高等数学复旦大学出版第三版课后答案习题十一

261

习题十一

1．设L 为xOy 面内直线x =a 上的一段，证明：(),d 0L P x y x =?其中P (x , y )在L 上连续．

证：设L 是直线x =a 上由(a ,b 1)到(a ,b 2)这一段， 则 L ：12x a b t b y t

=?≤≤?

=?，始点参数为t =b 1，终点参数为t =b 2故

()()()221

d ,d d 0d 0

d b b L

b b

a P x y x P a,t t P a,t t t ??

=

?=

?= ???

?

?

?

2．设L 为xOy 面内x 轴上从点(a ,0)到点(b ,0)的一段直线，证明：()(),d 0d b L

a

P x y x P x,x =

??

，

其中P (x , y )在L 上连续． 证：L ：0

x x a x b y =?≤≤?

=?，起点参数为x =a ，终点参数为x =b ．

故()(),d ,0d b L

a

P x y x P x x =

??

3．计算下列对坐标的曲线积分：

(1)()22d -?L

x y x ，其中L 是抛物线y =x 2上从点(0,0)到点(2,4)的一段弧；

(2)d L

xy x ?

其中L 为圆周(x -a )2+y 2=a 2

(a >0)及x 轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界(按逆时针方向绕行)；

(3)d d L

y x x y +?，其中L 为圆周x =R cos t ，y =R sin t 上对应t 从0到π

2

的一段弧；

(4)()()2

2

d d L

x y x x y y

x y

+--+?

，其中L 为圆周x 2+y 2=a 2(按逆时针方向绕行)；

(5)2d d d x x z y y z Γ

+-?，其中Γ为曲线x =kθ，y =a cos θ，z =a sin θ上对应θ从0到π的一段弧；

(6)()322d 3d d x x zy y x y z Γ

++-?，其中Γ是从点(3,2,1)到点(0,0,0)的一段直线；

(7)d d d L

x y y z -+? ，其中Γ为有向闭拆线ABCA ，这里A ，B ，C 依次为点（1,0,0）

，(0,1,0)，(0,0,1)；

(8)()()222d 2d L

x xy x y xy y -+-?，其中L 是抛物线y =x 2上从点(-1,1)到点(1,1)的段弧．

解：(1)L ：y =x 2，x 从0变到2，

262

()()2

22

2

2

4

350

01

156d d 3

515L

x

y

x x x x x x ??-=-=-=-??????

(2)如图11-1所示，L =L 1+L 2．其中L 1的参数方程为

图11-1

cos 0πsin x a a t

t y a t

=+?≤≤?

=?

L 2的方程为y =0(0≤x ≤2a ) 故

()()()()()

12

π200

π3

2

ππ32

2

3d d d 1+cost sin cos d 0d sin 1cos d sin d sin dsin π2

L

L L a xy x xy x xy x

a a t a a t t x

a

t t t

a t t t t

a

=

+

'=?++=

-+=-+

=-

?

??

??

?

?

?

(3)()π

20π

2

20

π

220d d sin sin cos cos d cos 2d 1

sin 220

L

y x x y R t R t R tR t t

R

t t

R t +=

-+????=??=??

??=??

?

(4)圆周的参数方程为：x =a cos t ，y =a sin t ，t :0→2π． 故

()()()()()()2

2

2π2

02π

2

2

d d 1cos sin sin cos sin cos d 1

d 2π

L

x y x x y y

x y

a t a t a t a t a t a t t

a a t

a

+--+=+---????=

-=-?

?

?

263

(5)

()()()2

π

2

20

π

3

2

2

π

33203

3

2

d d d sin sin cos cos d d 131ππ

3

x x z y y z

k

k a a a a k

a

k a k a Γ

θθθθθθ

θθ

θθ+-=?+?--=

-??=-????=-???

(6)直线Γ的参数方程是32=??

=??=?

x t

y t z t t 从1→0．

故

()()3

2

2

32210

3

1

041

d 3d d 27334292d 87d 1874

874

x

x zy y x y z

t t t t t t t t t

Γ++-??=?+??+-???=

=?=-

???

(7)AB BC CA Γ=++(如图11-2所示

)

图11-2

1:0y x

AB z =-??

=?

，x 从0→1 ()0

1

d d d 112AB

x y y z dx -+=

--=-?????

?

．

:1x BC y z =??

=-?

，z 从0→1

264

()()()101

1

20d d d 112d 12232

B C

x y y z z dz

z z

z z -+=

--+-????=

-?

?=-??

??=?

?

?

:1y C A z x =??

=-?

，x 从0→1 []1

d d d 1001CA

x y y z dx -+=

-+=?

?．

故

()()d d d d d d 31212

2

L

AB BC C A

x y y z x y y z

-+=

++-+=-+

+=

?

?

?

?

(8)

()()(

)()()2

2

1

2

2

4

2

11

2

3

5

4

1

2d 2d 222d 224d 1415

L

x

xy x y xy y

x x x

x

x x

x x x

x x x

x

---+-??=-?+-????

=

-+-=-

???

4．计算()()d d L x y x y x y ++-?，其中L 是

(1)抛物线y 2=x 上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧；

(2)从点(1,1)到点(4,2)的直线段；

(3)先沿直线从(1,1)到点(1,2)，然后再沿直线到点(4,2)的折线； (4)曲线x = 2t 2+t +1, y = t 2+1上从点(1,1)到点(4,2)的一段弧．

解：(1)L ：2

x y y y

?=?

=?，y ：1→2，故

()()(

)()()2

2

2

1

2

3

2

1

2

4321d d 21d 2d 111232343

L

x y x y x y

y y y y y y y

y y y

y y y ++-??=+?+-???

