习题
1.1
22
22222222222222
22.
,,.3,3.3,
,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,.
,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b
====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,,
.,..,:
(1)|||1| 3.\;(2)|3| 2.
0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)(1,3/2).
?1)(n b ++>
642
6
6426426
666
13.(1,)
1).
13.(,).
1
3
||13,||1,3,
11
||3,(,).
y
y x
x x x
y
x
x x x x x x x
x x
x x x
y y x
=+∞
===<>
++
=-∞+∞
+
++++
≤≤>≤=
++
=≤∈-∞+∞
证明函数内是有界函数.
研究函数在内是否有界
时,时
证
解
习题1.4
22
1.-
(1)0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos.
1)0,|,
,||.,||,|,
(2)0
x a
x a x a x a x a
x a
a x a e e x a
x a x a
εδ
εε
εδδεε
→→→→
→=>===
?>=<<
<-<=-<<=?>
直接用说法证明下列各极限等式:
要使
取则当时故
证(
22
,|| 1.||||||,
|||||2|1|2|,
|
x a x a x a x a
x a x a a a
ε
-<-=+-<
+≤-+<+
不妨设要使由于
|
2
11
1.
0).
=
201030
30300
022********(23)(22)2(6)lim 1.(21)2 1.1
3132(8)lim lim lim 11(1)(1)(1)(1)(1)(2)lim lim (1)(1)x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→→→-→-→-→--+==+==-+---??-== ?+++-++-+??
+-==+-
+214
442
100(2)3
1.(1)3244
.
63
(1)1(1)12(10)lim lim lim .
1x x x n
n n x y y x x x n n ny y y x y n x y y
→-→→→→→→--==--+====-+
+
+-+-===-0((18m n
n m n
a b b a a b ++++++++4
2
/ 1.
11/x x =+33
332
33331212121212)
12x x x x x x x x x -+=-+-=-+-=-+01x a a
→+? ?=
00lim lim x a x a →+→+??=?==
000222200000sin 14.lim 1lim 1sin sin
(1)lim lim lim cos .
tan sin sin(2)sin(2)2(2)
lim lim lim 100323tan 3sin 2tan 3sin 2(3)lim lim lim sin 5sin 5x
x x x x x x x x x x x x e x x x x x x x x x x x x x
x x x x x αααββββ→→∞→→→→→→→→→??=+= ???=====-=-利用及求下列极限:
00
321.sin 5555
(4)lim lim 2x x x x x
x
→→+=-===x x
22
2 2
1.
(2)sin5.
(1)0,|.,
,|||||,0
555()
(2)(1)0,|sin5sin5|2|cos||sin|.
22
x
x x a
x
x x x x
x a x a
x a
εδ
εε
εδδε
εε
-
=
=
?>=<≤
<<=<<=
+-
?>-=<
试用说法证明
连续
在任意一点连续
要使只需
取则当时有连续.
要使
由于
证
000
000
555()
2|cos||sin|5||,5||,||,
225
,|||sin5sin5|,sin5
5
()()0,0||()0.
(),()/2,0||
(
x a x a
x a x a x a
x a x a x x a y f x x f x x x f x
f x x f x x x
f x
ε
ε
ε
δδε
δδ
εδδ
+-
≤--<-<
=-<-<=
=>>-<>
=>-<
只需
取则当时有故在任意一点连续.
2.设在处连续且证明存在使得当时
由于在处连续对于存在存在使得当时
证
00000
)()|()/2,()()()/2()/20.
3.()(,),|()|(,),?
|
f x f x f x f x f x f x
f x a b f x a b
-<>-=>
于是
设在上连续证明在上也连续并且问其逆命题是否成立
a
()()(ln ())()(5)6.lim ()0,lim (),lim)().
lim)()lim)x g x b x x x x x x g x f x g x x x x x f x a g x b f x a f x e →→→→→=====>====设证明证0
lim [(ln ())()]
ln 22.
7.,,(1)()cos ([]),,(2)()sgn(sin ),,,,1,(3)()1,1/2, 1.
1(4)()x x f x g x b a b e e a f x x x n f x x n n x x f x x x x f x ππ→===-∈=∈?≠==?=?+=Z Z 指出下列函数的间断点及其类型若是可去间断点请修改函数在该点的函数值,使之称为连续函数:
间断点第一类间断点.间断点第一类间断点.间断点
第一类间断点.
,011,sin
,12,1x x x x π
?≤≤?
=?<≤?-?间断点第二类间断点.
g
00001.:()lim (),
lim (),,,,()0,()0,[,],,(,),()0.
2.01,,sin ,.(x x P x P x P x A B A B P A P B P A B x A B P x y y x x f x εε→+∞
→-∞
=+∞=-∞<<>∈=<<∈=-R 证明任一奇数次实系数多项式至少有一实根.
设是一奇数次实系数多项式,不妨设首项系数是正数,则存在在连续根据连续函数
的中间值定理存在使得设证明对于任意一个方程有解且解是唯一的令证证000000000000000212121212121)sin ,(||1)||1||,
(||1)||1||,[||1,||1],,[||1,||1],().,
()()(sin sin )||0,.3.()(,x x f y y y y f y y y y f y y x y y f x y x x f x f x x x x x x x x x f x a b εεεεε=---=--+<-≤+≥+->≥--+∈--+=>-=---≥--->在连续由中间值定理存在设故解唯一设在1212112212
1211211211122122212121212
12),,(,),0,0,(,)()()
().
()(),.()(),()()()()()()
()(),
[,]x x a b m m a b m f x m f x f m m f x f x x f x f x m f x m f x m f x m f x m f x m f x f x f x m m m m m m x x ξξξ∈>>∈+=
+==<+++=
≤≤=+++连续又设证明存在使得如果取即可设则在上利用连续函数的中间值定理证.
