函数的最大最小值与导数

《函数的最大(小)值与导数》参考教案一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，并掌握求解函数最大值和最小值的方法。

2. 让学生掌握导数的定义和性质，并能运用导数求解函数的极值。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。

2. 求解函数最大值和最小值的方法。

3. 导数的定义和性质。

4. 运用导数求解函数的极值。

5. 实际问题中的应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数的定义和性质，运用导数求解函数的极值。

2. 教学难点：导数的运算规则，运用导数求解复杂函数的最大值和最小值。

四、教学方法1. 采用讲解、演示、练习、讨论相结合的教学方法。

2. 使用多媒体课件辅助教学，提高学生的学习兴趣。

3. 引导学生通过合作、探究、实践等方式，提高解决问题的能力。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引入函数的最大值和最小值的概念。

2. 讲解：讲解求解函数最大值和最小值的方法，并举例演示。

3. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

4. 讲解：讲解导数的定义和性质，并举例演示。

5. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

6. 讲解：讲解如何运用导数求解函数的极值，并举例演示。

7. 练习：让学生独立完成练习题，巩固所学知识。

8. 讨论：分组讨论实际问题，运用所学知识解决问题。

9. 总结：对本节课的内容进行总结，回答学生提出的问题。

10. 作业：布置作业，巩固所学知识。

六、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上的参与程度、提问回答等情况，了解学生的学习状态。

2. 练习题：评估学生在练习题中的表现，检验学生对知识的掌握程度。

3. 实际问题解决：评估学生在讨论实际问题时的表现，检验学生运用知识解决问题的能力。

4. 作业：评估学生的作业完成情况，检验学生对知识的掌握程度。

七、教学资源1. 教材：《数学分析》2. 多媒体课件3. 练习题4. 实际问题案例八、教学进度安排1. 第一课时：介绍函数的最大值和最小值的概念，讲解求解方法。

1.3第三课时 函数的最大（小）值与导数一、课前准备 1．课时目标（1）了解函数最值的意义，了解最值与极值的区别和联系.（2）会求闭区间上函数的最大值和最小值（其中多项式函数一般不超过三次）. 2．基础预探(1) 函数的最大值与最小值：在闭区间[]b a ,上图象连续不断的函数)(x f 在[]b a ,上 最大值与最小值． (2) 利用导数求函数的最值的基本步骤设函数)(x f 在在（a ,b ）内可导，在闭区间[]b a ,上图象是 的，求函数)(x f 在[]b a ,上的最大值与最小值的步骤如下：①求)(x f 在(,)a b 内的 ；②将)(x f 的各极值与 比较，得出函数)(x f 在[]b a ,上的最值，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 二、学习引领对于函数的最值问题，应该注意以下几点：1. 依据最值的含义,在闭区间[]b a ,上图象连续不断的函数)(x f ，在[]b a ,上,既有最大值又有最小值．2. 在开区间(,)a b 内图象连续的函数)(x f 不一定有最大值与最小值．如函数xx f 1)(=在),0(+∞内连续，但没有最大值与最小值.3. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；而函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．4. 函数)(x f 在闭区间[]b a ,上的图象连续不断，是)(x f 在闭区间[]b a ,上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．如函数1,10()0,0x x x f x x ⎧--≤≠⎪=⎨=⎪⎩但在[]1,1-上有最大值，最小值，（最大值是0，最小值是-2），但其图象却不是连续不断的,如图所示.5. 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能一个没有.6. 若函数f (x )只有一个极值，则必为最值.若函数f (x )在闭区间[a ,b ]上递增，则min ()()f x f a =，max ()()f x f b =；若函数f(x)在闭区间[a ,b ]上递减，则min ()()f x f b =，max ()()f x f a =.三、典例导析题型一 用导数求函数的最值例1 已知a 为实数，))(4()(2a x x x f --=,若0)1(=-'f ，求)(x f 在[－2,2] 上的最大值和最小值.思路导析：先求导,再由0)1(=-'f 求实数a .令0)(='x f ,求极值点和极值,最后比较大小求最值.解: 由原式得,44)(23a x ax x x f +--=∴.423)(2--='ax x x f由0)1(=-'f 得21=a ,此时有43)(),21)(4()(22--='--=x x x f x x x f . 由0)1(=-'f 得34=x 或x =－1 .当[2,2]x -在变化时，'(),()f x f x 的变化如下表4509()(),()(1),(2)0,(2)0,3272f x f f x f f f ==-=-=-==极小极大又所以f (x )在[－2,2]上的最大值为,29最小值为.2750-规律总结：事实上,用导数求一些非基本初等函数的最值问题,是求函数极值的进一步深入.当求得函数在一个闭区间上的极值后,再与区间端点的函数值进行大小比较,即可求得最值,所以其关键步骤,还是求函数极值.变式训练1设函数2()ln 22x f x x x =+-.