=

++??

=++??

??=???

(2)从(1,1)到(4,2)的直线段方程为x =3y -2，y ：1→2

265

故

()()()()()2

1

2

1

2

2

1

d d 32332d 104d 5411

L

x y x y x y

y y y y y y y

y y ++-=-+?+-+?

???=

-??=-??=???

(3)设从点(1,1) 到点(1,2)的线段为L 1，从点(1,2)到(4,2)的线段为L 2，则L =L 1+L 2．且 L 1：1x y y

=??

=?，y ：1→2；L 2：2

x x y =??

=?，x ：1→4；

故

()()()()()1

2

1

2

22

1

1

d d 101d 1d 212

L x y x y x y

y y y y y y y ++-=+?+-?

?????

=

-=-??

??=

???

()()()()()()2

4

1

4

4

21

1

d d 220d 1

2d 22272

L x y x y x y

x x x x x x ++-=++-??

?????=+=+??

??=

???

从而

()()()()()1

2

d d d d 12714

2

2

L

L L x y x y x y

x y x y x y

++-=+++-=

+

=??

?

(4)易得起点(1,1)对应的参数t 1=0，终点(4,2)对应的参数t 2=1，故

()()(

)()()()1

2

2

1

3

2

1

4320d d 32412d 10592d 10592432323

L

x y x y x y

t t t t t t t

t

t t t

t t t t ++-??=++++--???=

+++??=+++??

??=???

5．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由(a ,0)

沿椭圆移动到B (0,b )，求力所做的功．

266

解：依题意知 F =kxi +kyj ，且L ：cos sin x a t y a t

=??

=?，t ：0→

π2

()()

()()

π

20

2

2

π

20

π2

2

2

2

2

d d cos sin sin cos d sin 2d 2cos 222

2

L

W kx x ky y

ka t t kb t b t t

k b a

t t

k b a

t k b a

=

+=-+?????-=

--??

=

?

??

?

-=

?

?

?

(其中k 为比例系数)

6．计算对坐标的曲线积分：

(1)d L

xyz z ?，Γ为x 2+y 2+z 2=1与y =z 相交的圆，方向按曲线依次经过第Ⅰ、Ⅱ、Ⅶ、Ⅷ封限；

(2)()()()222222d d d L

y z x z x y x y z -+-+-?，Γ为x 2+y 2+z 2=1在第Ⅰ封限部分的边界曲线，

方向按曲线依次经过xOy 平面部分，yOz 平面部分和zOx 平面部分．

解:(1)Γ：2221x y z y z ?++=?=?

即2221

x z y z ?+=?=?

其参数方程为：cos 2

2

x t

y t

z t =??

??=??

?=?? t ：0→2π 故：

2π0

2π2

2

02π2

02π0

d cos d 2

2

2

sin cos d 4sin 2d 161cos 4d 162

16

xyz z t t t t t

t t t t t t

t

Γ

=

==-==

??

(2)如图11-3所示．

267

图11-3

Γ=Γ1+Γ2+Γ3．

Γ1：cos sin 0

x t

y t z =??

=??=?

t ：0→π2，

故

()()()()()1

2

2

2

2

2

2

π

2220

π

3

3

20π

3

20

d d d sin sin cos cos d sin cos d 2sin d 2423

3

y

z

x z

x

y x

y

z t t t t t t t t

t t

Γ-+-+-??=

--???

=-+=-=-?

=-

??

??

又根据轮换对称性知

()()()()()()1

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

d d d 3d d d 4334

y

z

x z

x

y x

y

z

y

z

x z

x

y x

y

z

ΓΓ-+-+-=-+-+-??

=?- ?

??=-??

7．应用格林公式计算下列积分：

(1)()()d d 24356+-++-? x y x y x y Γ， 其中L 为三顶点分别为(0,0)，(3,0)和(3,2)的三角形正向边界；

(2)()()222d d cos 2sin e sin 2e x x L x y x y x xy x y x x y ++--? ，其中L 为正向星形线()2

22

3

3

30x y

a a +=>；

(3)()()3222d d 2cos 12sin 3+--+?L

x y xy y x y x x y ，其中L 为抛物线2x =πy 2上由点(0,0)到(π

2

,1)

的一段弧；

(4)()()22d d sin L

x y x y x y --+?，L

是圆周y =

上由点(0,0)到(1,1)的一段弧；

(5)()()d d e sin e cos x x L x y y my y m +--?，其中m 为常数，L 为由点(a ,0)到(0,0)经过圆x 2+y 2=ax

上半部分的路线（a 为正数）．

268

图11-4

解：(1)L 所围区域D 如图11-4所示，P =2x -y +4， Q =3x +5y -6，

3Q x

?=?，

1P y

?=-?，由格林公式得

()()d d 24356d d 4d d 4d d 1432

212

L

D D

D

x y

x y x y Q P x y x y x y

x y +-

++-????

-= ????

?=

==???=?????

??

(2)P =x 2y cos x +2xy sin x -y 2e x ，Q =x 2sin x -2y e x

， 则2

cos 2sin 2e

x

P x x x x y y

?=+-?，

2cos 2sin 2e x

Q x x x x y x

?=+-?．

从而

P Q y

x

??=??，由格林公式得．

()()2

2

2d d cos 2sin e

sin 2e d d 0

++--????

-=

?????

=??? x

x L

D x y

x

y x xy x y x x y Q P

x y x

y

(3)如图11-5所示，记O A ，AB ， BO 围成的区域为D ．（其中 BO

=-L ）

图11-5

P =2xy 3-y 2cos x ，Q =1-2y sin x +3x 2y 2

2

62cos P xy y x

y

?=-?，

2

62cos Q xy y x

x

?=-?

