(新课标)2021版高考数学一轮总复习第六章数列第31讲数列的概念与通项公式导学案新人教A版

第六章数列6．1 数列的概念与简单表示法考纲要求1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．1．数列的概念按照一定____排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的__，数列中的每一项都和它的____有关．排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做____)．往后各项依次叫做这个数列的第2项，…，第n项，….数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，其中____是数列的第n项，我们把上面的数列简记为____．2．数列的分类分类原则类型满足条件项数有穷数列项数____ 无穷数列项数____项与项间的大小关系递增数列a n＋1＞a n其中n∈N*递减数列a n＋1＜a n常数列a n＋1＝a n其他标准 摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项3．数列的表示法(1)列举法：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…； (2)图象法：数列可用一群孤立的点表示； (3)解析法(公式法)：通项公式或递推公式． 4．数列的通项公式如果数列{a n }的____________________可以用一个公式______来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．通项公式可以看成数列的函数______．5．递推公式如果已知数列{a n }的首项(或前几项)，且任意一项a n 与a n －1(或其前面的项)之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做数列的递推公式．它是数列的一种表示法．6．数列与函数的内在联系从映射、函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为__________的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的一列______，而数列的________也就是相应函数的解析式．1．数列1，23，35，47，59，…的一个通项公式a n 是( )．A ．n 2n ＋1B ．n 2n －1C ．n 2n －3D ．n2n ＋32．在数列{a n }中，已知a 1＝a ，a 2＝b ，a n ＋1＋a n －1＝a n (n ≥2)，则a 92等于( )． A ．a B ．b C ．b －a D ．a －b3．已知数列{a n }的通项a n ＝nanb ＋c(a ，b ，c 都是正实数)，则a n 与a n ＋1的大小关系是( )． A ．a n ＞a n ＋1 B ．a n ＜a n ＋1 C ．a n ＝a n ＋1 D ．不能确定4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n －n 2，则a 4＝__________.5．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，则a 2 011＝__________，10－3是此数列的第__________项．一、由数列的前几项求数列的通项公式 【例1】写出下面各数列的一个通项公式． (1)3,5,7,9，…. (2)12，34，78，1516，3132，…. (3)23，415，635，863，1099，…. 方法提炼1．观察法就是观察数列的特征，找出各项共同的规律，横看“各项之间的关系结构”，纵看“各项与项数n 的关系”，从而确定数列的通项公式．2．利用观察法求数列的通项时，要抓住以下几个特征： (1)分式中分子、分母的特征； (2)相邻项的变化特征； (3)拆项后的特征；(4)各项符号特征等，并对此进行归纳、联想． 3．(1)根据数列的前n 项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n 或(－1)n ＋1来调整．(2)数列的通项公式不唯一，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式可以为a n ＝(－1)n或a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数.有的数列没有通项公式．请做演练巩固提升3二、由递推公式求数列的通项公式【例2】(2012大纲全国高考)已知数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n .(1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式． 方法提炼由a 1和递推关系求通项公式，可观察其特点，一般常利用“累加法”、“累乘法”等． (1)已知a 1且a n －a n －1＝f (n )(n ≥2)，可以用“累加法”，即a n －a n －1＝f (n )，a n －1－a n －2＝f (n －1)，…，a 3－a 2＝f (3)，a 2－a 1＝f (2)．所有等式左右两边分别相加，代入a 1得a n .(2)已知a 1且a na n －1＝f (n )(n ≥2)，可以用“累乘法”，即a n a n －1＝f (n )，a n －1a n －2＝f (n －1)，…，a 3a 2＝f (3)，a 2a 1＝f (2)，所有等式左右两边分别相乘，代入a 1得a n .请做演练巩固提升1三、已知数列的前n 项和求通项公式【例3】 数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝13S n (n ＝1,2,3，…)，求a n .方法提炼1．数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系是a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.当n ＝1时，a 1若适合a n ＝S n －S n －1，则n ＝1的情况可并入n ≥2时的通项a n ；当n ＝1时，a 1若不适合S n －S n －1，则用分段函数的形式表示．