线性代数中的Jordan标准型与Jordan分解

§8 若尔当(Jordan)标准形介绍由前面的讨论可知，并不是对于每一个线性变换都有一组基，使它在这组基下的矩阵成为对角形.下面先介绍一下，在适当选择的基下，一般的一个线性变换能化简成什么形状.定义8 形式为tt t J ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλλ1000010000010000),(的矩阵称为若尔当(Jordan)块，其中λ是复数.由若干个若尔当块组成的准对角矩阵称为若尔当形矩阵，其一般形状如⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛s A A A 21 (1) 其中ii kk i iiii A ⨯⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=λλλλ111, 并且s λλλ,,,21 中有一些可以相等.例如⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛i i 10,0100001000010000,210021002都是若尔当块，而⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛410000041000004000000400000011000001 是一个若尔当形矩阵.一级若尔当块就是一级矩阵，因此若尔当形矩阵中包括对角矩阵.在一个线性变换的若尔当标准形中，主对角线上的元素正是特征多项式的全部的根（重根按重数计算）.定理13 设A 是复数域上线性空间V 的一个线性变换，则在V 中必定存在一组基，使A 在这组基下的矩阵是若尔当形矩阵.引理 n 维线性空间V 上的一个线性变换B 满足B k =ℴ,k 是某正整数，就称B 为V 上幂零线性变换.对幂零线性变换B ，V 中必有下列形式的一组元素作为基)0()0()0(,,211211121212121===---s k k k s k k k ss s s B B B B B B B B B αααααααααααα(2)于是B 在这组基下的矩阵)3(01010010100101021⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛s k k k上述结果用矩阵表示就是：定理14 每个n 级复矩阵A 都与一个若尔当形矩阵相似.。

Jordan标准形解法是一种矩阵的等价变换方法，通过一系列的初等行变换和初等列变换，将一个矩阵转化为Jordan标准形。

这个过程需要精心操作，以保持矩阵的等价关系，并最终得到一个形式简洁、易于分析的Jordan标准形矩阵。

在实施Jordan标准形解法时，首先要将矩阵通过初等行变换化为行阶梯形矩阵。

这个阶段需要逐行处理，确保每一步变换都是可逆的，从而保持矩阵的等价关系。

在行阶梯形矩阵的基础上，再进行初等列变换，将其化为标准行阶梯形矩阵。

在这个过程中，需要灵活运用矩阵的运算法则和性质，以确保变换的正确性。

最后，通过一系列的初等行变换，将标准行阶梯形矩阵化为Jordan 标准形矩阵。

这个阶段需要细心操作，以得到形式简洁、易于分析的Jordan标准形矩阵。

在整个过程中，需要注意保持矩阵的等价关系，并确保变换的可逆性。

总之，Jordan标准形解法是一种重要的矩阵等价变换方法，通过一系列的初等行变换和初等列变换，将一个矩阵转化为简洁、易于分析的形式。

在实施过程中，需要精心操作，灵活运用矩阵的运算法则和性质，并保持矩阵的等价关系和变换的可逆性。

可见，并不是任一线性变换都有一组基，使它在这 组基下的矩阵为对角形.
本节介绍，在适当选择基条件下，一般的线性变换
的矩阵能化简成什么形状.
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一、λ－矩阵的概念
定义：
设K是一个数域， 是一个文字，P[ ] 是多项式环， 若矩阵A的元素是 的多项式，即 P[ ] 的元素，则 称A为 ―矩阵，并把A写成 A( ).
ci p( )c j 行变换：ri p( ) rj 列变换：
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二、λ－矩阵的行列式因子
行列式因子：Dk ( ) =最大公因式{A( ) 的所有k阶子式} Dk ( ) 不 变 因子： dk ( ) D0 ( ) 1 Dk 1 ( ) 初 等 因子：dk ( ) 的不可约因式 注1：考虑 －矩阵 I A ，可得A的最小多项式 Dn ( ) m( ) d n ( ) Dn1 ( ) 注2： －矩阵 I A 的行列式因子(不变因子，初等
f1 ( ) A( )
其中，fk 1 ( ) fk ( ) f n ( ) 且 fk ( ) 是首1多项式
fk ( ) 的不可约因式为 A( ) 的初等因子
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例：求上例中 I A 的全体初等因子
0 1 1 I A 4 3 0 0 2 1 1 0 r2 +( 3) r1 1 0 1 2 0 0 1 2
1 0 0 2 0 1 2 2 r3 1 r2 0 0 1 2
r2 r3
1 1 0 3 4 0 1 2 0 0 0 ( 1) c1 1 2 0 1 0 c2 ( 1) c1 0 1 2

矩阵Jordan 标准型简介一、什么是矩阵的Jordan 标准型►1.1 设A ，B 为n 阶矩阵，如果存在n 阶可逆矩阵P 存在，使得1P AP B -=,则称矩阵A 与B 相似，记为A ~B 。

►1.2 任何方阵A 均可通过某一相似变换化为如下Jordan 标准型：1122()()()s s J J J J λλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中 10()10i ii i i J λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为Jordan 块。

12,,,s λλλ为A 的特征。

说明：（1）()i i J λ中的特征值全为i λ，但是对于不同的i 、j ，有可能i j λλ=，即多重特征值可能对应多个Jordan 块矩阵。

（2）Jordan 标准型是唯一的，这种唯一性是指：各Jordan 块矩阵的阶数和对应的特征值是唯一的，但是各Jordan 块矩阵的位置可以变化。

二、如何求矩阵的Jordan 标准型►2.1. 多项式矩阵（又称为λ阵）()()()()()()()()()()111212122212n n n n nn a a a a a a A a a a λλλλλλλλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦称为λ的多项式矩阵，其中矩阵元素()ij a λ为λ的多项式。

►2.2. 多项式矩阵的初等变换 （1） 互换两行（列）（2） 以非零常数乘以某行（列）[这里不能乘以λ的多项式或零，这样有可能改变原来矩阵的秩和属性]（3） 将某行（列）乘以λ的多项式加到另一行（列）►2.3. 多项式矩阵的Smith 标准型：采用初等变换可将多项式矩阵化为如下形式：()()()()12000r d d A d λλλλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦其中，多项式()i d λ是首一多项式（首项系数为1，即最高幂次项的系数为1），且()()12d d λλ、()()23d d λλ、、()()1r r d d λλ-，即()i d λ是()1i d λ+的因式。