2018年苏教版版数学选修2-3第1章 1.3 第1课时 组合 组合数公式

1.3 组合

第1课时 组合 组合数公式

1．理解组合的意义．(重点)

2．掌握组合数的计算公式及其推导过程，并会用组合数公式求值．(重点、难点)

[基础·初探]

教材整理1 组合与组合数的概念

阅读教材P19，完成下列问题．

1．组合

一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．

2．组合数

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cmn表示．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同．( )

(2)从a1，a2，a3三个不同元素中任取两个元素组成一个组合，所有组合的个数为C23.( )

(3)从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某两个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法是组合问题．( )

(4)从甲、乙、丙3名同学中选出2名，有3种不同的选法．( )

(5)现有4枚2015年抗战胜利70周年纪念币送给10人中的4人留念，有多少种送法是排列问题．( )

【解析】 (1)√ 因为只要两个组合的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合．

(2)√ 由组合数的定义可知正确．

(3)× 因为选出2名同学还要分到不同的两个乡镇，这是排列问题．

(4)√ 因为从甲、乙、丙3人中选两名有：甲乙，甲丙，乙丙，共3个组合，即有3种不同选法．

(5)× 因为将4枚纪念币送与4人并无顺序，故该问题是组合问题．

【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√ (5)×

教材整理2 组合数公式及性质

阅读教材P20～P22，完成下列问题．

1．组合数公式：Cmn＝AmnAmm＝n！m！n－m！＝

nn－1n－2„n－m＋1m！.

2．组合数的性质：

(1)Cmn＝Cn－mn；(2)Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.

1．甲、乙、丙三地之间有直达的火车，相互之间的距离均不相等，则车票票价的种数是________种．

【解析】 甲、乙、丙三地之间的距离不等，故票价不同，同距离两地票价相同，故该问题为组合问题，不同票价的种数为C23＝3×22＝3.

【答案】 3

2．C26＝________，C1718＝________.

【解析】 C26＝6×52＝15，

C1718＝C118＝18.

【答案】 15 18

3．方程Cx14＝C2x－414的解为________. 【导学号：29440009】 【解析】 由题意知 x＝2x－4，2x－4≤14，x≤14或 x＝14－2x－4，2x－4≤14，x≤14，

解得x＝4或6.

【答案】 4或6

4．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的积的个数为________个．

【解析】 从四个数中任取两个数的取法为C24＝6.

【答案】 6

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

组合的概念

判断下列各事件是排列问题还是组合问题．

(1)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，这次比赛需要进行多少场次？

(2)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？

(3)从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？

(4)从10个人里选出3个不同学科的课代表，有多少种选法？

【精彩点拨】 要确定是组合还是排列问题，只需确定取出的元素是否与顺序有关．

【自主解答】 (1)是组合问题，因为每两个队比赛一次并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别．

(2)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序的区别．

(3)是组合问题，因为3个代表之间没有顺序的区别．

(4)是排列问题，因为3个人中，担任哪一科的课代表是有顺序的区别．

1．根据排列与组合的定义进行判断，区分排列与组合问题，先确定完成的是什么事件，然后看问题是否与顺序有关，与顺序有关的是排列，与顺序无关的是组合．

2．区分有无顺序的方法

把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个元素的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．

[再练一题]

1．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个，写出所有不同的组合．

【解】 要想写出所有组合，就要先将元素按照一定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个组合逐个标出来，如图所示：

由此可得所有的组合为

ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.

组合数的计算与证明

(1)计算：3C38－2C25；

(2)计算：C38－n3n＋C3n21＋n.

【精彩点拨】 (1)直接运用组合数公式进行计算；

(2)先求出n，再按组合数公式进行运算．

【自主解答】 (1)3C38－2C25＝3×8×7×63×2×1－2×5×42×1＝148.

(2)由组合数的意义可得  0≤38－n≤3n，0≤3n≤21＋n，

即 192≤n≤38，0≤n≤212，∴192≤n≤212.