2．转化思想是数学中最基本、最常用的一种解题策略，数列中的转化更是层出不穷，如S n 和a n 的转化．请做演练巩固提升4忽视数列的项数n 的范围而致误【典例】 已知数列{a n }满足a 1＝33，a n ＋1－a n ＝2n ，则a n n的最小值为________． 解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n －a n －1＝2(n －1)， ∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝(2n －2)＋(2n －4)＋…＋2＋33＝n 2－n ＋33(n ≥2)，又a 1＝33适合上式，∴a n ＝n 2－n ＋33， ∴a n n ＝n ＋33n－1.令f (x )＝x ＋33x －1(x ＞0)，则f ′(x )＝1－33x2，令f ′(x )＝0得x ＝33.∴当0＜x ＜33时，f ′(x )＜0， 当x ＞33时，f ′(x )＞0，即f (x )在区间(0，33)上递减；在区间(33，＋∞)上递增， 又5＜33＜6，且f (5)＝5＋335－1＝535，f (6)＝6＋112－1＝212，∴f (5)＞f (6)，∴当n ＝6时，a n n 有最小值212.答案：212答题指导：1．在解答本题时，以下几点容易出错： (1)a n 求错；(2)求a n n 的最小值时，直接使用基本不等式，忽视了等号成立的条件；(3)求a nn的最小值时，误认为是n ＝5时的值最小．2．解决此类数列问题时，以下几点在备考时要高度关注： (1)用“累加法”求a n 时，不要忘记加上a 1.(2)在用基本不等式求a n n的最小值时，由于等号成立的条件(n ＝33 N *)不满足，故不能使用基本不等式求最小值，而应借助函数的单调性求解．1．在数列{a n }中，若a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则a 2 012＝( )．A ．12B ．2C ．－12D ．－2 2．将石子摆成如图的梯形形状，称数列5,9,14,20，…为梯形数，根据图形的构成，此数列的第2 012项与5的差即a 2 012－5＝( )．A ．2 018×2 012B ．2 018×2 011C ．1 009×2 012D ．1 009×2 011 3．写出下面各数列的一个通项公式．(1)－1，32，－13，34，－15，36，…；(2)3,33,333,3 333，….4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，求下列条件下数列的通项公式a n .(1)S n ＝2·5n－2；(2)若S 1＝1，S n ＋1＝3S n ＋2.5．已知在数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N *)，且{a n }单调递增，求k 的取值范围．参考答案基础梳理自测知识梳理1．顺序 项 序号 首项 a n {a n } 2．有限 无限4．第n 项与序号n 之间的关系 a n ＝f (n ) 解析式6．正整数集N *函数值 通项公式 基础自测1．B 解析：由已知得，数列可写成11，23，35，….故通项为n2n －1.2．B3．B 解析：a n ＝na nb ＋c ＝ab ＋cn， ∵y ＝c n是减函数， ∴y ＝ab ＋c n是增函数，∴a n ＜a n ＋1.故选B.4．－6 解析：a 4＝S 4－S 3＝4－42－3＋32＝－6.5．2503－ 2 011 9 解析：a 2 011＝12 011＋ 2 012＝ 2 012－ 2 011 ＝2503－ 2 011. 又∵10－3＝10－9＝110＋9，∴n ＝9. 考点探究突破【例1】 解：(1)各项减去1后为正偶数，所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母少1，而分母组成数列21,22,23,24，…，所以a n ＝2n－12n .(3)注意到分母分别是1×3,3×5,5×7，7×9，9×11，…为两个连续奇数的积，故所求数列的通项公式为a n ＝2n(2n －1)(2n ＋1).【例2】 解：(1)由S 2＝43a 2得3(a 1＋a 2)＝4a 2，解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3，解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6.(2)由题设知a 1＝1.当n ＞1时有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1，整理得a n ＝n ＋1n －1a n －1.于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2， ……a n －1＝nn －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1.将以上n 个等式两端分别相乘，整理得a n ＝n (n ＋1)2.综上，{a n }的通项公式a n ＝n (n ＋1)2.【例3】 解：∵a n ＋1＝13S n ，∴a n ＝13S n －1(n ≥2)．∴a n ＋1－a n ＝13(S n －S n －1)＝13a n (n ≥2)．∴a n ＋1＝43a n (n ≥2)．又a 1＝1，a 2＝13S 1＝13a 1＝13，∴{a n }是从第二项起，公比为43的等比数列．a n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2.∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，13⎝ ⎛⎭⎪⎫43n －2，n ≥2.演练巩固提升1．B 解析：∵a 1＝12，a n ＝11－a n －1(n ≥2，n ∈N *)，∴a 2＝2，a 3＝－1，a 4＝12.∴{a n }是以3为周期的数列． ∴a 2 012＝a 670×3＋2＝a 2＝2. 故选B.2．D 解析：结合图形可知，该数列的第n 项a n ＝2＋3＋4＋…＋n ＋2.所以a 2 012－5＝4＋5＋…＋2 014＝4×2 011＋2 011×2 0102＝2 011×1 009.