4.()[0,1]0()1,[0,1].[0,1]().
()(),(0)(0)0,(1)(1)10.,01.,,(0,1),()0,().
5.()[0,2],(0)(2).y f x f x x t f t t g t f t t g f g f t t g t f t t y f x f f =≤≤?∈∈==-=≥=-≤∈====即可设在上连续且证明在存在一点使得
如果有一个等号成立取为或如果等号都不成立则由连续函数的中间值定理存在使得即设在上连续且证明证12121212[0,2],||1,()().()(1)(),[0,1].
(0)(1)(0),(1)(2)(1)(0)(1)(0).(0)0,(1)(0),0, 1.(0)0,(0),(1),,(0,1)()(1x x x x f x f x g x f x f x x g f f g f f f f g g f f x x g g g g f ξξξ-===+-∈=-=-=-=-====≠∈=+在存在两点与使得且令如果则取如果则异号由连续函数的中间值定理存在使得证12)()0,, 1.
f x x ξξξ-===+取
第一章总练习题
221.:
581 2.
3|58|1422.|58|6,586586,.
3552
(2)33,
5
2
333,015.
5
(3)|1||2|
1
(1)(2),2144,.
2
2|2|,.
2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式()或或设试将表示成的函数当时当时解解解2.解1
2,4,(2).
3
2,41
(2), 4.2222
n y x y y y x y y ->=--≤??=?->++=12311
211231222222
222
1..(1)n n n n n n n n nx
x ++-++++=+++++++
+=-也成立故等式对于任意正整数皆成立1
n nx
-+
++
12212211221122122
1(1)(1)(1)(1)1(1)(12)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(1)(2)(1)(1)1(2)(1),(1)
1n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x n x x n x nx x x n x x n x nx x x x n x n x nx x x x n x n x n x x n ++++++++++-+++-+=
--+++-++=
--+++-++=
--+++-++=
--+++=-+即等式对于成立.,.
|2|||2
5.()(1)(4),(1),(2),(2);(2)();(3)0()
x x f x x
f f f f f x x f x +--=
---→由归纳原理等式对于所有正整数都成立设求的值将表成分段函数当时是否有极限:
111111
1
()()
(1),
(1).
118.1,2,3,,1,1.
:{},{}..11
1,1,7,111n n n n n n n n n n n n n
n n n n n n n b a b a b b a a b b b b n b b a b a b a n a b a
n a b n n a b a b a b n n
n ++--+++--+++=
<+++=+--->+-????
==+=+ ? ?????
<+=++?+ ?类似有对令证明序列单调上升而序列单调下降,并且令则由题中的不等式证证=1
1
11
1
1
1111(1)1,
111111111(1)11(1)
1111111,
1(n n n
n n n
n n
n n n n n n n n n n n n n n n n ++++++???-+? ?+??
?
??<++ ???-
+???
???
+-+<++ ? ? ?
++????
???????
?+-+<+ ? ? ?+?? ?(?
?? ?
2222 2222
2
2
1111
lim1111
234
1111
1111
234
1324351111
().
22334422
10.()lim(0
0,
()lim
n
n
n
n
n
n n n
n
n n n
nx
f x a
nx a
x
nx
f x
nx a
→∞
→∞
→∞
????????
----
????? ?
????????
????????
----
????? ?
????????
++
==→→∞
=≠
+
=
==
+
作函数)的图形.
解
解
0;
1/,0.
x x
?
?
≠
?
11
11.?,()[,]
|()|,[,].
,(),[,],max{||,||}1,
|()|,[,].
,|()|,[,],(),[,].
12.
f x a b
M f x M x a b
M N f x N x a b M M N
f x M x a b
M f x M x a b M f x M x a b
∈
≤≤?∈=+ ∈
∈-<∈
1
在关于有界函数的定义下证明函数在区间上为有界函数的充要条件
为存在一个正的常数使得
设存在常数使得M取则有
反之若存在一个正的常数使得则
证
121212
12
:()()[,],()()()()
[,].
,,|()|,|()|,[,].|()()||()||()|, |()()||()||()|,[,].
1
13.:()cos0
y f x y g x a b f x g x f x g x
a b
M M f x M g x M x a b f x g x f x g x M M f x g x f x g x M M x a b
f x x
x x
π
==+
<∈+≤+<+ =∈
==
证明若函数及在上均为有界函数则及
也都是上的有界函数
存在
证明在的任一
证
,0().
11
(,),00,,,(),
1
()(,)0,()(21/2)cos(21/2)0,
21/2
0().
n
x f x
M n n M f n M
n n
f x f x n n
n
x f x
δδδδ
δδπ
→
->><>=>
-=→=++=→∞
+
→
n
邻域内都是无界的但当时不是无穷大量任取一个邻域和取正整数满足和则
故在无界.但是x
故当时不是无穷大量
证
11
1
11
0001
14.lim (1)ln (0).
1ln 1,ln ln(1),.lim lim 10.
ln(1)ln(1)
lim lim ln(1)ln lim(1)ln 1,
ln (1)ln ().
ln(1)
15.()()n
n n
n n n n n y y y y y n n
n n x x x x
x y x y n y x n y y y y e y y x
n x x n y f x g x →∞
→∞
→∞→→→-=>-==+==-=++=+=+==-=
→→∞+证明令则注意到我们有设及在实轴上有证0000202
22
22220000.:()(),,()lim ()lim ()().
1cos 1
16.lim
.2
2sin 1cos 2sin 1sin 12lim lim lim lim 1422n n n n n x x x y y f x g x x x x f x f x g x g x x x x x y y x x y y →∞
→∞
→→→→→→===-=??-==== ???定义且连续证明若与在有理数集合处处相等,则它们在整个实轴上处处相等.
