苏教版三年级数学思想方法（上）
在建立“倍”的概念的过程中体现了模型思想。
模型思想是指从特定的原型出发，充分运用观察、实践、操作、比较、分析、综
合、概括等方法，把实际问题转化为数学问题模型的一种思想方法。
把复杂的问题简单化，把生活实际问题转化为数学问题
建立倍的概念
求一个数是另一个数的几倍，就是求一个数里面有几个另一个数，用除法计算；
求一个数的几倍是多少，就是求几个相同加数的和是多少，用乘法计算。
例题：
1.一个养禽专业户养鸡980只，比鸭的只数的2倍还多20只，他养鸭多少只？
2.松鼠弟弟摘了4个松果，松鼠哥哥给了松鼠弟弟4个松果，这时松鼠哥哥的松
果树就是松鼠弟弟的20倍。请问：原来松鼠哥哥有多少个松果？
3.缸里有35条黄金鱼和6条灰金鱼，要使黄金鱼的条数是灰金鱼的50倍。请问：
如果灰金鱼条数不变，需要增加多少条黄金鱼？4.小高今年8岁，明年爸爸的年龄就是他的5倍。请问：爸爸今年多少岁？
5.李大爷家养了60只鹅，养的鸭比鹅多23只，养的鸡是鸭的3倍。李大爷家养
了多少只鸡？
6.铅笔有68支，钢笔有30支。请问：铅笔和钢笔同时拿去多少支，铅笔的支数
正是笔的3倍？7.（1）第一行中的数量是的几倍？
（2）给第二行的三角形涂上黑色和白色，使黑色三角形的数量是白色三角形的
倍数，可能是多少倍？
借助小棒理解倍数关系，渗透了数形结合的思想。
数形结合思想就是借助简单的图形、符号和示意图来分析问题、解决问题的一种
思想方法。
线段图法也渗透了数形结合思想
1.把这些小棒平均分给3个小朋友，每个小朋友分得（）捆（）支，
是（）支。
2.（1）下图中的涂色部分表示615.请问：整个图形表示的是多少？（2）下面的大长方形代表768，那么涂色的部分表示多少？
3.张爷爷去家具店买了1张床和3个床头柜，一张床的价钱是1个床头柜的4
倍，一个床头柜是190元。请问：张爷爷一共花了多少元？4.明明从家到学校要走500米，欣欣家到学校的距离是明明的3倍，凡凡家到学
如何培养学生的模型思想
如何培养学生的模型思想
近些年来，随着人们对教师在这个日益进步的世界中的作用的关注，人们自觉或不自觉地从各个角度，提出了一些
关于教师发展的新思路。比如如何建立和培养学生的数学模型思想，这些新概念对于我们教师必须第一时间领略并引导
学生朝这个方向培养和发展。因此， 在教学中如何有效帮
助学生建构数学模型， 加强对知识的内在体验和感知， 进而发展学生的模型思想， 成为了我们课堂教学研究的关键。
下面仅就如何培养学生的建模思想谈一些做法和感受。
教学设计是建构数学模型的纽带
学生在课堂中能够建立模型思想要看老师对这堂课怎
样设计。例如在《一亿有多大》中我先让学生观看课件，一亿个人有多少，然后再让他们感受一亿张纸有多厚，先找100
张叠在一起，用尺子量有多厚，再计算1000张，10000张以
此类推。想象一下1亿页这样的纸大约有多厚？放手让学生自主活动，注重数学思想方法的渗透，逐步培养学生的数感建立他们的模型思想。因此，教学设计是建构数学模型的纽
带。
二、数学问题是建构数学模型的关键
在我们小学阶段数学知识点环环紧扣，在教学中我们不
能单一的讲授一点，比如已知什么条件，求什么问题。问题情景单一，条件不多不少，解题目标清楚，教师掌握一种解
答就可以指导学生。而实际生活中却并非如此简单，问题是什么需要自己去界定，有用的条件是哪些需要自己寻找或定
向挖掘，目标也需要自己选择和把握。因此我们需要在数学
