随机信号通过线性系统和非线性系统后的特性分析

填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。

1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。

3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。

4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。

5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。

6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。

1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。

信号的调制和解调
01
02
03
调制过程
在非线性系统中，输入信 号会受到调制，使得信号 的参数发生变化，如幅度、 频率或相位等。
解调过程
对调制后的信号进行解调， 恢复出原始的信号参数， 以便进一步处理或使用。
调频与调相
在非线性系统中，调制和 解调的方式可以是调频或 调相，具体取决于系统的 特性和应用需求。
音频处理中的非线性系统
音频压缩
音频压缩技术利用非线性系统来减小音频文件的大小，同时保持音频质量。压 缩算法通过非线性变换和量化过程来去除音频信号中的冗余信息。
音频特效
音频处理软件中的非线性系统用于创建各种音效和特效，如失真、混响、均衡 器和自动增益控制等。这些效果通过将音频信号通过非线性函数来实现。
应用实例
给出了随机信号通过非线性系统的应用实 例，如通信系统中的非线性失真、音频处 理中的压缩效应等。
非线性系统的发展趋势和未来展望
新技术与新方法
随着科学技术的不断发展，新的非线性系 统建模方法和分析技术将不断涌现，如深
度学习在非线性系统建模中的应用等。
跨学科融合
非线性系统理论与其他领域的交叉融合将 进一步加深，如与控制理论、人工智能等 领域的结合。
升级系统的硬件设备，提升性能表现。
系统集成优化
优化系统内部各模块之间的集成方式， 提高整体性能。
05
实际应用案例
通信系统中的非线性系统
数字信号处理
在通信系统中，数字信号经过非线性系统可能导致信号失真 ，如振幅压缩和频率偏移。这种失真可以通过数字信号处理 技术进行补偿和校正。
调制解调
在无线通信中，调制解调过程可能涉及非线性系统。例如，在 QAM（Quadrature Amplitude Modulation）调制中，信号 通过非线性调制器进行调制，然后通过非线性解调器进行解调。

实验一 随机噪声的产生与性能测试一、实验内容1．产生满足均匀分布、高斯分布、指数分布、瑞利分布的随机数,长度为N=1024，并计算这些数的均值、方差、自相关函数、概率密度函数、概率分布函数、功率谱密度，画出时域、频域特性曲线; 2．编程分别确定当五个均匀分布过程和5个指数分布分别叠加时,结果是否是高斯分布; 3．采用幅度为2, 频率为25Hz 的正弦信号为原信号,在其中加入均值为2 ， 方差为0.04 的高斯噪声得到混合随机信号()X t ，编程求 0()()tY t X d ττ=⎰的均值、相关函数、协方差函数和方差，并与计算结果进行比较分析。

二、实验步骤 1.程序N=1024； fs=1000； n=0:N —1;signal=chi2rnd （2，1，N); ％rand(1,N)均匀分布 ,randn(1,N ）高斯分布，exprnd(2,1，N ）指数分布,raylrnd （2，1,N)瑞利分布，chi2rnd(2，1，N ）卡方分布 signal_mean=mean(signal ）； signal_var=var （signal ）；signal_corr=xcorr(signal,signal ，'unbiased ’)； signal_density=unifpdf(signal ，0，1); signal_power=fft(signal_corr); ％[s,w]=periodogram （signal); [k1,n1］=ksdensity(signal)；[k2,n2］=ksdensity （signal,’function ’，'cdf ’）; figure ；hist(signal)；title （’频数直方图’）; figure ；plot （signal)；title(’均匀分布随机信号曲线’）; f=n ＊fs/N ； ％频率序列 figure;plot(abs （signal_power)）; title('功率幅频’); figure;plot(angle （signal_power)）； title （'功率相频'); figure;plot （1:2047,signal_corr)； title （'自相关函数’）; figure;plot(n1，k1）；title('概率密度’）；figure；plot(n2,k2);title（'分布函数’)；结果（1）均匀分布(2）高斯分布（3）指数分布（4)瑞利分布（5）卡方分布2.程序N=1024；signal_1=rand(1,N);signal_2=rand(1，N）；signal_3=rand(1,N);signal_4=rand（1，N）;signal_5=rand(1,N)；signal=signal_1+signal_2+signal_3+signal_4+signal_5; [k1,n1］=ksdensity(signal）；figure(1）subplot(1，2，1）;hist(signal);title（'叠加均匀分布随机数直方图');subplot(1,2，2);plot（n1,k1）；title(’叠加均匀分布的概率密度'）；结果指数分布叠加均匀分布叠加结果：五个均匀分布过程和五个指数分布分别叠加时，结果是高斯分布。