任取一个无理数取有理数序列证明证证1.2
.
1
x a x
e +===|,li
f M M
ε=定义,且是有界函数.证明故g g
0000000000000|()|,0,||lim ()lim ()()().
(),0,||()lim ()lim ().
(),().0,,0,x x x x x x x x f x c x x g x f x f x g x f x c x x f x c g x c c g x f x c g x c c δδδδεεδ→→→→<>-<===>>-<>=====><>一若则存在当时|f(x)| 若则存在当时,g(x)=c, 若则对于任意不妨设存在使证()0000121212|||()|.||.(),()(),|()()||()|,(),(),|()-()|0. ()()min{(),}max{(),}().max{(),()}(|()()|()())/2.min x x f x c x x f x c g x f x g x g x f x c f x c g x c g x g x g x f x c f x c f x f x f x f x f x f x f x δεδεε-<-<-<≤=-=-<>==<=+--=-++得当时设若则若 则二利用证121212123123123111123{(),()}(|()()|(()())/2.1 20.()[,],[()()()], 3 ,,[,].[,],().()()(),(),. ()min{(),(),()},f x f x f x f x f x f x f x a b f x f x f x x x x a b c a b f c f x f x f x f x c x f x f x f x f x f ηηη=--++=++∈∈======设在上连续又设其中证明存在一点使得若则取即可否则设证3123()min{(),(),()}, x f x f x f x f =在连续根据连续函数的中间值定理存在一点g 00;2sin /[0,)), ,x x a ==++∞一般地}n 单调递减.又 111lim ,lim lim ()(lim )(). 25.()(,),:(0)1,(1),()()().()((,)).()()().()()n n n n n n n n n x n n a l a l a f a f a f l y E x E E e E x y E x E y E x e x E x x E x E x E nx E x +→∞ →∞ →∞ →∞ ======-∞+∞==+==?∈-∞+∞++==故有极限.设则设函数在内有定义且处处连续并且满足下列条件证明用数学归纳法易得于是证1 1. ,()(11)(1). 1(0)(())()()(),().(). 1111,(1)()()()(),(). 11()()().,n n n n n n n n m m m n n n E n E E e E E n n E n E n e E n E n e E n e n E E n E n E e E E e n n n n m E E m E e e r E n n n -=++====+-=-=--======???? ==== ? ????? 设是正整数则于对于任意整数 对于任意整数即对于所有有理数lim ().,,(), ()lim ()lim (). n n n r x x x x n n n r e x x E x E x E x e e e e →∞→∞ →∞ =→====n 对于无理数取有理数列x 由的连续性的连续性 习题2.1 201.,.,.()2(0)(1),;(2),?(3)lim ,? x l O x x m x x x l x x m m x m x ?→=≤≤??????设一物质细杆的长为其质量在横截面的分布上可以看作均匀的现取杆的左端点为坐标原点杆所在直线为轴设从左端点到细杆上任一点之间那一段的质量为给自变量一个增量求的相应增量求比值 问它的物理意义是什么求极限问它的物理意义是什么 2222222000(1)2()22(2)22(2).2(2)(2)2(2).(3)lim lim 2(2)4.lim x x x m x x x x x x x x x x x m x x x m x x x x x x x x m m x x x x x x ?→?→?→?=+?-=+?+?-=?+???+??==+?+??????=+?=??是到那段细杆的平均线密度.是细杆在点的线密度.解 333 032233 222000002.,:(1);(2)2,0;(3)sin 5 . ()(1)lim (33)lim lim (33)3.2()2(2)lim 2lim (2lim x x x x x x y ax y px p y x a x x ax y x x x x x x x x a a x x x x ax x p x x px x x x y p x x p ?→?→?→?→?→?→==>=+?-'=?+?+?+?-==+?+?=?+?-+?-'==?+?=根据定义求下列函数的导函数解00 00000)()2lim ()()22lim . 25(2)52cos sin sin 5()sin 522(3)lim lim 55(2)552cos sin sin 5(2)2 222lim cos lim 552 2x x x x x x x x x x x x p x x x x x x x x p p x x x x x x x x x x y x x x x x x x x x ?→?→?→?→?→?→?→-+?+=?+?+?+?+==+?++??+?-'==??+???+?=??2 x 00223.()(,()):(1)2,(0,1); (2)2,(3,11). (1)2ln 2,(0)ln 2,1ln 2(-0),(ln 2) 1. (2)2,(3)6,:116(3). 4.2(0)(,)(0,0)x x y f x M x f x y M y x B y y y x y x y x y y x y px p M x y x y ===+''==-==+''==-=-=>>>求下列曲线在指定点处的切线方程切线方程切线方程试求抛物线上任一点处的切线斜率解,0,. 2p F x ?? ??? , 并证明:从抛物线的焦点发射光线时其反射线一定平行于轴 2 0002 2 22 22 2,,(). 22(),. ,2222,. 222,. p p y px y M PMN Y y X x y y px p y x N X y X x X x x y p p p p FN x FM x y x px p p p x px x x FN FNM FMN M PQ x PMQ FNM FMN '== =-=--=-=-=-??? ?=+=-+=-+ ? ???? ???? ?=++=+=+=∠=∠ ? ???? ?∠=∠=∠过点的切线方程:切线与轴交点(,0),故过作平行于轴则证 2005.2341,. 224,1,6,4 112564(1),4 2.:6(1),. 444y x x y x y x x y k y x y x y x y x =++=-'=+====?? -=-=+-=--=-+ ??? 曲线上哪一点的切线与直线平行并求曲线在该点的切线和法线方程切线方程:法线方程解 3 2322,;(),,, (1)():(2)(); (3)(). ()lim ()lim , lim ()lim r R r R r R r R GMr r R R g r R M G GM r R r g r r g r g r r GMr GM r R g r g r R R GM g r r →- →-→+ →+??=??≥??≠====其中是地球的半径是地球的质量是引力常数. 