函数的最值与导数.ppt

函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0

提醒：(1)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极 值点是函数在区间内部的点，不会是端点．
(2)对于可导函数f(x)，f ′(x0)＝0是函数f(x)在x＝x0处有极值的必要不充分条件． 例如f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (3)极大值(或极小值)可能不止一个，可能没有，极大值不一定大于极小值．
提醒：(1)极值是一个局部性概念，反映的是函数在某个点附近的大小情况，并不意 味它在函数的整个定义域内最大或最小；最值是一个整体性的概念，函数的最值是比较 某个区间内的所有函数值得出的．
(2)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点． (3)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点必为极值点． (4)连续函数的极值个数不确定，而函数在某一闭区间上的最大和最小值是唯一的．
②若 a<0，要使函数 f(x)在 x＝a 处取得极大值，则需 f(x)在a＋32b，a上单调递增，在 (a，＋∞)上单调递减，此时需满足 a>a＋32b，得 b<a<0，∴a2<ab.
综上可知，a2<ab，故选 D.
3．(角度 2)已知函数 f(x)＝x3＋6lnx，f ′(x)为 f(x)的导函数．求函数 g(x)＝f(x)－f ′(x) ＋9的单调区间和极值．
3 值点，则实数 a 的取值范围是____－__∞__，__－__14_∪___14_，__＋__∞__ ___．
【解析】
(1) 因 为
f′(x)
＝
3x2
＋
6mx
＋
n
，
由
题
有
f′－1＝0， f－1＝0，
即
3－6m＋n＝0， －1＋3m－n＋m2＝0，

这些命题中，真命题的个数是________． 【解析】 ②③正确． 【答案】 2
(2)[a，b]上连续不断的函数 f(x)在(a，b)上满足 f′(x)＞0，则 f(a)是函数的最______值，f(b)是函数的最______值．
【答案】 小，大
题型二 闭区间上函数的最值
例 2 求下列函数的最大值和最小值． ππ
y′
＋
0
－
0＋
y －2
2
－2
2
由上表知 f(x)最大值为 2.
【答案】 C
x－1 (2)求 y＝ ，x∈[0，4]的最大值和最小值．
x2＋1 【解析】 y′＝－（xx2＋2＋21x）＋21，
令 y′＝0，得 x＝1＋ 2和 x＝1－ 2(舍)． 又 f(0)＝－1，f(4)＝137，f(1＋ 2)＝ 22－1， ∴ymax＝ 22－1，ymin＝－1.
x f′(x)
f(x)
π －2
π 2
ππ (－ 2 ，－ 6 )
π －6
－
0
π－3 3 6
ππ (－ 6 ， 6 )
＋
π x
6
f′(x)
0
3 3－π f(x)
6
ππ (6，2)
－
π 2
π －2
π
π
从上表可知，最大值为 2 ，最小值为－ 2 .
(2)f′(x)＝3x2－3，令 f′(x)＝0，得 x＝±1. ∵f(－3)＝(－3)3－3×(－3)＋3＝－15， f(－1)＝(－1)3－3×(－1)＋3＝5， f(1)＝13－3×1＋3＝1， f(32)＝(32)3－3×32＋3＝185， ∴函数的最大值是 5，最小值是－15.
互动 2 函数的最大(小)值可以有多个吗？最大(小)值点 呢？