现代通信原理
随机过程通过线性系统
通信的目的在于传输信号，信号和系统总是联系在一起的。 通信系统中的信号或噪声一般都是随机的，因此在以后的讨论 中我们必然会遇到这样的问题：随机过程通过系统（或网络） 后，输出过程将是什么样的过程？
这里，我们只考虑平稳过程通过线性时不变系统的情况。 随机信号通过线性系统的分析，完全是建立在确知信号通过线 性系统的分析原理的基础之上的。我们知道，线性系统的响应 vo(t)等于输入信号vi(t)与系统的单位冲激响应h(t)的卷积，即
度，然后讨论输出过程的概率分布问题。
1. 输出过程ξo(t)的数学期望
E［ξo(t)］= e[h( ) ξi(t-τ)dτ ]
＝
h(
0
)E[1[i
(t
)]d
a
h( )d
0
式中利用了平稳性假设E［ξi(t-τ)］=E［ξi(t)］=a(常数)。 又因为
H(W)=
h(t)e
jwtd
t
0
求得
H(0)= h(t)dt
可见, ξo(t)的自相关函数只依赖时间间隔τ而与时间起点t1 无关。
若线性系统的输入过程是平稳的，那么输出过程也是平 稳的。
3. 输出过程ξo(t)的功率谱密度
对式（2.4 - 7）进行傅里叶变换, 有
p0(w)
R0
(
)e
jw
d
0
[h(a)h(
0
)Ri (
)dad ]e jwrd
噪声平均功率。理想低通的传输特性为
H(ω)=
K0e-jwt 0
w wH
其他
解 由上式得|H(ω)|2=
K02
，|ω|≤ωH。输出功率谱密度为

在实际中，还存在非线性系统的传输特性在 , 上不绝 对可积，且当 x 0 时 g x 不为零的情况。这时，式 (6.3.4)就不能用了。因为该式是在傅里叶积分的下限限 制为零的前提下引入了衰减因子 e x ( 0 )后得出的， 否则，在 x 0 的范围内 e x变成增长因子，不但不起收 敛作用，反而使积分更快地发散。这种情况下，我们可定 义半波传输特性为 g ( x) x 0 g ( x) (6.3.13) x0 0
BY (t1, t2 )

式中， f X 2 ( x1, x2 ; t1, t2 )
(6.2.5) 为输入随机信号的二维概率密度函数。


g ( x1 )g ( x2 ) f X 2 ( x1, x2 ; t1, t2 )dx1x2
6.2 直接分析法
平方律检波器输出端 功率谱密度的一般公式
随机信号处理教程
——献给进入信息领域学习的你！
随机信号处理教程
第1章 概率论基础 第2章 随机过程 第3章 随机过程的功率谱密度 第4章 随机信号通过线性系统 第5章 窄带系统和窄带随机信号 第6章 随机信号通过非线性系统 第7章 马尔可夫过程
第六章 随机信号通过非线性系统
1 2 引言 直接分析法 特征函数法 级数展开法
ai a j E X i (t ) X j (t )
i 0 j 0



ai E X i (t )
i 0



均值 均方值 自相关函数
6.1 引言
6.2 直接分析法
所谓直接分析法，就是运用概率论中有关随机变量函数变 换的分析方法及各种结果来分析随机信号通过非线性系统 的问题。这种方法的特点是简单、直观。 如果已知输入随机信号 X (t )的概率密度函数，则根据非线 性系统的传输特性 y g ( x) ，采用第一章求解随机变量函数 的概率分布的方法，确定输出随机信号Y (t ) 的概率密度函 数。