由格林公式有：

269

d d d d 0L OA AB

D Q P P x Q y x y x y -++????

-+=

= ??????

?? 故π21

22001

2202

d d d d d d d d ππd d 12sin 3243d 12π4

π

4

++=

+=++

+??=+-+?? ???

?

?

=-+ ???

=

??

??

???

L

O A AB

O A AB

P x Q y P x Q y

P x Q y P x Q y

O x y y y y y y

(4)L 、AB 、BO 及D 如图11-6所示．

图11-6

由格林公式有

d d d d ++????

-+=- ?????

?

??L AB BO

D Q P P x Q y x y x y

而P =x 2-y ，Q =-(x +sin 2y )．

1?=-?P y

，

1?=-?Q x

，即，

0??-

=??Q P x

y

于是()d d d d 0+++++=

+=?

?

?

?L

AB

BO

L AB BO

P x Q y P x Q y

从而

()()()()()()()2

2

2

2

2

2

112

20

1

1

300d d d d sin d d d d sin sin d d 1sin 131sin 232471sin 2

64L

L BA O B

P x Q y x y x

y x y x y x y

x y x y x

y x y y x x

y x y y +=

--+=-+

--+-+=

-+

+????

=+-+????????=-

+?

????

?

(5)L ，OA 如图11-7所示．

图11-7

270

P =e x

sin y -my ， Q =e x

cos y -m ，

e cos x

P y m

y

?=-?，

e cos x

Q y

x

?=?

由格林公式得：

2

2

d d d d d d d d 1

π22π8L O A

D D

D

Q P P x Q y x y x y m x y

m x y a m m a +????

-+=

????

?=

=??

=?? ?

??=?

????

?? 于是：()()[]2

20

20

2πd d d d 8πd 0e

sin 00e cos 08π0d 8π8

+=

-+=-+??-??-=-

=

??

??

L

O A a

x

x

a m a P x Q y P x Q y

m a x

m m m a x

m a

8．利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积： (1)星形线x = a cos 3t ，y = a sin 3t ； (2)双纽线r 2 = a 2cos2θ； (3)圆x 2+y 2 = 2ax ． 解：(1)

()()()()()2π32

2π2π2

4

2

2

22

2π

2

02π2

2π2

02

d sin 3cos d sin 33sin cos d sin 2sin d 4

3d 1cos 41cos 2163d 1cos 2cos 4cos 2cos 416312π+d cos 2cos 61623π8

L

A y x a t a t t

t a t t t a

t t t

a t

t t a t

t t t t a

t t t a

=

-=-?-==

?=--=--+??

=+????

=?

?

?

?

??

?

(2)利用极坐标与直角坐标的关系x =r cos θ，y =r sin θ得

cos x a θ

=

sin y a θ=从而x d y -y d x =a 2cos2θd θ．

于是面积为：

271

[]π

2

4π4π

2

4π

4

2

12d d 2

cos 2d sin 22

L

A x y y x a a

a

θθ

θ--=?

-=

=

=?

?

(3)圆x 2+y 2

=2ax 的参数方程为

cos 02πsin x a a y a θθθ

=+?≤≤?

=?

故()()[]()2π

2

2π0

2

1d d 21d a+acos sin 2d 1cos 2

πcos sin L

A x y y x

a a a

a a θ

θθθ

θθ

θ=

-=-=

+=?-?

??

9．证明下列曲线积分与路径无关，并计算积分值： (1)()()()()1,10,0d d x y x y --?；

(2)()()()

()3,42

3

221,2d d 663x y xy y

x y xy +--?；

(3)()

()1,22

1,1d d x

y x x y

-?沿在右半平面的路径；

(4)()

()6,81,0?

沿不通过原点的路径；

证：(1)P =x -y ，Q =y -x ．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且

1P Q y

x

??=

=-??，故积分与

路径无关．取L 为从(0,0)到(1,1)的直线段，则L 的方程为：y =x ，x ：0→1．于是

()()()()1

1,100,00d 0

d d x

x y x y ==--??

(2) P =6xy 2

-y 3

，Q =6x 2

y -3xy 2

．显然P ，Q 在xOy 面内有连续偏导数，且

2

123P xy y

y

?=-?，

2

123Q xy y

x

?=-?，有

P Q y

x

??=

??，所以积分与路径无关．

取L 为从(1,2)→(1,4)→(3,4)的折线，则

()()(

)()

()()[]3,42

3

221,24

3

2

214

3

232

1

2d d 663d d 63966434864236

x y xy y

x y xy y x

y y x y y x x +--=

+--=+??--??=???

272

(3)2

y P x

=

，1Q x

=-

，P ，Q 在右半平面内有连续偏导数，且

2

1P y

x

?=

?，

2

1Q x

x

?=

?，在右半平

面内恒有P Q y

x

??=??，故在右半平面内积分与路径无关．

取L 为从(1,1)到(1,2)的直线段，则

(

)

()

()2

1,22

1

1,1d d d 11x

y x x y

y -=

=--??

(4) P =

，Q =，且

P Q y

x

??=

=

??在除原点外恒成立，故曲线积

分在不含原点的区域内与路径无关， 取L 为从

(1,0)→(6,0)→(6,8)的折线，则

(

)

(

)

6

86,81

1,08

1

529

x y

=

+

?=+?

=??

?

