函数的最值与导数PPT优秀课件

函数最值的逆向问题 例 2 已知函数 f(x)＝ax3－6ax2＋b，问是否存在实数 a、 b，使 f(x)在[－1,2]上取得最大值 3，最小值－29？若存在， 求出 a，b 的值；若不存在，请说明理由．
[分析] 函数最值的逆向问题，通常是已知函数的最值 求函数关系式中字母的值的问题．解决时应利用函数的极 值与最值相比较，综合运用求极值、最值的方法确定系数 的方程(组)，解之即可．
所以 f(x)在(0，12)，(2，＋∞)内是增函数，在(－∞，0)，(12，
2)内是减函数．
(2)由条件 a∈[－2,2]可知 Δ＝9a2－64<0，从而 4x2＋3ax ＋4>0 恒成立．
当 x<0 时，f′(x)<0；当 x>0 时，f′(x)>0. 因此函数 f(x)在[－1,1]上的最大值是 f(1)与 f(－1)两者中 的较大者．
2．函数 y＝|x－1|，下列结论正确的是( ) A．y 有极小值 0，且 0 也是最小值 B．y 有最小值 0，但 0 不是极小值 C．y 有极小值 0，但 0 不是最小值 D．因为 y 在 x＝1 处不可导，所以 0 既非最小值也非极 值
解析：最小值与极小值定义的应用．故选 A. 答案：A
3．函数 f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为( )
当 a＝－130时，f′(x)＝x(4x2－10x＋4)＝2x(2x－1)(x－2)．
令 f′(x)＝0，解得 x1＝0，x2＝12，x3＝2.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，0)
0
(0，12)
1 2
(12，2)
2
(2，＋∞)
f′(x) －
0

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函数在闭区间上的最值：含参+讨论
4.已 知 函 数f ( x) x4 4x3 ax2 1在 区 间[0,1]上 单 调 递 增, 在 区 间 [1,2)上 单 调 递 减. (1)求a的 值;(2)在 区 间[2,2]上 求 函 数 的 最 大 值 与 最小 值. 5.已 知 函 数f ( x) x3 3x2 9x a. (1)求f ( x)的 单 调 递 减 区 间; (2)若f ( x)在 区 间[2,2]上 的 最 大 值 为20,求 它 在 该 区 间 上 的 最 小值. 6.已 知a是 实 数,函 数f ( x) x2( x a). (1)若f (1) 3,求a的 值 及 曲 线y f ( x)在 点(1, f (1))处 的 切 线 方 程; (2)求f ( x)在 区 间[0,2]上 的 最 大 值. 7.若f ( x) ax3 6ax2 b, x [1,2]的 最 大 值 为3,最 小 值 为 29, 求a, b的 值.
e f ( x) m恒 成 立,求 实 数m的 取 值 范 围.
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2 2.求函数f ( x) x 2 x ( x [0,4])的最大值与最小值.
当f(x)为连续函数且在[a,b]上单调时，其最 大值、最小值在区间端点处取得.
3.求函 数f ( x) xe x ( x ) 的最 大值与 最小值.
当f(x)为连续函数且在(a,b)内只有一个可疑点时， 若在这一点处f(x)有极大值(或极小值)，则可以断 定f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a,b)也 可以是无穷区间——单峰函数
问题：在闭区间内怎样找函数的最大值和最小值？
求f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤：
(1)求f(x)在(a,b)内的极值；

在工程中的应用
优化设计
控制系统的设计
在工程设计中，导数可以用来优 化设计方案，例如通过求结构函 数的导数来优化结构的形状和尺寸。
导数可以用来设计控制系统的反 馈机制，从而确保系统的稳定性 和性能。
流体动力学
在流体动力学中，导数可以用来 描述流体的速度场和压力场，从 而分析流体动力学现象。
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总结与展望
二阶导数法
判断极值性质
二阶导数可以判断极值点的性质，如是否为 极大值或极小值。
确定拐点
二阶导数为0的点可能是拐点，即函数图像 的凹凸性改变的点。
判断最值
结合一阶导数和二阶导数的信息，确定最值。
无穷区间上的最值求法
确定函数的极限
对于在无穷区间上的函数，需要确定其在无穷远 处的极限值。
判断单调性
通过分析函数在无穷区间上的单调性，确定最值 的性质。
导数与函数单调性
总结词
导数的符号决定了函数的单调性。
详细描述
如果导数在某区间内大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数在某区间内小于0，则函数在此区 间内单调递减。因此，通过分析导数的符号变化，可以判断函数的单调性。
导数与极值点
总结词
导数为0的点可能是函数的极值点。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，如果导数在某一点的值为0，且在该点附近两侧 的导数值由正变负或由负变正，则该点可能是函数的极值点。因此，通过求解导数为0
的点，并结合该点附近导数的符号变化，可以判断函数的极值点。
03
函数最值的求法
一阶导数法
确定函数的单调性
通过求一阶导数，判断函数在某区间内的单调 性，从而确定最值的可能位置。
判断极值点

2020年10月2日
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y
图2
y f(x)
a x 1 x 2 ox 3
x4
b
x5 x
函数y=f (x)在区间[a,b]上
最大值是f (x3), 最小值是f (x4).
2020年10月2日
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一般地，如果在区间[a,b]上函数y=f (x) 的图象是一条连续不断的曲线，那么 它必有最大值和最小值。
2020年10月2日
最大值和最小值。 ∴f(-1)=1+3-9-2=-7, 即函数f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-7。
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例3、证明：当x>0时，x>ln(1+x) 解：设f(x)=x-ln(1+x).
当 x 0 时 ,f(x) 1 1x 0 1 x 1 x
又因为f(x)在x=0处连续， 所以f(x)在x≥0上单调递增， 从而当x>0时，有f(x)=x-ln(1+x)>f(0)=0 即x>ln(1+x).
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(x1)[1x2x2 2(x1)] (x1)2(21x2x) (x1)31x22x
令 f (x) =0,解得x=1,
在x=1附近 f (x) 由负到正
当x=1时，f(x)有极小值，这里也是最小值
所以当x>0时，f(x) ≥f(1)=0
从而 ln x11(x1)212(1x)3
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怎样求函数y=f (x)在区间[a ,b]内的最大值 和最小值？
只要把函数y=f (x)的所有极值连同端点 的函数值进Biblioteka 比较即可。2020年10月2日
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例1、求函数f(x)=x3-12x+12在[0, 3]上的 最大值，最小值。