输出相关函数
Ry
R y b2 E x(t1)2 x(t2 )2 b2{E{x(t1)2}E{x(t2 )2} 2E 2{x(t1)x(t2 )}}
b2
4 x
2b2 Rx2
输出功率谱密度
Sy () 2b2 x4 () 2b2
R 2
x
e jd
信号和噪声同时作用于平方律检波器
x0 x0
y
x
x x
x0 x0
y (x
x)
2
x 0
x0 x0
2021/7/17
无惰性非线性系统输出概率密度的计算
1.1 非线性系统
非线性系统
无惰性 (无记忆)
有惰性 (有记忆)
x (t )
y (t )
g ()
在某一给定时刻，非线性系统的输出y(t)只取决于 同一时刻的输入x(t),而与x(t)的过去或未来值无关。惰 性非线性系统可以看成无惰性的和线性系统的级联。
(3) 根据反函数求雅可比因子；
单值 J dx dy
多值 Ji dxi dy i 1, 2, , n
xi 表示t时刻一个y值对应n个x值中的第i个值
(4) 写出非线性系统输出的一维概率密度。
fY
(
y;
t)
dx dy
n
i 1
fX
dxi dy
( x; t ) f X (xi
;
t
)
单值 多值
随机信号通过非线性系统的分析
2021/7/17
1
内容安排
1
无惰性非线性系统输出概率密度的计算
2
非线性系统输出统计特性的各种计算方法
2 2021/7/17
1.1 非线性系统

03
研究和发展适用于非线性系统的优化算法和设计方法，以提 高系统的性能和稳定性。
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非线性系统是指系统的输出与输 入不成正比关系的系统，即输出 与输入之间的关系不是线性的。
非线性系统的输出可能随着输入 的增加或减少而发生不规则的变 化，或者在不同的输入条件下表
现出不同的输出。
非线性系统的行为不能用简单的 数学模型描述，通常需要使用非 线性方程或非线性函数来描述。
非线性系统的分类
硬非线性
STEP 01
探索自适应信号处理算法在 非线性系统中的应用，以提 高信号的传输质量和效率。
研究和发展更高效的信号处理 算法，以更好地处理非线性系 统中的信号失真和噪声。
探索非线性系统的应用潜力与限制
01
探索非线性系统在通信、雷达、声呐和振动控制等领域的应 用潜力。
02
研究非线性系统在实际应用中的限制和挑战，如系统建模误 差、噪声和非线性失真等。
常见的非线性失真有谐波失真、 互调失真和波形失真等。
非线性失真表现为信号的幅度、 频率和相位发生变化，这些变化 与输入信号的幅度和频率有关。
非线性失真会导致信号的失真和 信息丢失，影响通信和信号处理 系统的性能。
频率特性变化
1
频率特性是指系统对不同 频率信号的响应特性。
4
频率特性变化会影响信号 的传输质量和特征提取， 需要进行补偿和校正。
在地震学中，研究随机信号通过 非线性地层的传播特性，有助于 提高地震勘探的精度和分辨率。
Part
02
随机信号的基本特性
随机信号的定义
随机信号是指其取值在任 何时刻都是随机的，即具 有不确定性。
随机信号可以是连续的或离 散的时间序列，其取值可以 是标量、向量或矩阵。

实验三 随机过程通过线性系统的分析实验目的1. 理解和分析白噪声通过线性系统后输出的特性。

2. 学习和掌握随机过程通过线性系统后的特性，验证随机过程的正态化问题。

实验原理1.白噪声通过线性系统设连续线性系统的传递函数为)(ωH 或)(s H ，输入白噪声的功率谱密度为2)(0N S X =ω，那么系统输出的功率谱密度为2)()(02N H S Y ⋅=ωω （3.1） 输出自相关函数为⎰∞∞-=ωωπτωτd e H N R j Y 20)(4)( （3.2）输出相关系数为)0()()(Y Y Y R R ττγ=（3.3） 输出相关时间为⎰∞=00)(ττγτd Y （3.4）输出平均功率为[]⎰∞=202)(2)(ωωπd H N t Y E （3.5）上述式子表明，若输入端是具有均匀谱的白噪声，则输出端随机信号的功率谱主要由系统的幅频特性)(ωH 决定，不再是常数。