故选D.3．解：(1)奇数项为负，偶数项为正，故通项公式中含有因子(－1)n；各项绝对值的分母组成数列1,2,3,4，…；而各项绝对值的分子组成的数列中，奇数项为1，偶数项为3，即奇数项为2－1，偶数项为2＋1，所以a n ＝(－1)n·2＋(－1)nn.也可写为a n＝⎩⎪⎨⎪⎧－1n，n 为正奇数，3n ，n 为正偶数.(2)数列各项改写为93，993，9993，9 9993，…，分母都是3，而分子是10－1,102－1,103－1，104－1，…，∴a n ＝13(10n－1)．4．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2×5－2＝8.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2·5n －2－2·5n －1＋2＝8·5n －1.∴当n ＝1时也适合a n ，故a n ＝8·5n －1. (2)由S 1＝1，∴a 1＝1. 由S 2＝3S 1＋2，∴a 2＝4.∵S n ＋1＝3S n ＋2，S n ＝3S n －1＋2(n ≥2)， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2)．∴数列{a n }从第二项起构成等比数列，首项为a 2，公比为3.∴a n ＝4·3n －2.故数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n ＝1，4·3n －2，n ≥2.5．解：a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ， 又{a n }单调递增， 故应有a n ＋1－a n ＞0， 即2n ＋1－k ＞0恒成立， 分离变量得k ＜2n ＋1， 故只需k ＜3即可．。

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第六章 数 列
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二、习题改编 1．(必修 5P54A 组 T8 改编)在 3 与 192 中间插入两个数，使它们同这两个数成等比数列， 则这两个数为________． 解析：设该数列的公比为 q，由题意知， 192＝3×q3，q3＝64，所以 q＝4. 所以插入的两个数分别为 3×4＝12，12×4＝48. 答案：12，48
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第六章 数 列
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通项 若数列通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q 均是不为 0 的常数，n∈N*)，则 公式法 {an}是等比数列 前 n 项和 若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k·qn－k(k 为常数且 k≠0，q≠0，1)，则{an} 公式法 是等比数列
[提醒] (1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选 择题、填空题中的判定． (2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．
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第六章 数 列
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解决等比数列有关问题的 2 种常用思想
方程的思想 等比数列中有五个量 a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”， 通过列方程(组)求关键量 a1 和 q，问题可迎刃而解
等比数列的前 n 项和公式涉及对公比 q 的分类讨论，当 q＝1 时，
分类讨论的 思想
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第六章 数 列
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2．数列{an}的通项公式是 an＝an(a≠0)，则其前 n 项和 Sn＝________．
解析：因为 a≠0，an＝an，所以{an}是以 a 为首项，a 为公比的等比数列．当 a＝1 时， Sn＝n；当 a≠1 时 Sn＝a(11－－aan).

解析] 由（1）知， ，所以 ，①所以 ，②①-②得， ，所以 ，所以 ，
即 ，即 ，因为 ，当且仅当 时，等号成立，所以 .
方法感悟1.数列是一种特殊的函数，在解决数列问题时，可以恰当利用函数的单调性、周期性、图象等来研究数列的单调性、周期、最值等.2.数列与不等式的交汇问题一般有两类（1）证明问题：若数列可求和，应先求数列的和，再根据和的结构特点确定其取值范围或最值，利用取值范围或最值证明不等式；若数列不可求和，应根据数列的通项公式进行放缩，转化为可求和的数列，然后确定和的取值范围或最值，进而证明不等式.（2）恒成立问题：可利用数列的前 项和的表达式中自然数 的取值范围与相关函数的单调性求得和的取值范围或最值，根据这个取值范围或最值求出参数的取值范围或最值.
第六章 数列
专项突破三 数列
题型一 等差数列与等比数列的综合运算
例1 （2021全国乙，19,12分）设 是首项为1的等比数列，数列 满足 .已知 , , 成等差数列.
（1） 求 和 的通项公式；
[解析] 设等比数列 的公比为 . , , 成等差数列， ，即 ，解得 . ， .
迁移应用
2. （2021重庆巴蜀中学高三月考）已知数列 满足 ，数列 的前 项和为 ，__________，在以下三个条件中任选一个填在横线上，并完成问题.① ；②数列 满足 ， ，且 的前 项和为 ；③ .问题：
（1） 求数列 的通项公式；
[解析] 选①：当 时， ，当 ， ，得 ，则 ，又 ，符合上式，所以 .选②： ，又 ，所以 ，所以 .选③：
[解析] 由（1）的结论，利用裂项相消法得到 ，进而证得不等式.
例5 （2022山东烟台三模）已知数列 的前 项和为 ， ，当 时， .
