1 练习一 真空中的静电场详解

1 §5.5 静电场的功 电势

一、静电场力的功 静电场的环路定理

将试探电荷0q引入点电荷q的电场中,现在来考察如图5.10所示, 把0q由a点沿任意路径 L移至b点,电场力所做的功.路径上任一点c到q的距离为r ,此处的电场强度为

rrqE304

如果将试探电荷0q在点c附近沿L移动了位移元dl,那么电场力所做的元功为

cosEdlqldEqdA00

drrqqEdrq20004

式中θ是电场强度E与位移元dl间的夹角,dr是位移元dl沿电场强度E方向的分量.试探电荷由a点沿L移到b点电场力所做的功为

)(barrrrqqdrrqqdAAba114400200 (5.22)

其中barr和分别表示电荷q到点a和点b的距离.上式表明在点电荷的电场中,移动试探电荷时,电场力所做的功除与试探电荷成正比外,还与试探电荷的始、末位置有关,而与路径无关.

利用场的叠加原理可得在点电荷系的电场中,试探电荷0q从点a 沿L移到点b电场力所做的总功为

iiAA

上式中的的每一项都表示试探电荷0q在各个点电荷单独产生的电场中从点a 沿L移到点b电场力所做的功.由此可见点电荷系的电场力对试探电荷所做的功也只与试探电荷的电量以及它的始末位置有关,而与移动的路径无关.

任何一个带电体都可以看成由许多很小的电荷元组成的集合体,每一个电荷元都可以认为是点电荷.整个带电体在空间产生的电场强度E等于各个电荷元产生的电场强度的矢量和.于是我们得到这样的结论：在任何静电场中,电荷运动时电场力所做的功只与始末位置有关,而与电荷运动的路径无关.即静电场是保守力 2 场.

若使试探电荷在静电场中沿任一闭合回路L绕行一周,则静电场力所做的功为零,电场强度的环量为零，即

00000LqLldEldEq (5.23)

第一章 静电场

一、基本公式 物理量 公 式 适 用 备 注

二、带电粒子在电场中的运动

（1）平衡问题：静止或匀速直线运动

电场强度

E qFE 一切电场 定义式

E与q、F无关

2rQkE 真空点电荷电场 决定式

E与Q、r有关

dUEAB 匀强电场 d：沿场强方向上的距离

电势能 Ep qEp 一切电场 ①+q时，φ大Ep大

②-q时，φ大Ep小

电势φ qEp 一切电场 定义式

φ与 Ep、q无关

电势差

UAB BAABU 一切电场 字面意义：电势的差BAABUU

ABABWUq 一切电场 物理意义：电场力做功的能力

EdUAB 匀强电场 产生原因：有场强、有距离

d：沿电场方向上的距离

静电力

（电场力）

F 221rqqkF 真空两静止点电荷 k=9×109Nm2/C2

同斥异吸

EqF 一切电场 ①+q时，F与E同向

②-q时，F与E反向

静电力做功

WAB BpApABEEW 一切电场

与运动路径无关

① WAB>0, Ep减少

② WAB<0, Ep增加 ABABqUW 一切电场

EqdWAB 匀强电场

电容C UQC 各种电容 定义式

C与Q、U无关

dk　SC4 平行板

电容器 决定式

Eq

mg v0

mg=Eq

（电场力与重力的平衡）

（2）带电粒子在电场中的加速问题：E∥v0 （不计重力）

示 意 图 公 式 方法和适用

初速度为0时：

2121mvqU （1）（不计重力）

①动能定理：

2022121mvmvWW电总

UqW电

②牛顿第二定律: a=Eq/m

（2）适用：

匀强、非匀强电场都适用

初速度不为0时：

20212121mvmvqU

小结：初速度为0时，可知mqUv12，v与d无关，只与U1有关，但是粒子在电场中运动的时间不一样，d越大，飞行时间越长。

真空中静电场的微分方程

一、引言

静电场是物理学中非常重要的概念之一，它是指由电荷所产生的电场。在真空中，静电场的微分方程可以用麦克斯韦方程组来描述。本文将详细介绍真空中静电场的微分方程。

二、麦克斯韦方程组

麦克斯韦方程组是描述电磁场的基本方程组，包括四个方程式：高斯定律、法拉第定律、安培定律和位移定理。其中高斯定律和安培定律分别描述了静电场和恒定磁场，而法拉第定律和位移定理则描述了变化磁场和变化电场。

三、高斯定律

高斯定律描述了静电荷在空间内所产生的电场。它可以写成如下形式：

∇·E = ρ/ε0

其中E为电场强度，ρ为空间内的自由电荷密度，ε0为真空介质中的介电常数。

四、安培定律 安培定律描述了恒定磁场对于导体内部运动带来的影响。它可以写成如下形式：

∇×B = μ0J

其中B为磁场强度，J为电流密度，μ0为真空中的磁导率。

五、静电场的微分方程

在真空中，静电场不存在磁场和电流。因此，安培定律可以简化为0=0，而高斯定律则可以写成：

∇·E = ρ/ε0

结合两个方程式可以得到：

∇×E = 0

这个式子表示在真空中，静电场的旋度为零。由于旋度是一个向量运算符，它只有在有旋转的情况下才会不为零。因此，在真空中静电场不存在旋转。

另外，根据向量分析中的基本定理可以得到：

∇·(∇×E) = 0

这个式子表示在真空中静电场的散度也必须为零。因此，在真空中静电场不能有任何源或汇。

六、总结

本文介绍了麦克斯韦方程组以及其中描述静电场的高斯定律和安培定律。通过推导可以得到，在真空中静电场的微分方程是∇·E = ρ/ε0和∇×E = 0，并且这个微分方程组表明了在真空中静电场不存在旋转和源或汇。这些结论对于理解静电场的本质和应用都有重要意义。

1 第9章 真空中的静电场

9.1 两个电量都是q的点电荷分别固定在真空中两点A、B，相距2a。在它们连线的中垂线上放一个电量为q的点电荷，q到A、B连线的中点的距离为r。求q所受的静电力，并讨论q到A、B连线的中垂线上哪一点受力最大？若q在A、B的中垂线上某一位置由静止释放，它将如何运动？分别就q与q同号和异号两种情况进行讨论。

解： 1222202cos24qqrFFrara322202qqrra

当0dFdr时，有极值

3222310222222232202302qqrdraqqrarradrra

即： 31222222230rarra 22ra受力最大

当q与q同号沿AB连线中垂线加速度远离q直到无穷远。

当q与q异号，释放后将以AB连线的中点为平衡位置，沿AB连线的中垂线作掁动。

9.7 求半径为R、带电量为Q的均匀带电球体内外的场强分布。

解： 高斯定理：0SqEdS

Rr 33213300413 443rrErQQRR

3014RrQE 方向沿半径向外

Rr 22014ErQ 20214rQE 方向沿半径向外

9.8求半径为R、面电荷密度为的无限长均匀带电圆柱面内外的场强分布。

解： 选取高为h，同轴封闭圆柱面Ｓ，E呈轴对对称分布。 2 高斯定理：0SqEdS

210 4qrREr=０ 1 0E