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函数的最值与导数 公开课

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利用导数求函数最值省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件

利用导数求函数最值省公开课获奖课件说课比赛一等奖课件
最大值和最小值分别是什么?
ymax f (a)
y
y f (x)
ymin f (x1)
x1
aO
x2
x
x3
b
二.怎样求函数旳最值? (1)利用函数旳单调性; 如:求y=2x+1在区间[1,3]上旳最值. (2)利用函数旳图象;
如:求y=(x－2)2+3在区间[1,3]上旳最值. (3)利用函数旳导数;
极大
极小
x （ ， a） a ( a , a ) a
f (x) +
0
-0
( a , )
+
f (x)
极大
3
当f( a） 2 22 0,
极小
y
即a&根。
a
a
x
当0<a<1时，有唯一根
作业：
1.已知函数f(x)=x³-3ax²+2bx在点x=1处有 极小值-1，试拟定a,b旳值，并求出f(x)旳 单调区间。
复习 求函数f(x)旳极值旳环节: (1)求导数f′(x); (2)求方程f′(x)=0旳根(x为极值点.)
(3)用函数旳导数为0旳点，顺次将函 数旳定义区间提成若干小开区间，并
列成表格.检验f′(x)在方程根左右旳
值旳符号，求出极大值和极小值.
练习：求函数 y 2x 8 旳极值
x
x=-2时，y有极大值-8， 当x=2时，y有极小值8
最值是相对函数定义域整体而言旳.
a, b
f (x)
注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一; 2.最大值一定比最小值大.
观察下面函数 y = f (x) 在区间 [ a , b ] 上旳图象, 回答: (1) 在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值?

函数的最值与导数公开课课件

函数的最值与导数公开课课件

在工程中的应用
优化设计
控制系统的设计
在工程设计中，导数可以用来优 化设计方案，例如通过求结构函 数的导数来优化结构的形状和尺寸。
导数可以用来设计控制系统的反 馈机制，从而确保系统的稳定性 和性能。
流体动力学
在流体动力学中，导数可以用来 描述流体的速度场和压力场，从 而分析流体动力学现象。
06
总结与展望
二阶导数法
判断极值性质
二阶导数可以判断极值点的性质，如是否为 极大值或极小值。
确定拐点
二阶导数为0的点可能是拐点，即函数图像 的凹凸性改变的点。
判断最值
结合一阶导数和二阶导数的信息，确定最值。
无穷区间上的最值求法
确定函数的极限
对于在无穷区间上的函数，需要确定其在无穷远 处的极限值。
判断单调性
通过分析函数在无穷区间上的单调性，确定最值 的性质。
导数与函数单调性
总结词
导数的符号决定了函数的单调性。
详细描述
如果导数在某区间内大于0，则函数在此区间内单调递增；如果导数在某区间内小于0，则函数在此区 间内单调递减。因此，通过分析导数的符号变化，可以判断函数的单调性。
导数与极值点
总结词
导数为0的点可能是函数的极值点。
详细描述
导数表示函数在某一点附近的变化率，如果导数在某一点的值为0，且在该点附近两侧 的导数值由正变负或由负变正，则该点可能是函数的极值点。因此，通过求解导数为0
的点，并结合该点附近导数的符号变化，可以判断函数的极值点。
03
函数最值的求法
一阶导数法
确定函数的单调性
通过求一阶导数，判断函数在某区间内的单调 性，从而确定最值的可能位置。
判断极值点

高考数学复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值最值市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件

高考数学复习第三章导数及其应用第三节导数与函数的极值最值市赛课公开课一等奖省优质课获奖课件

当x∈ 0, 时2 ,h'(x)<0, 所以h(x)在区间 0, 2上单调递减. 所以对任意x∈ 0, 有2 h(x)<h(0)=0,即f '(x)<0. 所以函数f(x)在区间 0, 上2 单调递减. 所以f(x)在区间 0, 2上最大值为f(0)=1,最小值为f
=-
2
.
2
21/35
规律总结 求函数f(x)在[a,b]上最大值和最小值步骤 (1)求函数在(a,b)内极值; (2)求函数在区间端点函数值f(a), f(b); (3)将函数f(x)极值与f(a), f(b)比较,其中最大一个为最大值,最小 一个为最小值.
都小 , f '(a)=0,而且在点x=a附近左侧② f '(x)<0 ,右侧③ f '(x)>0 ,则点a叫做函数y=f(x)极小值点, f(a)叫做函数y=f(x)极小值. (2)函数极大值 若函数y=f(x)在点x=b函数值f(b)比它在点x=b附近其它点函数值④
都大 , f ' (b)=0,而且在点x=b附近左侧⑤ f '(x)>0 ,右侧⑥ f '(x)<0 ,则
↘
极小值
↗
所以当a>e时, f(x)在(0,1)内有极值且唯一.当a≤e时, f '(x)≥0在(0,1) 上恒成立,则f(x)在(0,1)上单调递增,不符合题意. 综上,a取值范围为(e,+∞).
14/35
方法技巧 1.利用导数研究函数极值问题普通流程
15/35
2.已知函数极值点和极值求参数两个要领 (1)列式:依据极值点处导数为0和极值列方程组,利用待定系数法求解. (2)验证:因为一点处导数值等于零不是此点为极值点充要条件,所 以利用待定系数法求解后必须验证根合理性.