（1） 求 ；

§6.1数列的概念与简单表示法最新考纲考情考向分析1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数. 以考查S n 与a n 的关系为主，简单的递推关系也是考查的热点．本节内容在高考中以选择、填空的形式进行考查，难度为低档.1．数列的有关概念概念 含义数列 按照一定顺序排列的一列数数列的项 数列中的每一个数 数列的通项 数列{a n }的第n 项a n通项公式 如果数列{a n }的第n 项a n 与序号n 之间的关系能用公式a n ＝f (n )表示，这个公式叫做数列的通项公式前n 项和 数列{a n }中，S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n 叫做数列的前n 项和2.数列的表示方法列表法 列表格表示n 与a n 的对应关系 图象法 把点(n ，a n )画在平面直角坐标系中公式法通项公式 把数列的通项用公式表示递推公式使用初始值a 1和a n ＋1＝f (a n )或a 1，a 2和a n ＋1＝f (a n ，a n －1)等表示数列的方法3.a n 与S n 的关系假设数列{a n }的前n 项和为S n ，那么a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.4．数列的分类分类标准 类型 满足条件 项数有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限项与项间的大小关系递增数列a n ＋1>a n 其中n ∈N *递减数列 a n ＋1<a n 常数列a n ＋1＝a n概念方法微思考1．数列的项与项数是一个概念吗提示不是，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．提示数列的通项公式a n ＝3n ＋5是特殊的函数，其定义域为N *，而函数y ＝3x ＋5的定义域是R ，a n ＝3n ＋5的图象是离散的点，且排列在y ＝3x ＋5的图象上． 题组一思考辨析1．判断以下结论是否正确(请在括号中打“√〞或“×〞) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(×) (2)所有数列的第n 项都能使用公式表达．(×)(3)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．(√) (4)1,1,1,1，…不能构成一个数列．(×) 题组二教材改编2．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝4a n ＋1，那么a 3＝________. 答案21解析由题意知，a 2＝4a 1＋1＝5，a 3＝4a 2＋1＝21.3．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________. 答案5n ＋1 题组三易错自纠4．a n ＝n 2＋λn ，且对于任意的n ∈N *，数列{a n }是递增数列，那么实数λ的取值范围是________． 答案(－3，＋∞)解析因为{a n }是递增数列，所以对任意的n ∈N *，都有a n ＋1>a n ，即(n ＋1)2＋λ(n ＋1)>n 2＋λn ， 整理，得2n ＋1＋λ>0，即λ>－(2n ＋1)．(*)因为n ≥1，所以－(2n ＋1)≤－3，要使不等式(*)恒成立，只需λ>－3. 5．数列{a n }中，a n ＝－n 2＋11n (n ∈N *)，那么此数列最大项的值是________． 答案30解析a n ＝－n 2＋11n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1122＋1214， ∵n ∈N *，∴当n ＝5或n ＝6时，a n 取最大值30. 6．数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，那么a n ＝________.答案⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1， a 1＝2不满足上式．故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1，n ≥2，n ∈N *.由a n 与S n 的关系求通项公式例1(1)数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2－3n ，那么a n ＝________. 答案4n －5解析a 1＝S 1＝2－3＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5， 由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5.(2)(2022·大连模拟)各项都为正数的数列{a n }，其前n 项和为S n ，假设4S n ＝(a n ＋1)2，那么a n ＝________. 答案2n －1解析由题意得，4S n ＋1＝(a n ＋1＋1)2，那么4S n ＋1－4S n ＝4a n ＋1＝(a n ＋1＋1)2－(a n ＋1)2，即a 2n ＋1－a 2n ＝(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n )＝2(a n ＋1＋a n )，∵{a n }各项均为正数，即a n ＋1＋a n ≠0， ∴a n ＋1－a n ＝2，由4S 1＝(a 1＋1)2，得a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1.(3)数列{a n }满足a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，那么a n ＝________. 