下载文档原格式
-----------------------------------Docin Choose -----------------------------------豆 丁 推 荐↓精 品 文 档The Best Literature----------------------------------The Best Literature2009年 1月 China Water Transport January 2009收稿日期：2008-12-10作者简介：王娜儿（1979-），女，浙江舟山人，浙江海洋学院数理与信息学院讲师，研究方向为群论。
判定正规子群的若干条件及方法王娜儿（浙江海洋学院 数理与信息学院，浙江 舟山 316004）摘 要：本文给出了判定群的子群成为正规子群的若干条件，并应用这些条件解决某些实际问题，本文的结论对如何寻找正规子群有一定的启示。
关键词：正规子群；可解群；单群中图分类号：O171 文献标识码：A 文章编号：1006-7973（2009）01-0264-02一、前言正规子群是群论中非常重要的子群，它在研究群可解性、同构分类等方面扮演尤为重要的角色。
事实上，对于群G ，如何确定子群H 是否为G 的正规子群对于判定G 是否可解起到关键作用。
所以讨论子群成为正规子群的条件也显得非常的重要，本文从正规子群的定义出发，给出了子群成为正规子群的若干条件，并应用部分条件解决实际问题。
二、判定正规子群的已知结果定义1：G 是群，≤H G 。
若g G ∀∈，有=gH Hg ，则称H 是G 的正规子群．记为H G 。
定理1：,≤H G 则下述条件等价： （1）a G ∀∈，有aH Ha =； （2）a G ∀∈，有⊆aH Ha ；（3）a G ∀∈，有1−⊆aHa H ；（4）a G ∀∈，有1aHa H −=；（5）a G ∀∈，h H ∈均有1aha H −∈。
定理2：设,()≤H G N H 表示H 的正规化子，则⇔ H G ()=G N H 。
子群的判定条件及其应用子群是群论中的一个基本概念。
在群G中，若H是G的一个非空子集且在G中满足群运算，那么H就是G的一个子群。
本文将介绍子群的判定条件以及子群在实际应用中的例子。
一、子群判定条件对于一个非空子集H，H是G的子群的条件有以下两个：1. 封闭性：对于任意的a, b ∈ H，a · b 也必须在H中。
2. 逆元存在性：对于任意的a ∈ H，在H中必须存在a的逆元，即存在b ∈ H，使得a · b = b · a = e，其中e是G的单位元。
二、子群的应用子群的应用非常广泛，以下列举几个实例：1. 密码学密码学中的群，通常被称为“密钥空间”。
如果我们希望破解一个密码系统，就需要找到它的密钥空间。
例如，我们可以把整个宇宙设想成一个总体G，然后把地球上的生命体视为G的一个子集H。
这个子集H是封闭的，因为地球上的生命体只能和它们自己在一起，它们自己无法连接到宇宙中的其他存在。
2. 圆周运动在圆周运动的问题中，我们可以用子群的概念来描述。
设圆周运动的群是G={θ + 2kπ|k∈整数}，它的单位元是0，运算是θ1 · θ2 = θ1 + θ2。
如果我们想要在圆周上寻找一个子群，那么我们可以考虑一个形如{m/nπ|n∈整数}的集合，其中m和n是互质的整数。
这个集合形成的子群具有封闭性和逆元存在性。
3. 组合数学在组合数学中，我们通常要考虑很多的置换问题。
如果我们能够找到一个群，那么我们就可以把置换看作是群G上的某个元素。
例如，我们可以把“硬币正反面”的置换群记为{e, ●, ○,e○●}，其中e表示什么都不做，○表示正面，●表示反面。
如果我们计算出了这个置换群的所有子群，那么我们就可以用子群的概念来研究这个问题。
总结子群是群论中的基本概念，它具有封闭性和逆元存在性。
在实际应用中，子群有着广泛的应用，例如在密码学、圆周运动和组合数学中。
§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN Na ≠， （见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。
但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ∀∈=。
例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN Na =。
而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==，(13){(13),(23),(12)}(13)N N ==，(23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ∀∈=，都有aN Na =。
再比如，交换群的子群总满足上述性质。
设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ∀∈=有，则 称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。