知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
【解】 (1)因 f(x)＝x3－6x2＋3x＋1， 所以 f′(x)＝3x2－12x＋3， ∴f′(x)＝3(x－2＋ 3)(x－2－ 3)． 当 f′(x)>0 时，x>2－ 3，或 x<2＋ 3； 当 f′(x)<0 时，2－ 3<x<2＋ 3. ∴f(x)的单调增区间是(－∞，2－ 3)，(2＋ 3，＋∞)，单调减 区间是(2－ 3，2＋ 3)．
解析：f′(x)＝x2－4＝(x－2)(x＋2)，令f′(x)＝0得，x1＝－2，x2＝2. 当x＜－2时，f′(x)＞0，－2＜x＜2时，f′(x)＜0，f(x)在x＝－2处取 得极大值．
答案：－2
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
x2＋a 5．若函数 f(x)＝ 在 x＝1 处取极值，则 a＝________. x＋1 解析：∵f(x)在 x＝1 处取极值，∴f′(1)＝0.
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
2．函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图 所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内极小值点的个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：极值点在f′(x)的图象上应是f′(x) 的图象与x轴的交点的横坐标，且极小 值点的左侧图象在x轴下方，右侧图象
知识要点
双基巩固
典型例题
易错辨析
提升训练
∵g(x)在 x＝0 和 x＝2 点处连续， 又∵g(0)＝1，g(1)＝2－ln 4，g(2)＝3－ln 9， 且 2－ln 4<3－ln 9<1， ∴g(x)的最大值是 1， g(x)的最小值是 2－ln 4. 所以在区间[0,2]上原方程恰有两个相异的实根时实数 a 的 取值范围是： 2－ln 4<a≤3－ln 9.

3.思考： 观察下图，当t=t0时高度h最大,
那么函数 h（t）在此点的导数是多少呢？ 此点附近的图象有什么特点？相应地，导数 的符号有什么变化规律？
关注用导数本质及其几何意义解决问题
二、新课讲解——函数的极值:
1. 观察右下图为函数y=2x3-6x2+7的图象,
从图象我们可以看出下面的结论: 函数在X=0的函数值比它附 近所有各点的函数值都大，我 们说f(0)是函数的一个极大值； 函数在X=2的函数值比它附近 所有各点的函数值都小，我们 说f(2)是函数的一个极小值。
又f(1)=10,故1+a+b+a2=10.②
a4 a 3 . 由①、②解得 或 b 11 b 3 2 当a=-3,b=3时, f ( x) 3( x 1) 0 ,此时f(x)在x=1处无
极值,不合题意. f ( x) 3 x 2 8 x 11 (3 x 11)( x 1). 当a=4,b=-11时, -3/11<x<1时, f ( x ) 0 ;x>1时, f ( x ) 0 ,此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.
b 11 b 3 2 当a=-3,b=3时, f ( x) 3( x 1) 0 ,此时f(x)在x=1处无
-3/11<x<1时, f ( x ) 0 ;x>1时, f ( x ) 0 ,此时x=1是极 值点. 从而所求的解为a=4,b=-11.
例3:已知函数f(x)=-x3+ax2+b.
因此导数为零的点仅是该点为极值点的必 要条件,其充分条件是在这点两侧的导数异号.
一般地,求函数y=f(x)的极值的方法是: 解方程f/(x)=0.当f/(x)=0时:

答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。

在导数的实际应用中经常用到.
例4 [2022全国卷乙]函数 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1在区间[0，2π]的最小值、最
大值分别为( D
)
A.
π π
－ ，
2 2
B. － ，
C.
π π
－ ， ＋2
2 2
D. － ， ＋2
3π
2
π
2
3π
2
π
2
[解析] 由 f ( x )＝ cos x ＋( x ＋1) sin x ＋1， x ∈[0，2π]，
2
1 2 > 0，
− > 0，

2 + 8 > 0，
所以 > 0，
故B，C，D正确.因为 ab ＞0， ac ＜0，所以 bc ＜0，A错误，
< 0.
故选BCD.
（2）[2022全国卷乙]已知 x ＝ x 1和 x ＝ x 2分别是函数 f ( x )＝2 ax －e x 2( a
2
2
2
2
角度2
已知函数的最值求参数
例5 [全国卷Ⅲ]已知函数 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b .
(1)讨论 f ( x )的单调性.
[解析] (1)对 f ( x )＝2 x 3－ ax 2＋ b 求导，得 f '( x )＝6 x 2－2 ax ＝2 x (3 x － a ).

