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基于简化Lorenz混沌电路的 频率特性分析

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(1)
经变量比例压缩及时间尺度变换，数学模型(1)所对应的电路模型状态方程如(2)所示。改变电路模型 的可调电阻 R14 的阻值可以等效为改变系统(1)中参数 c 的值。
DOI: 10.12677/ojcs.2018.74012 94 电路与系统
陈秋杰 等
R4 ( R1 + R3 ) 1 R3 = dx dt R y − R (R + R ) x R C 5 1 1 1 2 4 R R R R R R16 1 1 t x − 16 7 xz + 16 14 11 y − x dy d= R17 C2 R8 R15 R12 R10 R13 10 R9 R6 + R R R ( ) R 1 20 dz dt 20 = xy − 21 18 z R22 C3 R18 ( R21 + R19 ) 10 R18
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1. 引言
混沌是非线性动力系统中的一种新的存在形式，是非线性动力系统的一个重要组成部分。混沌貌 似有序却又无序，存在一定的确定性现象又不缺乏随机性。混沌系统具有正的 Lyapunov 指数，对于初 始值的选取极其敏感，很微小的变化都会导致出现不同的结果。2008 年 HP 实验室发现的忆阻器实物 模型 [1]引发了忆阻器和基于忆阻器的混沌系统的研究热潮 [2]-[8]。在通过搭建实际硬件电路来研究混 沌系统方面[9] [10] [11]，众多的研究者通常只改变某组混沌系统控制参数所对应的电路参数来获取系 统吸引子相图，以验证控制参数对于系统的非线性动力特性的影响，并没有分析其系统信号频率范围 以及该频率范围的选取范围对于原系统非线性动力特性的影响[2]-[10]。文献[1]的图 2(b)展示了随着频 率的增加，忆阻器的伏安特性曲线由 100 Hz 时所拥有的八字环型在 1000 Hz 时坍塌为一条直线，此结 果揭示在基于忆阻器的混沌电路实现中，由于忆阻器元器件的伏安特性将会随着信号频率的改变而变 化，混沌电路信号的震荡频率范围改变可能对系统的非线性动力特性产生潜在影响。本研究以简化 Lorenz 系统为例，分析积分电路的参数配置对混沌系统信号的震荡频率范围改变及其对于非线性动力 系统特性的潜在影响。秋杰, 杨其宇, 鲍芳. 基于简化 Lorenz 混沌电路的频率特性分析[J]. 电路与系统, 2018, 7(4): 93-100. DOI: 10.12677/ojcs.2018.74012
陈秋杰 等
摘
要
在混沌系统的硬件电路中通过配置积分电路的积分常数可以改变系统时间尺度变换的大小，然而积分电 路的不同参数配置会改变系统信号频率分布范围。信号频率分布范围的改变将对系统的非线性动力特性 产生什么样的影响？本文通过改变混沌电路中的积分时间常数，观察系统信号的震荡频率范围的变化。 利用简化Lorenz系统的电路仿真分析积分电路的参数配置对混沌系统信号的震荡频率范围改变，并探讨 该改变对混沌系统非线性动力特性的潜在影响。实验结果显示积分电路的参数配置将改变混沌系统信号 的震荡频率范围，但并不改变系统的混沌特性。在基于忆阻器的混沌系统中由于忆阻器所展示的随频率 变化的伏安特性将对系统的非线性动力特性产生潜在影响。
关键词
简化Lorenz系统，混沌电路，频率特性，忆阻器
Copyright © 2018 by authors and Hans Publishers Inc. This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY). /licenses/by/4.0/
(2)
Figure 1. Phase portraits of chaotic attractor (x-y plane, x-z plane) 图 1. 混沌吸引子相图(x-y 平面，x-z 平面)
图 1 给出了当参数 c = 3.4 时方程(1)的 MATLAB 仿真结果，显示系统在该参数下处于混沌状态。 电路模型状态方程(2)的实现涉及时间尺度变换即积分电路中电阻 R 及电容 C 的配置。 积分电路在滤 波电路中属于低通滤波器的一种，对于信号中的高频信息具有抑制作用。由于积分电路的电阻电容的取 值决定积分时间常数 τ (= RC)及滤波截止频率 f0 (=1/(2πRC))，因此在混沌硬件电路的实现时需考虑由积 分电路电阻电容参数的不同配置而导致系统信号频率震荡范围的改变是否会影响系统其它器件的电路特 性，以及是否会进一步影响混沌系统的非线性动力特性。例如文献[1]提出的 HP 忆阻器以及文献[14] [15] [16]中提及的忆阻器模型只在一定频带上保持着忆阻器的相关特性， 并非在全频带上保持相同的特性。 [1] [14] [15] [16]。 图 2 中，保持 R14 = 3.4 kΩ (对应模型 1 的 c = 3.4)及积分电阻 R = 1 kΩ 参数不变，分别设置积分电容 C 为 1 nF、100 nF 及 4.7 uF，通过 Multisim 仿真观察系统的信号频谱，分析积分时间常数对于混沌电路 的影响。 图 3 给出了简化 Lorenz 电路的系统信号在不同积分常数下的时域图， 横坐标分别为每一大格 1 ms (图 a)、20 ms (图 b)和 1 s (图 c)，纵坐标均表示每大格 5 V 电压。图 4 显示该简化 Lorenz 电路系统信号的频 谱图(对应图 3 的时域图)，横坐标分别为每格 10 kHz (图 a)、100 Hz (图 b)和 20 Hz (图 c)。