∵n∈N*，∴n＝10，

∴C38－n3n＋C3n21＋n＝C2830＋C3031＝C230＋C131

＝30×292×1＋31＝466.

关于组合数计算公式的选取

1．涉及具体数字的可以直接用公式Cmn＝AmnAmm＝nn－1n－2„n－m＋1m！计算．

2．涉及字母的可以用阶乘式Cmn＝n！m！n－m！计算．

3．计算时应注意利用组合数的性质Cmn＝Cn－mn简化运算．

[再练一题]

2．求等式C5n－1＋C3n－3C3n－3＝195中的n值. 【导学号：29440010】

【解】 原方程可变形为C5n－1C3n－3＋1＝195，C5n－1＝145C3n－3，

即n－1n－2n－3n－4n－55！

＝145·n－3n－4n－53！，化简整理，得n2－3n－54＝0.解此二次方程，得n＝9或n＝－6(不合题意，舍去)，所以n＝9为所求．

[探究共研型]

组合的性质

探究1 试用两种方法求：从a，b，c，d，e 5人中选出3人参加数学竞赛，2人参加英语竞赛，共有多少种选法？你有什么发现？你能得到一般结论吗？

【提示】 法一：从5人中选出3人参加数学竞赛，剩余2人参加英语竞赛，共C35＝5×4×33×2×1＝10(种)选法．

法二：从5人中选出2人参加英语竞赛，剩余3人参加数学竞赛，共C25＝5×42＝10(种)不同选法．

经求解发现C35＝C25.推广到一般结论有Cmn＝Cn－mn.

探究2 从含有队长的10名排球队员中选出6人参加比赛，共有多少种选法？

【提示】 共有C610＝10×9×8×7×6×56×5×4×3×2×1＝210(种)选法．

探究3 在探究2中，若队长必须参加，有多少种选法？若队长不能参加有多少种选法？由探究2,3，你发现什么结论？你能推广到一般结论吗？

【提示】 若队长必须参加，共C59＝126(种)选法．若队长不能参加，共C69＝84(种)选法．

由探究2,3发现从10名队员中选出6人可分为队长参赛与队长不参赛两类，由分类计数原理可得：C610＝C59＋C69.

一般地：Cmn＋1＝Cmn＋Cm－1n.

(1)化简C34＋C35＋C36＋„＋C32 016的值为________．

(2)解方程3Cx－7x－3＝5A2x－4；

(3)解不等式C4n＞C6n.

【精彩点拨】 恰当选择组合数的性质进行求值、解方程与解不等式．

【自主解答】 (1)C34＋C35＋C36＋„＋C32 016

＝C44＋C34＋C35＋„＋C32 016－C44

＝C45＋C35＋„＋C32 016－1＝„

＝C42 016＋C32 016－1＝C42 017－1.

【答案】 C42 017－1

(2)由排列数和组合数公式，原方程可化为

3·x－3！x－7！4！＝5·x－4！x－6！， 则3x－34！＝5x－6，即为(x－3)(x－6)＝40.

∴x2－9x－22＝0，

解得x＝11或x＝－2.

经检验知x＝11是原方程的根，x＝－2是原方程的增根．

∴方程的根为x＝11.

(3)由C4n＞C6n，得

 n！4！n－4！＞n！6！n－6！n≥6⇒ n2－9n－10＜0，n≥6，

⇒ －1＜n＜10，n≥6.又n∈N*，

∴该不等式的解集为{6,7,8,9}．

1．性质“Cmn＝Cn－mn”的意义及作用

2．与排列组合有关的方程或不等式问题要用到排列数、组合数公式，以及组合数的性质，求解时，要注意由Cmn中的m∈N*，n∈N*，且n≥m确定m，n的范围，因此求解后要验证所得结果是否适合题意．

[再练一题]

3．(1)化简：C9m－C9m＋1＋C8m＝________；

(2)已知C7n＋1－C7n＝C8n，求n的值．

【解析】 (1)原式＝(C9m＋C8m)－C9m＋1＝C9m＋1－C9m＋1＝0.

【答案】 0