习题六
1. 指出下列各微分方程的阶数：
(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶 2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：
2(1)2,5xy y y x '==;
解：由2
5y x =得10y x '=代入方程得
22102510x x x x ⋅=⋅=
故是方程的解.
(2)0,3sin 4cos y y y x x ''+==-;
解：3cos 4sin ;3sin 4cos y x x y x x '''=+=-+
：
代入方程得 3sin 4cos 3sin 4cos 0x x x x -++-=. 故是方程的解.
2(3)20,e x y y y y x '''-+== ;
解：2222e e (2)e ,(24)e x x x x
y x x x x y x x '''=+=+=++
代入方程得 2e 0x
≠. 故不是方程的解.
12121212(4)()0,e e .x x y y y y C C λλλλλλ'''-++==+
解：12122211221122e e ,e e x x x x y C C y C C λλλλλλλλ'''=+=+
代入方程得
1212122211221211221212e e ()(e e )(e e )0.x x x x x x C C C C C C λλλλλλλλλλλλλλ+-++++=
<
故是方程的解.
3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：
22(1)(2)2,;x y y x y x xy y C '-=--+=
证：方程
22x xy y C -+=两端对x 求导： 220x y xy yy ''--+= 得
22x y y x y -'=
- 代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.
2(2)()20,ln().xy x y xy yy y y xy '''''-++-==
证：方程ln()y xy =两端对x 求导：
11y y x y ''
=
+ (*)
@
得
(1)y y x y '=
-.
(*)式两端对x 再求导得
2
2211(1)1y y x x y y ⎡⎤''+=-
⎢⎥--⎣⎦
将,y y '''代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.
4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：
220(1),5;x x y C y =-==
解：当0x =时，y =5.故C =-25
故所求曲线为：2
2
25y x -=
21200(2)()e ,0, 1.x x x y C C x y y =='=+==
解： 2212(22)e x y C C C x '=++
…
当x =0时，y =0故有10C =. 又当x =0时，1y '=.故有21C =.
故所求曲线为：2e x
y x =.
5. 求下列各微分方程的通解：
(1)ln 0xy y y '-=;
解：分离变量,得 d 1
d ln y x
y y x =
积分得 11d ln d ln y x y
x =⎰⎰ ln ln ln ln y x c =+
ln y cx =
得 e cx
y =.
)
(2)y '=
解：分离变量，得
=
积分得
=得通解：
.c -=-
(3)(e e )d (e e )d 0x y x x y y x y ++-++=;
解：分离变量，得 e e d d 1e 1e y y
y x
y x =-+
积分得
ln(e 1)ln(e 1)ln y x
c --=+- 得通解为
(e 1)(e 1)x y c +-=. (4)cos sin d sin cos d 0x y x x y y +=;
解：分离变量，得 cos cos d d 0sin sin x y
x y x y +=
.
积分得 lnsin lnsin ln y x c += 得通解为 sin sin .y x c ⋅=
(5)y xy '=;
解：分离变量，得 d d y
x x y =
积分得 21
1
ln 2y x c =+
得通解为 2
112
e
(e )x c y c c ==
(6)210x y '++=;
解： 21y x '=-- 积分得
(21)d y x x
=--⎰
得通解为
2
y x x c =--+. -
32(7)4230x x y y '+-=;
解：分离变量，得 23
3d (42)d y y x x x =+ 积分得 342
y x x c =++
即为通解.
(8)e x y y +'=.
解：分离变量，得 e d e d y x
y x -=
积分得
e d e d y x y x -=⎰⎰
得通解为： e e y
x
c --=+.
6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：
20(1)e ,0x y x y y -='== ;
;
解：分离变量，得
2e d e d y x y x =
积分得 21
e e 2y x c
=+. 以0,0x y ==代入上式得12c =
故方程特解为 21
e (e 1)
2y x =+.
π2
(2)sin ln ,e
x y x y y y ='== .
解：分离变量，得 d d ln sin y x
y y x =