课内或课外活动中设计一些需要对信息的选择、分析、加工、处理的问题，使学生建立能从现实生活中主动应用自己所学
的数学知识去概括、抽象、解决问题的意识。
如在教学“百分数和分数的问题”时，给出 :“50比30多
多少？”“50比30多几分之几？”“50比30多百分之几”“30比50少多少？”“30比50少几分之几”“30比50少百分之几”
运用了这种的教学模型，能较系统的，有条理的整理出分析方法和解决问题的方法，使学生能较好的掌握关于“谁比谁多
小ｑ－￣ｑ－研纪 学模型思想及其教学策略初探 浙江嘉兴市南湖区教育研究培训中心 费岭峰 《数学课程标准》（２０１１年版）在“课程内容”中提 出“发展学生的‘模型思想”’．并指出：模型思想的建 立是学生体会和理解数学与外部世界的联系的基本 途径。那么，到底什么是模型思想？小学数学教学中 模型思想有着怎样的教学意义？教学实践中又该如 何发展学生的模型思想？这些问题，引发了笔者的深 入思考。 一、数学模型思想的意义及表征方式 数学模型是“针对或参照某种事物系统的特征或 数量相依关系．采用形式化数学语言．概括地或近似 地表述出一种数学结构”．且应该是一种“借助于数学 概念和符号刻画出来某种系统的纯关系结构” 数学 模型思想．即是以数学概念和符号刻画数学结构为内 容的．在扬弃一切非本质属性的同时．逐步抽象、提炼 出数学结构的思维过程 研究表明．建立数学模型的 过程一般分为三步：一是提出问题并用精确语言表 达：二是分析数量关系并进行数学抽象：三是求解并 解决实际问题 从模型思想的概念及数学模型建立的过程来看． 小学数学中许多知识的学习均体现了数学模型思想 笔者现以《加法的认识》为例，具体分析数学模型思想 的意义及表征方式， 首先，加法的产生源于实际问题的解决。如下图， 用“２个方块与３个方块合成一个长方体”的问题情境： 圃圃一丘工石 其间．“２个”方块和“３个”方块分别作为两个不相 交的有限集合Ａ和集合 中的元素．在合并成一个新的 集合Ｃ（即集合Ａ与集合 的并集）后．成为一个大长方 体 这个过程，当我们用精确的数学语言来表达时，便 产生了“２＋３：５”这样一个数学模型 ．显然．“２＋３＝５”是 有限集Ａ（２个元素）和Ｂ（３个元素）合并成并集Ｃ（５个元 素）的过程的抽象与提炼．是一种形式化的表达。而当 有了“２＋３：５”这样一个模型来表达…２个’元素与‘３ 个’同类元素合并产生了‘５个元素…的新形式之后． 以下类似问题便同样有了解决的依据及表达的形式 （１）小军扎了２朵小红花．小英扎了３朵小红花．两 人一共扎了几朵小红花？ （２）爸爸出差，坐火车用了２个小时，坐汽车用了３ 个小时，一共用了几个小时？ （３）保安叔叔要用绳子捆扎废品．扎旧报纸用了２ 米，扎硬纸板又用了３米．一共用了多少米的绳子？ 这些问题在解决的过程中．均是属于“２个”元素 集与“３个”同类元素集进行“合并”的问题．抽象成数 学表达式．即为“２＋３＝５” 事实上．只要是属于“２个”元 素集与“３个”同类元素集“合并”成新的集合的问题． 均可以用“２＋３：５”来表达 也就是说．“２＋３＝５”这个算 式虽源于具体的情境问题解决的需要．但当其从情境 中提炼出来后．作为模型则又蕴含着更高一层的价值 了 这就是模型思想的基本意义 再则．从对“加法”的认识来看数学模型的建立过 程，其又体现了数学模型的两种表征方式：一是思维 表征．它体现在思维过程中．具有隐性特征 “加法”作 为一种数学模型．首先是一种思维模型 因为“加法” 表达的是两个数合并成一个数的过程．在数学上．只 要是属于把两个数（或量）合并起来．