试求函数()f x 在区间[1,e]上的最大值. 题型二 由函数最值求参数的取值或取值范围例2 已知函数32()23f x ax x =-，其中0>a ．若函数[]()()()(0,1)g x f x f x x '=+∈在0x =处取得最大值，求实数a 的取值范围．思路导析:求实数a 的取值范围,一般需要找到关于a 的等价不等式,通过解不等式,得到a 的范围.依据函数的特点,判断函数取得最值的可能时刻,并求出可能的表达式,最后依据最值的意义得不等式,解不等式得解.解:由题意知,[]32()2(63)6,0,1g x ax a x x x =+--∈. 则22()62(63)66(21)1g x ax a x ax a x '⎡⎤=+--=+--⎣⎦.令)(='x g ，即2(21)10ax a x +--=. ①由于0142>+=∆a ，可设方程①的两个根为1x ，2x ，由①得ax x 121-=.由于，0>a 所以021<x x ，不妨设210x x <<，12()6()()g x a x x x x '=--． 当102<<x 时,)(2x g 为极小值,所以在区间[]1,0上,()g x 在0=x 或1=x 处取得最大值；当2x ≥1时，由于)(x g 在区间[]1,0上是单调递减函数，所以最大值为)0(g .综上，函数)(x g 只能在0=x 或1=x 处取得最大值．又已知)(x g 在0=x 处取得最大值，所以)0(g ≥)1(g ,即0≥98-a ，解得a ≤89，又因为0>a ，所以∈a （89,0］． 规律总结:上述问题中,判断取得最值的时刻,用参数a 表示可能的最值，是解决该类问题的关键.等价转化是主要解题过程.变式训练2已知函数a ax x x f --=3)(3在)1,0(内有最小值. (1)求a 的取值范围;(2)函数)(x f 在)1,0(内能否有最大值？若能,求出a 的取值范围,若没有,说明理由. 题型三 实际问题中的函数最值例3 为倡导环保低碳生活,同时增加企业利润,某低碳科技企业拟投入适当的广告费对产品进行促销,在2016年内,预计年销量Q (万件)与广告费x (万元)之间的函数关系为()0113≥++=x x x Q ,已知生产此产品的年固定投人为3万元，每生产l 万件此产品需再投入32万元．若每件售价为“年平均每件成本的150％”与“年平均每件所占广告费的50％”之和.年利润=年收入―年成本―年广告费.(1)试将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数.(2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?思路导析:依据题设要求, 将年利润y (万元)表示为年广告费x (万元)的函数,判断该函数的极值,并求最值,回答实际问题.解：(1)由题意，每年产销Q 万件,共计成本为332+Q 万元,销售收入是x Q %50%150)332(+⨯+.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⨯=-+=∴x x x x Q y 3113322133221 ())0(1235982≥+++-=x x x x ．故所求的函数关系式为())0(1235982≥+++-=x x x x y .(2)由(1)可得：()()()()()2222126321235981982++--=+++--++-='x x x x x x x x y ,∴令0='y ，则06322=-+x x 7=∴x 或9-=x (舍去).又()()0,,7;0,7,0<'+∞∈>'∈y x y x ，()()427==∴f x f 极大值．又)(x f 在上只有一个极值点，()()()427===∴f x f x f 极大值最大值．所以每年广告费投入7万元时,企业年利润最大．规律总结:依题意建立目标函数,是解决该类问题的关键步骤.当该目标函数为简单非基本初等函数时,一般通过求导研究该函数的性质,判断取得最值的时刻,求得最值.在实际问题中,若只有一个极值点,则该极值点为最值点.变式练习3 制作一个圆柱形锅炉,容积为V 两个底面的材料每单位面积的价格为a 元，侧面的材料每单位面积价格为b 元,当造价最低时,锅炉底面半径与锅炉高的比是（ ）A. b a 2B.b a 22C. a b 2D. ab 22四、随堂练习1．下列说法中正确的是（ ）A.函数若在定义域内有最值和极值,则其极大值便是最大值,极小值便是最小值B.闭区间上的连续函数一定有最值,也一定有极值C.若函数在其定义域上有最值,则一定有极值;反之,若有极值,则一定有最值D.若函数在给定区间上有最值,则最多有一个最大值,一个最小值,但若有极值,则可能有多个极值2．223y x x =--+在区间[,2]a 上的最大值为154，则a =（ ） A.32-B.12C. 12-D. 12或32-3. 已知函数m x x x f +-=2362)((m 为常数）在]2,2[-有最大值3，那么此函数在]2,2[- 上的最小值是（ ）A.37-B.29-C.5-D.以上都不对 4. 函数],2[,sin ππ∈-=x x x y 的最大值是 .5. 函数)02(,1)(<<-+=x xx x f 的值域为 . 6. 已知函数()ln f x x x =．求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值；五、课后作业1．已知函数a ax x x f +-=2)(2在区间)1(，-∞上有最小值,则函数xx f x g )()(=在区间),1(+∞上一定（ ）A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数2．电动自行车已逐渐成为重要的交通工具之一.电动自行车的耗电量y 与速度x (公里)之间有如下关系：)0(,202193123>--=x x x x y ,为使耗电量最小,则速度应定为每小时 ( )公里?A.10B.15C.20D.253. 设函数2()ln(23)f x x x =++,则()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为 ．