观察图 4 的频 谱图可知，采用 1 nF 电容时，震荡信号基本落在 f < 80 kHz (滤波电路截止频率为 f0 = 159.2 KHz)的范围之 内，而采用电容 C = 100 nF 和 C = 4.7 uF 时，信号震荡频率分别只存在于 f < 700 Hz (滤波电路截止频率为 f0 = 1592.4 Hz)和 f < 20 Hz (滤波电路截止频率为 f0 = 33.9 Hz)的范围之内。非线性动力系统信号的震荡频率 范围会随着积分时间常数的改变而改变，系统最高的信号频率小于积分电路所设定的信号截止频率。 图 5 给出了在混沌系统控制参数 c 对应的电路可调电阻 R14 的不同取值及不同积分常数的情况下， 系 统从混沌状态过度到非混沌状态时的双环面现象时吸引子相图，当积分时间常数选用 0.0047 s 或 10−4 s 时，增大可调电阻器 R14 阻值至 7.38 kΩ 时系统从混沌状态转移至非混沌状态，并呈现出周期为 2 的环面 现象。
Keywords
Simplified Lorenz System, Chaotic Circuit, Frequency Characteristics, Memristor
基于简化Lorenz混沌电路的 频率特性分析
陈秋杰，杨其宇，鲍 芳*
广东工业大学自动化学院，广东 广州 收稿日期：2018年11月5日；录用日期：2018年11月20日；发布日期：2018年11月27日
2. 简化 Lorenz 系统
简化 Lorenz 系统数学模型如(1)式所示， 它具有丰富的动力学特性， 其系统参数 c 在[−1.59, 7.75]的范 围内取值时系统处于混沌状态,当取值为−1 时，该系统为经典的 Lorenz 系统[9] [10] [11] [12] [13]。
10 ( y − x ) = x = ( 24 − 4c ) x − xz + cy y = xy − 8 z 3 z
Frequency Characteristics Analysis Based on Simplified Lorenz System
Qiujie Chen, Qiyu Yang, Fang Bao*
School of Automation, Guangdong University of Technology, Guangzhou Guangdong Received: Nov. 5 , 2018; accepted: Nov. 20 , 2018; published: Nov. 27 , 2018
Open Journal of Circuits and Systems 电路与系统, 2018, 7(4), 93-100 Published Online December 2018 in Hans. /journal/ojcs https:///10.12677/ojcs.2018.74012
th th th
Abstract
In the hardware circuit of the chaotic system, the integral constant of the integrating circuits can be configured to change the size of the system time scale transformation. However, the different parameter configurations of the integrating circuits will change the frequency distribution range of the system signal. What effect does the change in the signal frequency distribution have on the nonlinear dynamic characteristics of the system? In this paper, the variation of the oscillation frequency range of the system signal is observed by changing the integral time constant in chaotic circuit. The circuit simulation of the simplified Lorenz system is used to analyze the oscillation frequency range and explore the potential influence for the chaotic system with different parameter configuration of the integrating circuits. The experimental results have showed that the different parameter configuration of integrating circuits can change the oscillation frequency range of the chaotic system signal, but it does not change the chaotic characteristics of the system. In the chaotic systems based on memristors whose volt-ampere characteristics exhibited vibration with frequency, the parameter configuration of integrating circuits might cause potential effect on nonlinear dynamic characteristics of the system.