2.等效噪声带宽在实际中，常常用一个理想系统等效代替实际系统的)(ωH ，因此引入了等效噪声带宽的概念，他被定义为理想系统的带宽。

等效的原则是，理想系统与实际系统在同一白噪声的激励下，两个系统的输出平均功率相等，理想系统的增益等于实际系统的最大增益。

实际系统的等效噪声带宽为⎰∞=∆022max)()(1ωωωωd H H e （3.6）或⎰∞∞--=∆j j e ds s H s H H j )()()(212maxωω （3.7）3.线性系统输出端随机过程的概率分布 （1）正态随机过程通过线性系统若线性系统输入为正态过程，则该系统输出仍为正态过程。

（2）随机过程的正态化随机过程的正态化指的是，非正态随机过程通过线性系统后变换为正态过程。

任意分布的白噪声通过线性系统后输出是服从正态分布的；宽带噪声通过窄带系统，输出近似服从正态分布。

实验内容设白噪声通过图3.1所示的RC 电路，分析输出的统计特性。

图3.1 RC 电路（1）试推导系统输出的功率谱密度、相关函数、相关时间和系统的等效噪声带宽。

了解随机信号的应用领域
详细描述
这道题目考察了学生对随机信号应用领域 的了解，包括通信、雷达、声呐、图像处 理等领域的应用。
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随机信号分析基础 第五章习题王永德 答案
目录
• 习题一答案 • 习题二答案 • 习题三答案 • 习题四答案
01
CATALOGUE
习题一答案
题目一答案
总结词：周期性
详细描述：题目一考察了周期性随机信号的特点，包括周期信号的波形、频谱和 功率谱等。通过分析，可以理解周期信号的规律性和稳定性，以及在通信、雷达 、声呐等领域的应用。
掌握随机信号的模拟生成方 法
详细描述
这道题目要求学生掌握随机 信号的模拟生成方法，包括 基于概率密度函数的生成方 法和基于概率质量函数的生
成方法。
总结词
理解随机信号的数字生成方法
详细描述
这道题目考察了学生对随机信号数字生成 方法的理解，包括基于离散概率分布的生 成方法和基于连续概率分布的生成方法。
总结词
04
详细描述
这道题目要求学生掌握随机信号的表 示方法，包括概率密度函数、概率质 量函数、特征函数等。
06
详细描述
这道题目考察了学生对随机信号线性变换的理 解，包括线性变换的基本原理和计算方法。
题目二答案
总结词
掌握随机信号的谱分析方法
详细描述
这道题目要求学生掌握随机信号的谱分析方法，包括谱 估计的基本原理和计算方法，以及谱估计的评价指标。
详细描述
这道题目要求学生掌握随机信号的模拟生成方法，包括基于 概率分布的随机抽样和基于确定性函数的随机调制。学生需 要理解这些方法的原理，掌握其实现过程，并能够根据实际 需求选择合适的方法生成随机信号。

北京理工大学随机信号分析实验报告本科实验报告实验名称：随机信号分析实验实验一随机序列的产生及数字特征估计一、实验目的1、学习和掌握随机数的产生方法。

2、实现随机序列的数字特征估计。

二、实验原理1、随机数的产生随机数指的是各种不同分布随机变量的抽样序列（样本值序列）。

进行随机信号仿真分析时，需要模拟产生各种分布的随机数。

在计算机仿真时，通常利用数学方法产生随机数，这种随机数称为伪随机数。

伪随机数是按照一定的计算公式产生的，这个公式称为随机数发生器。

伪随机数本质上不是随机的，而且存在周期性，但是如果计算公式选择适当，所产生的数据看似随机的，与真正的随机数具有相近的统计特性，可以作为随机数使用。

(0，1)均匀分布随机数是最最基本、最简单的随机数。

(0，1)均匀分布指的是在[0，1]区间上的均匀分布，即 U(0，1)。

实际应用中有许多现成的随机数发生器可以用于产生(0，1)均匀分布随机数，通常采用的方法为线性同余法，公式如下：)(m od ,110N ky y y n n -=Ny x n n /=序列{}nx 为产生的(0，1)均匀分布随机数。