令 f '( x )＝0，得 x ＝0或 x ＝ .
的图象可能是( D
A
)
B
C
D
[解析] 根据题意，已知导函数的图象与 x 轴有三个交点，且每个交点的两边

15/82
4．函数 y＝xlnx 有极________(填大或小)值为________． [解析] y′＝lnx＋1，当 x>1e时，y′>0,0<x<1e时，y′<0，∴ x＝1e时 y 有极小值为 y＝1eln1e＝－1e. [答案] 小 －1e
16/82
5．若函数 f(x)＝xx2＋＋1a在 x＝1 处取得极值，则 a 等于________． [解析] 由题意可得 f′(x)＝2xx＋x1＋－1x2 2＋a ＝x2＋x＋2x1－2 a， 因为函数 f(x)在 x＝1 处取得极值， 所以 f′(1)＝3－4 a＝0，即 a＝3. 经检验，a＝3 时，x＝1 是 f(x)的极小值点． [答案] 3
极值点，则 f(x)的极小值为( )
A．－1
B．－2e－3
C．5e－3
D．1
36/82
[解析] 因为 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1，所以 f′(x)＝(2x＋a)ex－1 ＋(x2＋ax－1)ex－1＝[x2＋(a＋2)x＋a－1]ex－1.因为 x＝－2 是函数 f(x)＝(x2＋ax－1)ex－1 的极值点，所以－2 是 x2＋(a＋2)x＋a－1＝0 的根，所以 a＝－1，f′(x)＝(x2＋x－2)ex－1＝(x＋2)(x－1)ex－1.令 f′(x)>0，解得 x<－2 或 x>1，令 f′(x)<0，解得－2<x<1，所以 f(x)在(－∞，－2)上单调递增，在(－2,1)上单调递减，在(1，＋∞) 上单调递增，所以当 x＝1 时，f(x)取得极小值，且 f(x)极小值＝f(1) ＝－1，选择 A.
32/82
当 a＝－1 时，f(x)＝－x(1＋e－x)，所以 f′(x)＝－1＋1－ex x<0， 所以函数在 R 上单调递减，所以函数 f(x)没有极值点，不符合题 意，所以 a≠－1，排除 B，故选 D.

y
b a
2 2
x y
(X
x).
令Y=0，得切线在x轴上的截距 X
a
2
.
x
令X=0，得切线在y轴上的截距 Y b2 . y
可知切线与两个坐标轴所围成的三角形面积为
S 1 XY a2b2 .
2
2xy
yb a
a2
x2 ,
S
a2b2 2xb a2 b2
a
(0 x a).
但是S最小当且仅当其分母 2bx a2 x2最大. a
令f (x) 0， 得到f (x)的驻点x1 1，x2 4.
f (1) 11，f (1) 41，f (2) 2,
6
6
3
可知f (x)在[1,2]上的最大值点为x 1，
最大值为f (1) 11. 6
最小值点为x 1，最小值为f (1) 41. 6
2
例6 设f (x) 1 2 (x 2)3，求f (x)在[0,3]上的最大值与 3
令y 0得驻点x1 1，x2 0，x3 3. y 12x2 16x 12.
y |x1 12 16 12 16 0
y |x0 12 0 y |x3 48 0
可知x1 1为函数的极小值点,
相应的极小值为y
| x 1
7. 3
x2 0为函数的极大值点，
相应极小大值为y |x0 0.
又因a，b为正常数，x a2 x2 0,
所以S最小当且仅当u x2 (a2 2x2 )最大.由于
u 2a2x 4x3 2x(a2 2x2 ),
令u 0，解出在(0,a)内的唯一驻点x0
2 a. 2
此时y0
2 b. 2
S a2b2 ab.