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lorenz混沌吸引子轨道原理

lorenz混沌吸引子轨道原理

lorenz混沌吸引子轨道原理
Lorenz混沌吸引子轨道原理是一种描述混沌现象的数学模型，它是由美国数学家Edward Lorenz在20世纪60年代提出的。

这个模型可以用来解释许多自然现象，如气象学中的天气预报、流体力学中的湍流现象等。

Lorenz混沌吸引子轨道原理的核心是混沌吸引子。

混沌吸引子是一种奇异的吸引子，它具有无限细节和复杂性。

在Lorenz混沌吸引子轨道原理中，混沌吸引子是一种吸引轨道，它可以吸引周围的轨道，使它们最终趋向于混沌吸引子。

Lorenz混沌吸引子轨道原理的基本方程是Lorenz方程。

这个方程描述了一个三维空间中的动力学系统，它包含了三个变量：x、y和z。

这个方程的形式非常简单，但是它却可以产生出极其复杂的轨迹。

Lorenz混沌吸引子轨道原理的一个重要应用是天气预报。

天气系统是一个非常复杂的动力学系统，它包含了许多变量和参数。

使用Lorenz混沌吸引子轨道原理，可以对天气系统进行建模，并预测未来的天气情况。

除了天气预报，Lorenz混沌吸引子轨道原理还可以应用于其他领域，如金融市场、生物学、化学等。

在金融市场中，Lorenz混沌吸引子轨道原理可以用来预测股票价格的波动。

在生物学中，它可以用来研究生物体内的混沌现象。

在化学中，它可以用来研究化学反
应的动力学过程。

Lorenz混沌吸引子轨道原理是一种非常重要的数学模型，它可以用来解释许多自然现象和社会现象。

它的应用范围非常广泛，可以帮助我们更好地理解和预测世界的变化。

非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验讲解

非线性电路振荡周期的分岔与混沌实验讲解

非线性电路振荡周期的分岔与混沌1963年美国气象学家Lorenz在分析天气预模型时,首先发现空气动力学中混沌现象,该现象只能用非线性动力学来解释。从此人们对事物运动认识不再只局限于线性范围。非线性动力学及分岔与混沌现象的研究已成为热门课题,人们对此领域进行了深入研究,发现混沌现象涉及的领域极广,如:物理学,电子学,经济学,生物学,计算机科学等。本实验通过对非线性电路混沌现象的观察,从而了解和理解非线性混沌现象的本质。
3.把实验仪右上角内的电源九芯插头插入实验仪面板上对应的九芯插座上,注意插头
插座的方向应一致。然后插上电源,按实验仪面板右边的钮子开关,对应的±15V
16mH L
指示灯点亮。
4.调节W1粗调电位器和W2细调电位器,改变(RV1+RV2 C移向器中电阻的阻值,观测相图周期的变化,观测倍周期分岔,阵发混沌,三倍周期,吸引子(混沌和双吸引子(混沌现象,及相应的扫描波形。
图2逻辑斯蒂映射的分岔图:k从2.8增大到4。
从图中可看出周期倍增导致混沌。混沌区突然又出现周期3, 5, 7„奇数及其倍周期6, 10, 14„的循环,混沌产生有序,或秩序从混沌中来。
其实以上的这些特性适用于任何一个只有单峰的单位区间上的迭代,不是个别例子特有的,具有一定的普适性。从而揭示了混沌现象涉及的领域比较广泛。混沌是非线性系统中存在的一种普遍现象它也是非线性系统中所特有的一种复杂状态。混沌是指确定论系统(给系统建立确定论的动力学方程组中的内在不确定行为。混沌现象对初值极为敏感使非线性系统的长期行为具有不可预测性。
混沌控制的目标有两种:一种是对混沌吸引子内存在的不稳定的周期轨道进行有效的稳定控制,根据人们的意愿逐一控制所需的周期轨道。这一类控制的特点是并不改变系统中原有的周期轨道。另一种控制目标则不要求必须稳定控制原系统中的周期轨道,而只要通过可能的策略,方法及途径,达到有效控制,得到我们所需的周期轨道即可,或抑制掉混沌行为,即通过对系统的控制获得人们所需的新的动力学行为,包括各种周期态及其它图样等。混沌的应用主要有以下两种:①研究确定论的非线性系统中的混沌现象,并应用混沌控制法消除或抑制这种混沌不稳定现象。②混沌现象的直接应用。
混沌电路初步探究

混沌电路初步探究

题目回顾我们知道一些电路展现出混沌性质，建造这样性质的一个简单电路，并研究它的性质。

简述“混沌”混沌学理论也叫“初始条件敏感性”，即初始条件轻微改变会导致结果的巨大差异。

理论的核心是奇异吸引子。

一个电路能够产生混沌现象的最基本条件是电路中有非线性元件。

故我们先在一个较简单的电路中串联一个非线性元件，并做实验测试是否有这样的性质。

一个串联了变容二极管的RL电路R=200，L=100µH，变容二极管D选1N4001型以输入激励信号的幅值U m为横轴，以等激励周期横截输出所得点为纵轴，得到倍周期分岔图如下图所示。