10．验证下列P (x , y )d x +Q (x , y )d y 在整个xOy 面内是某一函数u (x , y )的全微分，并求这样的一个函数u (x , y )： (1)(x +2y )d x +(2x +y )d y ； (2)2xy d x +x 2d y ；

(3)(3x 2

y +8xy 2

)d x +(x 3

+8x 2

y +12y e y

)d y ； (4)(2x cos y +y 2cos x )d x +(2y sin x -x 2sin y )d y ． 解：证：(1)P =x +2y ，Q =2x +y ．

2

P Q y

x

??==??，所以(x +2y )d x +(2x +y )d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全微分．

()()()()()

(),0,000

2

2

2

2

d d ,22d d 222222

2

x y x

y

y

u x y x y x y x y x x y

x y x

y xy x

y

xy =

+++=

+

+??

=++????=

++

??

?

(2)P =2xy ,Q =x 2, 2P Q x y

x

??=

=??，故

2xy d x +x 2d y 是某个定义在整个xOy 面内的函数u (x ,y )的全

微分．

()()()

,2

0,02

00

2

2d d ,0d d x y x

y u xy x x y x y x x y

x y

=

+=

+

=??

?

(3)P =3x 2y +8xy 2，Q =x 3+8x 2y +12y e y

，

2

316??=+=

??P Q x xy y

x

，故(3x 2y +8xy 2)d x +(x 3+8x 2y +12y e y

)d y

273

是某个定义在整个xOy 面内函数u (x ,y )的全微分，

()()()()()

(),22320,03

2003

2

2

d ,38812

e 0d d 812e

412e 12e 12

x y y x

y

y

y

y

u x x y x y x y x x y y x y

x

x y y x y x y y =

++++=

+

++=++-+??

?

(4)P =2x cos y +y 2cos x ，Q =2y sin x -x 2

sin y ，2sin 2cos P x y y x

y

?=-+?，

2cos 2sin Q y x x y

x

?=-?，

有

P Q y

x

??=??，故(2x cos y +y 2

cos x )d x +(2y sin x -x 2

sin y )d y 是某一个定义在整个xOy 面内的函数

u (x ,y )的全微分，

()()()()()

(),22

0,02

00

2

2

d d ,2cos cos 2sin sin 2d d 2sin sin sin cos x y x

y u x y x y x y y x y x x y x x y

y x x

y y x x y

=

++

-=

+

-=+??

?

11．证明：

2

2

d d x x y y x y

++在整个xOy 平面内除y 轴的负半轴及原点外的开区域G 内是某个二元

函数的全微分，并求出这样的一个二元函数． 证：2

2

x P x y

=+，2

2

y Q x y

=

+，显然G 是单连通的，P 和Q 在G 内具有一阶连续偏导数，

并且．

()

2

2

2

2??-==

??+P Q xy

y

x

x

y

，(x ,y )∈G

因此

2

2

d d x x y y x y

++在开区域G 内是某个二元函数u (x ,y )的全微分．

由

()

()22

222

2

22

d d 11ln 22d x y x x y y d

x y x y

x y

++??=

=+??++??

知()()221ln ,2

u x y x y =

+．

12．设在半平面x >0中有力()3

k F xi yj r

=-+构成力场，其中k

为常数，r =，证明：

在此力场中场力所做的功与所取的路径无关．

证：场力沿路径L 所作的功为．

3

3

d d L

k k W x x y y

r

r

=

-

-

?

其中3

kx P r

=-

，3

ky Q r

=-

，则P 、Q 在单连通区域x >0内具有一阶

连续偏导数，并且

5

3(0)

P kxy Q x y

r

x

??==

>??

因此以上积分与路径无关，即力场中场力所做的功与路径无关．

13．当Σ为xOy 面内的一个闭区域时，曲面积分()d d ,,R x y x y z ∑

??与二重积分有什么关系？

274

解：因为Σ：z =0，在xOy 面上的投影区域就是Σ

故()()d d d d ,,,,0R x y R x y x y z x y ∑∑

=±????

当Σ取的是上侧时为正号，Σ取的是下侧时为负号． 14．计算下列对坐标的曲面积分：

(1)22d d x y z x y ∑

??，其中Σ是球面x 2+y 2+z 2=R 2的下半部分的下侧；

(2)d d d d d d z x y x y z y z x ∑

++??，其中Σ是柱面x 2+y 2=1被平面z =0及z =3所截得的在第Ⅰ封限

内的部分的前侧；

(3)()()()d d 2d d d d ,,,,,,f x y z f y z x f z x y x y z x y z x y z ∑+++++??????????????，其中f (x , y , z )为连续函数，Σ是平面x -y +z =1在第Ⅳ封限部分的上侧；

(4)d d d d d d xz x y xy y z yz z x ∑

++?? ，其中Σ是平面x =0, y =0, z =0, x +y +z =1所围成的空间区域的

整个边界曲面的外侧；

(5)()()()d d d d d d y z z x x y y z x y z x ∑++---?? ，其中Σ

为曲面z =z = h (h >0)

所围成的立体的整个边界曲面，取外侧为正向；

(6)()()22d d d d d d +++-?? y y z x z x x y y xz x z ∑，其中Σ为x =y =z =0，x =y =z =a 所围成的正方体表

面，取外侧为正向；

解：(1)Σ

：z =Σ在xOy 面上的投影区域D xy 为：x 2

+y 2

≤R 2

．

(

((

)()

(

)

()()()2

2

22

2π

4

2

2

2π2

2

222220

2π220

0354*******d d d d d cos sin d 1

sin 2d 8

1d d 1cos4216

1

2422π1635xy

D R

R

R

x

y z x y x y

x y

r r r

R R r r R R R

R r R R R r R r ∑θθθθθθθ=-=-=-??+--???=-

---?

=-?-+--????