答案⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2解析当n ＝1时，由，可得a 1＝21＝2， ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n ，①故a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝2n －1(n ≥2)，② 由①－②，得na n ＝2n －2n －1＝2n －1， ∴a n ＝2n －1n.显然当n ＝1时不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，2n －1n ，n ≥2.本例(1)中，假设S n ＝2n 2－3n ＋1，那么a n ＝________________.答案⎩⎪⎨⎪⎧0，n ＝1，4n －5，n ≥2思维升华S n 求a n 的常用方法是利用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2，一定要检验a 1的情况．跟踪训练1(1)数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，那么a n ＝________.答案⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2 解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －1＋1)＝ 2×3n －1.当n ＝1时，2×31－1＝2≠a 1，所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧4，n ＝1，2×3n －1，n ≥2. (2)设数列{a n }满足a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，那么a n ＝________.答案13n解析因为a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －1a n ＝n 3，①那么当n ≥2时，a 1＋3a 2＋32a 3＋…＋3n －2a n －1＝n －13，② 由①－②，得3n －1a n ＝13，所以a n ＝13n (n ≥2)．由题意，知a 1＝13符合上式，所以a n ＝13n .(3)(2022·全国Ⅰ)记S n 为数列{a n }的前n 项和．假设S n ＝2a n ＋1，那么S 6＝________. 答案－63解析∵S n ＝2a n ＋1，当n ≥2时，S n －1＝2a n －1＋1， ∴a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1(n ≥2)，即a n ＝2a n －1(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1＋1，得a 1＝－1.∴数列{a n }是首项a 1＝－1，公比q ＝2的等比数列， ∴S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝－1×(1－2n )1－2＝1－2n ，∴S 6＝1－26＝－63.由数列的递推关系求通项公式命题点1累加法例2设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝a n ＋n ＋1，那么a n ＝________. 答案n 2＋n ＋22解析由条件知a n ＋1－a n ＝n ＋1，那么a n ＝(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋(a 4－a 3)＋…＋(a n －a n －1)＋a 1＝(2＋3＋4＋…＋n )＋2＝n 2＋n ＋22(n ≥2)．又a 1＝2也满足上式，所以a n ＝n 2＋n ＋22.命题点2累乘法例3设数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝nn ＋1a n ，那么a n ＝________.答案2n解析∵a n ＋1＝nn ＋1a n ，a 1＝2，∴a n ≠0，∴a n ＋1a n ＝nn ＋1. ∴当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·a n －2a n －3·…·a 3a 2·a 2a 1·a 1＝n －1n ·n －2n －1·n －3n －2·…·12·2＝2n. 又a 1＝2也满足上式，所以a n ＝2n.思维升华数列的递推关系求通项公式的典型方法 (1)当出现a n ＝a n －1＋f (n )时，用累加法求解． (2)当出现a na n －1＝f (n )时，用累乘法求解．跟踪训练2(1)(2022·龙岩质检)假设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n －1＝2n ，那么a n ＝________. 答案2n ＋n －2解析因为数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n －1＝2n ， 所以a 2－a 1＝1＋21， a 3－a 2＝1＋22， a 4－a 3＝1＋23， ……a n －a n －1＝1＋2n －1，n ≥2，以上各式相加得a n －a 1＝n －1＋(21＋22＋23＋…＋2n －1)，n ≥2， 所以a n ＝2n ＋n －2，n ≥2，又a 1＝1也满足上式，所以a n ＝2n ＋n －2n .(2)数列{a n }满足a 1＝23，a n ＋1＝nn ＋2a n ，求通项公式a n .解由得a n ＋1a n ＝nn ＋2，分别令n ＝1,2,3，…，(n －1)，代入上式得n －1个等式累乘，即a 2a 1·a 3a 2·a 4a 3·…·a n a n －1＝13×24×35×46×…×n －2n ×n －1n ＋1， 所以a n a 1＝2n (n ＋1)，即n ≥2时，a n ＝43n (n ＋1)，又因为a 1＝23也满足该式，所以a n ＝43n (n ＋1).