现代控制工程-第4章线性系统动态性能分析

2、内部稳定性：指系统在零输入条件下通过其内部状态变化 所定义的内部稳定性。状态稳定。
外部稳定性只适用于线性系统，内部稳定性不但适用于线性系 统，而且也适用于非线性系统。对于同一个线性系统，只有在 满足一定的条件下两种定义才具有等价性。
不管哪一种稳定性，稳定性是系统本身的一种特性，只和系统 本身的结构和参数有关，与输入－输出无关。
V ( x)半负定
同时有
& V
(
x
)
-
2
x22
不可能恒为零。
由判据2可知，系统在原点处的平衡状态是渐近稳定的。
27
4.5 李雅普诺夫方法 在线性系统中的应用
28
一、线性定常连续系统的稳定性分析
目的：将李氏第二法定理来分析线性定常系统 x& Ax 的稳定性
讨论：V选&(x择) 二(x次T P型x)函 x&数T PVx +(xx)TPxx& TP(xAx为)T P李x +氏x函T PA数x。
如果d 与初始时刻 t0无关，则称平衡状态xe为一致渐近稳定。
渐近稳定几何表示法：
10
3、大范围渐近稳定
如果对状态空间的任意点，不管初始偏差有多大，都有渐
近稳定特性，即：lim x t
- xe
0
对所有点都成立，称平衡状态xe为大范围渐近稳定的。其
渐近稳定的最大范围是整个状态空间。
必要性：整个状态空间中，只有一个平衡状态。 （假设有2个平衡状态，则每个都有自己的稳定范 围，其稳定范围不可能是整个状态空间。）
（2） 求系统的特征方程：
det(lI
-
A)
l
- 1
求得： l1 2，l2 -3

有不同的形式，其阶跃响应的形式也不同。它的阶跃响应有振 荡和非振荡两种情况。
⒈ 当时 0 ，特征方程有一对共轭的虚根，称为零(无)阻尼
系统，系统的阶跃响应为持续的等幅振荡。
⒉ 当时 0 1 ，特征方程有一对实部为负的共轭复根，称
为欠阻尼系统，系统的阶跃响应为衰减的振荡过程。
⒊ 当 1 时，特征方程有一对相等的实根，称为临界阻尼系
开环传递函数为:
G(s)
s2
2 n
2 ns
闭环传递函数为:
(s)
G(s) 1 G(s)
s2
n2 2 ns
2 n
(s)称为典型二阶系统的传递函数， 称为阻尼系数，n 称为无阻 尼振荡圆频率或自然频率。
特征方程为：
s2
2
ns
2 n
0
特征根为：s1,2 n n 2 1 ，注意：当 不同时，（极点）
1 2 d
衰减振荡瞬态过程的性能指标
25
20
15
10
tp
5
tr
0 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
衰减振荡瞬态过程的性能指标
⒊ 最大超调量 d %：
将峰值时间 t p n
1 2
代入 c(t)得c(t p) cmax
cmax c(t p ) 1 entp (cosdt p
1 T2
)
式中
T1
n (
1
2
1)
T2
n (
1
2
1)
这里 T1 T2
，
2 n
1 T1T2
1
于是闭环传函为：
C(s)
T1T2
1

在2xx 1的范围内，系统是渐近稳定的。
4.4 线性定常系统的Lyapunov稳定性分析
考虑如下线性定常自治系统
x Ax
式中 x R。n , A R nn
假设A为非奇异矩阵，则有唯一的平衡状态 易通Lyapunov第二法进行研究。
(4.3)
，其平衡状x态e 的稳0定性很容
对于式(4.3)的系统，选取如下二次型Lyapunov函数，即
V (x) f T (x) f (x) 3x1 x2
x1
x2
x23
3x1 x2
x1
x2
x23
（ 3x1 x2）2 （x1 x2 x23）2 ,
则平衡状态xe 0是大范围渐近稳定的。
关于定理的几点说明：
（1）该定理对非线性系统的一个平衡状态只给出了稳定的充分条件，若
不是负定的，则不能给Fˆ出(x任) 何结论。
v(x) (V )T x
3）限定 v( x是)负定的或至少是负半定的，并用n(n-1)/2个旋度方程
Fi Fj x j xi
确定待定系数aij 。
(i, j 1, , n)
4）将得出的 v重( x新)校验负定性，因为旋度方程确定系数可能会使它改变。
5）由V 的线积分求出
，积v分( x路)径按式（4-44）给出。
6）确定在平衡点处的渐近稳定性范围。
注意：用这种方法不能构造出一个合适的李氏函数时，并不意味着平衡状态 是不稳定的。
例： 设非线性系统方程为
xx12
x1 x2
2x12
x2
利用变量梯度法构造李氏函数，并分析系统的稳定性。
解：（1）假定v (x)的梯度为
V
a11x1 a12 x2

第四章线性控制系统的稳定性2007-2-234.2.1SISO线性定常系统的稳定性4.2.1SISO线性定常系统的稳定性4.2.1SISO线性定常系统的稳定性4.2.1SISO线性定常系统的稳定性4.2.1SISO线性定常系统的稳定性李雅普诺夫（渐进）稳定性定义：若线性系统在初始扰动的影响下，其动态过程随时间的推移逐渐衰减并趋于零或原平衡工作点，则称系统渐进稳定，简称稳定。

反之，若初始扰动的影响下，系统的动态过程随时间的推移而发散，则称系统不稳定。

在古典控制理论中的稳定均指渐进稳定！4.2.1SISO线性定常系统的稳定性由稳定性定义可知：1）线性系统的稳定性取决于系统自身的固有特征（结构、参数），与系统的输入信号无关。

2）若处于平衡状态的线性定常系统在脉冲信号的作用下，系统的响应最终能够回到平衡状态，则该线性定常系统稳定。

4.2.1SISO线性定常系统的稳定性4.2.1SISO线性定常系统的稳定性推论2：若系统闭环传递函数的所有极点全部位于S左半平面，则系统稳定。

4.2.1SISO线性定常系统的稳定性4.2.1SISO线性定常系统的稳定性4.2.1SISO线性定常系统的稳定性临界稳定：当系统的极点有在虚轴上时，系统的输出将会出现等幅振荡的状态，称之为临界稳定状态。

稳定裕度的概念：用劳斯判据检验下列特征方程例4.2-4解：列劳斯表是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在的右方。

第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。

s1s-10jω北京科技大学自动化学院自动化系北京科技大学自动化学院自动化系第四章线性控制系统的稳定性4.1线性系统稳定性的基本概念4.2传递函数表示的系统稳定性判定4.3状态空间表示的系统稳定性判定4.4本章小结稳定是控制系统能够正常运行的首要条件?对系统进行各类品质指标的分析必须在系统稳定的前提下进行。

自动控制理论的基本任务(之一)?分析系统的稳定性问题?提出保证系统稳定的措施一、稳定性分析的重要性4.1线性系统稳定性的基本概念二、线性系统稳定性分析的理论框架第一方法第二方法稳定性分析1892年俄国数学家李雅普诺夫SISO的代数分析方法解析方法Routh判据Houwitz判据根据SISO闭环特征方程的系数判定系统的稳定性根据状态方程A阵判定系统的稳定性A.Lyapunov(1857-1918)，俄国数学家（Chebyshev的学生，Markov的同学），在他的博士论文中，Lyapunov系统地研究了由微分方程描述的一般运动的稳定性问题，建立了著名的Laypunov方法，他的工作为现代控制及非线性控制奠定科基础。