即可以用加法进 行运算。二是形式表征，它反映在模型的形式表达中， 具有显性特征．也即加法其实是一种形式模型．表现 在加法可以通过一个“Ⅱ＋６”这样的表达式来表示两个 数合并的过程 事实上．数学模型这种“思维模型与形式模型双 重表征”的构建过程．在其他数学模型的构建过程中 同样有所体现。如“加法交换律”，在思维模型层面上， 因为有“一个加数与另一个加数交换了位置之后．和 不变”的过程经历．所以在形式模型的层面上才有“０＋ ６＝６＋。”的表达式：再如“长方形面积的计算公式”，同 样有思维模型“长方形的‘长’与一行摆面积单位的 个数．‘宽’与可以摆这样的几行”的过程的经二＝： 罱鸭镶％罱％镶％蕾％蕾％ ％ ％ 小学教学研纪 Ｐｒｉｍａｒｙ Ｓｃｈｏｏｌ Ｔｅａｃｈｉｎｇ Ｒｅｓｅａｒｃｈ 业 肚 辨 啦 曲 曲 ９ 口 旦旦 ．才从本质上有深刻认识形式模型“长 ×宽（或Ｓ＝ａｘｂ）”含义的可能。 型思想的教学策略 在教学实践中．数学模型无论是思维表征的过程． 还是形式表征的归纳．均需要有以下两个基本的教学 过程作支持 、 （一）从“境”到“型”，通过抽象归纳，感悟、理解数 学模型结构化、简约化的特征 “模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部 世界的联系的基本途径”．其过程中最基本的路径是从 现实生活或具体情境中抽象出数学问题或数学事实． 然后用数学语言表示出数学问题中的数量关系或变化 规律 这也是数学模型思想建立的第一个层次。实践 中．我们可以从以下两个方面来引导学生去体验。 １．拉长从“境”到“型”的过程．引导学生充分体验 提炼数学模型的抽象过程 对于小学生而言．其数学学习的过程．不仅仅是一 个形式学习的过程．更多的是经历、体验、探索数学知 识产生的过程．是在积累丰富的数学学习经验的基础 ．习得数学学习技能与方法的过程．模型思想的发展 也不例外 比如学生对“运算律”的学习．因为“运算律” 是一种高度抽象的数学模型．但它源于运算。所以与四 则运算一样．它与现实生活有着密切关系 因此在教学 巾．我们突…“运算律”产生的现实背景．为学生建构 “运算律”提供经验支撑．从而很好地拉长数学模型建 立的过程．为学生深刻理解掌握“运算律”创造条件 比如“加法结合律”．人教版教材用了这样一个现 实问题来引入（如下图） 因为求“三天一共骑了多少千 米”就是把每天骑的路程合并起来．在合并时．既可以 先合并第一天与第二天行的路程．再与第三天合并：当 然也可以先合并第二天与第ｊ天行的路程．再与第一 天合并，用算式表示即为：（８８＋１０４）＋９６＝８８＋（１０４＋９６）。 当学生借助这样的现实情境来理解“三个数相加．先把 前两个数相加．再加上第 个数．或者先把后两个数相 加．再加上第一个数．和不变”的道理，便有了生活经验 作支持 再如“减法的性质”．教材又提供了这样一个现实 问题（如下图） 因为要算“还剩多少页没有看”就是要 从总页数中去掉已经看过的页数．那么可以从总页数 中先减去第一天看过的页数．再减去第二天看的页数： 还可以先把两天看的页数合并起来．再从总页数中一 起减去：又可以先减去第二天看的页数．再减去第一天 看的页数．都能得到最终结果 因为有了具体情境作支 持．要理解Ⅱ一ｂ—ｃ：０卜一（６＋ｃ）＝。一ｃ一６这样的结构模型也就 不太难了 ２．实施多“境”成“型”的教学活动．引导学生充分 体验归纳数学模型的思维过程 数学模型的抽象提炼不只限于对某一个问题的分 析与归纳．