数列的性质命题点1数列的单调性例4数列{c n }，c n ＝2n －72n ，那么当n ＝________时，c n 最大．答案5解析c n ＋1－c n ＝2n －52n ＋1－2n －72n ＝9－2n2n ＋1，当n ≤4时，c n ＋1>c n ，当n ≥5时，c n ＋1<c n ， 因此c 1<c 2<c 3<c 4<c 5>c 6>c 7>…， ∴n ＝5时，c n 取得最大值． 命题点2数列的周期性例5(2022·兰州模拟)数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，且a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)，那么a 2022的值为() A ．2B ．1C.12D.14答案B解析因为a n ·a n ＋2＝a n ＋1(n ∈N *)， 由a 1＝1，a 2＝2，得a 3＝2，由a 2＝2，a 3＝2，得a 4＝1， 由a 3＝2，a 4＝1，得a 5＝12，由a 4＝1，a 5＝12，得a 6＝12，由a 5＝12，a 6＝12，得a 7＝1，由a 6＝12，a 7＝1，得a 8＝2，由此推理可得数列{a n }是周期为6的数列， 所以a 2022＝a 4＝1，应选B. 命题点3数列的最值例6等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3(m ≥2)，那么nS n 的最小值为()A ．－3B ．－5C ．－6D ．－9 答案D解析由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3(m ≥2)可知a m ＝2，a m ＋1＝3， 设等差数列{a n }的公差为d ，那么d ＝1， ∵S m ＝0，∴a 1＝－a m ＝－2，那么a n ＝n －3，S n ＝n (n －5)2，nS n ＝n 2(n －5)2.设f (x )＝x 2(x －5)2，x >0，f ′(x )＝32x 2－5x ，x >0，∴f (x )的极小值点为x ＝103，∵n ∈N *，且f (3)＝－9，f (4)＝－8， ∴f (n )min ＝－9.思维升华应用数列单调性的关键是判断单调性，判断数列单调性的常用方法有两个：(1)利用数列对应的函数的单调性判断；(2)对数列的前后项作差(或作商)，利用比较法判断． 跟踪训练3(1)(2022·钦州质检)在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n，那么S 2022＝________.答案0解析∵a 1＝0，a n ＋1＝3＋a n1－3a n，∴a 2＝31＝3，a 3＝3＋31－3×3＝23－2＝－3，a 4＝3－31＋3×3＝0，即数列{a n }的取值具有周期性，周期为3， 且a 1＋a 2＋a 3＝0， 那么S 2022＝S 3×673＋1＝a 1＝0.(2)(2022·宁夏石嘴山市第三中学模拟)数列{a n }满足a 1＝1，且点(a n ，2a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －12y ＋1＝0上．假设对任意的n ∈N *，1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n ≥λ恒成立，那么实数λ的取值范围为________． 答案⎝⎛⎦⎤－∞，12 解析数列{a n }满足a 1＝1，且点(a n ，2a n ＋1)(n ∈N *)在直线x －12y ＋1＝0上，可得a n －a n ＋1＋1＝0，即a n ＋1－a n ＝1， 可得a n ＝n ，对任意的n ∈N *，1n ＋a 1＋1n ＋a 2＋1n ＋a 3＋…＋1n ＋a n ≥λ恒成立，即为λ≤⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n min ，由f (n )＝1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n ，得f (n )－f (n ＋1)＝1n ＋1－12n ＋1－12n ＋2＝12n ＋2－12n ＋1＝－1(2n ＋1)(2n ＋2)<0， 即f (n )<f (n ＋1)，可得f (n )递增， 即有f (1)为最小值，且为12，可得λ≤12，那么实数λ的取值范围为⎝⎛⎦⎤－∞，12. 1．数列5，11，17，23，29，…，那么55是它的() A ．第19项B ．第20项 C ．第21项D ．第22项 答案C解析数列5，11，17，23，29，…中的各项可变形为5，5＋6，5＋2×6，5＋3×6，5＋4×6，…，所以通项公式为a n ＝5＋6(n －1)＝6n －1， 令6n －1＝55，得n ＝21.2．(2022·山东省淄博实验中学月考)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝2，S n ＋1＝2S n －1(n ∈N *)，那么a 10等于()A ．128B ．256C ．512D ．1024 答案B解析∵S n ＋1＝2S n －1(n ∈N *)， n ≥2时，S n ＝2S n －1－1，∴a n ＋1＝2a n . n ＝1时，a 1＋a 2＝2a 1－1，a 1＝2，a 2＝1. ∴数列{a n }从第二项开始为等比数列，公比为2. 那么a 10＝a 2×28＝1×28＝256. 应选B.3．假设S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n －2，那么S 8等于() A ．255B ．256C ．510D ．