4. 将8分为两数之和,使两个数的立方和为最小,则分成的两数为 . A. 2和6 B. 4和4 C. 3和5 D. 以上都不对5. 将一段长为100 cm 的铁丝截成两段,一段弯成圆,一段变成正方形．问如何截法使正方形与圆面积之和最小,并求出最小面积．6. 已知函数()ln f x x x =. （Ⅰ）求()f x 的最小值；（Ⅱ）若对所有1x ≥都有()1f x ax ≥-，求实数a 的取值范围.1.3第三课时 函数的最大(小)值答案及解析 一、2. 基础预探(1) 必有;(2) 连续不断; 极值; )(a f 、)(b f . 三、变式练习1.解:函数()f x 的定义域为(0,)+∞.对函数2()l n 22x f x x x =+-求导得:21(1)()20x f x x x x-'=+-=≥，所以函数()f x 在区间[1,e]上单调递增，所以当=e x 时,函数()f x 取得最大值 ,2e (e)12e 2f =+-.2. 解:)(3)(2a x x f -='.令0)(='x f 在)1,0(内有解,即0))((3)(=-+='a x a x x f .(1) 由题意知10<<a ,即10<<a ,而且当a x <<0时,0)(<'x f ,a x >时,0)(>'x f ,所以当a x =时,)(x f 在)1,0(内取极小值且唯一,故为最小值,因此a 的取值范围为10<<a .(2)由(1)可知,如果0)(='x f 在)1,0(内有解,只可能是a x =,而且)(x f '在a x =两侧的符号只能是左负右正,不具备取极大值的条件,所以函数)(x f 在)1,0(内没有最大值.3. 答案:C. 解析：设锅炉底面半径和高分别为h r ,,则22,r Vh h r V ππ==,总造价r bV r a r V r b r a y 2222222+=⋅+=ππππ,0242=-='r bV r a y π,得b rVar ⋅=22π即ab h r 2=时取极大值,即最大值.故选C. 四、随堂练习1．答案:D. 解析：根据函数极值和最值的定义知, 函数在给定区间上有最值,最多有一个最大值和一个最小值,但极值可以有多个,故选D.2. 答案:C.解析：2(1)4y x =-++在[,2]a 上的最大值为154，1a ∴>-且在x a =时，215234y a a =--+=最大，解之12a =-或32a =-（舍去），∴12a =-选C3. 答案：A.解析:0126)(2=-='x x x f ,解得0=x 或2=x (舍去)，0=x 为极大值点且唯一,为最大值点.所以3=m .5)2(,37)2(-=-=-f f ,故最小值为37-.故选A.4. 答案:π.解析：],2[,0cos 1ππ∈>-='x x y ,因此,当π=x 时,π=max y .5.答案: ]2,(--∞.解析:011)(2=-='xx f ,解得1-=x ,可判断为极大值点,当0→x 时,-∞→y ,所以值域为]2,(--∞.6. 解：由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+．当1(0,),()0,()x f x f x e'∈<单调递减；当1(,),()0,()x f x f x e'∈+∞>单调递增,所以函数()f x 在区间[1,3]上单调递增. 又(1)0f =,所以函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为0． 五、课后作业1.答案 D.解析:由题设知,a x a x a x x f ==-=-=',0)(222)(,因为1<a ，又a x a x x g 2)(-+=,01)(222>-=-='xax x a x g ,所以)(x g 在),1(+∞递增. 2. 答案:C.解析:020192=--='x x y ,解得020>=x ,此时y 取极小值且唯一,即最小值,所以电动自行车的速度应定为20公里/小时.3. 答案:2ln 41+.解析：032)1)(12(22322)(=+++=++='x x x x x x f ,21-=x ,可以判断为极小值点且唯一,即最小值点.最小值为2ln 41+.4.答案: 4和 4.解析：设其中一数为x ，则另一数为x -8,两数的立方和为33)8(x x y -+=.)4(48-='x y ,当4=x 时,y 取极小值且唯一,即最小值,所以分成的两数为4和4.5. 解：设弯成圆的一段长为x cm,另一段长为x -100cm ，设正方形与圆的面积之和为S ，则2241002⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x S ππ()1000<<x ．所以()x x S --='100812π，令0='S 得4100+=x x π( cm)．由于在)100,0(内函数只有一个导数为0的点，故当4100+=x x πcm 时，S 最小．此时()222cm 4100002500++=ππS ，所以截成圆的一段长为4100+x πcm 时面积之和最小，最小值为()222cm 4100002500++=ππS ． 6. 解:()f x 的定义域为0∞(，+)，()f x 的导数()1ln f x x '=+.令()0f x '>，解得1ex >；令()0f x '<，解得10e x <<.从而()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减，在1e ⎛⎫∞ ⎪⎝⎭，+单调递增. 所以，当1e x =时，()f x 取得最小值1e-.（Ⅱ）依题意，得()1f x ax ≥-在[1)+∞，上恒成立，即不等式1ln a x x≤+对于[1)x ∈+∞， 恒成立 .令1()ln g x x x =+,则21111()1g x x x x x ⎛⎫'=-=- ⎪⎝⎭. 当1x >时，因为11()10g x x x ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭,故()g x 是(1)+∞，上的增函数， 所以 ()g x 的最小值是(1)1g =，所以a 的取值范围是(1]-∞，.。

