由下式得到：r M 221ξωω−=n r ；)(1212r r j G M ωξξ=−=6．在∞<<ω0的范围内再取若干点分别求)(ωj G 、)(ωj G ∠、)(ωu 、)(ωv 。
7．令∞=ω，求出∞=ω时的)(ωj G 、)(ωj G ∠、)(ωu 、)(ωv 。
8．在复平面)]([ωj G 中，标明实轴、原点、虚轴和复平面名称)]([ωj G 。
在此坐标系中，分别描出以上所求各点，并按ω增大的方向将上述各点联成一条曲线，在该曲线旁标出ω增大的方向。
二）、典型环节频率特性的图Nyquist 典型环节频率特性的图如表 4.2.1所示。
Nyquist 三）、图的一般形状Nyquist 设系统的频率特性为：)1()1)(1()()1()1)(1()(2121++++++=−ωωωωωτωτωτωv n v m jT jT jT j j j j K j G L L )(m n ≥则系统频率特性图具有以下规律：Nyquist 1．当0=ω时：对型系统，。
v )90()(o v j G −×=∠ω当时，0=v K j G =)(ω；当时，0>v ∞=)(ωj G 。
2．当∞=ω时，对型系统，v 0)(=ωj G ，。
)90()()(o m n j G −×−=∠ω3．当包含振荡环节时，不改变上述结论。
)(s G 4．当包含导前环节时，由于相位非单调下降，Nyquist 曲线将发生弯曲。
)(s G 因此，从频率特性的图中，可以识别系统的型次及其传递函数分母与分子的最高阶次之差Nyquist m n −。
这对于辨别系统的类型很有益处。
但是，需要说明的是，若系统传递函数中，存在位于s 平面右半平面的极点或者传递函数前有负号，上述结论是不正确的。
表 4.2.1列出了一些常见的图。
NyquistNyquist表 4.2.1常见的图二、频率特性的对数坐标图频率特性的对数坐标图又称图，它由对数幅频特性图和对数相频特性图组成，分别表达系统幅频特性和相频特性。
其横坐标是以十为底的对数分度，纵坐标则为线性分度。
因此，读者在绘制和使用图时，要注意坐标轴对数分度的方法与线性分度方法的不同之处。
Bode Bode 对数幅频特性图的纵坐标表示幅频特性)(ωA 的对数的20倍，即)(lg 20)(ωωj G L =，单位为（分贝）；横坐标表示角频率dB ω，其单位为。
对数相频特性图的纵坐标表示相频特性s rad /)(ωϕ，即)()(ωωϕj G ∠=，单位为度；横坐标与对数幅频特性图的横坐标相同。
对数幅频特性图和对数相频特性图的横坐标与纵坐标分别如图 4.2.1所示。
图 4.2.1ω不可能在横坐标上由于横坐标采用了对数分度，因此，0=表示出来。
横坐标上表示的最低频率可由系统感兴趣的频率范围来确定。
采用图描述系统的频率特性有以下优点：Bode1．系统的对数幅频特性与对数相频特性是组成系统的各个典型环节的对数幅频特性与对数相频特性的叠加，因此，容易由典型环节的图生成系统的图。
Bode Bode2.可以用对数幅频特性的渐近线代替其精确曲线，简化作图。
3.可以在较大的频率范围内研究系统的频率特性。
4.可以根据研究的需要，对某一频段内系统的频率特性进行细化。
5.用图可以非常方便地对系统进行辨识。
Bode一） 、典型环节的图Bode典型环节的图如表 4.2.2所示。
Bode表 4.2.2典型环节的图Bode从表 4.2.2中可知，一阶惯性环节与一阶导前环节以及振荡环节与二阶微分环节的对数幅频特性曲线、对数相频特性曲线分别是关于ω轴对称的。
实质上，只要两个环节或系统的频率特性互为倒数，则它们的对数幅频特性曲线、对数相频特性曲线分别是关于ω对称的。
二） 、叠加法绘制系统频率特性图的步骤Bode 1．将系统的传递函数转化成由若干个典型环节传递函数相乘的形式；)(s G 2．由传递函数求出频率特性)(s G )(ωj G ；3．确定各典型环节的特征参数（如：比例系数、转折频率、无阻尼固有频率等）；4．作出各典型环节频率特性的图，即分别在对数幅频特性图和对数相频特性图中作出对数幅频特性的渐近线和对数相频特性曲线；Bode 5．如有必要，根据误差修正曲线对渐进线进行修正，得出各典型环节的对数幅频特性图；6．对各环节的对数幅频特性图和对数相频特性图进行叠加； 7．系统存在延时环节时，其对数幅频特性图不变，对数相频特性则应加上τω−。
三）、绘制系统频率特性图的顺序斜率法Bode 1．将系统的传递函数转化成由若干个典型环节传递函数相乘的形式；由传递函数求出频率特性)(s G )(s G )(ωj G ；)1)...(1)(1()()1)...(1)(1()(2121ωωωωωτωτωτωνn m jT jT jT j j j j K j G ++++++= )(m n ≥2．确定各典型环节的特征参数（如：比例系数K 、转折频率（包含无阻尼固有频率））；并将转折频率由低到高依次标在横坐标轴上；3．绘制对数幅频特性)G(j 20lg )(ωω=L 的低频段渐近线。
若系统为0型系统，低频段为一水平线，高度为20l g K ;若是I 型以上系统，则低频段（或其延长线）在ω=1处的幅值也为20l g K ，斜率为-20νd B /d e c ；4．按转折频率由低频到高频的顺序，在低频渐近线的基础上，每遇到一个转折频率，根据环节的性质改变渐近线斜率，绘制渐近线，直到绘出转折频率最高的环节为止。
斜率改变的原则是：如遇到惯性环节的转折频率则斜率增加-20d B /d e c ；如遇到一阶微分环节的转折频率则斜率增加+20d B /d e c ；如遇到振荡环节的转折频率则斜率增加-40d B /d e c ；如遇到二阶微分环节的转折频率则斜率增加+40d B /d e c ；如此，作到最后一段。