问是否为的连续函数作的草图是否是的可导函数明显地时连续.解,2lim (),()r R GM g r g r r R R →-==在连续. (2) 33(3)()2(),()(),().r R g r GM GM g R g R g R g r r R R R - +-≠'''==-≠=时可导. 在不可导 227.(),:(1,3)(),(0)3,(2) 1.3(),()2.3 411111 3,,3(),()3. 2222 P x y P x P P a b c P x ax bx c P x ax b b a b b a c a b P x x x ''===++=?? '=++=+=??+=?==-=-+==-++求二次函数已知点在曲线上且解 3222222222228.:(1)87,24 1. (2)(53)(62),5(62)12(53)903610.(3)(1)(1)tan (1)tan ,(2)tan (1)sec .9(92)(56)5(9)51254(4),56(56)y x x y x y x x y x x x x x y x x x x x y x x x x x x x x x x x x y y x x '=++=+'=+-=-++=+-'=+-=-=+-+++-+++'===++求下列函数的导函数22 . (56)122(5)1(1),. 11(1)x x y x y x x x ++'==-+≠=--- 2 26sin ,sin cos x x x x x e x y e x e x e -'=+=(h = 000000010.()(,),()(),().()(0),(0)0. ()(0) ()(0)()(0)(0)lim lim lim (0),(0)0.()() 11.(),lim 22x x x x f x a a f x f x f x f x f f f x f f x f f x f f f f x x x f x x f x x f x x f x →→→?→--=''=-----'''==-=-=-+?--?'=?若在中有定义且满足则称为偶函数设是偶函数,且存在试证明设在处可导证明证=000000000000000000000().()()()()()()1lim lim 22()()()()1lim 2()()()()11lim lim [()22 x x x x x x f x x f x x f x x f x f x x f x x x x f x x f x f x x f x x x f x x f x f x x f x f x x x ?→?→?→?→?→+?--?+?--?-?? =-???????+?--?-?? =+???-??? +?--?-? ?'= +=+???-???证002()]().12.,(0/2)()((),()):.f x f x y x t t P t x t y t OP x t t π''==<<=一质点沿曲线运动且已知时刻时质点所在位置满足直线与轴的夹角恰为求时刻时质点的位置速度及加速度. 222222422222()() ()tan ,()tan ,()()(tan ,tan ),()(sec ,2tan sec ), ()(2sec tan ,2sec 4tan sec )2sec (sec ,2tan ). y t x t x t t y t t x t x t t t v t t t t v t t t t t t t t t ===='=''=+=位置解 y =x 2 1/1/1/1/1/000013.,0()10, 00. 1111(0)lim lim 1,(0)lim lim 0.1114.()||(),()()0.(). ()lim x x x x x x x x x x x x f x e x x x x e e f f x e x e f x x a x x x a a f x x a f a ???→-→-→+→+-→?≠?=+??=?=++''======++=-=≠='=求函数 在的左右导数设其中在处连续且证明在不可导-+ 解证()()()() (),()lim ()(). a x a a x x x a x a a a f a x a x a ????-→---''=-==≠--+-f 习题2.2 ( ) ( )( ) 2 222 1.,: 111 (2)[ln(1)],.[ln(1)](1). 111 (3)2. 2 2 x x x x x x x x x x x x ' ' =-=-= ''' -=-=-= --- ' '' ?== ? ' '' ?=+= ? = 下列各题的计算是否正确指出错误并加以改正 错 错 错 33 2 2 2 2 2 () 1 (4)ln|2sin|(14sin)cos,. 2sin 1 ln|2sin|(14sin cos). 2sin 2.(())()|.() 1. u g x x x x x x x x x x x x x f g x f u f x x = = ' ?? +=+ ??+ ' ?? +=+ ??+ '' ==+ 错 记现设 ] 23 24. (()) x x g x = '= )( ) 2 2 3 1 23 1 )(cos x x x- =- - '=- 习题 4.1 3212121.()32[0,1][1,2]Rolle 0,(0)(1)(2)0,()[0,1][1,2]Rolle 620,33(0,1),(1,2),()()0.33 2.f x x x x f f f f f x x x x x x f x f x =-+==='-+===+''= ∈===2验证函数在区间及上满足定理的条件并分别求出导数为的点. 处处可导故在区间及上满足定理的条件.f (x)=3x 讨论下列 解1111()[1,1]Rolle ,,(1,1),()0. (1)()(1)(1),,;(2)()1(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)()0,(1,1),()0.1 (2)(m n m n m n m n f x c f c f x x x m n f x f x m x x n x x m n x x m mx n nx c f c m f x -----∈-'==+-='=+--+--'=+----== ∈-=+'函数在区间上是否满足定理的条件若满足求使为正整数解1/32 ),(0). 3 3.()ln [1,],?11 (),()(1)ln ln11(1), 1. https://www.doczj.com/doc/ec9175370.html,grange (1)|sin sin |||; (2)|tan tan |||,,(/2,/2); (3) ln x f f x x e c f x f e f e e c e x c y x x y x y y x x y b a b b b a ππ-'=-=='=-=-==-=--≤--≥-∈--<<不存在写出函数在区间上的微分中值公式并求出其中的应用中值定理,证明下列不等式:解222(0).(1)|sin sin ||(sin )|()||cos |||||.(2)|tan tan ||(tan )|()|sec ||||. (3)ln ln ln (ln )|()((,)).5.()(1)(4)x c x c x c a a b a x y x x y c x y x y y x x y x c y x y x b a b b a b a b a x b a c a b a a c a P x x x ===-<<'-=-=-≤-'-=-=-≥----'<=-=-=∈<=--证明多项式的导函数的证1,212,. ()1,2,Rolle ,,,()(2,1),(1,1),(1,2). 