2015高中数学 1.3.1函数的单调性与导数课件 新人教A版选修2-2

1 1.3.1单调性与最大（小）值（第二课时）教学设计

一、学情分析

本节课是人教版《数学》（必修Ⅰ）第一章第3节函数的单调性与最大（小）值的第二课时，次要学惯用符号言语刻画函数的的最大（小）值，并能用函数的单调性和函数的图象进行一些常见函数最值的求值.

在此之前，先生对函数曾经有了一个初步的了解，同时，由于上一节曾经学习函数单调性的定义，先生能初步理解用数学言语抽象概括函数概念的必要性和表达方式，为函数最值概念的构成提供极大帮助.因而本节课经过函数的图象，先生容易找出相应的最大值和最小值.但这只是感性上的认识.为了让先生有一个从具体到抽象、特殊到普通的认识过程，本节课经过设计成绩串，逐渐让先生用数学言语描述函数最值的概念，并利用对概念的辨析深化了解最值的内涵.

二、教学目标：

1．知识与技能

（1）理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义.理解函数的最大（小）值是函数的全体性质.

（2）能解决与二次函数有关的最值成绩，和利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值，掌握用函数的思想解决一些理论成绩.

2．过程与方法

经过日常生活实例，引导先生进行分析、归纳、概括函数最值的概念.并借助函数的单调性，从数到形，以形助数，逐渐浸透、培养先生数形结合思想、分类讨论思想、优化思想.

3．情感、态度与价值观

以丰富的实例背景引入，让先生领会数学与日常生活毫不相关.在概念的构成过程中，培养先生从特殊到普通、从直观到抽象的思想提升过程，让先生感知数学成绩求解途径与方法，享用成功的快乐.

三、重点、难点：

重点：建构函数最值的概念过程，利用函数的单调性和函数的图象求函数的最值.

难点：函数最值概念的构成.高一先生的逻辑思想和抽象概括能力较弱，面对抽象的方式化定义，容易产生思想妨碍.对此，本课紧紧捉住新旧知识间的内在联系，设置一系列成绩，让先生充分参与定义的符号化过程，从图形言语和自然言语向数学符号言语转化，逐渐打破难点. 2 四、教学过程：

【必备知识点】

1.函数的单调性与导数的关系

我们知道，如果函数()fx在某个区间是增函数或减函数，那么就说()fx在这一区间具有单调性.

已知函数2()43fxxx的图象如图所示，

由函数的单调性易知，当2x时，()fx是减函数；当2x时，()fx是增函数.现在我们看看各个单调区间内任意一点的切线情况：

考虑到曲线()yfx的在某点处切线的斜率就是函数()fx在改点的导数值，从图象可以看到：

在区间（－∞，2）内，任意一点的切线的斜率为负，即'()240fxx 时，()fx为减函数.

在区间（2，+∞）内，任意一点的切线的斜率为正，即'()240fxx 时，()fx为增函数.

导数的符号与函数的单调性：

一般地，设函数()yfx在某个区间内有导数，则在这个区间上， 专题三 求函数的单调区间 （1）若()0fx，则()fx在这个区间上为增函数；

（2）若()0fx，则()fx在这个区间上为减函数；

（3）若恒有()0fx，则()fx在这一区间上为常函数.

反之，若()fx在某区间上单调递增，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）；若()fx在某区间上单调递减，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）．

2.利用导数研究函数的单调性

利用导数判断函数单调性的基本方法：

设函数()yfx在区间（a，b）内可导，

（1）如果恒有'()0fx，则函数()fx在（a，b）内为增函数；

（2）如果恒有'()0fx，则函数()fx在（a，b）内为减函数；

（3）如果恒有'()0fx，则函数()fx在（a，b）内为常数函数.

【典例展示】

例1. 确定函数32()267fxxx的单调区间.

【解析】第一步：确定函数的定义域：

()fx的定义域为R；

第二步：求导：

2'()6126(2)fxxxxx，

第三步：

方法一：解不等式'()0fx确定函数的单调增区间：

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教学设计 中学数学

教学设计：

§1.3.《函数的单调性》教学设计

一 【教材分析】

《函数单调性》是高中数学新教材必修一第二章第三节的内容。在此之前，学生已学习了函数的概念、定义域、值域及表示法，这为过渡到本节的学习起着铺垫作用。本节内容是高中数学中相当重要的一个基础知识点，是研究和讨论初等函数有关性质的基础。掌握本节内容不仅为今后的函数学习打下理论基础，还有利于培养学生的抽象思维能力，及分析问题和解决问题的能力.

二 【学生分析】

从学生的知识上看，学生已经学过一次函数，二次函数，反比例函数等简单函数，函数的概念及函数的表示，接下来的任务是对函数应该继续研究什么,从各种函数关系中研究它们的共同属性，应该是顺理成章的。从学生现有的学习能力看，通过初中对函数的认识与实验，学生已具备了一定的观察事物的能力，积累了一些研究问题的经验，在一定程度上具备了抽象、概括的能力和语言转换能力。

从学生的心理学习心理上看，学生头脑中虽有一些函数性质的实物实例，但并没有上升为“概念”的水平，如何给函数性质以数学描述?如何“定性”“定量”地描述函数性质是学生关注的问题，也是学习的重点问题。函数的单调性是学生从已经学习的函数中比较容易发现的一个性质，学生也容易产生共鸣，通过对比产生顿悟，渴望获得这种学习的积极心向是学生学好本节课的情感基础。

三 【 教学目标】 2 1、知识与技能：

（1）建立增（减）函数的概念

通过观察一些函数图象的特征，形成增（减）函数的直观认识. 再通过具体函

数值的大小比较，认识函数值随自变量的增大（减小）的规律，由此得出增（减）函数单调性的定义 . 掌握用定义证明函数单调性的步骤。

（2）函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛。

2、过程与方法

（1）通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性及其几何意义；

1．1.3

导数的几何意义

1．割线斜率与切线斜率

设函数y＝f(x)的图象如图所示，AB是过点A(x0，f(x0))与点B(x0＋Δx，f(x0＋Δx))的一条割线，此割线的斜率是ΔyΔx＝□01fx0＋Δx－fx0Δx.

当点B沿曲线趋近于点A时，割线AB绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线AD叫做此曲线在点A处的□02切线．于是，当Δx→0时，割线AB的斜率无限趋近于过点A的切线AD的斜率k，即k＝f′(x0)＝□03limΔx→0 fx0＋Δx－fx0Δx.

2．导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x0处的导数的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的□04斜率．也就是说，曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率是□05f′(x0)．相应地，切线方程为□06y－f(x0)＝f′(x0)·(x－x0)．

3．函数的导数

当x＝x0时，f′(x0)是一个确定的数，则当x变化时，f′(x)是x的一个函数，称f′(x)是f(x)的□07导函数(简称□08导数)．f′(x)也记作y′，即f′(x)＝y′＝□09limΔx→0 fx＋Δx－fxΔx.

“函数f(x)在点x＝x0处的导数”“导函数”

“导数”三者之间的区别与联系

(1)函数在某一点处的导数：就是在该点处的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变量．

(2)导函数：如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说f(x)在开区间(a，b)内可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝limΔx→0 ΔyΔx＝limΔx→0

fx＋Δx－fxΔx.

(3)导函数也简称导数．