当改变输入信号的振幅值而观察电路中回路电流i的变化情况时，发现如下现象：当输入电压的振幅值U m小于1V时，回路电流i是一个与输入信号同频率、同周期的非正弦电流。

回路电流i的频率为f=2MHz，周期为T=1/f=0.5μs。

回路电流i的周期变化与输入信号的幅值U m 的关系如图中0～U m1段所示。

2周期分岔现象当输入电压的幅值U m增加至1~2V之间的某一个值U m1时，回路电流i是一个周期性的非正弦电流。

在激励信号的第一个周期，响应电流i的振幅较小。

而在激励信号的第二个周期，响应电流i的的振幅较大。

在激励信号的第三周期，响应电流i的振幅与激励信号的第一个周期时相同。

在激励信号的第四个周期，响应电流i的振幅与激励信号的第二个周期时相同。

可见，在这个电路中，激励信号变化了四个周期，响应信号变化了两个周期。

2周期分岔4周期分岔当输入电压的幅值U m继续增长，例如达到U m2时，回路电流仍为周期性的非正弦电流，但它的周期变为输入信号周期的4倍，即Tm2=4T=1/(4f)。

回路电流i的周期数与输入信号的幅值U m的关系如图中U m2～U m4段所示。

4周期分岔之后，回路电流仍然是周期性的非正弦电流，但它的周期会变为输入信号周期的8倍、16倍。

即出现8周期分岔和16周期分岔。

自16周期分岔后，电路的电流开始变成非周期性的非正弦电流，而且该电流在一定区域内进行永不重复的振荡，如下图所示。

非现场答辩_Lorenz混沌系统的电路仿真

非现场答辩_Lorenz混沌系统的电路仿真

南昌校区2011年毕业设计（论文）工作中期检查评价表毕业设计（论文）成绩评审表1（理工科类）备注：其他学科门类可参照制定评分标准指导教师签字：年月日毕业设计（论文）成绩评审表2（理工科类）评阅人意见及评分备注：其他学科门类可参照制定评分标准，此表可自主延伸。

评阅人签字：年月日江西理工大学南昌校区毕业答辩记录及成绩表信息工程系电气自动化专业08级（2011届）08自动化2班学生题目：Lorenz混沌系统的电路仿真(此表可自主延伸)详细答辩记录信息工程系电气自动化专业08级（2011届）08自动化2班学生题目：Lorenz混沌系统的电路仿真论文自述：本文将论述混沌的概念、混沌同步和混沌控制的一些方法，并针对Lorenz系统提出了以一定的祸合比例系数，实现主动系统和被动系统的同步控制以及计算机仿真。

用实验室实验来研究混沌问题，上述混沌的特性均能在实验中加以验证，虽然从充实混沌概念这个角度来看，实验室实验的作用在目前似乎不如数值实验，然而，实验室实验毕竟证实了混沌是广泛存在的自然现象，是一种新认识到的运动形态。

计算机仿真结果表明:在控制的过程中，控制周期随着松弛系数值的增大而减小，较大的松弛系数导致较快的控制。

这个控制法则来源于李雅普诺夫稳定性原理，可以用来控制非同步系统达到同步，最终实现所要求的P同步，即通过加入微小的控制可以在短时间内按任意比例系数实现对主动系统的响应的放大或缩小。

答辩问题与解答：1、请说明你论文标题中与专业相关的内容是什么？文中论述的是关于混沌学的相关知识，与我们所学的专业当中自动控制方面的内容是相连在一起的。

它是基于对初值的敏感依赖性，即对于一个非线性系统，如果行为的初始条件产生一个微小的变化，那么后果可能与之前的状态差别很大，甚至完全相反，产生所谓的“蝴蝶效应”现象。

混沌现象是指发生在确定性系统中的貌似随机的不规则运动，一个确定性理论描述的系统，其行为却表现为不确定性一不可重复、不可预测，这就是混沌现象2、你论文中用到了所学的那些课程？我论文的设计是与所学课程是联系在一起的，它的论述是建立在混沌控制及其优化应用、Lorenz系统族的动力学分析、自动控制、系统仿真分析与设计等所学过课程的基础上，没有这些相关知识点的累积我是不可能完成这一设计的。