511 答案C解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝2a 1－2，据此可得a 1＝2， 当n ≥2时，S n ＝2a n －2，S n －1＝2a n －1－2， 两式作差可得a n ＝2a n －2a n －1，那么a n ＝2a n －1， 据此可得数列{a n }是首项为2，公比为2的等比数列， 其前8项和为S 8＝2×()1－281－2＝29－2＝512－2＝510.4．(2022·临沂模拟)意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例，引入“兔子数列〞：1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…，即F (1)＝F (2)＝1，F (n )＝F (n －1)＋F (n －2)(n ≥3，n ∈N *)，此数列在现代物理“准晶体结构〞、化学等领域都有着广泛的应用．假设此数列被2整除后的余数构成一个新数列{a n }，那么数列{a n }的前2022项的和为() A ．672B ．673C ．1347D ．2022 答案C解析由数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55，…各项除以2的余数， 可得{a n }为1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0，…， 所以{a n }是周期为3的数列， 一个周期中三项和为1＋1＋0＝2， 因为2022＝673×3＋1，所以数列{a n }的前2022项的和为673×2＋1＝1347， 应选C.5．(2022·安徽省江淮十校联考)数列{a n }满足a n ＋1－a n n ＝2，a 1＝20，那么a nn 的最小值为()A ．45B ．45－1C ．8D ．9答案C解析由a n ＋1－a n ＝2n 知，当n ≥2时，a 2－a 1＝2×1，a 3－a 2＝2×2，…，a n －a n －1＝2(n －1)， 相加得，a n －a 1＝n 2－n ，所以a n n ＝n ＋20n －1，又a 1＝20满足上式，所以a n n ＝n ＋20n－1，又n ∈N *，所以n ≤4时，a n n 单调递减，n ≥5时，a nn 单调递增，因为a 44＝a 55，所以a n n 的最小值为a 44＝a 55＝8.应选C.6．数列{a n }的通项公式a n ＝632n ，假设a 1·a 2·…·a n ≤a 1·a 2·…·a k 对n ∈N *恒成立，那么正整数k 的值为()A ．5B ．6C ．7D ．8 答案A解析a n ＝632n ，当n ≤5时，a n >1；当n ≥6时，a n <1，由题意知，a 1·a 2·…·a k 是{a n }的前n 项乘积的最大值，所以k ＝5.应选A.7．假设数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2－2n ＋1，那么数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2解析当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2×1＋1＝2； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n 2－2n ＋1－[3(n －1)2－2(n －1)＋1]＝6n －5，显然当n ＝1时，不满足上式．故数列{a n }的通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，6n －5，n ≥2.8．(2022·北京市昌平区模拟)设数列{a n }的前n 项和为S n ，且∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，S n ≥S 6.请写出一个满足条件的数列{a n }的通项公式a n ＝________. 答案n －6(n ∈N *)(答案不唯一)解析∀n ∈N *，a n ＋1>a n ，那么数列{a n }是递增的， ∀n ∈N *，S n ≥S 6，即S 6最小，只要前6项均为负数，或前5项为负数，第6项为0，即可，所以，满足条件的数列{a n }的一个通项公式a n ＝n －6(n ∈N *)(答案不唯一)． 9．设S n 是数列{a n }的前n 项和，且a 1＝－1，a n ＋1＝S n S n ＋1，那么S n ＝________. 答案－1n解析∵a n ＋1＝S n ＋1－S n ，∴S n ＋1－S n ＝S n ＋1S n ，又由a 1＝－1，知S n ≠0，∴1S n －1S n ＋1＝1， ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，且公差为－1，而1S 1＝1a 1＝－1， ∴1S n＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ， ∴S n ＝－1n. 10．数列{a n }满足a 1＝1，a n －a n ＋1＝na n a n ＋1(n ∈N *)，那么a n ＝__________.答案2n 2－n ＋2解析由a n －a n ＋1＝na n a n ＋1，得1a n ＋1－1a n＝n ， 那么由累加法得1a n －1a 1＝1＋2＋…＋(n －1)＝n 2－n 2， 又因为a 1＝1，所以1a n ＝n 2－n 2＋1＝n 2－n ＋22， 又a 1＝1满足上式，所以a n ＝2n 2－n ＋2(n ∈N *)．11．在数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和S n ＝n ＋23a n. (1)求a 2，a 3；(2)求{a n }的通项公式．解(1)由S 2＝43a 2，得3(a 1＋a 2)＝4a 2， 解得a 2＝3a 1＝3；由S 3＝53a 3，得3(a 1＋a 2＋a 3)＝5a 3， 解得a 3＝32(a 1＋a 2)＝6. (2)由题设知a 1＝1.