(2)函数的极大值与极大值点 若函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数 值 04 _都__大_，f′(b)＝0，而且在x＝b附近的左侧 05 ___f′_(x_)_＞__0____，右侧 06 __f_′_(x_)_＜__0____，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极 大值．
又因为x1，x2分别是f(x)的极大值点与极小值点，所以x1，x2是x2＋4x＋1＝0
的两个根，且x1>x2.解方程可得，x1＝－2＋ 3 ，x2＝－2－ 3 ，所以x2－x1
＝－2 3.
解析 答案
角度 已知函数的极值求参数的值或取值范围
ห้องสมุดไป่ตู้
例3 (1)(2021·河北九校联考)已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有 极值0，则a－b＝________.
f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减，故A错误；当x<1时，f′(x)>0，f(x)在区
间(－∞，1)上单调递增，故B错误；当x＝1时，f(x)＝
3x ex
取得极大值
3 e
，无
极小值，故C正确，D错误．故选C．
解析
(2)(2021·凉山州模拟)若x0是函数f(x)＝ex－
ln x
x
－
1 x
的极值点，则x0满足
解析
角度
已知函数解析式求极值或极值点
例2 (1)(2021·西安模拟)已知f(x)＝3exx ，则f(x)(
)
A．在(－∞，＋∞)上单调递增
B．在(－∞，1)上单调递减
C．有极大值3e，无极小值
D．有极小值3e，无极大值
答案
解析 ∵f(x)＝3exx ，∴f′(x)＝3·ex－e2x3x·ex＝31e－x x，当x>1，f′(x)<0，

06 总结与展望
函数极值研究意义
揭示函数性质
通过研究函数的极值，可以深入 了解函数的增减性、凹凸性等基 本性质，为函数分析提供有力工 具。
优化问题求解
在实际问题中，很多优化问题都 可以转化为求函数的极值问题， 如经济学中的成本最小化、收益 最大化等。
辅助定理证明
在数学分析中，一些重要定理的 证明往往涉及到函数极值的研究， 如泰勒公式、拉格朗日中值定理 等。
函数的最大(最小)值与导数
目录
• 引言 • 一元函数极值判定 • 多元函数极值判定 • 驻点与拐点分析 • 应用举例与求解方法 • 总结与展望
01 引言
函数的最大(最小)值定义
函数的最大值
在给定区间上，如果存在一个点 $x_0$，使得对于该区间内的任意 $x$，都有$f(x) leq f(x_0)$，则称 $f(x_0)$为函数在该区间上的最大 值。
二阶导数判定法
寻找驻点
同样先求出一阶导数 $f'(x)$，然后解方程 $f'(x) = 0$ 得到 驻点 $x_0$。
计算二阶导数
求出二阶导数 $f''(x)$，并计算 $f''(x_0)$ 的值。
判断极值类型
若在 $x_0$ 处 $f''(x_0) > 0$，则 $x_0$ 为极小值点；若在 $x_0$ 处 $f''(x_0) < 0$，则 $x_0$ 为极大值点；若 $f''(x_0) = 0$，则需要结合其他方法进一步判 断。
驻点性质
驻点是函数可能取得最大或最小值的点，但并非 所有驻点都是极值点。
驻点与函数单调性
在驻点的左侧和右侧，函数的单调性可能发生改 变。