《函数的最值与导数》课件

《函数的最值与导数》课件
连续性
如果函数在某个区间内连续，则该区间内的最值要么出现在区间 的端点，要么出现在函数的不可导点。
函数最值的分类
极大值
在某个区间内，函数先递 减后递增，极大值出现在 递减到递增的转折点。
极小值
在某个区间内，函数先递 增后递减，极小值出现在 递增到递减的转折点。
局部最值
在某个区间内，函数先递 增后递减或先递减后递增 ，局部最值出现在递增或 递减的转折点。
导数的定义与性质
总结词
导数是函数在某一点的变化率，它描述了函数在该点的切线 斜率。导数具有一些重要的性质，如连续性、可导性和导数 的计算法则。
详细描述
导数定义为函数在某一点的变化率，即函数在该点的切线斜 率。导数具有连续性和可导性，这是函数在某一点光滑性的 表现。此外，导数还有一些基本的计算法则，如链式法则、 乘积法则、商的法则等。
无界函数的最大最小值
01
02
定义
求法
对于定义域无界的函数，其最大值和 最小值是指在整个定义域上的最大和 最小值。
对于开区间上的无界函数，其最大和 最小值可能不存在；对于半开半闭区 间上的无界函数，其最大和最小值可 能存在于区间端点上。
03
注意事项
对于无界函数的最大最小值的求解， 需要注意函数的性质和定义域的特点 ，以及数学上的严格定义和证明。
Part
03
利用导数求函数最值
一元函数最值
定义
一元函数在某区间上的最值点， 满足在该点处导数等于0或不存在 ，且该点两侧导数变号。
求法
先求导数，令导数等于0，解得驻 点；再判断驻点是否为最值点， 通过区间两端点的函数值与驻点 处的函数值比较得出。
注意事项
导数等于0的点不一定是最值点， 也可能是极值点；最值也可能出 现在区间端点上。

第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT

第3讲导数与函数的极值最值课件共83张PPT

2．导数与函数的最值 (1)函数 f(x)在[a，b]上有最值的条件 如果在区间[a，b]上函数 y＝f(x)的图象是一条 07 ___连__续__不__断___的曲线， 那么它必有最大值和最小值． (2)求 y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步骤 ①求函数 y＝f(x)在(a，b)上的 08 _极__值___. ②将函数 y＝f(x)的各极值与 09 __端__点__处__的__函__数__值__f(_a_)_，__f(_b_)_比较，其中 10 __最__大__的一个是最大值， 11 _最__小___的一个是最小值．
即 2x＋y－13＝0.
解
(2)显然 t≠0，因为 y＝f(x)在点(t,12－t2)处的切线方程为 y－(12－t2)＝
－2t(x－t)，
令
x＝0，得
y＝t2＋12，令
y＝0，得
t2＋12 x＝ 2t ，
所以 S(t)＝12×(t2＋12)·t2＋2|t1| 2.
不妨设 t＞0(t＜0 时，结果一样)，
例 1 (2021·南昌摸底考试)设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f′(x)， 且函数 y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是( )
A．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(1) C．函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(－2) D．函数 f(x)有极大值 f(－2)和极小值 f(2)
单调递减，所以 x＝1 是 f(x)的极大值点．②若 a<0，由 f′(x)＝0，得 x＝1
或 x＝－1a.因为 x＝1 是 f(x)的极大值点，所以－1a>1，解得－1<a<0.综合①②