它更应该是在对同类事件的共同特征进行 分析研究的基础上，归纳提炼而成。因此．在引导学生 归纳数学模型的教学活动中．一般需要提供多个具有 同类数学原型的实际问题．引导学生在解决问题的过 程中发现规律、抽象规律、表达规律。 如上面提到的“长方形的面积计算”．作为一种数学 模型．它的归纳提炼是经历了多个相似事件的研究后才形 成的。实践中．我们可以这样来设计教学过程： 为每位学生提供四个没标数据的长方形学具（图 １：长３厘米，宽２厘米；图２：长４厘米，宽３厘米；图３：长５ 厘米，宽４厘米；图４：长１５厘米，宽ｌ０厘米），然后引导学 生经历以下学习过程 图１：用面积单位摆满．体会所用面积单位的个数就是 该长方形的面积 图２：先估后操作验证．反馈操作方法，引导学生 比较“摆满”与“只摆一行一列”两种操作方法的异同． 重点突出“一行摆几个．可以摆这样的几行”的观察与 思考。 图３：先口述方法．再操作．重点突出“先横着摆 一行．再摆几行”的方法．引导学生体会所列算式求 得长方形面积与每行所含面积单位个数及行数之间 的“关系” 图４：直接说方法．并思考“知道长１５厘米，可以知 道什么：知道宽１Ｏ厘米，又能够知道什么”，重点理解 “长与沿长边可以摆的面积单位个数．宽与沿宽边可以 摆面积单位的行数”之间的对应关系。、＞ ％ ∞％高％
化繁为简 以简驭繁
———初中数学教学中数学模型思想的培养与渗透
王小琪(江苏省仪征市实验中学东区校ꎬ江苏扬州２１１４００)
摘 要:«义务教育数学课程标准(２０２２年版»明确了数学模型思想的意义:数学模型思想的建
立是学生体会和理解数学知识与外部世界联系的基本途径.由此可见ꎬ数学模型思想在初中数学教
学中的重要性.但是ꎬ在初中数学教学中ꎬ一些教师过于强调“基础知识”教学、学生“应用能力”培
养ꎬ却忽视了学生数学思想、数学模型思想的培养ꎬ这极大地阻碍了学生数学核心素养的发展.基于
此ꎬ文章就初中数学教学中数学模型思想的培养与渗透策略进行阐述.
关键词:初中数学ꎻ模型思想ꎻ培养ꎻ渗透ꎻ数学核心素养
中图分类号:Ｇ６３２ 文献标识码:Ａ 文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０２－００４４－０３
收稿日期:２０２３－１０－１５
作者简介:王小琪(１９８１.１０－)ꎬ男ꎬ江苏仪征人ꎬ本科ꎬ中学一级教师ꎬ从事初中数学教学研究.
基金项目:本文系江苏省教育科学规划“十三五”２０２０年度立项课题“促进初中生数学建模素养发展的
教学策略研究”阶段性研究成果(课题编号:Ｄ/２０２０/０２/３４９) 数学学科涵盖了大量的数学概念、法则、公理、
定理等知识内容ꎬ从宽泛的视角来讲ꎬ其均属数学模
型范畴.«义务教育数学课程标准(２０２２年版»在“课程设计思路”中明确指出:“使学生体验从
实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型”
因此ꎬ在初中数学教学中ꎬ教师须从学生生活实际出
发ꎬ为其创设更多的数学情境ꎬ并帮助学生能够从数
学问题、数学现象中不断抽象ꎬ建立起良好的数学模
型思想ꎬ培养学生数学模型构建能力以及应用能力ꎬ
为发展其数学核心素养提供保障.
１初中数学教学中培养学生数学模型思想的
意义
１.１有利于促进学生对数学知识的理解
与小学数学相比ꎬ初中数学知识的抽象性与复
杂性均有大幅度提升.学生在学习过程中ꎬ可以利用
数学模型思想不断从复杂的、抽象的数学知识中抽象出各种各样的数学模型ꎬ进而能够更加透彻地理
