X^^n X I
a
n ^x 2
-a 1
x n
U
由传递函数转换成状态空间模型一一方法多！!!
SISo 线性定常系统
高阶微分方程化为状态空间表达式
SISO
y(n )+a 1y (2)+a2y (2)+…+a n y =b 0u(m )+b 1u (m ^1)+…+b m u
(n ^m )
b °s m b,s m
b m
S n
yS2 a 2
s n ^
■ a n
外部描述
W 实现问题：有了内部结构一-模拟系统
内部描述
X = Ax +bu y =cx + du
实现冋题解决有多种方法，方法不同时结果不同
直接分解法 因为
Y(S) Z(S) _ Z(S) Y(S) U(S) Z(S) U(S) Z(S)
n
~~1
ds m b 1s m
' •… bmQ S
S a I S
亠
亠
a n 」s a n
:Y(s) =(b °s m
+b 1s m
'+…+b m^s + b m )Z(s) IU(S) = (s n +a 1
s n ' *八 +a n jS + a n
)Z(s)
对上式取拉氏反变换，则
jy = b 0Z (m
)+b 1
z (m4
∙) +…+b m'Z + b m Z
<
(n
)
丄
(n
4) IB ・■I
U=Z +a 1
z
+ +a n 4z+a n
z
X 2 = X 3
G(S) = SlSo
按下列规律选择状态变量,
即设X 1 二乙X 2 =乙
,X n
Z)
,于是有
X i
X；
式中，|心为n -1阶单位矩阵，把这种标准型中的A 系数阵称之为友阵。只
要系统状态方程的系数阵A和输入阵b具有上式的形式，C阵的形式可以任意, 则称之为能控标准型。
则输出方程
y =b°X n b i X n」b mi X2 b m X i
写成矩阵形式
S I
X2
y
= [
b
m
b
m」b i b0 ]'
X n」
-X n 一分析A,b,c阵的构成与传递函数系数的关系。
在需要对实际系统进行数学模型转换时，不必进行计算就可以方便地写出状态空间模型的A、b、C矩阵的所有元素。
例：已知SISo系统的传递函数如下，试求系统的能控标准型状态空间模型
Y(S) _ 3 8s
3 2
U (S) S 3s 2s 4
解：直接得到系统进行能控标准型的转换，即
写成矩阵形式
XnA
.Xn J J- a n
"x；l - 0 Ir X J「0]
X2
—a1 一x3 一r」
"0
1—
4
Ir x J
JJ
■xj-x j
b0] X2 =[3 0]
| n Λ
|__a3
X2
X2
若选择状态变量X- Ix 1
X 2…Xnl r
满足下列条件（如何考虑？）
X nJL = y+a ιy — b o u
x n ∕ = Y + a ι
y + a 2
y - b 0
U - b I U
■ an’
y -b o u "”') -b i u (m
')-」"-b m 」u
a *y _
b o u (m 」)_ b ιu "m
^) - - b m U
考虑式
y(n )+a 1y (n ')+a 2y (n ')+■■" +a n y =b 0u(m )+b ∣u (m ')+…+b m u
(n X m )
设系统的输出y = X n ,依次对第一式求导，并带入第二式；对第二式求导，并带 入第三式；依次类推，便得到
X L = -a n X n b m U X^X^a nJ X n
b m 」U
X n r X n 4 PX n
b °U
写成矩阵形式
f
Xi 1
一0 0
-an I 'X i 1
^bm ^
X 2
一
a
n J
X 2
b
mJ
- =
I 2
- + - U
Xn 4
一
a
2
X n-I
b i
I
X n I
_a i _ -X n _
b 0
^X L 〕
X 2 y=[0 0 …0 1]-
X n^
〕X
n J
式中，InJ 为n -1阶单位矩阵。只要系统状态空间表达式的 A 阵和C 阵具有上式 的形式，b 阵的形式可以任意，则称之为能观标准型
从形式上看，能控标准型和能观标准型的系数阵
A 是互为转置，能控标准
型输入阵b 和能观标准型输出阵C 互为转置，这种互为转置的关系被称为 对偶关 系。将在第
六章进一步讨论。
X 2 =yg )+a ιy2 +… X L H y (
Z ■ ai y (n ^)
"
X
n
」=X n _2
-a 2
X n
b 1
u