《导数与函数的极值、最值》示范公开课教学课件

《导数与函数的极值、最值》示范公开课教学课件

典例分析
例2 已知函数f（x）＝ 1 x3－4x＋4，求函数的极值，并作出函数图像的示意图． 3
为方便起见，上面步骤也可以用表格形式表示（↗表示递增，↘表示递减），x fΒιβλιοθήκη （x） f（x）（－∞，－2）
－2
＋
0
↗
极大值 9 1
3
（－2，2）
2
－
0
↘
极小值 11
3
（2，＋∞） ＋ ↗
典例分析
求可导函数极值的步骤为： ➢ 确定函数的定义区间，求导数f′（x）； ➢ 求方程f′（x）＝0的根； ➢ 用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小区间，并列成 表格． 检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这 个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值； 如果左右不变符号，那么f（x）在这个根处无极值．
a
（2）函数f（x）在a、b点的导数值是多少？
（3）在a、b点附近，y＝f（x）的导数的符号分别是什么？
O b
x y＝f（x）
追问3：观察y＝f（x）的图像在x＝b点的函数值f（b）与x＝b附近的其他点的函数值的特征， 并描述在x＝b点及其附近导数的正负．
新知探究
一般地，设函数y＝f（x）的定义域为D，设x0∈D，如果对于x0附近的任意不同于x0的x， 都有 （1）f（x）＜f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极大值点，且f（x）在x0处取极大值； （2）f（x）＞f（x0），则称x0为函数f（x）的一个极小值点，且f（x）在x0处取极小值． 极大值点与极小值点都称为极值点，极大值与极小值都称为极值．显然，极大值点在其 附近函数值最大，极小值点在其附近函数值最小．

高中数学函数的最值与导数优秀课件

栏 极值只能在区间内取得，最值则可以在端点处取得；
目
开 有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；
关
极值有可能成为最值，最值只要不在端点处取得必定是 极值．
1.3.3
问题4 怎样求一个函数在闭区间上的最值？
本 课
答 只要求出函数的各个极值和端点处的函数值，进行
时 栏
比较即可．
目
开
关
1.3.3
例1 求下列函数的最值：
10，则其最小值为__－__7_1___．
解析 f′(x)＝3x2－6x－9＝3(x－3)(x＋1)．
本 课
由f′(x)＝0得x＝3或x＝－1.
时
栏
又f(－4)＝k－76，f(3)＝k－27，
目
开 关
f(－1)＝k＋5，f(4)＝k－20.
由f(x)max＝k＋5＝10，得k＝5，
∴f(x)min＝k－76＝－71.
从而f(2，即0<a<3时，
栏 目 开
f(x)在0，23a上单调递减，在23a，2上单调递增，
关
从而f(x)max＝80－42a<a<30<a≤2 ，
综上所述，f(x)max＝08－4aa>2 a≤2 .
1.3.3
1.3.3
小结 由于参数的取值不同会导致函数在所给区间上的单调
当x≥1时，g′(x)≤0，
x＝1是g(x)的最大值点，∴g(x)≤g(1)＝－1.
综上可知，a的取值范围是－1，＋∞.
1.3.3
小结 “恒成立”问题向最值问题转化是一种常见的题型，
对于不能分离参数的恒成立问题，直接求含参函数的最值即
本 课
可．
时 栏
一般地，可采用分离参数法．λ≥f(x)恒成立⇔λ≥[f(x)]max；

