(完整版)八年级上专题讲义： 旋转模型与方法

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专题讲义 旋转模型与方法
模型特点：
【引例】已知：如图1, 在△ABC和△ADE中，AB = AC，AD = AE，且∠CAB = ∠EAD=α，
（1）求证： CE = BD；求CE 与BD的夹角。
（2）当点C、E、D在一条直线时, 上述结论是否成立?
（3）如图，上述结论是否成立?若成立请说明理由?

模型应用：构造旋转模型解决“对补型”，寻找“等线段，共端点”
【例1】如图，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，AB=AD，∠BAD=60°，求证：AC=BC+CD.

【例2】如图，等腰Rt△ABC中，D为AB的中点，E为AC上
一点，F为BC上的点，且ED⊥DF。
（1）求证：DE = DF；

（2）若E为AC延长线上一点，F为CB延长线上的点，
且ED⊥DF。则（1）的结论是否还成立？若成立，请证
明；若不成立，请说明理由.

E
C

D

B

A

1
E
C

D

B

A

E
D

C
B

A

图二
图一
图三

F
E
D

C

B
A
M
F

E

D
C

B
A
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【例3】如图， 已知△ABC中，∠B=300，现将△ABC绕点A顺时针旋转角度α至△ADE，直
线BC与直线DE交于点F，连结AF
1）若α=600（如图1），则∠AFB= ；若α=900（如图2），则∠AFB= ，
2）若00＜α＜1200（如图3），则∠AFB= （用α表示）
3）若1200＜α＜1800（如图4），则∠AFB与α的数量关系是 ，
并给予证明.

〖练〗如图，任意△ABC，分别以AB、AC为腰，以A为顶角的顶点向△ABC的两侧作等腰△ABM，
等腰△ACN，且∠ANC=∠ABM，MC与NB的延长线交于点O.
（1）如图1，若∠ANC=∠ABM=30°，则∠O= ；
（2）如图2，若∠ANC=∠ABM=45°，则∠O= ；
（3）如图3，若∠ANC=∠ABM=)900(，猜想∠O的度数（用含的式子表示），
并证明你的结论.

图1 图2 图3

图1
F
E

D
C
B
A

图2
F
E

D
C
B
A

图3
F
E

D
CB
A

图4
F
E
D

C
B
A

N
M

O

A

C
B
N

M
O

A

C
B


N

M

O

A

C
B
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【例4】如图，已知在Rt△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，BD为斜边
AC上的中线，E为DC上的一点，AG⊥BE于G，BD交AG于
点F.
（1）求证：△ABF≌△BCE；
（2）若点E在DC的延长线上，其他条件不变，则（1）中的结论还
成立吗？若成立，请画出图形，并给予证明；若不成立，请说明理由.

手牵手模型
【例5】（1）如图1，△ABC和△ECD都是等边三角形；写出你认为正确的结论，并证明。
①___________________；②______________________；③________________________；
④___________________；⑤______________________；⑥________________________；
（2）在（1）中，将△ECD绕C点任意旋转一个角度得如图2，结论仍然成立的有：
______________________________

练习：如图，等边△ABC和等边△CDE，
（1）求证：BD＝AE。
（2）若等边△CDE绕点C旋转到BC、EC在一条直线上时（1）中
结论成立吗，请给予证明。
（3）旋转到如图位置时，若M为BD中点，N为AE中点，
求证：①△CMN为等边三角形；② FG∥BC。

G
F
E
D
C
B

A

图
图
G
F

C
E

D

B

A
C
E
D

B

A
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【例6】如图1，已知△ABC是等边三角形，D,E分别式AB，BC上的点，且BD=CE，AE,CD
交于点F。
（1）求证：△ACE≌△CBD；
（2）过A作AG⊥CD于G，求证：AF=2FG；

（3）如图2，若BF⊥AF，求AFCF的值。

【例7】如图1，OA=2，OB=4，以A点为顶点、AB为腰在第三象限作等腰Rt△ABC，
（1）求C点的坐标；
（2）如图2，P为y轴负半轴上一个动点，当P点向y轴负半轴向下运动时，以P为顶点，
PA为腰作等腰Rt△APD，过D作DE⊥x轴于E点，求OP-DE的值；
（3）如图3，已知点F坐标为（-2，-2），当G在y轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt△
FGH，始终保持∠GFH=90°，FG与y轴负半轴交于点G（0，m），FH与x轴正半轴交于
点H（n，0），当G点在y轴的负半轴上沿负方向运动时，以下两个结论：①m-n为定值；
②m+n为定值，其中只有一个结论是正确的，请找出正确的结论，并求出其值．
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F
E

C

B
A

FECBA

同步练习:
1.如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，CE与BD相交于点M，BD交AC于点N，
求证：（1）BD=CE，（2）BD⊥CE.
（3）当△ABC绕A点沿顺时针方向旋转如图，（1）（2）（3）位置时，上述结论是否
成立？请说明理由。

2.如图，AF是经过等腰Rt△ABC的锐角顶点A的直线，若B、C
两点在直线AF的同侧，分别过B、C两点做CE⊥AF于E，
BF⊥AF于F。
（1）求证：CE – BF = AE。

（2）如图，若B、C两点在直线AF的异侧，分别过B、C两点做CE⊥AF于E，
BF⊥AF于F。求证：CE + BF = AE。

3.如图，△ABC中，AB=AC,若点D在BC边上，DE⊥AB、DF⊥AC、CG⊥AB，求证：DE+DF=CG,若点
D在BC的延长线上，DE、DF、CG三者之间的关系又怎样？试证明。

N
M

EDCBA
N

E

D
C
B

A
1

E
D
C
B

A
2

3

E
D
C

B
A

F
G
E
D
C
B

A

F
G
E

D
C

B

A
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FE
D
CBA
H
G

4.如图,B是线段AC上一点, 分别以AB、BC为边在线段AC的
同侧作等边△ABD与等边△BCE. 连AE、DC交于F点,
AE
交BD于G, DC交BE于H.
(1) 求证：AE＝DC；

(2) 求证：AG＝DH, CH＝EG；

(3) 连结GH, 求证：GH∥AC；
(4) 连结BF, 求证：BF平分∠AFC.

5.在等边△OAB中，G、H分别从O、A出发，以等速沿OA、AB运动，连OH、BG交于F；
（1）试判断∠BFH的大小是否变化；
（2）连AF，当G、H运动到AF⊥BG时，求BF:OF的值。

FE
D
CA
H
G
B