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函数的最值与导数说课课件综述

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《导数和极值》课件

《导数和极值》课件

反函数的导数
若$f'(x) neq 0$，则反 函数在相应点的导数为
$frac{1}{f'(x)}$。
高阶导数
二阶导数
二阶导数表示函数图像的弯曲程度， 即函数在某点的切线斜率的斜率。
三阶导数
高阶导数的计算方法
通过连续求导，直到得到所需的高阶 导数。高阶导数的计算在研究函数的 极值、拐点、曲率等方面具有重要意 义。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线的斜率，即函数图像上某一点处切线 的斜率。
详细描述
导数的几何意义是切线的斜率。在函数图像上，任意一点的 切线斜率即为该点的导数值。导数越大，表示函数在该点附 近上升或下降得越快；导数越小，表示函数在该点附近变化 得越慢。
导数的物理意义
总结词
导数的物理意义是速度和加速度，可以用于描述物理量随时间的变化率。
05 导数和极值的应用
导数在几何中的应用
切线斜率
导数在几何中常用于求曲 线的切线斜率，从而研究 曲线的形状和变化趋势。
函数单调性
通过导数可以判断函数的 单调性，对于研究函数的 极值和最值问题具有重要 意义。
极值判定
导数在几何中还可以用于 判定函数的极值点，从而 确定函数的最值。
导数在物理中的应用
详细描述
导数在物理中有重要的应用，它可以描述物理量随时间的变化率。例如，速度是 位移对时间的导数，加速度是速度对时间的导数。通过导数，可以分析物理现象 的变化规律和动态特性。
02 导数的计算
导数的基本公式
01
02
03
04
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
一次函数导数
对于函数$f(x) = ax + b$， 其导数为$f'(x) = a$。

《函数的最值与导数》PPT课件

《函数的最值与导数》PPT课件
4
函数在闭区间上的最值：含参+讨论
4.已 知 函 数f ( x) x4 4x3 ax2 1在 区 间[0,1]上 单 调 递 增, 在 区 间 [1,2)上 单 调 递 减. (1)求a的 值;(2)在 区 间[2,2]上 求 函 数 的 最 大 值 与 最小 值. 5.已 知 函 数f ( x) x3 3x2 9x a. (1)求f ( x)的 单 调 递 减 区 间; (2)若f ( x)在 区 间[2,2]上 的 最 大 值 为20,求 它 在 该 区 间 上 的 最 小值. 6.已 知a是 实 数,函 数f ( x) x2( x a). (1)若f (1) 3,求a的 值 及 曲 线y f ( x)在 点(1, f (1))处 的 切 线 方 程; (2)求f ( x)在 区 间[0,2]上 的 最 大 值. 7.若f ( x) ax3 6ax2 b, x [1,2]的 最 大 值 为3,最 小 值 为 29, 求a, b的 值.
e f ( x) m恒 成 立,求 实 数m的 取 值 范 围.
6
2 2.求函数f ( x) x 2 x ( x [0,4])的最大值与最小值.
当f(x)为连续函数且在[a,b]上单调时，其最 大值、最小值在区间端点处取得.
3.求函 数f ( x) xe x ( x ) 的最 大值与 最小值.
当f(x)为连续函数且在(a,b)内只有一个可疑点时， 若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以断 定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a,b)也 可以是无穷区间——单峰函数
问题：在闭区间内怎样找函数的最大值和最小值？
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求f(x)在(a,b)内的极值；

数学：3.3.3《函数的最值与导数》课件(新人教b版选修11)

数学：3.3.3《函数的最值与导数》课件(新人教b版选修11)

知识回顾
1．最大值 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果
存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值
2．最小值
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果 存在实数M满足：
（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值
x -1 （-1,2） 2 （2，4） 4
f (x)
-
0
+
f (x) 8
-1
3
故函数f (x) 在区间[-1，4]内的最大
值为8，最小值为-1
一般地，求函数y=f(x)在[a,b]上的 最大值与最小值的步骤如下：
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或 极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与端点处函数值f(a) f(b)比较,其中最大的一个为最大值，最小 的
x 1 （1,2） 2 （2,5） 5
y，
-0+
y3
2
11
故函数f(x) 在区间[1，5]内的最大值 为11，最小值为2
练习
2、 函数y=x3-3x2，在［－2，4］上的
最大值为( C )
A.-4 B.0 C.16 D.20
2019年8月22日1时55分
16
3.已知函数y=-x2-2x+3在区间[a,2] 上的最大值为 15 ，则a等于（ ）
值. 课本P99第6题的（1）、（2）
/ 酷纹身
己麾下猛将如雨,谋士如雨,暗中更有四大影卫保护,还有壹身神装,放眼天下能刺伤自己の根本没一些,所以东舌根本否需要担忧自己の安危.壹番权衡,东舌拂手