6.,,,:()cos cos 2cos (0,). n n P x P x c c c f x c x c x c nx π±±---=+++L L 三个根都是实根并指出它们的范围有四个实根根根据定理它的导函数有三个实根又作为四次多项式的导函数是三次多项式,最多三个实根,故的导函数的三个根都是实根,分别在区间设为任意实数证明函数在内必有根证 习题 1.1 22 22222222222222 22. ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b ====+=+=++=++======为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?-+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4. ,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若解(1)证5.: 6.1200001)(1)1).(,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m --+++><-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z L 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证 7.(,),(,).1/10.|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2 习题 1.1 22 22222222222222 223. 33,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,31.3,93,3,3.,,. ,,,,p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p p a a p a b p a pb b b ====+=+=++=++======证明为无理数若不是无理数,则为互素自然数除尽必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾.设是正的素数证明是无理数设为互素自然数,则素证 2.证 1.2222222,, .,..,: (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0);01,13,13,(0,1);1,13,3/2,(1,3/2).(1,0)(0,1)p a p a a pk p k pb pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X ===+-<-<<-+-<>->--<<+-<<>+-<<=-?数除尽故除尽类似得除尽此与为互素自然数矛盾.解下列不等式若则若则若则3.解 (1)222(1,3/2). (2)232,15,1||5,1||5,(1,5)(5,1).,(1)||||||;(2)||1,|||| 1.(1)|||()|||||||||,||||||.(2)|||()||||||x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ?-<-<<<<<<<=?--+≥--<<+=++-≤++-=+++≥-=+-≤+-<设为任意实数证明设证明证4.,| 1.(1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,).(2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11n n n n x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a a n n a a b a a ++>->+>+<->-<-=-∞-?-+∞>=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞-><-<>=>-=-=解下列不等式或或若若若若证明其中为自然数若显然解(1)证5.: 6.120000(1)(1)(1). (,),(,).1/10.{|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10,/10(1)/101/10n n n n n n n n n n n n n a b b n a a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m ---+++>-<-=∈?=?=?=?≥=?≤-∈-≤-Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数取自然数 满足考虑有理数集合 = 若则中有最小数-=证7.(,),(,).1/10.{2|}.10n n n n a b a b m n b a A m <-=+ ∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题.8.证习题1.2 习题5.1 1.,,,,,().11 ,,().22 ABCD AB AD AC DB MA M AC DB MA AM AC ===+=-=-=- =-+设为一平行四边形试用表示为平行四边形对角线的交点解a b.a b a b a b a b () 2.,1 (). 2 11 22 1 ().2 M AB O OM OA OB OM OA AM OA AB OA OB OA OA OB =+=+=+=+-=+设为线段的中点,为空间中的任意一点证明 证 3.,,1 (). 3 221 () 332 1 (), 3 1(),3M ABC O OM OA OB OC OM OA AM OA AD OA AB AC OA AB AC OM OB BA BC OM OC =++=+=+=+?+=++=++=设为三角形的重心为空间中任意一点证明证1 (). 3 1 3,(). 3 CA CB OM OA OB OC OM OA OB OC ++=++=++ 4.,1 ,(). 4 1 (), 2 11 (),(), 221 (). 2 4ABCD M O OM OA OB OC OD OM OA AM OA AB AD OM OB BA AD OM OC BA DA OM OD AB DA OM OA OB OC OD =+++=+=++=++=++=++=+++设平行四边形的对角线交点为为空间中的任意一点证明证1 ,(). 4 OM OA OB OC OD =+++ 2222225.?(1)()();(2)();(3)()(). (1).:()().(2).:()0, 1.(3),6.==?=?======0对于任意三个向量与判断下列各式是否成立不成立例如,不成立例如,成立都是与组成的平行六面体的有向体积利用向量证明三角形两边中点的连线平行解a,b c,a b c b c a a b a b a b c c a b a b i c =j.a b c =j,b c a =a i b j,a b a b a,b c .,1122 11 ().22DE DA AE BA AC BA AC BC =+= +=+=于第三边并且等于第三边长度之半.证 2227.: (1),;(2).