由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。
{}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子 群称为非平凡正规子群。
定理1. 设N G ≤，则 1,NG a G aNa N -⇔∀∈⊆有； ⇔,,a G x N ∀∈∀∈ 都有1.axa N -∈例1 证明n n A S 。
例2. 设(){|(),||0}n n G GL R A A M R A =∈≠且，(){|||1}n N SL R A A R A =∈=，且， 证明：N G 。
证明：,X G A N ∀∈∀∈，则111||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。
例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S =。
子群的判定条件及其应用子群是群论中的一个重要概念，它在代数学、几何学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍子群的判定条件以及它在实际问题中的应用。
一、子群的判定条件要判断一个集合是否是一个群的子群，需要满足以下条件：1. 封闭性：对于子群中的任意两个元素，它们的乘积或幂运算结果仍然属于子群。
2. 单位元：子群中必须包含群的单位元。
3. 逆元：对于子群中的任意一个元素，它的逆元也必须属于子群。
4. 结合律：子群中的任意三个元素进行乘积或幂运算，结果不受运算顺序的影响。
以上四个条件是判断一个集合是否是子群的基本条件，只有同时满足这些条件，才能称之为子群。
二、子群的应用子群的概念在数学中有广泛的应用，下面我们将介绍其中的一些应用。
1. 群论：子群是群论的基础概念，在研究群的性质和结构时，子群扮演着重要的角色。
通过对子群的研究，可以揭示群的一些性质和规律。
2. 离散数学：子群的概念在离散数学中也有广泛的应用。
例如在组合数学中，可以通过对子群的研究，来解决一些组合问题。
3. 线性代数：子群的概念在线性代数中也有重要的应用。
例如在矩阵理论中，可以通过对矩阵的子群的研究，来揭示矩阵的一些性质和规律。
4. 几何学：子群的概念在几何学中也有一定的应用。
例如在对称群的研究中，可以通过对对称群的子群的研究，来揭示几何变换的一些性质和规律。
5. 密码学：子群的概念在密码学中也有一定的应用。
例如在椭圆曲线密码算法中，可以通过对椭圆曲线上的子群的研究，来构建一种安全可靠的密码算法。
以上只是子群的一些应用领域的简要介绍，实际上子群的应用非常广泛，涉及到许多不同的数学学科和实际问题。
总结：子群的判定条件是群论中的一个基础概念，它在代数学、几何学等领域都有广泛的应用。
要判断一个集合是否是一个群的子群，需要满足封闭性、单位元、逆元和结合律等条件。
子群的应用涉及到许多不同的数学学科和实际问题，通过对子群的研究，可以揭示一些问题的性质和规律。
子群与正规子群的判定及求法1.引言1.1 概述在数学中，群是一种代数结构，它是集合及其上的一种二元运算构成的。
群的研究在数学领域具有重要的地位，并且在许多领域中都有广泛的应用。
在群论中，子群和正规子群是两个基本的概念。
子群是指群中的一个子集，该子集在相同的二元运算下也构成一个群。
子群的判定是群论的一个重要问题，它涉及到对群的结构和性质进行分析。
如何判定一个集合是否是给定群的子群，这是我们在本文中要探讨的一个问题。
正规子群是在子群的基础上，具有一些更为特殊的性质。
具体来说，对于一个群的正规子群，它在群的乘法运算下是不变的。
这意味着正规子群对于群的乘法运算是封闭的，并且对于群的元素进行乘法运算后，结果仍然在正规子群中。
正规子群的判定和求法是群论中的一个重要主题。
本文的目的是介绍子群和正规子群的判定方法和求法。
我们将详细讨论如何判定一个集合是否是给定群的子群，并给出相应的证明方法。
同时，我们还将探讨正规子群的定义和性质，以及正规子群与子群之间的关系。
通过本文的研究，我们能够深入理解子群和正规子群的概念，并掌握判定和求法的方法。
同时，研究子群和正规子群也对于深入理解群论以及其他数学领域中的概念和应用具有重要意义。
通过对子群和正规子群的研究，我们可以进一步拓展和应用这些数学工具，促进数学领域的发展。
接下来，我们将在正文部分详细介绍子群的判定方法、正规子群的判定方法，以及子群和正规子群的求法。
最后，我们将对本文进行总结，并展望子群和正规子群研究的未来发展方向。
1.2文章结构文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文共分为三个部分：引言、正文和结论。
每个部分都有其特定的目标和内容，旨在全面介绍子群和正规子群的判定与求法的相关知识。
在引言部分，首先对本文的研究主题进行概述，明确讨论的范围和问题。
随后，介绍了文章的结构，以方便读者理解文章的整体安排和内容安排。
最后，明确了本文的目标，即通过详细讨论子群和正规子群的判定和求法，深入探究其原理和应用。