函数的最值与导数公开课课件

函数的最值与导数公开课课件

在工程中的应用
优化设计
控制系统的设计
在工程设计中，导数可以用来优 化设计方案，例如通过求结构函 数的导数来优化结构的形状和尺寸。
导数可以用来设计控制系统的反 馈机制，从而确保系统的稳定性 和性能。
流体动力学
在流体动力学中，导数可以用来 描述流体的速度场和压力场，从 而分析流体动力学现象。
06
总结与展望
二阶导数法
判断极值性质
二阶导数可以判断极值点的性质，如是否为 极大值或极小值。
确定拐点
二阶导数为0的点可能是拐点，即函数图像 的凹凸性改变的点。
判断最值
结合一阶导数和二阶导数的信息，确定最值。
无穷区间上的最值求法
确定函数的极限
对于在无穷区间上的函数，需要确定其在无穷远 处的极限值。
判断单调性
通过分析函数在无穷区间上的单调性，确定最值 的性质。
导数与函数单调性
总结词
导数的符号决定了函数的单调性。
详细描述
如果导数在某区间内大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数在某区间内小于0，则函数在此区 间内单调递减。因此，通过分析导数的符号变化，可以判断函数的单调性。
导数与极值点
总结词
导数为0的点可能是函数的极值点。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，如果导数在某一点的值为0，且在该点附近两侧 的导数值由正变负或由负变正，则该点可能是函数的极值点。因此，通过求解导数为0
的点，并结合该点附近导数的符号变化，可以判断函数的极值点。
03
函数最值的求法
一阶导数法
确定函数的单调性
通过求一阶导数，判断函数在某区间内的单调 性，从而确定最值的可能位置。
判断极值点

《函数的极值与导数》课件

《函数的极值与导数》课件
极大值和极小值是极值的 两种分类，取决于导数的 变化情况。
应用示例
求函数的极值
通过求导和分析导数的变化，可以确定函数的极值 点和对应的极值。
求解实际问题
将实际问题转化为数学模型，并通过求导求解极值 来得到最优解。
端点的极值
函数定义域的端点如果存在极值，则称为端点描述函数在某一点处 的变化率，即函数曲线在 该点的切线斜率。
2 导数的意义
导数可以帮助我们分析函 数的变化趋势和特征，以 及确定函数的极值。
3 导数的符号表示
通常用f'(x)、dy/dx或y'来 表示函数f(x)的导数。
2
得到一些常见函数的导数表达式。
利用导数的性质，可以对复杂函数进行
四则运算的求导。
3
导数的链式法则
对复合函数求导时，可以使用链式法则 进行求导。
极值的判定
1 极值的必要条件
函数在极值点处的导数为 零或不存在。
2 极值的充分条件
当函数在极值点的导数发 生变号时，即可判断该点 为极值的充分条件。
3 极值的分类
导数与函数的关系
导数刻画函数的变化 趋势
导数的正负性可以描述函数的 单调性和变化趋势。
导数判断函数的单调 性
函数在导数大于零的区间上单 调递增，在导数小于零的区间 上单调递减。
极值与导数的关系
极值出现的地方，导数为零或 不存在。
导数的计算
1
基本导数公式
根据函数的基本性质和求导法则，可以
导数的四则运算
《函数的极值与导数》 PPT课件
欢迎来到《函数的极值与导数》PPT课件！本课程将带你深入了解函数的极值 和导数的概念，以及它们之间的关系。准备好迎接这趟知识之旅了吗？让我 们开始吧！