??????()7

2220

7

72π105

R

R r R

??-????=

(2)Σ如图11-8

所示，Σ在xOy 面的投影为一段弧，

图11-8

275

故d d 0z x y ∑

=??，Σ在yOz 面上的投影

D yz ={(y ,z )|0≤y ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：

x =

(y ,z )∈D yz ，

故30

d d d d 3yz

D x y z y z z y

y

∑

=

=

=?????

?

?

Σ在xOz 面上的投影为D xz ={(x ,z )|0≤x ≤1，0≤z ≤3}，此时Σ可表示为：

y =

(x ,z )∈D xz ，

故30

d d d d 3xz

D y z x z x

z x

x

∑

=

=

=?????

?

?

因此：

d d d d d d 236π64

3π2

z x y x y z y z x

x x

∑++

??=????

==?=

????

(3)Σ如图11-9所示，平面x -y +z =1上侧的法向量为

n ={1,-1,1}，n 的方向余弦为

cos α=

cos β=

，cos γ=

，

图11-9

由两类曲面积分之间的联系可得：

276

()()()()(

)

()()()()d d 2d d d d ,,,,,,cos d (2)cos d ()d d cos cos d d (2)

d d ()d d cos cos (2)()d d d d 1d d xy

D f x y z f y z x f

z x y

x y z x y z x y z s f y s f z x y

f x x y f y x y f z x y

f x f y f z x y f x x y

x y z x y x y x y ∑∑∑∑∑αβαβγ

γ

+++++

????????????=+++++=+++++=-+++?

?+??=-+=+-??--????????????d d 111

212

xy

D x y

==??=

????

(4)如图11-10所示：

图11-10

Σ=Σ1+Σ2+Σ3+Σ4．其方程分别为Σ1：z =0，Σ2：x =0，Σ3：y =0，Σ4：x +y +z =1， 故

()()1

2

3

4

4

110

d d 000d d d d 11d d 124

xy

D x xz x y

xz x y

x x y

x y x x y x y ∑∑∑∑∑

∑

-=

+++=+++=--=

=

--???????????????

?

由积分变元的轮换对称性可知．

1d d dzd 24

xy y z yz x ∑

∑

=

=

????

因此．

d d dyd d d 11324

8

xz x y xy z yz z x

∑++

=?

=??

(5)记Σ所围成的立体为Ω，由高斯公式有：

277

()()()()()()d d d d d d d d d 0d d d 0

y z z x x y

y z x y z x y z x y z x x y z x y z x y z ∑Ω

Ω++---????

--?-=++ ??????

=

=????????

(6)记Σ所围的立方体为Ω，

P =y (x -z )，Q =x 2，R =y 2+xz ． 由高斯公式有

()()()()()2

2000

002

0204

d d d d d d d d d d d d d d d d d d 2d 2

a a

a a a a

a a y y z x z x x y

y xz x z P Q R

x y z x y z x y z x y x y z

x y x a y

x y y a x xy a a x ax a

∑

Ω

Ω+++-?????

++=

??????

=+=+=+??=

+??????

=

+????

=???????????

????

15.设某流体的流速V =(k ,y ,0)，求单位时间内从球面x 2+y 2+z 2

=4的内部流过球面的流量. 解：设球体为Ω，球面为Σ，则流量

3

d d d d d d d 432d d d π2π

33k y z y z x P Q

x y z x y x y z ∑ΩΩ

Φ=+????

+= ?????=

=

?=

???????? （由高斯公式）

16．利用高斯公式，计算下列曲面积分：

(1)222

d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++?? ，其中Σ为平面x =0，y =0，z =0，x =a ，y =a ，z =a 所围成的立

体的表面的外侧；

(2)333d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++?? ，其中Σ为球面x 2

+y 2

+z 2

= a 2

的外侧；

(3)

()()2

232d d d d d d 2xz y z z x x y x y z xy y z ∑

++-+?? ，其中Σ为上半球体x 2+y 2≤a 2

，

0z ≤≤

(4)d d d d d d x y z y z x z x y ∑

++?? ，其中Σ是界于z = 0和z = 3之间的圆柱体x 2+y 2 = 9的整个表

面的外侧；

278

解：(1)由高斯公式

()()2

22

4

d d d d d d d 2222d 6

d 6d d d 3a

a

a

x

y z y z x z x y

v

x y z v

x y z x v

x x y z

a

∑ΩΩ

Ω++=

++=++==????????

?????? 对称性

(2)由高斯公式：

()3

33

222

2ππ

4

5

d d d d d d d 3d 3d d sin d 12

π5

a

x

y z y z x z x y

P Q

R v x y z v

x y z

r r

a

∑Ω

Ω

θ

??++?????++=

??????

=++==??????????

?

(3)由高斯公式得

()()()2

2322

22

π

2π2

2

20

024

π0

5

d d d d d d 2d d d d sin d 2πsin d d 2π5

a

a

xz

y z z x x y

x y z xy y z P Q

R v x y z v

z x y

r r r

r r

a

∑Ω

Ωθ????++-+?????++= ??????

=++=

?==

?????????

????

(4)由高斯公式得：

2

d d d d d d d 3d 3π3381π

x y z y z x z x y

P Q R v x y z v

∑Ω

Ω

+

+?????++=

??????

==???=????????

17.利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分： (1)d d d y x z y x z Γ

++? ，其中Γ为圆周x 2+y 2+z 2 = a 2

，x +y +z = 0，若从x 轴的正向看去，这

圆周是取逆时针的方向； (2)()()()2222

22d d d x y z y z x y z x Γ

++---?