下面给出了上式的3组常用参数： 1、10N 10,k 7==，周期7510≈⨯；2、（IBM 随机数发生器）3116N 2,k 23,==+周期8510≈⨯；3、（ran0）315N 21,k 7,=-=周期9210≈⨯；由均匀分布随机数，可以利用反函数构造出任意分布的随机数。

定理 1.1 若随机变量 X 具有连续分布函数F X (x)，而R 为(0,1)均匀分布随机变量，则有)(1R F X x -=由这一定理可知，分布函数为F X (x)的随机数可以由(0,1)均匀分布随机数按上式进行变换得到。

2、MATLAB 中产生随机序列的函数（1）(0，1)均匀分布的随机序列函数：rand用法：x = rand(m,n)功能：产生m×n 的均匀分布随机数矩阵。

填空：1.假设连续随机变量的概率分布函数为F（x）则F（-∞）=0, F（+∞）=12.随机过程可以看成是样本函数的集合，也可以看成是随机变量的集合3.如果随机过程X(t)满足任意维概率密度不随时间起点的变化而变化,则称X(t)为严平稳随机过程，如果随机过程X(t)满足均值为常数，自相关函数只与时间差相关则称X(t)为广义平稳随机过程4.如果一零均值随机过程的功率谱，在整个频率轴上为一常数，则称该随机过程为白噪声,该过程的任意两个不同时刻的状态是不相关5. 宽带随机过程通过窄带线性系统，其输出近似服从正态分布,窄带正态噪声的包络服从瑞利分布,而相位服从均匀分布6.分析平稳随机信号通过线性系统的两种常用的方法是冲激响应法，频谱法7.若实平稳随机过程相关函数为Rx（τ）=25+4/（1+6τ），则其均值为5或-5,方差为4 7.匹配滤波器是输出信噪比最大作为准则的最佳线性滤波器。

1.广义各态历经过称的信号一定是广义平稳随机信号，反之，广义平稳的随机信号不一定是广义各态历经的随机信号2.具有高斯分布的噪声称为高斯噪声,具有均匀分布的噪声叫均匀噪声,而如果一个随机过程的概率谱密度是常数，则称它为白噪声3.白噪声通过都是带宽的线性系统，输出过程为高斯过程4.平稳高斯过程与确定的信号之和是高斯过程，确定的信号可以认为是该过程的数学期望5.平稳正态随机过程的任意概率密度只由均值和协方差阵确定1.白噪声是指功率谱密度在整个频域内均匀分布的噪声。

3.对于严格平稳的随机过程，它的均值与方差是与时间无关的函数，即自相关函数与时间间隔有关，与时间起点无关。

4.冲激响应满足分析线性输出，其均值为_____________________。

5.偶函数的希尔伯特变换是奇函数。

6.窄带随机过程的互相关函数公式为P138。

1.按照时间和状态是连续还是离散的，随机过程可分为四类，这四类是连续时间随机过程，离散型随机过程、随机序列、离散随机序列。

离散和连续时间系统 双侧系统和单侧系统
4.1 线性系统的基本理论
若对于任意常数a和b、输入信号x1(t)和x2(t)，有
L[ax1(t) bx2 (t)] aL[x1(t)] bL[x2 (t)] 则称系统为线性系统。 若输入信号x(t)时移c段时间，输出y(t)也只引起一 个相同的时移，即
n
h(n) 1
2 j
l H (z)zn1dz
式中l表示包含 H (z)zn1 所有极点的单位圆。
4.1 线性系统的基本理论
如果系统的单位冲激响应满足 h(n) 0 当n 0时
那么该系统称为因果系统。所以实际运行的物理可实现 系统都是因果的。于是对于物理可实现的系统来说

