习题
1.1
22
22222222222222
22.
,,.3,3.3,
,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.
,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b
====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,
.,..,:
(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.
0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-⋃数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解
(1)222(1,3/2).
(2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ⋃-<-<<<<<<<=⋃-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.
,| 1.(1)|6|0.1;(2)||.
60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,).
1
1,01,.
1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-⋃-+∞>=++∞⋃-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.:
6.1200001)(1)1).
(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|},
10
{|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m
A A m A a b A
B
C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈⋂=∅=⋃=⋂≥=⋂≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合
= 若则中有最小数-=证
7.(,),(,).1/10.|}.10n n n
n a b a b m
n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2
642
6
6426426
666
13.(1,)
1).
13.(,).
1
3
||13,||1,3,
11
||3,(,).
y
y x
x x x
y
x
x x x x x x x
x x
x x x
y y x
=+∞
===<>
++
=-∞+∞
+
++++
≤≤>≤=
++
=≤∈-∞+∞
证明函数内是有界函数.
研究函数在内是否有界
时,时
证
解
习题1.4
22
1.-
(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.
1)0,|,
,||.,||,|,
(2)0
x a
x a x a x a x a
x a
a x a e e x a
x a x a
εδ
εε
εδδεε
→→→→
→=>===
∀>=<<
<-<=-<<=∀>
直接用说法证明下列各极限等式:
要使
取则当时故
证(
22
2222
,|| 1.||||||,
|||||2|1|2|,
1|2|)||,||.min{,1},||,
1|2|1|2|
||,lim
(3)0,.||(1),01),1
x a
x a a x a x a
a
x a x a x a x a
x a x a a a
a x a x a x a
a a
x a x a
x a e e e e e
e
ε
εε
εδδε
ε
εε
→
--
-<-=+-<
+≤-+<+
+-<-<=-<
++
-<=
∀>>-=-<<-<<
不妨设要使由于
只需(取则当时故
设要使即(
.
1,
0ln1,min{,1},0,||,
1|2|
lim lim lim
0,|cos cos|2sin sin2sin sin||,
2222
,|,|cos cos
x a
a
x a
a
x a x a x a
x a x a x a
e
e
x a x a e e
e a
e e e e e e
x a x a x a x a
x a x a x a x a
ε
εε
δδε
ε
δεδ
-→+→-→
<+
⎛⎫
<-<+=<-<-<
⎪+
⎝⎭
===
+-+-∀>-==≤-
=-<-
取则当时
故类似证故
要使
取则当|时
...
(4)
2
|,lim cos cos.
2.lim(),(,)(,),()
.
1,0,0|-|,|()|1,
|()||()||()|||1||.
(1)1
(1)lim lim
2
x a
x a
x x
x a
f x l a a a a a u f x
x a f x l
f x f x l l f x l l l M
x
x
ε
δδ
εδδ
→
→
→→
<=
=-⋃+=
=><<-<
=-+≤-+<+=
+-
=
故
设证明存在的一个空心邻域使得函数在该邻域内使有界函数
对于存在使得当 时从而
求下列极限
证
3.
:
2
00
2
2
2
22
000
00
2
2
1
2
2
2
lim(1) 1.
22
2sin sin
1cos111
22
(2)lim lim lim1.
222
2
(3)0).
22
(4)lim.
2233
2
(5)lim
22
x
x x x
x x
x
x
x x x
x
x x
x
x
x x
a
x x
x x
x x
x x
→
→→→
→→
→
→
+
=+=
⎛⎫
⎛⎫⎛⎫
⎪ ⎪
⎪
-⎝⎭⎝⎭
⎪
====
⎪
⎪
⎝⎭
==>
---
=
---
--
--
2
.
33
-
=
-