当n >1时，有a n ＝S n －S n －1＝n ＋23a n －n ＋13a n －1， 整理，得a n ＝n ＋1n －1a n －1. 于是a 1＝1，a 2＝31a 1，a 3＝42a 2，…，a n －1＝n n －2a n －2，a n ＝n ＋1n －1a n －1， 将以上n 个等式两端分别相乘，整理，得a n ＝n (n ＋1)2， 经检验n ＝1时，也满足上式．综上，{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)2. 12．数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝(n ＋1)a n (n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)记b n ＝3n －λa 2n ，假设数列{b n }为递增数列，求λ的取值范围． 解(1)∵2S n ＝(n ＋1)a n ，∴2S n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1，∴2a n ＋1＝(n ＋2)a n ＋1－(n ＋1)a n ，即na n ＋1＝(n ＋1)a n ，∴a n ＋1n ＋1＝a n n， ∴a n n ＝a n －1n －1＝…＝a 11＝1， ∴a n ＝n (n ∈N *)．(2)b n ＝3n －λn 2.b n ＋1－b n ＝3n ＋1－λ(n ＋1)2－(3n －λn 2)＝2·3n －λ(2n ＋1)．∵数列{b n }为递增数列，∴2·3n －λ(2n ＋1)>0，即λ<2·3n2n ＋1. 令c n ＝2·3n2n ＋1， 那么c n ＋1c n ＝2·3n ＋12n ＋3·2n ＋12·3n ＝6n ＋32n ＋3>1. ∴{c n }为递增数列，∴λ<c 1＝2，即λ的取值范围为(－∞，2)．13．数列{a n }的前n 项和为S n ，假设3S n ＝2a n －3n ，那么a 2022等于()A ．22022－1B ．32022－6C.⎝⎛⎭⎫122022－72D.⎝⎛⎭⎫132022－103答案A解析由题意可得，3S n ＝2a n －3n ，3S n ＋1＝2a n ＋1－3(n ＋1)，两式作差可得3a n ＋1＝2a n ＋1－2a n －3，即a n ＋1＝－2a n －3，a n ＋1＋1＝－2(a n ＋1)，结合3S 1＝2a 1－3＝3a 1可得a 1＝－3，a 1＋1＝－2， 那么数列{a n ＋1}是首项为－2，公比为－2的等比数列， 据此有a 2022＋1＝(－2)×(－2)2022＝22022，∴a 2022＝22022－1.应选A.14．正项数列{a n }单调递增，那么使得不等式(1－λa i )2<1对任意a i (i ＝1,2，…，k )都成立的λ的取值范围是()A.⎝⎛⎭⎫0，1a 1B.⎝⎛⎭⎫0，2a 1C.⎝⎛⎭⎫0，1a kD.⎝⎛⎭⎫0，2a k答案D解析由(1－λa i )2<1，得－1<1－λa i <1，即0<λa i <2，∵a i >0，∴0<λ<2a i， ∵{a n }单调递增，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫2a n 单调递减， ∴对任意i ＝1,2，…，k ，有2a k ≤2a i， ∴λ的取值范围为⎝⎛⎭⎫0，2a k. 15．(2022·北京市海淀区期末)设数列{a n }使得a 1＝0，且对任意的n ∈N *，均有|a n ＋1－a n |＝n ，那么a 3所有可能的取值构成的集合为：__________，a 64的最大值为________． 答案{－3，－1,1,3}2022解析因为数列{a n }使得a 1＝0，且对任意的n ∈N *，均有|a n ＋1－a n |＝n ， 所以|a 2－a 1|＝1，因此a 2＝1或a 2＝－1；又|a 3－a 2|＝2，所以a 3－a 2＝±2，因此a 3＝1±2或a 3＝－1±2，即a 3所有可能的取值为－3，－1,1,3，故a 3所有可能的取值构成的集合为{－3，－1,1,3}， 假设a n 取最大值，那么{a n }必为单调递增数列，即a n ＋1－a n >0，所以有a n ＋1－a n ＝n ， 因此a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝2，…，a n －a n －1＝n －1， 以上各式相加得a n －a 1＝1＋2＋…＋(n －1)，所以a n ＝1＋2＋…＋(n －1)＝(n －1)n 2， 因此a 64＝63×642＝2022.16．数列{a n }是递增的等比数列且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，设S n 是数列{a n }的前n 项和，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1S n ·S n ＋1的前n 项和为T n ，假设不等式λ≤T n 对任意的n ∈N *恒成立，求实数λ的最大值． 解∵数列{a n }是递增的等比数列，且a 1＋a 4＝9，a 2a 3＝8，a 1a 4＝a 2a 3，∴a 1，a 4是方程x 2－9x ＋8＝0的两个根，且a 1<a 4. 解方程x 2－9x ＋8＝0，得a 1＝1，a 4＝8，∴q 3＝a 4a 1＝81＝8，解得q ＝2， ∴a n ＝a 1q n －1＝2n －1.∴S n ＝a 1()1－q n 1－q ＝1×()1－2n 1－2＝2n －1， 令b n ＝a n ＋1S n S n ＋1＝2n()2n －1·()2n ＋1－1 ＝12n －1－12n ＋1－1， ∴数列{b n }的前n 项和T n ＝1－13＋13－17＋17－115＋…＋12n －1－12n ＋1－1＝1－12n ＋1－1在正整数集上单调递增， ∴T n ≥T 1＝23， ∵λ≤T n ，且对一切n ∈N *成立，∴λ≤23， ∴实数λ的最大值是23.。