第9章
真空中的静电场 习题解答
9－5 一无限长均匀带电细棒被弯成如习题9－5图所示的对称形状，试问θ为何值时，圆心O 点处的场强为零。
解：设电荷线密度为λ，先计算圆弧的电荷在圆心产生的场强。
在圆弧上取一弧元d s =R d φ，所带的电量为 d q = λd s
在圆心处产生的场强的大小为
2200d d d d 44q s E k
r R R
λλϕπεπε=== 由于弧是对称的，场强只剩x 分量，取x 轴方向为正，场强为d E x = -d E cos φ
总场强为
2/2
0/2
cos d 4x E R
πθθ
λϕϕ
πε--=
⎰2/2
0/2
sin 4R
πθθλϕ
πε--=
0sin 22
R λθ
πε=
方向沿着x 轴正向。
再计算两根半无限长带电直线在圆心O 产生的场强．
根据上一题的公式③可得半无限长带电直线在延长上O 点产生的场强大小为
04E R
λ
πε'=
由于两根半无限长带电直线对称放置，它们在O 点产生的合场强为
02cos cos 2
22
x
E E R θ
λθ
πε''==
方向沿着x 轴负向 当O 点合场强为零时，必有x x
E E '=，可得 tan θ/2 = 1 因此 θ/2 = π/4， 所以 θ = π/2
9－6 一宽为b 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷密度为σ，如习题9－6图所示。试求
平板所在平面内，离薄板边缘距离为a 的P 点处的场强。
解： 建立坐标系。在平面薄板上取一宽度为d x 的带电直线，电荷的线密度为
d λ = σd x
根据直线带电线的场强公式
02E r
λ
πε=
得带电直线在P 点产生的场强为
00d d d 22(/2)
x
E r
b a x λ
σπεπε=
=
+-
其方向沿x 轴正向。
由于每条无限长直线在P 点的产生的场强方向相同，所以总为
/2
0/2
1
d 2/2b b E x b a x σπε-=
+-⎰ /2
/2
ln(/2)2b b b a x σ
πε--=+-0ln(1)2b
a
σπε=
+ ① 场强方向沿x 轴正向。
9－7 有一半径为r 的半球面,均匀地带有电荷,电荷面密度为σ,求球心处的电场强度。
解: 如图所示，在球面上任取一面元
ϕθθd d sin d 2r S =，其上带电量为
ϕθθσσd d sin d d 2r S q =⋅=，电荷元q d 在球心处产生的场强的大小为
2
2020d d sin 41d 41
d r
r r q E ϕ
θθσπεπε== 方向如图。由对称性分析可知，球心处场强方向
竖直向下，其大小为
20
2
04 d cos sin 4d cos d εσ
θθθπεσϕθπ
π
=
===⎰⎰⎰E E E z 9－10 两无限长同轴圆柱面，半径分别为R 1和R 2(R 2 > R 1)，带有等量异号电
荷，单位长度的电量分别为λ和-λ，求（1）r < R 1；（2） R 1 < r < R 2；（3）r > R 2处各点的场强。
解：由于电荷分布具有轴对称性，所以电场分布也具有轴对称性。 （1）在内圆柱面内做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内没有电荷，所以
E = 0，（r < R 1）
（2）在两个圆柱之间做一长度为l ，半径为r 的同轴圆柱形高斯面，高斯面内包含的电荷为 q = λl 穿过高斯面的电通量为
⎰⎰==⋅=ΦS
S
e rl E EdS S d E π2
根据高斯定理Φe = q /ε0，所以
02E r
λ
πε=
， (R 1 < r < R 2) （3）在外圆柱面之外做一同轴圆柱形高斯面，由于高斯内电荷的代数和为零，所以
E = 0，（r > R 2）
9－12 一个均匀带电圆盘，半径为R ，电荷面密度为σ，求：
(1) 轴线上任一点的电势（用x 表示该点至圆盘中心的距离）； (2) 利用电场强度与电势的关系求轴线上的场强分布。 解：如图所示，将均匀带电圆盘视为一系列连续分布的同心带电细圆环所组成，距O 点r 处取一宽为dr 的细圆环，其带电量为
rdr d dq 2S πσσ⋅==，dq 在P 点处产生的电势为
22122212
001
d 12d d 4()4()q r r
V r x r x σππεπε=
=++ 所以，整个带电圆盘在P 点产生的电势为
2212
00
2d d )4()2R r r V V x r x σπσ
πεε===+⎰⎰
轴线上的场强分布为
)1(2d d 220x
R x
x V E x +-=-
=εσ
9－13 一半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ，若在球内挖去一块
半径为R '解： 挖去一块小球体，相当于在该处填充一块电荷
体密度为-ρ的小球体，因此，空间任何一点的场强是两
个球体产生的场强的叠加。 对于一个半径为R ，电荷体密度为ρ的球体来说，当场点P 在球内时，过P 点作一半径为r 的同心球形高斯面，根据高斯定理可得
23
01443
E r r ππρε=
P 点场强大小为 0
3E r ρε=