互动 1 满足 f′(x0)＝0 的点 x0 是函数 f(x)的极值点吗？ 【解析】 不一定，必须再加上 x0 左右导数的符号相反，才能 断定函数在 x0 处取得极值．
互动 2 函数 y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？ 【解析】 不一定．若函数 y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数， 就没有极值点．
(3)已知函数 y＝|x2－2|x|－3|的图像如图所示，由图像指出该 函数的极值．
【解析】 由图像可知：当 x＝±3 时，函数取极小值 0；当 x ＝0 时，函数取极小值 3；当 x＝±1 时，函数取极大值 4.
注：这个函数有五个极值点，其中三个极小值点处的导数均不 存在．
题型二 利用导数求极值
令 f′(x)＝0，得 cosx＝12或 cosx＝－1.
π
5π
当 0<x<2π时，x1＝ 3 ，x2＝π，x3＝ 3 .
当 x 在区间(0，2π)内变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x)
f(x)
π (0， 3 )
＋
π 3
0 极大值
33 4
π ( 3 ，π)
－
π
5π (π， 3 )
要点 2 极大值：(对可导函数) 如图，若 b 为极大值点，f(b)为极大值，则必须满足： ①f(b)≥f(x0)(f(x0)表示 f(x)在 x＝b 附近的函数值)； ②f′(b)＝0； ③在 x＝b 附近的左侧，f′(x)>0，函数单调递增； 在 x＝b 附近的右侧，f′(x)<0，函数单调递减．
题型一 根据图像求极值
例 1 如图观察，函数 y＝f(x)在 d、e、f、g、h、i 等点处的 函数值与这些点附近的函数值有什么关系？y＝f(x)在这些点处 的导数值是多少？在这些点附近，y＝f(x)的导数的符号有什么规 律？

2
当x变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表： x f ′( x) f ( x) －2 －1 (－1,0) ＋ 0 0 1 4 (0，3) － 4 3 0 5 －27 4 (3，2) ＋ 1 2
故f(x)最大值＝1，f(x)最小值＝－2.
[方法规律总结] 1.求可导函数y＝f(x)在[a，b]上的最大(小) 值步骤如下： (1)求f(x)在开区间(a，b)内所有极值点； (2)计算函数f(x)在极值点和端点的函数值，其中最大的一个 为最大值，最小的一个为最小值．
3．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m是常数)在[－2,2]上有最大值3， 那么此函数在[－2,2]上的最小值为( ) A．－37 B．－29 C．－5 D．－11 [答案] A [解析] f ′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)． 令f ′(x)＝0，解得x＝0或x＝2 ∵f(0)＝m，f(2)＝－8＋m，f(－2)＝－40＋m. ∴f(0)>f(2)>f(－2) ∴m＝3，最小值为f(－2)＝－37，故应选A.
2．正确理解“在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)必有最 值．” (1)给定的区间必须是闭区间，f(x)在开区间上虽然连续但 1 不能保证有最大值或最小值．如f(x)＝ x ，x∈(0,1)，f(x)在区间 (0,1)连续，但没有最大值和最小值(如图)．
(2) 在闭区间上的每一点必须连续，即在闭区间上有间断 点 ， 也 不 能 保 证 f ( x) 有 最 大 值 和 最 小 值 ， 如 函 数 f ( x) ＝
|x|，－1≤x≤1且x≠0 1，x＝0
.
在[－1,1]上有间断点，没有最小值(如图)．
3．若连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值 就是最大值，极小值就是最小值．

函数最大值的数学表示
设函数为$f(x)$，其定义域为$D$， 函数最大值为$M$，则有$M = max f(x)$，其中$x in D$。
函数最大值可以用数学符号表示为$M = max f(x)$，其中$x in D$。
函数最大值的存在性
对于连续函数，在其定义域内 一定存在最大值和最小值。
对于离散函数，其最大值可能 不存在，因为可能存在多个点 使得函数取到相同的最大值。
函数最大值与区间端点值的关系
总结词
函数在闭区间上的最大值可能出现在区间的端点或内部极值点，但开区间上的最大值只能出现在端点 。
详细描述
在闭区间上，由于函数可能存在极大值或极小值，这些点可能成为最大值的候选点。而在开区间上， 由于没有区间端点的限制，函数的最大值只能出现在区间端点。
函数最大值与极值点的关系
应用实例
优化汽车发动机的设计以提高燃油效率。
资源分配问题
总结词
详细描述
数学模型
应用实例
在资源有限的情况下， 利用函数最大值进行资 源分配以实现最优效益 。
在资源分配问题中，通 常存在多个项目或任务 需要完成，而资源有限 。通过建立项目或任务 的效益与资源需求的函 数关系，并求取该函数 的最大值，可以确定最 佳的资源分配方案。
03
函数最大值的应用
最大利润问题
总结词
利用函数最大值求解最大利润问题，需要考虑成 本、收益和市场需求等因素。
数学模型
利润函数 = 收入 - 成本，通过求导数或使用不等 式等方法找到使利润最大的产量。
详细描述
在生产和销售过程中，企业需要最大化利润。通 过建立成本、收益和市场需求与产量的函数关系 ，并求取该函数的最大值，可以确定最佳产量， 从而实现最大利润。