函数的最值与导数说课课件

函数的最值与导数说课课件

a , f 比 b
过程分析
• (五）典型演练，强化应用
例一：求函数 最大值和最小值。
f ( x) x3 2 x 2 5
在区间
2,2
上的
例二：如图所示，一边长为48cm的正方形铁皮，四角截去大小相同 的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方形 容器，所得容 器的容积V是关于截去的小正方形的边长x的函数 (1)随x的变化容积V是如何变化的？ (2)截去的小正方形的边长为多少是，容器的容积最大？最大容积是 多少？
极值与最值的区别于联系实际问题中的数学建模思想和用导数知识解模方法本节课采用启发式教学方法通过具体函数的极值和闭区间上的最值问题的研究让学生探索发现极值和最值的区别和联系并引导学生总结归纳求闭区间函数最值的方法
导数的应用
函数的最值与导数
教材分析 教法分析
学法分析 过程分析 板书设计
一：地位与作用
总结： a, b 上 一般的函数 y f ( x) 在 a, b 上连续，在 可导，利用导数求 函数在该闭区间上最值的方法步骤如 下： （1）求 y f ( x) 在 a, b 内的极值，





（2）将函数 y f ( x) 的各极值与端点处的 f 较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
学法分析
学生通过观察、归纳、猜想等方 法通过合情推理发现求函数最值 的个方法，在学习过程中培养数 形结合思想。
过程分析
巩 固 练 习 ， 课 堂 总 结 典 例 演 练 ， 强 化 应 用 归 纳 总 结 ， 揭 示 规 律 追 踪 成 果 ， 深 入 探 究 观 察 分 析 ， 初 步 探 究 有 效 设 问 ， 引 入 新 课
二：教学目标

《函数的最值与导数》课件

《函数的最值与导数》课件
连续性
如果函数在某个区间内连续，则该区间内的最值要么出现在区间 的端点，要么出现在函数的不可导点。
函数最值的分类
极大值
在某个区间内，函数先递 减后递增，极大值出现在 递减到递增的转折点。
极小值
在某个区间内，函数先递 增后递减，极小值出现在 递增到递减的转折点。
局部最值
在某个区间内，函数先递 增后递减或先递减后递增 ，局部最值出现在递增或 递减的转折点。
导数的定义与性质
总结词
导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在该点的切线 斜率。导数具有一些重要的性质，如连续性、可导性和导数 的计算法则。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函数在该点的切线斜 率。导数具有连续性和可导性，这是函数在某一点光滑性的 表现。此外，导数还有一些基本的计算法则，如链式法则、 乘积法则、商的法则等。
无界函数的最大最小值
01
02
定义
求法
对于定义域无界的函数，其最大值和 最小值是指在整个定义域上的最大和 最小值。
对于开区间上的无界函数，其最大和 最小值可能不存在；对于半开半闭区 间上的无界函数，其最大和最小值可 能存在于区间端点上。
03
注意事项
对于无界函数的最大最小值的求解， 需要注意函数的性质和定义域的特点 ，以及数学上的严格定义和证明。
Part
03
利用导数求函数最值
一元函数最值
定义
一元函数在某区间上的最值点， 满足在该点处导数等于0或不存在 ，且该点两侧导数变号。
求法
先求导数，令导数等于0，解得驻 点；再判断驻点是否为最值点， 通过区间两端点的函数值与驻点 处的函数值比较得出。
注意事项
导数等于0的点不一定是最值点， 也可能是极值点；最值也可能出 现在区间端点上。

第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT

第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT

2．导数与函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 07 ___连__续__不__断___的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)上的 08 _极__值___. ②将函数 y＝f(x)的各极值与 09 __端__点__处__的__函__数__值__f(_a_)_，__f(_b_)_比较，其中 10 __最__大__的一个是最大值， 11 _最__小___的一个是最小值．
即 2x＋y－13＝0.
解
(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为 y－(12－t2)＝
－2t(x－t)，
令
x＝0，得
y＝t2＋12，令
y＝0，得
t2＋12 x＝ 2t ，
所以 S(t)＝12×(t2＋12)·t2＋2|t1| 2.
不妨设 t＞0(t＜0 时，结果一样)，
例 1 (2021·南昌摸底考试)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1
或 x＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②