，其中Γ是用平面32

x y z ++=

截立方体：

279

0≤x ≤1，0≤y ≤1，0≤z ≤1的表面所得的截痕，若从Ox 轴的正向看去，取逆时针方向；

(3)2

3d d d y x xz y yz z Γ

++?

，其中Γ是圆周x 2+y 2

= 2z ，z =2，若从z 轴正向看去，这圆周是取逆时针方向；

(4)2

2d 3d d +-? y x x y z z Γ

，其中Γ是圆周x 2+y 2+z 2 = 9，z =0，若从z 轴正向看去，这圆周

是取逆时针方向．

解：(1)取Σ为平面x +y +z =0被Γ所围成部分的上侧，Σ的面积为πa 2

（大圆面积），Σ的单位法向量为

{

}111cos ,cos ,cos n αβγ==． 由斯托克斯公式

2

2d d d cos cos cos d d 3y x z y x z

R Q Q P P R

s y z x y z x s

s a

a

Γ

∑∑

∑

αβγ++??????

????????

--=

++- ??? ? ?????????????

??

=

-=-=-

=?????

(2)记为Σ为平面32

x y z ++=

被Γ所围成部分的上侧，可求得Σ

的面积为

4

长为

2

的正六边形）；

Σ的单位法向量为

{

}cos ,cos ,cos αβγ==n ． 由斯托克斯公式

()()()

(

(

)(

)

(

)

2222

22

d d d

2222d

22

d

3

d

2

43

24

9

2

x y z

y z x y

z x

y z x y s

z x

s

x y z

s

Γ

∑

∑

∑

++

--

-

?

+

----

=--

?

?

=-++

=-

=-?

=-

?

??

??

??

(3)取Σ：z=2，D xy：x2+y2≤4的上侧，由斯托克斯公式得：

()()

()

2

2

2

3d d d

d d0d d d d

3

d d

3

5d d

5π2

20π

-+

=++--

+

=-+

=-

=-??

=-

?

??

??

??

xy

D

y x xz y yz z

y z z x x y

z

z x

x y

z

x y

Γ

∑

∑

(4)圆周x2+y2+z2=9，z=0实际就是xOy面上的圆x2+y2=9，z=0，取Σ：z=0，D xy：x2+y2≤9由斯托克斯公式得：

()()()

2

2

2d3d d

d d d d d d

000032

d d

d d

π3

9π

+-

=++

---

=

=

=?

=

?

??

??

??

xy

D

y x x y z z

y z z x x y

x y

x y

Γ

∑

∑

18．把对坐标的曲线积分()()

d d

,,

L

P x Q y

x y x y

+

?化成对弧长的曲线积分，其中L为：

(1)在xOy面内沿直线从点(0,0)到点(1,1)；

(2)沿抛物线y = x2从点(0,0)到点(1,1)；

(3)沿上半圆周x2+y2 = 2x从点(0,0)到点(1,1)．

解：(1)L

的方向余弦

π

cos cos cos

42

αβ

===，

280

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推 论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

微积分课后题答案第九章习题详解

第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质

知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??

高等数学课后习题答案第六章 (1)

习题六 1. 指出下列各微分方程的阶数： (1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： 2(1)2,5xy y y x '==; 解：由25y x =得10y x '=代入方程得 故是方程的解. (2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-; 解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+ 代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解. 2(3)20,e x y y y y x '''-+== ; 解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x y x x x x y x x '''=+=+=++ 代入方程得 2e 0x ≠. 故不是方程的解. 解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+ 代入方程得 故是方程的解. 3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解： 证：方程22 x xy y C -+=两端对x 求导： 得 22x y y x y -'= - 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解. 证：方程ln()y xy =两端对x 求导： 11y y x y ''= + (*) 得 (1)y y x y '=-. (*)式两端对x 再求导得 将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解. 4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线： 解：当0x =时，y = 5.故C =-25 故所求曲线为：22 25y x -= 解： 2212(22)e x y C C C x '=++ 当x =0时，y =0故有1 0C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =. 故所求曲线为：2e x y x =. 5. 求下列各微分方程的通解： (1)ln 0xy y y '-=;

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合 第八章 多元函数及其微分法 最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿 的定义域是 从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护 与z? = / 1 定义域 的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕 所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。 兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂 ，T() 丿 解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂 〉?T O 〉?T O兀十〉 于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿 法2利用无穷小与有界函数的乘积 是无穷小的性质。 因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿 的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

郑州大学高等数学下课后习题答案解析

习题7.7 3.指出下列方程所表示的曲线. （1）???==++;3, 25222x z y x （2）???==++;1,3694222y z y x （3）???-==+-;3, 254222x z y x （4）???==+-+.4,08422y x z y 【解】 （1）表示平面3=x 上的圆周曲线1622=+z y ； （2）表示平面1=y 上的椭圆19 32322 2=+z x ； （3）表示平面3-=x 上的双曲线14 162 2=-y z ； （4）表示平面4=y 上的抛物线642-=x z . 4.求() () ?????=++=++Γ2, 21, :2 22 2 222Rz z y x R z y x 在三个坐标面上的投影曲线. 【解】 （一）（1）、（2）联立消去z 得 2224 3R y x = + 所以，Γ在xoy 面上的投影曲线为 ?????==+.0, 4 322 2z R y x （二）（1）、（2）联立消去y 得 R z 2 1 = 所以，Γ在zox 面上的投影曲线为 .23.0,21R x y R z ≤ ?? ? ??==