(1)()()()()||||0. ()cos |||||||||||||AC BD AB BC BC CD AB BC BC CD BC CD AB AC AB AB AD AB AB AB AD a AB AD AB AC AB AC AB AC α=++=+-=-=+++===利用向量证明菱形的对角线互相垂直且平分顶角勾股弦定理证2, ||()cos cos . ||||||||||| ,. a AC AD AB AD AD AB AD AD a AB AD AB AC AB AC a AC βααβαβ+++=====与都是锐角故 22 2 2 2 (2)||()()||||2||||. AC AC AC AB BC AB BC AB BC AB BC AB BC ==++=++=+ 2222222222222222228.()()||||. ()()||||cos ||||sin ||||(cos sin )||||.9..||.AB AC ABC ABC ABDC AB AC αααα?+=?+=+=+=?=?证明恒等式试用向量与表示三角形的面积11 的面积= 的面积22 证解a b a b a b a b a b a b a b a b a b 2222222 2 2210.,,,()()2(). ()()()()()()222(). =++-=+++-=+++--=-+给定向量记为即现设为任意向量证明证a a a a a a a.a b , :a b a b a b a b a b a b a b a b a b a a +b b +a b +a a +b b a b =a b 第一章总练习题 221.:581 2. 3|58|1422.|58|6,586586,. 3552 (2)33,5 2 333,015. 5 (3)|1||2| 1 (1)(2),2144,. 2 2|2|,. 2,2,4,2;2,3x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x y x y x y x y x y x -≥-≥-≥-≥-≤-≥≤-≤-≤-≤≤≤+≥-+≥-+≥-+≥=+-≤=+≤=->=求解下列不等式()或或设试将表示成的函数当时当时解解解2. 解22231231 2,4,(2). 3 2,41 (2), 4.3 1 3.1. 2 2,4(1)44,0.1,0.4.:1232(1)2.22222 121 1,.22 123222n n y x y y y x y y x x x x x x x x x x n n n n ->=--≤??=?->??<+≥-<++<++>≥-≠+++++=-+==++ 的全部用数学归纳法证明下列等式当时,2-等式成立设等式对于成立,则 解证1231111 12 1 2 112 22 11231222222 2124(1)(1)3222,2222 1..1(1)(2)123(1). (1)1(11)1(1)1,(1)(1) n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x nx x x nx x x x x x n x x ++++++-+++++=++++++++-+++=-+=-=-+-++++++=≠--++-===-- 即等式对于也成立故等式对于任意正整数皆成立当时证1,1 21 2 .1(1)123(1)(1)(1) n n n n n n n x nx x x nx n x n x x +--++++++++=++- 等式成立设等式对于成立,则 习题 1.2 2 22 2 22 ln(4);(2) 40,||4,||2,(,2)(2,). 1010 1 (2)0..11,(1,1). 1010 1 5 (3)1,540.540,( 4 y x y y y x x x D x x x x D x x x x x x x x x x =-=== ->>>=-∞-?+∞ ->-< ?? + >-<<=- ?? +>+< -?? - >--<-+= 求下列函数的定义域 或 1.: (1) 解(1) 12 2 12 2 1)(4)0,1, 4. (1,4). (4)2530.(21)(3)0,3,1/2.(,3)(1/2,). (), ()1,(0,3).()(1,10). (2)()ln(1sin),(/2,],()(,ln2]. (3)( x x x D x x x x x x D f X X f x x X f X f x x X f X f x ππ --=== = +->-+==-==-∞-?+∞ =+== =+=-=-∞ 求下列函数的值域其中为题中指定的定义域 2.. (1) 22 12 2 )[1,3],320,230,(1)(3)0, 1,3,()[0,(1)][0,4]. (4)()sin cos,(,). ()cos(/4)cos sin(/3))/4),()[ ln (1)(),(1) ln10 X x x x x x x x x f X f f x x x X f x x x x f X x f x f πππ ==-+-=--=+-= =-=== =+=-∞+∞ =+=+= =- 求函数值: 设求 3. 2 ,(0.001),(100); (2)()arcsin,(0),(1),(1); 1 ln(1),0, (3)()(3),(0),(5). , 0, cos,01, (4)()1/2,1,(0),(1),(3/2),(2). 2, 13 (1)()l x f f x f x f f f x x x f x f f f x x x x f x x f f f f x f x - =- + --∞<≤ ? =- ? -<<+∞ ? ?≤< ? == ? ?<≤ ? = 设求 设求 设求 解264 og,(1)log10,(0.001)log(10)6,(100)log10 (2)(0)0,(1)arcsin(1/2)/6,(1)arcsin(1/2)/6. (3)(3)ln4,(0)0,(5) 5. (4)(0)cos01,(1)1/2,(3/2)(2) 4. 2 4.(), 2 x f f f f f f f f f f f f f x f x x x ππ - -==-==-= ===-=-=- -===- ===== + =≠ - =4.设函数 11 2,(),(1),()1,,. () 2213 (),2;(1),1,3, 2211 f x f x f x f x f x x x x f x x f x x x x x x ?? ±-++ ? ?? -+++ -=≠±+==≠≠- +--- 求 解 北大版高等数学第四章微分中值定理与泰勒公式答案第四章总 练习题 第四章总练习题 000000001..()()[()()]. ()(),[0,].()()(),(0)0. Lagrange ,(0,1)()(0)(),f x h f x h f x h f x h h f x x f x x x h g g x f x x f x x g g h g g h h θθθθθθ''+--=++-+--∈'''=++-=∈'-=00设y=f(x)在[x -h,x +h](h>0)内可导证明存在,0<<1使得令g(x)=(x)在[0,h]内可导,根据公式存在使得 证00000 ()()[()()].2.:0,()1/4()1/2lim ()1/4,lim ()1/2.4(())211()(124x x f x h f x h f x h f x h h x x x x x x x x x x θθθθθθθθ→→+∞ ''+--=++-≥= ≤≤=== = =+=++=+即证明当时中的满足且 00). 11()(12), 441 11()(12)(1(1)2). 442 11 lim ()lim (12).44 1 lim ()lim (12)4 1 lim 4x x x x x x x x x x x x x x x x θθθθ→→→+∞→+∞≥+=-=+≤+++-==+==+=由算术几何平均不等式得 2 2 111lim lim .442 3,012 3.