函数的最值与导数 说课课件

函数的最值与导数 说课课件
又f(-1)-f(2)=9a>0, 所以 f(x)的最小值为f(2)=-16a+3=-29,故a=2
巩固练习，课堂总结
1.课本 P98 练习 P99 A组 5,6
2.求闭区间上连续函数的最学生运用导数 的基本思想去分析和解决问题的意 识和能力，即利用导数知识求封闭 区间上的可导连续函数的最值，导 数知识作为数学工具的一个具体体 现，整堂课对闭区间上的连续函数 的最值是否存在？在哪里？怎么求 ？为线索展开。
学生通过观察、归纳、猜想等方 法。加以合情推理发现求函数最值的 一般方法，在学习过程中培养学生的 数形结合思想。在本节课中，学生发 挥主体作用，主动思考探究求解最值 的最优策略，将知识主动归纳入已构 建的知识体系。
三、 说教学过程 二 说教法与学法
有 效 设 问 ， 引 入 新 课
观 察 分 析 ， 初 步 探 究
最小值. 在[0，3]上的最大值与
解：f(x)的图象在[0,3]上是连续不断的. 2
y x 4 ( x 2)(x 2)
令 y 0，解得 x1 2(舍去), x2 2
4 f (0) 4, f (2) , f (3) 1 3
函数在[0，3]上的最大值为4，最小值为
教学目标 一 、 知识与能力目标： 了解函数极值与
最值的区别与联系，会利用导数求闭区间上 函数的最值
二 、 过程与方法目标： 通过多举例和
函数图像的直观展示，引导学生发现函数极 值与最值的关系，掌握求函数最值的方法。
三 、 情感、态度和价值观： 激发学
生的探究精神，和数学学习兴趣
教学重难点
重点：利用导数求函数的最值的方法
1) 函数的最值是整体性的概念；
2) 函数的最大值（最小值）唯一；

高一数学函数的最值与导数PPT优秀课件

高一数学函数的最值与导数PPT优秀课件
口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
函数最值问题.
在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问 题，这就是我们通常所说的最值问题.
求函数最值的一般方法：
一是利用函数性质 二是利用不等式 三今天学习利用导数
f(x)在闭区间[a,b]上的最值：
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值)
例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在 点x=1处的切线互相平行，求a的值.
分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
即：6+aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2-a
例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1， 1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求 实数a、b、c的值.
6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A)单调递增函数 (B) (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在
一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于
()
(A) 8+2Δt (B) 4+2Δt
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2021/02/25
21
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值