一、教学目标1. 让学生理解函数的最大值和最小值的概念，掌握函数的最大值和最小值的求解方法。

2. 让学生掌握导数的定义，了解导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。

3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学内容1. 函数的最大值和最小值的概念。

2. 利用导数求函数的最大值和最小值。

3. 函数的单调性及其与导数的关系。

4. 函数的极值及其与导数的关系。

5. 实际问题中的最大值和最小值问题。

三、教学重点与难点1. 教学重点：函数的最大值和最小值的求解方法，导数在研究函数单调性、极值等方面的应用。

2. 教学难点：利用导数求函数的最大值和最小值的具体步骤，理解导数与函数单调性、极值之间的关系。

四、教学方法与手段1. 采用讲解、例题、练习、讨论相结合的教学方法。

2. 使用多媒体课件，直观展示函数图像，帮助学生理解函数的最大值、最小值和导数之间的关系。

五、教学过程1. 引入：通过生活中的实例，如购物、optimization problems等，引导学生思考函数的最大值和最小值问题。

2. 讲解：讲解函数的最大值和最小值的概念，介绍利用导数求函数最大值和最小值的方法。

3. 例题：挑选典型例题，引导学生运用导数求解函数的最大值和最小值。

4. 练习：学生自主练习，巩固求解函数最大值和最小值的方法。

5. 讨论：分组讨论，分享解题心得，互相学习。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调导数在研究函数单调性、极值等方面的重要性。

7. 作业：布置相关作业，让学生进一步巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂练习：监测学生在课堂上的学习效果，通过练习题目的完成情况了解学生对函数最大值和最小值概念以及导数应用的掌握程度。

2. 课后作业：评估学生对课堂所学知识的吸收情况，作业应包括不同难度的题目，以检测学生的理解力和应用能力。

3. 小组讨论：观察学生在小组讨论中的参与程度和合作能力，以及他们能否运用所学知识解决实际问题。