高一数学函数的最值与导数PPT优秀课件

口诀：左负右正为极小，左正右负为极大。
函数最值问题.
在某些问题中，往往关心的是函数在整 个定义域区间上，哪个值最大或最小的问 题，这就是我们通常所说的最值问题.
求函数最值的一般方法：
一是利用函数性质 二是利用不等式 三今天学习利用导数
f(x)在闭区间[a,b]上的最值：
(如果在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,那么它必有最大值和最小值)
例1、 若两曲线y=3x2+ax与y=x2-ax+1在 点x=1处的切线互相平行，求a的值.
分析 原题意等价于函数y=3x2+ax与 y=x2-ax+1在x=1的导数相等，
即：6+aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2-a
例2 、 已知抛物线y=ax2+bx+c通过点P(1， 1)，且在点Q(2，-1)处与直线y=x-3相切，求 实数a、b、c的值.
6、当x∈(-2,1)时，f(x)=2x3+3x2-12x+1是( ) (A)单调递增函数 (B) (B) 单调递减函数 (C) 部份单调增，部分单调减 (D) 单调性不能确定
7、 如果质点M的运动规律为S=2t2-1，则在
一小段时间[2，2+Δt]中相应的平均速度等于
()
(A) 8+2Δt (B) 4+2Δt
THANKS
FOR WATCHING
演讲人: XXX
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2021/02/25
21
(1)求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)
(2)将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较，其中 最大的一个为最大值，最小的一个最小值
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Page 8
提炼升华
一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最 大值与最小值的步骤如下： (1) 求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值；
(2) 计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函 数y=f(x)的各极值比较，其中最大的一个是最 大值，最小的一个是最小值。
Page 9
Page 3
讲授新课
观察区间[a,b]上函数y=f (x)的图象，你能找出它的极大值和极 小值吗？你能找出它的最大值，最小值吗？
y
极大值：f (x2)，f (x4)，f (x6) 极小值：f (x1)，f (x3)，f (x5) 最大值：f (a) 最小值：f (x3)
o
a x1 x 2
x3
x4
Page 12
课堂小结
1.规律总结；
2.函数存在最值的的条件;
3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x)的图像是一条连续 不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值。
Page 13
课堂小结
1.规律总结；
2.函数存在最值的的条件;
1.3.3 函数的最大(小)值与导数
高二数学 李珂珂
Page 1
复旧知新
问题一：函数极值相关概念
（1）若函数y=f(x)在点x=b的函数
值f(b)比它在点x=b附近其他点的函 数值都小，满足f '(b)=0且在点x=b
f(b)
y
a
b 0 f(a)
x
附近的左侧f '(x)>0,右侧f '(x)<0,则
3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
(1) 求函数y=f(x)在开区间(a,b)内的极值； (2) 计算端点处的函数值f(a), f(b)并将其与函数y=f(x)的各极值 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。
Page 14
布置作业
作业： 课本P31页：练习 （2）（4）题 练习册： 课时作业（9）
Page 15
谢谢指导!
Page 16
Page 11
课堂小结
1.规律总结；
2.函数存在最值的的条件;
3.一般地，求函数y=f(x)在区间[a, b]上的最大值 与最小值的步骤.
（1）函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整 体概念； （2）从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有 一个最大值或最小值； （3）最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。
典例精讲 例 2.求函数f(x)=48x-x3在区间[-3, 5]上的最值。
解：f'(x)=48-3x2= -3(x2-16)= -3(x-4)(x+4) 令 f'(x)=0，得 x=4或 x= -4（舍）
当-3< x < 4时，f'(x) >0，函数单调递增；
当4< x <5时，f'(x)<0，函数单调递减；
把点b叫做函数y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y=f(x)的极大值。
（2）若函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的 函数值都小,满足f '(a)=0且在点x=a附近的左侧f '(x)<0,右侧f '(x)>0, 则把点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y=f(x)的极小值。
y y=f(x) y y=f(x)
y=f(x)
o a
x
b y=f(x) o a b x o a b x
y结论xFra biblioteko ab
在开区间内的连续函 数不一定有最大值与最小 值。 若有最值，一定在极值点 处取得。
Page 6
性质探究
探究问题2：闭区间上的最值问题
如图，观察[a，b]上的函数y=f(x)的图像，它们在[a，b]上有 最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值分别是什么？ y=f(x) y y=f(x) y
所以当x=4 时，函数取得极大值，且极大值 f (4)=128； 又 f (-3)= -117, f (5)=115 所以函数在区间[-3, 5] 上最大值为 128，最小值为 117.
Page 10
巩固练习
求函数f(x)=2x3-3x2-12x+5在区间[-2, 1]上的最值 解：
f'(x)=6x2-6x-12=6（x2-x-2）=6(x-2)(x+1)， 令 f'(x)=0，得 x=-1或 x=2（舍） 当-2< x < -1时，f'(x)>0，函数单调递增； 当-1< x <1时，f'(x)<0，函数单调递减； 所以当x= -1时，函数取得极大值，且极大值f (-1)=12； 又 f (-2)=1, f (1)=-8 所以函数在区间[-2, 1] 上最大值为 12,最小值为 -8
x5
x6
b
x
Page 4
规律总结
最值特点：
（1）函数的最值是比较某个区间内的所有函数值得到的，是整体
概念；
（2）从个数上看，一个函数若有最大值或最小值，则至多只有一 个最大值或最小值； （3）最值可能在极值点取得，也可能在端点处取得。
Page 5
性质探究
y
探究问题1：开区间上的最值问题
如图，观察（a，b）上的函数y=f(x)的图像，它们在（a，b）上 有最大值、最小值吗？如果有，最大值和最小值在什么位置取到？
o a o b x a x1 x2 x3 x4 b x
一般地，如果在闭区间[a，b]上函数y=f(x) 的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有 最大值和最小值。
结论
特别地，若函数y=f(x)在区间[a，b]上是单 调函数，则最值则在端点处取得。
Page 7
牛刀小试
例1 .给出下列说法：
（1）函数在其定义域内若有最值与极值，则其极大 值便是最大值，极小值便是最小值。 （2）在闭区间上的函数一定有最大值和最小值。 （3）若函数在其定义域上有最值，则一定有极值； 反之，若有极值，则一定有最值。 （4）若函数在给定的区间上有最值，则最多有一个 最大值，一个最小值；若函数有极值，则可有多个极 值。 其中说法正确的有（ (4) ）
Page 2
复旧知新
问题二：一般地，求函数y=f(x)的极值的方法是什么？
解方程f '(x) =0。当f '(x0) =0时： （1）如果在x0附近 的左侧 f '(x) >0 ，右侧 f '(x)<0 ,那么f
(x0)是极大值；
（2）如果在x0附近 的左侧 f '(x)<0，右侧 f '(x) >0 ,那么f (x0)是极小值；