函数的最大值与导数完整版课件

函数的最大值与导数完整版课件

解:设箱底边长为x,则箱高h=(60-x)/2.箱子容积
V(x)=x2h=(60x2-x3)/2(0<x<60).
令V(x)60x3x20,解得x=0(舍去),x=40.且V(40)=
16000.
2
由题意可知,当x过小(接近0)或过大(接近60)时,箱子
的容积很小,因此,16000是最大值.
答:当x=40cm时,箱子容积最大,最大容积是16000cm3.
3.应用问题要引起重视.
(1)利用函数的导数求函数的最值在求函数的值域、 不等式的证明及解法中有广泛的作用。
(2)在实际问题中如果可以判定可导函数在定义域内 存在最大(小)值,而且函数在这个定义域内又只有 唯一的极值点,那么立即可以判定,这个极值点的函 数值就是最大(小)值,这一点在解决实际问题时很 有用.
=-1-3a/2+b=-3a/2,所以 3a 6a 6.
22
3
延伸2:设p>1,0≤x≤1,求函数f(x)=xp+(1-x)p的值域.
说明:由于f(x)在[0,1]上连续可导,必有最大值与最小值, 因此求函数f(x)的值域,可转化为求最值.
解: f ( x ) p p 1 x p ( 1 x ) p 1 p [ x p 1 ( 1 x ) p 1 ].
从供应站B运到工厂C的运费最省,D应修在何处?
解:设DA=xkm,那么DB=(100-x)km,CD= 202 x2 400 x2km.
又设铁路上每吨千米的运费为3t元,则公路上每吨千 米的运费为5t元.这样,每吨原料从供应站B运到工厂 C的总运费为
y5tC D 3tB D 5t 40 x 0 23t(10 x 0 )
y’
-0
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不断的曲线,那么它f是(x否) 一定有最值?如果有的话,最
大值、最小值可能在什么地方取到？
b
a x1
x2
x3
x
过程分析
• （四）归纳总结，揭示规律
总结：
一般的函数 y f (x) 在
a,b 上连续，在 a,b
上
可导，利用导数求 函数在该闭区间上最值的方法步骤如
下：
（1）求 y f (x) 在 a,b 内的极值，
导数的应用
函数的最值与导数
教材分析 教法分析 学法分析 过程分析 板书设计
一：地位与作用
教材分析
本节内容是在学习了函数最值的概念，导数概念极值的
计算基础上进行的。学生已学习了观察法、图像法、配方 法、基本不等式法等方法求最值，但这些方法在解决一些 较为复杂函数最值时，有一定的局限性。通过本节的学习 可以很好解决这一问题，本节的学习加深了解导数在函数 中的应用，掌握求利用导数最值的一般方法，让学生体验 到导数作为工具在研究最值问题中的有效性和优越性。
学法分析
学生通过观察、归纳、猜想等方 法通过合情推理发现求函数最值 的个方法，在学习过程中培养数 形结合思想。
过程分析
巩
典
归
追观
有
固ห้องสมุดไป่ตู้
例
纳
踪察
效
练
演
总
成分
设
习
练
结
果析
问
，
，
，
，，
，
课
强
揭
深初
引
堂
化
示
入步
入
总
应
规
探探
新
结
用
律
究究
课
• （一）有效设问，引入新课
试问: 你能求函数
f (x) x 1 在其定义域 x
重点：用导数求函数最值。
用导数知识解决简单的实际生活中的最优化问题。
难点：极值与最值的区别于联系
实际问题中的数学建模思想和用导数知识解模方法
教法分析
• 本节课采用启发式教学方法，通 过具体函数的极值和闭区间上的 最值问题的研究，让学生探索发 现极值和最值的区别和联系并引 导学生总结归纳求闭区间函数最 值的方法。让学生主动获得知识。 教师引导学生应用知识，别学会 解决与实际生活有关的问题
过程分析
➢ 课堂总结：学习掌握利用导数求连续函数闭区间上的最值
问题。
➢ 布置作业：
作业一：课本91页习题4-2，A组2，4题
作业二：由练习2课下深入思考利用导数解决开区间函 数最值方法。
作业三：自己关注日常生活中的优化问题，思考能否 利用导数有效解决一些简单问题。
板书设计
课题
一:研究利用导数求最值问题
（2）将函数 y f (x) 的各极值与端点处的 f a, f 比b
较，其中最大的是最大值，最小的是最小值。
过程分析
• (五）典型演练，强化应用
例一：求函数 f (x) x3 2x2 5 在区间 2,2 上的
最大值和最小值。
例二：如图所示，一边长为48cm的正方形铁皮，四角截去大小相同 的小正方形，然后折起，可以做成一个无盖长方形 容器，所得容 器的容积V是关于截去的小正方形的边长x的函数
二：教学目标
1、知识与技能：掌握用导数的方法求函数的最值，掌握 用导数解决实际生活中的优化问题。
2过程与方法：培养学生观察、猜想、归纳、概括的能力。 体会从特殊到一般再到特殊研究问题的方法。
3.情感态度、价值观：认识事物之间的普遍联系与相互转 化的规律，激发学生的探究精神和学习兴趣。
教材分析
• 三：教学重点、难点
(1)随x的变化容积V是如何变化的？ (2)截去的小正方形的边长为多少是，容器的容积最大？最大容积是
多少？
过程分析
• （六）巩固练习，课堂总结
➢ 练习（1）：求函数 y x3 12 x2 45 x 10
在 0,10 上的最大值和最小值。
练习（2)：思考练习1中的闭区间改为开区间时，
还有没有最大最小值，若有何时取得最大最小值？
例一：
例二： 二:利用导数求最值问题方法步骤
内的极大值和极小值吗？它在定义域内是否有最 值？
过程分析
2
-1
1
x
-2
过程分析
• (二)观察分析初步探究
再问:
函数
f (x) x 1 x
在
1 3
,2
上是否有最值?若有最值,分
别在什么时候取最大值和最小值
2
-1 1 1 2
x
3
-2
• (三)追踪成果,深入探究
过程分析
探问:
如果在区间 a,b 上函数 y f (x) 图像是一条连续