()()[0,2]1, 1,01 (2)(0)1().12 0, 1x x x x f x f x x x x x f f f x x x = ===?-≤≤??=??<<+∞??-≤≤?-? '==?--<<+∞??设求在闭区间上的微分中值定理的中间值. 解2/23/21. 221111,;,()[0,2]222x x x f x x -=--=-=-=-=1 在闭区间上的微分中值定理的中间值为2 习题1.3 1.(1,2,),lim 1,0,,2 |-1|,: n n n n n x n x N n n N x εε→∞= ==>+>< 设证明即对于任意求出正整数使得 当时有 并填下表 220,1,|-1|| 1|,2,2222,,|-1|. 2.lim 0,lim ||||. 3.{}(1)n n n n n n n n x n n n N n N x a N a l a εεεε εεε→∞ →∞ ?><=-=<>-++?? =->??? =?>?=不妨设要使只需取则当时就有设设证证(2){}(1) ||||| 1. (2) -31(1)lim 23n n n a l l l M N n n εε→∞-+<+=+-对于令4.用证23/23/2(3)lim 1(5)lim 1223(1)11(6)lim 0.(1)(2)3 1311(1),2322(23)n n n n n q n n n n n n n n εεε→∞→∞→∞?+ ?-????++= ?+?? +?-=<-- 不妨设要使只需证>0,<1,311 3, 2113133133,,,lim . 22322321 (2),,, n n n N n N n n n εεεεεεε →∞>+++?? =+>-<=??--?? ?<≤<>取当时故>0, 32222333331,. 1 (3)||(0).41||(1)(1)(2)(1)126 6242424,,max{4,}.(1)(2)!111(4) ,,. n n n n N n N q n n n n q n n n n n n n n N n n n n n N εεαααααααεααεαεαε?? =>???= >>+==---++++++?? <<<>=??--???? ≤<>=?? 取当 5. n =2222226.4.(1)(1)(1)12 7.: (1)l n n n n n n n εεεεεεεε? ??-+-?? ++故而 求下列各极限的值证证32232244 432 220. 310013/100/1(2)lim lim .4241/2/4(210)(210/)(3)lim lim 16.11/11(4)lim 1lim 1.n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n e n n →∞→∞→∞→∞→∞---→∞ →∞==+-+-==-+-+++==++?? ????+=+=?? ? ??? ?????? 习题1.1 2 222 2 2222 22222 2 22 2 . ,,.3,3.3, ,313 2.961,9124,3 1.3,93,3,3., ,. ,,,, p p p q p q p q q p p k p k p k k p k k p p k k q q k q p q p a a a b p a pb b b === =+=+=++=++ === === 为互素自然数除尽 必除尽否则或除将余故类似得除尽与互素矛盾. 设是正的素数 为互素自然数,则素 证 2. 证 1. 2 22222 2 ,, .,.., : (1)|||1| 3.\;(2)|3| 2. 0,13,22,1,(1,0); 01,13,13,(0,1); 1,13,3/2,(1,3/2). (1,0)(0,1) p a p a a pk p k p b pk b p b a b x x x x x x x x x x x x x x x X === +-<-< <-+-<>->-- <<+-<< >+-<< =-? 数除尽故除尽 类似得除尽此与为互素自然数矛盾. 解下列不等式 若则 若则 若则 3. 解 (1) 222 (1,3/2). (2)232,15,1||5,1||(1). ,(1)||||||;(2)||1,|||| 1. (1)|||()|||||||||,||||||. (2)|||()|||||| x x x x x a b a b a b a b a b a a b b a b b a b b a b a b a b a b b a b b ? -<-<<<<<<<=?- +≥--<<+ =++-≤++-=+++≥- =+-≤+-< 设为任意实数证明设证明 证 4. , | 1. (1)|6|0.1;(2)||. 60.160.1. 5.9 6.1.(, 6.1)( 5.9,). (2)0,(,)(,);0,;0,(,). 1 1,01,. 1, 1.11 x x a l x x x x X l X a l a l l x a l X a a n n a b a + +>-> +>+<->-<-=-∞-?-+∞ >=++∞?-∞-=≠<=-∞+∞ - ><< >=>-=-= 解下列不等式 或或 若若若 若证明其中为自然数 若 解(1) 证 5.: 6. 12 00 00 1)(1)1). (,),(,). 1/10. {|}.(,),,{|}, 10 {|}./10,(1)/10, /10(1)/101/10 n n n n n n n n n n n b b n a b a b n b a m A A m A a b A B C B A x x b C A x x a B m m C b a m m -- +++> <- =∈?=?=?=?≥ =?≤-∈ -≤- Z 设为任意一个开区间证明中必有有理数 取自然数 满足考虑有理数集合 =若则 中有最小数 -= 证 7. (,),(,). 1/10.|}. 10 n n n n a b a b m n b a A m <-=∈Z ,此与的选取矛盾. 设为任意一个开区间证明中必有无理数 取自然数 满足考虑无理数集合 以下仿8题. 8. 证 习题1.2 习题3.2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2111.ln ln ln ln 2 2 2 111 ln ln ln .2 2 222 4 1 1112 2.1212212 a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x xd x xd x x x d x x x x x x x d x x xd x x C x x e d x x d e x e e d x x e xe d x a a a a a x x e xd e x e e e d x a a a a a x e a == - =- =-= -+==- = - =-=-+=- ??? ???????? 求下列不定积分 :2 2 2 3 2232 122 122.1 11 3.sin 2co s 2co s 2co s 22 2 2 11co s 2sin 2. 2 4 4.arcsin arcsin arcsin arcsin 1arcsin 2 a x a x a x a x a x x xd e x e e e C a a a a x e x C a a a x xd x xd x x x xd x x x x C xd x x x xd x x x x x x = - + +??=-++ ? ??