1. 若输入X(t)是宽平稳的，则系统输出Y(t)也是宽平稳 的，且输入与输出联合宽平稳。

mY (t) mX 0 h( )d


RXY (t1,t2 ) 0 h(u)RX (t2 t1 u)du 0 h(u)RX ( u)du RXY ( )

RY (t1,t2 ) 0 0 h(u)h(v)RX (t2 t1 v u)dudv
重点及其要求：
（1）掌握以下五条性质： 1.双侧宽或严平稳随机 信号通过线性系统后的输出仍是宽或严平稳的，且 输入与输出联合宽平稳；2.双侧宽遍历随机信号通 过线性系统后的输出仍是宽遍历的；3.高斯随机信 号通过线性系统后的输出仍然是高斯随机信号；4. 若线性系统的输入随机信号的带宽远大于系统的带 宽，则无论输入信号具有何种概率密度函数，系统 输出的概率密度函数皆近似于高斯分布；5.线性系 统输出的随机信号的相关时间与系统的带宽成反比。
2. 输出的均值 输出的均值。

• 3.2.1 时域分析法
• • • • • 1、输出表达式（零状态响应，因果系统） 2、输出的均值 3、系统输入与输出之间的互相关函数 4、系统输出的自相关函数 5、系统输出的高阶距
x (t ) ► 输入为随机信号X(t)的某个实验结果的一个样本函数，则输 出为：
y (t )

h ( ) x ( t ) d
2012-6-30 3
3.1 线性系统的基本理论
系统可分为： （1）线性系统：线性放大器、线性滤波器 （2）非线性系统：限幅器、平方律检波器 对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以求出系统输 出信号的统计特性
2012-6-30
4
• 下面的分析线性系统是单输入单输出（响应）的、连续或离散时不变 的、物理可实现的稳定系统。
证明：已知系统输入随机信号的自相关函数，可以求出系统 输出端的自相关函数
R Y ( t1 , t 2 ) E [ Y ( t1 ) Y ( t 2 )] h ( t1 ) h ( t 2 ) R X ( t1 , t 2 )
R Y ( t1 , t 2 ) E [Y ( t1 )Y ( t 2 )]
R Y X ( t1 , t 2 ) R X ( t1 , t 2 ) * h ( t1 )
2012-6-30 17
3.2 随机信号通过连续时间系统的分析
证明：由于系统的输出是系统输入的作用结果，因此，系统 输入输出之间是相关的，系统输入输出相关函数为
R X Y ( t1 , t 2 ) R X ( t 1 , t 2 ) * h ( t 2 )
时不变线性系统
若输入信号x(t)时移时间C, 输出y(t)也只引起一个相同 的时移，即 y(t-C) = L[x(t-C)]

概率论基础1.概率空间、概率（条件概率、全概率公式、贝叶斯公式）2．随机变量的定义（一维、二维实随机变量）3.随机变量的描述：⑴统计特性一维、二维概率密度函数、一维二维概率分布函数、边缘分布概率分布函数、概率密度函数的关系⑵数字特征一维数字特征：期望、方差、均方值（定义、物理含义、期望和方差的性质、三者之间的关系）二维数字特征：相关值、协方差、相关系数（定义、相互关系）⑶互不相关、统计独立、正交的定义及其相互关系△雅柯比变换（随机变量函数的变换一维随机变量函数的单值和双值变换、二维随机变量函数的单值变换）5、高斯随机变量一维和二维概率密度函数表达式高斯随机变量的性质△随机变量的特征函数及基本性质、随机信号的时域分析1、随机信号的定义从三个方面来理解①随机过程(),X t ζ是,t ζ两个变量的函数②(),X t ζ是随时间t 变化的随机变量③(),X t ζ可看成无穷多维随机矢量在0,t n ∆→→∞的推广2、什么是随机过程的样本函数？什么是过程的状态？随机过程与随机变量、样本函数之间的关系？3、随机信号的统计特性分析：概率密度函数和概率分布函数（一维、二维要求掌握）4、随机信号的数字特征分析（定义、物理含义、相互关系） 一维：期望函数、方差函数、均方值函数。

