(完整版)八年级上专题讲义： 旋转模型与方法

专题讲义旋转模型与方法

模型特点：

【引例】已知：如图1, 在△ABC和△ADE中，AB = AC，AD = AE，且∠CAB = ∠EAD=α，（1）求证：CE = BD；求CE 与BD的夹角。

（2）当点C、E、D在一条直线时, 上述结论是否成立?

（3）如图，上述结论是否成立?若成立请说明理由?

模型应用：构造旋转模型解决“对补型”，寻找“等线段，共端点”

【例1】如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠BAD=60°，求证：AC=BC+CD.

【例2】如图，等腰Rt△ABC中，D为AB的中点，E为AC上

一点，F为BC上的点，且ED⊥DF。

（1）求证：DE = DF；

（2）若E为AC延长线上一点，F为CB延长线上的点，

且ED⊥DF。则（1）的结论是否还成立？若成立，请证

明；若不成立，请说明理由.

E

C

D

B

A

1()

E

C

D

B

A

E

D

C B

A

图二

图一图三

F

E

D

C

B

A

M

F

E

D

C

B

A

【例3】如图， 已知△ABC 中，∠B=300，现将△ABC 绕点A 顺时针旋转角度α至△ADE ，直 线BC 与直线DE 交于点F ，连结AF

1）若α=600（如图1），则∠AFB= ；若α=900（如图2），则∠AFB= ， 2）若00＜α＜1200（如图3），则∠AFB= （用α表示）

3）若1200＜α＜1800（如图4），则∠AFB 与α的数量关系是 ，并给予证明.

〖练〗如图，任意△ABC ，分别以AB 、AC 为腰，以A 为顶角的顶点向△ABC 的两侧作等腰△ABM ，等腰△ACN ，且∠ANC=∠ABM ，MC 与NB 的延长线交于点O. （1）如图1，若∠ANC=∠ABM=30°，则∠O= ； （2）如图2，若∠ANC=∠ABM=45°，则∠O= ；

（3）如图3，若∠ANC=∠ABM=α)900(︒<α<︒，猜想∠O 的度数（用含α的式子表示），

并证明你的结论.

图1 图2 图3

图1F E D C B A 图2

F E D

C B A

图3

F E

D C

B

A

图4

F

E

D

C

B

A

N

M O A C B N

M O

A C

B N

【例4】如图，已知在Rt △ABC 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝90°，BD 为斜边

AC 上的中线，E 为DC 上的一点，AG ⊥BE 于G ，BD 交AG 于点F.

（1）求证：△ABF ≌△BCE ；

（2）若点E 在DC 的延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论还

成立吗？若成立，请画出图形，并给予证明；若不成立，请说明理由.

手牵手模型

【例5】（1）如图1，△ABC 和△ECD 都是等边三角形；写出你认为正确的结论，并证明。

①___________________；②______________________；③________________________； ④___________________；⑤______________________；⑥________________________； （2）在（1）中，将△ECD 绕C 点任意旋转一个角度得如图2，结论仍然成立的有：

______________________________

练习：如图，等边△ABC 和等边△CDE ， （1）求证：BD ＝AE 。 （2）若等边△CDE 绕点C 旋转到BC 、EC 在一条直线上时（1）中

结论成立吗，请给予证明。

（3）旋转到如图位置时，若M 为BD 中点，N 为AE 中点，

求证：①△CMN 为等边三角形；② FG ∥BC 。

G F E D C B

A

图

图G F

C

E D B A C

E

D B A

【例6】如图1，已知△ABC 是等边三角形，D,E 分别式AB ，BC 上的点，且BD=CE ，AE,CD 交于点F 。

（1）求证：△ACE ≌△CBD ；

（2）过A 作AG ⊥CD 于G ，求证：AF=2FG ； （3）如图2，若BF ⊥AF ，求

AF

CF

的值。

【例7】如图1，OA=2，OB=4，以A 点为顶点、AB 为腰在第三象限作等腰Rt △ABC ， （1）求C 点的坐标；

（2）如图2，P 为y 轴负半轴上一个动点，当P 点向y 轴负半轴向下运动时，以P 为顶点，

PA 为腰作等腰Rt △APD ，过D 作DE ⊥x 轴于E 点，求OP-DE 的值；

（3）如图3，已知点F 坐标为（-2，-2），当G 在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt △FGH ，始终保持∠GFH=90°，FG 与y 轴负半轴交于点G （0，m ），FH 与x 轴正半轴交于点H （n ，0），当G 点在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m-n 为定值；②m+n 为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．