=-=- + =- + +=-=- =+ =? ????? ? ? arcsin . x C + 2 2 2 2 222222225.arctan arctan arctan arctan 11(1)1arctan arctan ln (1).2 12 1116.co s 3co s 3co s 3co s 32 2 2 1313co s 3sin 3co s 3sin 3222 4 1x x x x x x x x xd x xd x x x xd x x x x d x x x x x x C x I e xd x xd e e x e d x e x e xd x e x xd e =-=- ++=-=- +++== =- =+= + =?? ?? ?????() ()22222223 co s 3sin 33co s 324 139co s 3sin 3, 24 44131co s 3sin 32co s 33sin 3.132413sin 37.sin 3sin 33co s 3sin 33co s 3sin 33x x x x x x x x x x x x x x x e x e x e xd x e x e x I I x x e C x x e C x I d x xd e e x e xd x e e x xd e e x e -------+-=+ - ??= ++=++ ? ?? ==-=-+=--=--?? ???( )co s 33sin 3x x e xd x -+? 2012-2013学年第一学期 《C程序设计基础》期中考试2012.11 所有答案全部写在答卷纸上! 一、填空题(共20分,每空2分) [1]若有定义语句:int a=4;,则表达式:(a--)+(--a)的值是__6__。 [2]若有语句double x=21;int y;,当执行y=(int)(x/5)%2;之后y的值为 ________1________。 [3]若变量x、y已定义为int类型且x的值为99,y的值为9,请将输出语句 printf("x/y=%d\n", x/y);补充完整,使其输出的计算结果形式为:x/y=11。[4]在printf格式字符中,以小数形式输出实数,并保留小数点后三位数字的输 出格式是__%0.3f____。 [5]以下程序的输出结果是__9.70__。 #include 习题5.3 1.: (1)5310(2)270(3)50(4)290(5)50(6)0.(1).(2).(3). (4).(5).(6). 2.: (1)(1,5,1)(3,2,2); (2)(5,2,8); (3)x z x y z y y z x y x y Oxz x z Oyz y Oxz -+=+-=+=-=--==---指出下列平面位置的特点平行于轴过原点平行于平面过轴平行于轴平面求下列各平面的方程平行于轴且通过点和平行于平面且通过点垂直于平解451(2,7,3)(0,0,0); (4)(5,4,3)(2,1,8). (1)(0,1,0),(2,7,3),01 0(3,0,2).2733(1)2(1)0,3250. (2) 2. (3)(1,4,5),(2,7,3),145(47,13,1). 273 47x y z Oyz x z x z y -+=---==-==-------=+-===-=-=-=----面且通过点及垂直于平面且通过点及解i j k a b n i j k a b n 1310. (4)(1,0,0),(7,5,5),100(0,5,5)5(0,1,1). 755 (4)(3)0,70.x y y z y z ++===-==-=---++-=-+=i j k a b n 3.(2,4,8),(3,1,5)(6,2,7). (5,3,3)(4,6,1). 533(15,17,42),461 15(2)17(4)42(8)0,1517422380. 4.1,A B C x y z x y z y z a a --=---=-----=--------+-=+-+=++=求通过点及的平面方程设一平面在各坐标轴上的截距都不等于零并相等,且过点(5,-7,4),求此平面的方程. x 5 a 解解a ,b i j k n =741,2,20.5.(2,1,2)(8,7,5),. (6,8,7).6(8)8(7)7(5)0,6871390. a x y z a a A B B AB x y z x y z -++==++-=--=-+-+-=++-=a 已知两点及求过且与线段垂直的平面解n 习题3. 2 1 3 2 1 2 2.,1. 4 3 (. 22 x y x y y y S y d y y === ?? =+=+= ? ?? ? 与 解 2 2 2 2 3 2 1 3 2 3 1 3.21 1. 21 (1)21, 1 40,0,1;4, 3. 1 1(1) 2 3116 . 2263 y x x y y x x x x y x x x y x y S y y d x y y y - - =+-= ?=+ -=+ ? -= ? -===-== ?? =+-- ? ?? ?? =+-= ? ?? ? 与 解 22 2 22 2 5.42. 4 42, 2 y x y x x y x x x x y x x =-=-- ?=- ? -=-- ? =-- ?? 与 解 22 2 4 2 2 1 1 23/22 : 1.. ,, (1)(1)0,0, 1. 211 ). 333 y x x y y x x x x y x x x x x x S x d x x x == ?= ? = ? = ?? -++=== ?? ==-= ? ?? ? 求下列曲线所围成的的图形的面积 与 求交点 解 : 2 2 22 2 2424 00 /2 242 2 (sin) 4.0 02(a>0) (1co s) (1co s)(sin) (1co s) 4sin8sin 2 3 16sin16 422 3. x a t t y t y a t S a t d a t t a t d t t a d t a ud u a ud u a a π π ππ π π π π =- ? =≤≤ ? =- ? =-- =- == == = ? ? ?? ? 与 习题1.4 22 1.- (1)lim0);(2)lim;(3)lim;(4)lim cos cos. 1)0,|, ,||.,||,|,lim (2)0 x a x a x a x a x a x a a x a e e x a x a x a εδ εε εδδεε →→→→ →=>=== ?>=<< <-<=-<<=?> 直接用说法证明下列各极限等式: 要使由于 只需取则当时故 证( 22 2222 ,|| 1.||||||, |||||2|1|2|, 1|2|)||,||.m in{,1},||, 1|2|1|2| ||,lim (3)0,.||(1),01),1 x a x a a x a x a x a x a x a x a x a x a a a a x a x a x a a a x a x a x a e e e e e ε εε εδδε ε → -- -<-=+-< +≤-+<+ +-<-<=-< ++ -<= ?>>-=-<<-< 不妨设要使由于 只需(取则当时故 设要使即( . 0, ||, x a x x a ε ε δ → < ?≤- = 故 取 (4) 2.() |() (1)lim x x u f x f x → =设在该邻 对 求 证 3. 2 22 000 00 2 2 1 2 2 (2)lim lim lim1. 222 2 (3)lim lim0). 22 (4)lim. 2233 2 (5)lim 22 x x x x x x x x x x a x x x x x x x x x →→→ →→ → → ???? ? ==== ? ? ?? ==> --- = --- -- -- 2 . 33 - = -北大版高等数学第4章习题集解答
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