（相互关系）二维：自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数（相互关系） 5、严平稳、宽平稳定义、二者关系、判断宽平稳的条件、平稳的意义、联合平稳定义及判定 6、平稳随机信号自相关函数的性质： 0点值，偶函数，均值，相关值，方差7、两个随机信号之间的“正交”、“不相关”、“独立”。

（定义、相互关系） 8、高斯随机信号定义（掌握一维和二维）、高斯随机信号的性质 9、各态历经性定义、意义、判定条件（时间平均算子、统计平均算子）、平稳性与各态历经性的关系直流分量、直流平均功率、总平均功率、交流平均功率随机信号的频域分析1、随机信号是功率信号，不存在傅里叶变换，在频域只研究其功率谱。

本章小结
1、明确通信是一个随机过程； 2、随机过程的描述，数字特征； 平稳随 机过程 自相关函数、功率谱密度；相互关系 3、高斯过程、瑞利分布、Rice分布； 4、窄带随机过程、正弦信号＋～； 5、 2 P0 ω ＝H ω Pi ω （） （）（） ξ ξ
输出是平稳随机过程！
0 3、输出 ξ（t）的功率谱密度 Pξ (ω )
0
P0 (ω) = ∫ R(τ )e− jωt dt ξ
−∞ ∞
∞
= ∫ dτ ∫ dα∫ [（α）h β）（τ +α − β）e− jωτ ]dβ h （ Ri
−∞ 0 0
∞
∞
令
τ ′＝τ＋α＋β
∞ jωα 0
得
∞ − jωβ
0 ∞
a
因果关系示意图 t
绝对 未来
c
绝对 远离
o
绝对 过去
绝对 远离
x
d
b
统计特性分析
ξ（t） ∫ （τ）ξi t − τ）dτ = h （ 0
0 ∞
讨论输出的统计特 性。
输入是平稳随机过程
1、输出随机信号的期望
根据定义，有
E[ξ（t）= E[ ∫ （τ）ξi t − τ）dτ ] = ∫ （τ）E[ξi t − τ） τ ] h （ h （ ]d 0
2－8
随机信号通过线性系统
目的：学习随机信号通过线性系统的 响应特性，数字特征。
前面对随机过程本身的一些特性做了 必要的讨论。 现在我们来讨论随机过程通过线性系 统的情况。随机过程通过线性系统的分 析， 完全是建立在信号通过线性系统的分析原 理的基础之上。
线性系统
（t 等于输入信号 vi (t ) 与冲激响 线性系统响应 v0 ） 应 h(t) 的卷积，即

（6-83）
由于输入的是随机信号，输出一般也是随机信号。
1.输出的均值
输出序列的均值 my (n) 通过（6-83）式计算，即


my (n) EY (n) h(k)EX (n k) h(k)mx (n k)
k
k
（6-84）
若 X (n) 为平稳随机序列，则 mx (n) mx (n k) mx 为
（一）时域分析
设已知线性时不变离散系统的单位脉冲响应为
在 n 范围内输入随机序列 h(n) ,又设
Y (n) 是 X (n) 通过该系统的输出序列，则X输(n出) 随机 序列为 h(n) 与 X (n) 的卷积和，即

Y (n) h(n) X (n) h(k)X (n k) k
的，则系统输出也是广义平稳的。
3.输入与输出之间的互相关函数
根据互相关函数的定义，有
Rxy (t, t ) EX (t)Y (t )

E

X
(t)

h( 1 ) X (t



1
)d
1



h(
1
)EX
(t)
X
(t


1 )d 1
（6-86）
若X (n)为平稳随机序列，则有

Ryy (m)
h(k)h(i)Rxx (m k i)
k i
Rxx (m) h(m) h(m)
（6-87）
上式说明，输出随机信号Y(n) 的自相关函数只 与时间差m有关。实际上，对于线性时不变系 统而言，如果输入随机信号是平稳的，输出随 机信号也是平稳的，故其概率特性是时不变的， 自相关函数只与时间差有关。