3.5。二维随机变量函数的分布

二维连续型随机变量的函数分布

二维连续型随机变量的函数分布指的是，通过对一个或两个二维连续型随机变量进行函数变换而得到的新的随机变量的分布。可以通过变换法来求解函数分布。

假设有两个二维连续型随机变量 X 和 Y，它们的联合概率密度函数为 f(x,y)。现在定义 Z = g(X,Y) 为它们的函数变换，其中 g

是一个实数函数。则 Z 的概率密度函数为：

fz(z) = ∫∫f(x,y) · δ(g(x,y) - z) dxdy

其中，δ(·) 是狄拉克 delta 函数，它表示在 g(x,y) - z =

0 时取值为无穷大，在其他情况下取值为 0。

需要注意的是，变换后的 Z 只有在 g(X,Y) 的值落在一定的区间内才有非零的概率密度，否则概率密度为0。因此，需要对变换后的 Z 的取值区间进行限制，使得变换后的随机变量的取值范围为合理的值域。

函数分布在概率论和数学中有广泛的应用，例如在统计分析、机器学习、信号处理等领域都使用到了函数分布的求解和应用。

二维随机变量及其概率分布复习资料

内容摘要

一、二维随机变量

设随机试验的样本空间为Ω，X和Y是定义在Ω上的两个随机变量（X，Y）为二维随机变量或二维随机向量。

1． 联合分布函数

设（X，Y）是二维随机变量，yx,是任意实数，函数

F（x,y）=P{X≤x,Y≤y}

称为（X，Y）的分布函数，或称随机变量X与Y的联合分布函数.

2． 联合分布函数的性质

（1） 0≤F（x,y）≤1;

（2） F(x,- ∞)= F(-∞,y)= F(-∞,- ∞)=0

F(+∞,+ ∞)=1;

（3） F(x,y)对x和y分别是不减的.即对于固定的y，若

x1

F(x，y1)≤F(x，y2)；

（4） F（x，y）关于x右连续，关于y右连续，即

F（x+0，y）=F（x，y），F（x，y+0）=F（x，y）。

（5） 对于任意的点(x1，y1)，(x2，y2)，x1

F(x2,y2)-F(x2,y1)-F(x1,y2)+F(x1,y1)≥0.

3.二维离散型随机变量

如果二维随机变量(X，Y)所有可能取的数对为有限个或可数个，则称（X，Y）为二维离散型随机变量．并且称

Ｐ｛Ｘ＝i, Y=yj｝=ijp,i,j=1,2…

为（Ｘ，Ｙ）的分布律，或称做Ｘ与Ｙ的联合分布律．

分布律也可用表格列出：

分布律满足下列３条性质：

４．二维连续型随机变量

设（Ｘ，Ｙ）的分布函数为Ｆ（x，y），如果存在非负函数

f（x，y），使得对任意实数x，y都有

则称（Ｘ，Ｙ）为二维连续型随机变量，函数f（x，y）称做（Ｘ，Ｙ）的概率密度，或Ｘ，Ｙ的联合概率密度．

f（x，y）具有下列性质：

（１）f(x,y)≥ 0,

（２） f(x,y)dxdy=1

（３）若f（ x，y）在点（x，y）连续，则有

（４）设Ｄ为xOy平面上的区域，则

P{(x,y)∈D}=Df(x,y)dxdy

二、边缘分布

１．边缘分布函数

/kaoyan/

考研数学中怎么求随机变量函数的分布？（二维离散型）

二维随机变量函数的分布最近几年几乎每年必考，是概率论与数理统计的重中之重，解答题的第一题往往就考察这一点。二维随机变量函数的分布主要有三种题型：二维离散型、二维连续性、一个离散一个连续型。我们先看最简单的一种情形——二维离散型，下面文都教育给大家总结一下处理二维离散型问题的方法。需要指出的是二维离散型和一维离散型处理问题的方法比较类似，有了一维的基础二维比较容易掌握。

【问题陈述】随机变量函数的分布（二维离散型）

设已知二维随机变量YX,的分布（一般为分布律），YXgZ,且Z为离散型，求Z的分布。

【思路方法总结】

和一维类似只需要找两个东西即可：Z的取值和相应的概率。具体步骤为：

（1）列出Z的全部可能取值；

（2）求出上述取值相应的概率。

【例题讲解】

例1. 设随机变量X与Y独立同分布，且X的概率分布律为：

312,321XPXP，求（1）YXZ,max的概率分布；

（2）YXW,min的概率分布；（3）WZ,的概率分布。

解析：（1）Z的可能取值为2,1。 /kaoyan/

94111,11,max1YPXPYXPYXPZP，

95112ZPZP。

故Z的分布律为：

Z 1 2

P 94

95

（2）W的可能取值为2,1。

91222,22,min2YPXPYXPYXPZP，

98211ZPZP。

故W的分布律为：

W 1 2

P 98 91

（3）由题意ZW，故02,1WZP。而

94111,11,1YPXPYXPWZP；

二维随机变量分布公式掌握二维随机变量分布的公式

二维随机变量的概率分布函数（probability distribution function，简称PDF）是用来描述随机变量取值与其对应的概率之间的关系。在概率论与数理统计中，我们经常需要对二维随机变量的分布进行建模和分析，因此掌握二维随机变量分布的公式是非常重要的。

一、离散型二维随机变量分布公式

对于离散型二维随机变量，其取值只能是有限个或者可列个。假设随机变量(X,Y)的可能取值为{(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn)}，其对应的概率为{P(X=x1,Y=y1),P(X=x2,Y=y2),...,P(X=xn,Y=yn)}。

离散型二维随机变量的分布可以用概率质量函数（probability mass

function，简称PMF）来描述，其计算公式为：

P(X=x,Y=y) = P(X=xk,Y=yk) for (x,y) = (xk,yk)

其中，xk和yk分别为二维随机变量(X,Y)的取值。

二、连续型二维随机变量分布公式

对于连续型二维随机变量，其取值可以是任意实数。假设随机变量(X,Y)的概率密度函数（probability density function，简称PDF）为f(x,y)，则对于任意给定的区域A，有：

P((X,Y)∈A) = ∬Af(x,y)dxdy 其中，(X,Y)∈A表示(X,Y)在区域A内取值，∬表示对区域A进行二重积分。从而，我们可以通过计算二重积分来求得连续型二维随机变量的概率。

三、二维随机变量的边缘分布

边缘分布是指在二维随机变量(X,Y)的分布中，将其中一个随机变量的取值固定下来，对另一个随机变量的分布进行描述。对于离散型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过将概率加和。对于连续型二维随机变量，边缘分布的计算可以通过对概率密度函数进行积分。

1. X的边缘分布：P(X=x) = ∑P(X=x,Y=y) for all y（离散型）, f_x(x)