（三）（1）、（2）联立消去x 得 R z 21 = 所以，Γ在yoz 面上的投影曲线为 .23.0, 21R y x R z ≤ ????? == 6.求由球面224y x z --= ①和锥面() 223y x z += ②所围成的立体在xoy 面上的投影区域. 【解】联立①、②消去z 得 122=+y x 故Γ在xoy 面上的投影曲线为 ? ??==+.0, 122z y x 所以，球面和锥面所围成的立体在xoy 面上的投影区域为(){}1|,22≤+=y x y x D . 习题7.8 2.设空间曲线C 的向量函数为(){} t t t t t r 62,34,122--+=，R t ∈.求曲线C 在与 20=t 相应的点处的单位切向量. 【解】因(){}64,4,2-=t t t r ，故C 相应20=t 的点处的切向量为 (){}2,4,42='r . C 相应20=t 的点处的单位切向量为 (){}.31,32,322,4,4612? ?????±=± =' 3.求曲线32,,:t z t y t x ===Γ在点)1,1,1(0M 处的切线方程和法平面方程. 【解】0M 对应参数1=t .Γ在0M 点处的切线方向为

高等数学课后习题及解答

高等数学课后习题及解答 1. 设u=a-b+2c，v=-a+3b-c.试用a，b，c 表示2u-3v. 解2u-3v=2（a-b+2c）-3（-a+3b-c） =5a-11b+7c. 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证如图8-1 ，设四边形ABCD中AC 与BD 交于M ，已知AM = MC ，DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形ABCD是平行四边形. 3. 把△ABC的BC边五等分，设分点依次为D1，D2，D3，D4，再把各 分点与点 A 连接.试以AB=c, BC=a 表向量 证如图8-2 ，根据题意知 1 D 1 A, 1 D 2 A, D 3 A, D A. 4 1 D3 D4 BD1 1 a, 5 a, D1D2 a, 5 5 1 D 2 D 3 a, 5 故D1 A=- （AB BD1）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6）= 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 72 ( 6)2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学第六版(同济大学)上册课后习题答案解析

高等数学第六版上册课后习题答案及解析 第一章 习题1-1 1. 设A =(-∞, -5)?(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ?B , A ?B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ?B =(-∞, 3)?(5, +∞), A ? B =[-10, -5), A \ B =(-∞, -10)?(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5). 2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ?B )C =A C ?B C . 证明 因为 x ∈(A ?B )C ?x ?A ?B ? x ?A 或x ?B ? x ∈A C 或x ∈B C ? x ∈A C ?B C , 所以 (A ?B )C =A C ?B C . 3. 设映射f : X →Y , A ?X , B ?X . 证明 (1)f (A ?B )=f (A )?f (B ); (2)f (A ?B )?f (A )?f (B ). 证明 因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ? y ∈f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )=f (A )?f (B ). (2)因为 y ∈f (A ?B )??x ∈A ?B , 使f (x )=y ?(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )? y ∈ f (A )?f (B ), 所以 f (A ?B )?f (A )?f (B ). 4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g =ο, Y I g f =ο, 其中I X 、 I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1. 证明 因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中

高数典型例题解析

第一章函数及其图形 例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。 例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。 例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（） 解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得 又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有 。 5： 例 f(2)没有定义。 注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。 例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数 解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。 由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。 事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有 。 因此，所给函数是有界的，即应选择B。 例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

中国人民大学出版社第四版高等数学一第6章课后习题详解

高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<<

∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<<

∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<<

高等数学上复旦第三版 课后习题答案

283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++??

284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ；

关于高等数学课后习题答案

习题6?2 1? 求图6?21 中各画斜线部分的面积? (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 6 1]2132[)(10 22310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0? 1]? 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A ? 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1? e ]? 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e ?

(3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?3? 1]? 所求的面积为 3 32]2)3[(1 32=--=?-dx x x A ? (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[?1? 3]? 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12= -+=-+=--?x x x dx x x A ?

2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积? (1) 22 1x y =与x 2?y 2?8(两部分都要计算)? 解? 3 423 8cos 16402+=-=?ππ tdt ? 3 46)22(122-=-=ππS A ? (2)x y 1=与直线y ?x 及x ?2? 解? 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A ?

(3) y ?e x ? y ?e ?x 与直线x ?1? 解? 所求的面积为 ?-+=-=-1 021)(e e dx e e A x x ? (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 3? 求抛物线y ??x 2?4x ?3及其在点(0? ?3)和(3? 0)处的切线所围成的图形的面积? 解? y ???2 x ?4?

高等数学课后习题与解答

高等数学课后习题及解答 1. 设 u =a -b +2c ，v =-a +3b -c .试用 a ，b ， c 表示 2u -3v . 解 2u -3v =2（ a -b +2c ） -3（-a +3b -c ） =5a -11b +7c . 2. 如果平面上一个四边形的对角线互相平分，试用向量证明它是平 行四边形. 证 如图 8-1 ， 设四边 形 ABCD 中 AC 与 BD 交于 M ， 已知 AM = MC ， DM 故 MB . AB AM MB MC DM DC . 即 AB // DC 且|AB |=| DC | ，因此四边形 ABCD 是平行四边形. 3. 把△ ABC 的 BC 边五等分，设分点依次为 D 1，D 2，D 3，D 4，再把各 分点与点 A 连接.试以 AB =c, BC =a 表向 量 证 如图 8-2 ，根据题意知 1 D 1 A , 1 D 2 A , D 3 A , D A . 4 1 D 3 D 4 BD 1 1 a, 5 a, D 1D 2 a, 5 5 1 D 2D 3 a, 5 故 D 1 A =- （ AB BD 1 ）=- a- c 5