列表 左正右负极大值，左负右正极小值
写极值
导数的应用之三、求函数最值.
极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它 附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数 的整个的定义域内最大或最小。
在某些问题中，往往关心的是函数在整
个定义域区间上，哪个值最大或最小的问题，这就是我们通
常所说的最值问题.
探究如何求出函数在[a,b]上的最值？
y
y fx
ao bx
图1.
在图中, 观察 a, b上的函数 y f x的图象,它们在a,b上有最大值、最
小值吗? 最大值与最小值在何处取得？
•y
观察右边一个定义在 区间[a,b]上的函数y=f(x)的 图象：
a x1 o X2
y=f(x)
X3
bx
发现图中 f(x1)f(是x3)极小值， 是f极(x2大) 值，在区间上的
则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)；
•如果对X0附近的所有点，都有f(x)>f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)；
◆函数的极大值与极小值统称 为极值.
2、求函数极值（极大值，极小值）的一般步骤：
求定义域
求导 求极值点
A．有最大值
C．是增函数
B．有最小值 D．是减函数
补充练习:
D 1．下列说法正确的是( )
(A)函数的极大值就是函数的最大值
(B)函数的极小值就是函数的最小值
(C)函数的最值一定是极值
(D)若函数的最值在区间内部取得,则一定是极值.
2.函数 y=f(x)在区间［a,b］上的最大值是 M，最小值是
A m,若 M=m,则 f ( x) ( )

x6
bx
例题讲解
例1、求函数 f (x) 1 x3 4x 4 在区间 [0, 3] 上的最大 值与最小值。 3
解：f (x) x2 4
令f (x) 0,解得x 2或x 2（舍去）
列表：
x 0 (0, 2) 2 (2, 3) 3
归 纳 步 骤
f (x) －
0＋
f (x) 4
↘
4 极小值
巩固训练
1、求下列函数的最值： (2)f(x)＝ex(3－x2)，x∈[2，5]． (2)因为 f(x)＝3ex－exx2， 所以 f′(x)＝3ex－(exx2＋2exx) ＝－ex(x2＋2x－3) ＝－ex(x＋3)(x－1)， 因为在区间[2，5]上，f′(x)＝－ex(x＋3)(x－1)＜0， 即函数 f(x)在区间[2，5]上单调递减， 所以 x＝2 时，函数 f(x)取得最大值 f(2)＝－e2； x＝5 时，函数 f(x)取得最小值 f(5)＝－22e5.
例题讲解 例 3、已知函数 f(x)＝ex－ax2－bx－1，其中 a，b∈R，e＝2.718
28…为自然对数的底数．设 g(x)是函数 f(x)的导函数，求函
数 g(x)在区间[0，1]上的最小值．
当12<a<2e时，令 g′(x)＝0，得 x＝ln(2a)∈(0，1)， 所以函数 g(x)在区间[0，ln(2a)]上单调递减，在区间(ln(2a)，1] 上单调递增．
当 x∈(0，1)时，f′(x)＞0； 当 x∈(1，2)时，f′(x)＜0； 当 x∈(2，3)时，f′(x)＞0. 所以，当 x＝1 时，f(x)取极大值 f(1)＝5＋8c， 又 f(0)＝8c，f(3)＝9＋8c. 所以当 x∈[0，3]时，f(x)的最大值为 f(3)＝9＋8c.