D 2 A =- （ AB D A =- （ AB BD 2 BD ）=- ）=- 2 a- c 5 3 a- c 3 =- （ AB 3 BD 4 ）=- 5 4a- c. 5 4. 已知两点 M 1（0，1，2）和 M 2（1，-1，0） .试用坐标表示式表示 向量 M 1M 2 及-2 M 1M 2 . 解 M 1M 2 =（1-0， -1-1， 0-2）=（ 1， -2， -2） . -2 M 1M 2 =-2（ 1，-2，-2） =（-2， 4，4）. 5. 求平行于向量 a =（6， 7， -6）的单位向量 . a 解 向量 a 的单位向量 为 ，故平行向量 a 的单位向量为 a a 1 = （ 6，7， -6） = 6 , 7 , 6 ， a 11 11 11 11 其 中 a 6 2 7 2 ( 6) 2 11. 6. 在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？ A （1，-2，3）， B （ 2， 3，-4）， C （2，-3，-4）， D （-2， -3， 1）. 解 A 点在第四卦限， B 点在第五卦限， C 点在第八卦限， D 点在第三卦限 . 7. 在坐标面上和在坐标轴上的点的坐标各有什么特征？指出下列各点的位置： A （ 3， 4， 0）， B （ 0， 4，3）， C （ 3，0，0）， D （ 0， D A 4

高等数学试题库

高等数学试题库 第二章 导数和微分 一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切 线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

微积分课后题答案习题详解

微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】

第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=，

大学《高等数学A》课后复习题及解析答案

大学数学A （1）课后复习题 第一章 一、选择题 1.下列各组函数中相等的是. …….. ……..…………………………………………………………………………………….（ ） A .2 ln )(,ln 2)(x x g x x f == B .0 )(,1)(x x g x f == C .1)(,11)(2-=-?+= x x g x x x f D .2)(|,|)(x x g x x f == 2.下列函数中为奇函数的是. ……. …….. …………………………………………………………………………………….（ ）. A .)1ln()(2++=x x x f B .| |)(x e x f = C .x x f cos )(= D .1 sin )1()(2--= x x x x f 3.极限??? ? ?+++∞→22221lim n n n n n 的值为………………………………………………………………………..…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 1 D ．∞ 4.极限x x x x sin lim +∞→的值为.. …….. ……..……………………………………………………………………………...…….（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．∞ 5.当0→x 时，下列各项中与 2 3 x 为等价无穷小的是…………………………………………………….（ ） A ．)1(3-x e x B ．x cos 1- C ．x x sin tan - D ．)1ln(x + 6.设12)(-=x x f ，则当0→x 时，有…………………………………………………………………………..…….（ ）. A ．)(x f 与x 是等价无穷小 B ．)(x f 与x 同阶但非等价无穷小 C ．)(x f 是比x 高阶的无穷小 D ．)(x f 是比x 低阶的无穷小 7.函数)(x f 在点x 0可导是)(x f 在点x 0连续的____________条件. ………...………………....…..（ ） A .充分不必要 B .必要不充分 C .充要 D .既不充分也不必要 8.设函数?? ? ??<≤--<≤≤≤-=01,110, 21,2)(2x x x x x x x f ，则下述结论正确的是……………………………………….（ ）

高等数学课后习题答案第六章

习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1 ]2132[)(1022310=-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为

3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(31323 12=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2;

解: 所求的面积为 ?-=-=2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:

关于高等数学经典方法与典型例题归纳

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自 动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过 于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有：

高等数学下-复旦大学出版-习题十答案详解

习题十 1. 根据二重积分性质，比较 ln()d D x y σ+?? 与2[ln()]d D x y σ+??的大小，其中： （1）D 表示以（0，1），（1，0），（1，1）为顶点的三角形； （2）D 表示矩形区域{(,)|35,02}x y x y ≤≤≤≤. 解：（1）区域D 如图10-1所示，由于区域D 夹在直线x +y =1与x +y =2之间，显然有 图10-1 12x y ≤+≤ < 从而 0ln()1x y ≤+< 故有 2 ln()[ln()]x y x y +≥+ 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ+≥+?? ?? （2）区域D 如图10-2所示.显然，当(,)x y D ∈时，有3x y +≥. 图10-2 从而 ln(x +y )>1 故有 2 ln()[ln()]x y x y +<+ | 所以 2ln()d [ln()]d D D x y x y σσ +<+?? ?? 2. 根据二重积分性质，估计下列积分的值： （1）4d ,{(,)|02,02}I xy D x y x y σ=+=≤≤≤≤??; （2）22sin sin d ,{(,)|0π,0π}D I x y D x y x y σ= =≤≤≤≤?? ;

解：（1）因为当(,)x y D ∈时，有02x ≤≤, 02y ≤≤ 因而 04xy ≤≤. 从而 2≤≤》 故 2d D D σσσ≤≤?? ?? ?? 即2d d D D σσσ≤≤???? 而 d D σσ=?? （σ为区域D 的面积） ，由σ=4 得 8σ≤ ≤?? (2) 因为2 2 0sin 1,0sin 1x y ≤≤≤≤，从而 220sin sin 1x y ≤≤ 故 220d sin sin d 1d D D D x y σσσ≤≤?? ???? 即220sin sin d d D D x y σσσ≤ ≤=???? ~ 而2 πσ= 所以2220sin sin d πD x y σ≤ ≤?? （3）因为当(,)x y D ∈时，2 2 04x y ≤+≤所以 22229494()925x y x y ≤++≤++≤ 故 229d (49)d 25d D D D x y σσσ≤++≤?? ???? 即 229(49)d 25D x y σσσ≤ ++≤?? 而 2 π24πσ=?= 所以 2236π(49)d 100πD x y σ≤ ++≤?? … 3. 根据二重积分的几何意义，确定下列积分的值：