等差数列的概念与通项公式 (1)

等差数列的通项公式等差数列是数学中的一个基本概念，指的是数列中的每个数与其前一个数之差都相等。

在数学中，我们经常需要求解等差数列的通项公式，即能够表示数列任意一项的公式。

接下来，我们将介绍等差数列的定义、性质以及推导出的通项公式。

1. 等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每个数与其前一个数之差都相等的数列。

设等差数列的首项为a_1，公差为d，则数列的通项公式可表示为：a_n = a_1 + (n-1)d其中，a_n表示数列的第n项。

2. 等差数列的性质等差数列具有以下几个重要的性质：- 公差d确定了数列的增长规律，当d>0时，数列递增；当d<0时，数列递减。

当d=0时，数列为常数数列。

- 数列的项数n与首项a_1、公差d之间存在如下关系：a_n = a_1 + (n-1)da_1 = a_n - (n-1)dd = (a_n - a_1) / (n-1)另外，等差数列的和有一个重要的性质，称为等差数列的求和公式：S_n = n/2 * (a_1 + a_n)其中，S_n表示等差数列的前n项和。

3. 推导等差数列的通项公式要推导等差数列的通项公式，我们需要利用等差数列的性质以及数学归纳法。

下面是推导的步骤：步骤一：设等差数列的首项为a_1，公差为d。

步骤二：根据等差数列的性质，可以得到第n项与第n-1项之间的关系为：a_n = a_{n-1} + d。

步骤三：利用数学归纳法，假设a_n = a_1 + (n-1)d对于任意正整数n成立。

步骤四：考虑n+1时，有a_{n+1} = a_n + d。

代入步骤三的假设，可以得到：a_{n+1} = a_1 + (n-1)d + d= a_1 + nd步骤五：通过数学归纳法，我们可以证明等差数列的通项公式成立。

因此，等差数列的通项公式为：a_n = a_1 + (n-1)d4. 应用举例利用等差数列的通项公式，我们可以快速求解等差数列的任意一项。

4.2.1.1等差数列的概念和通项公式要点一 等差数列的概念(1)文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d_表示． (2)符号语言：a n ＋1－a n ＝d (d 为常数，n ∈N *)． 【重点概要】(1)“从第2项起”是因为首项没有“前一项”．(2)一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等差数列，因此定义中强调“同一个常数”，即该常数与n 无关．(3)求公差d 时，可以用d ＝a n －a n －1来求，也可以用d ＝a n ＋1－a n 来求．注意公差是每一项与其前一项的差，且用a n －a n －1求公差时，要求n ≥2，n ∈N *. 要点二 等差中项(1)条件：如果a ，A ，b 成等差数列． (2)结论：那么A 叫做a 与b 的等差中项． (3)满足的关系式是________． 【重点概要】在等差数列{a n }中，任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)，则a n 是a n －1与a n ＋1的等差中项． 反之，若a n －1＋a n ＋1＝2a n 对任意的n ≥2，n ∈N *均成立，则数列{a n }是等差数列．因此，数列{a n }是等差数列⇔2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．用此结论可判断所给数列是不是等差数列，此方法称为等差中项法．要点三 等差数列的通项公式以a 1为首项，d 为公差的等差数列{a n }的通项公式a n ＝1(1)a n d +-【重点总结】从函数角度认识等差数列{a n }若数列{a n }是等差数列，首项为a 1，公差为d ，则a n ＝f(n)＝a 1＋(n －1)d ＝nd ＋(a 1－d)． (1)点(n ，a n )落在直线y ＝dx ＋(a 1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性与公差d 有关．( )(3)若三个数a ，b ，c 满足2b ＝a ＋c ，则a ，b ，c 一定是等差数列．( )(4)一个无穷等差数列{a n }中取出所有偶数项构成一个新数列，公差仍然与原数列相等．( ) 【答案】（1）×（2）√（3）√（4）×2．(多选题)下列数列是等差数列的有( ) A ．1,1,1,1,1 B ．4,7,10,13,16 C.13，23，1，43，53 D ．－3，－2，－1,1,2 【答案】ABC3．已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差d 为( )A ．2B ．3C ．－2D ．－3 【答案】C【解析】由等差数列的定义，得d ＝a 2－a 1＝－1－1＝－2.故选C. 4．在△ABC 中，三内角A 、B 、C 成等差数列，则B 等于________． 【答案】60°【解析】因为三内角A 、B 、C 成等差数列， 所以2B ＝A ＋C ，又因为A ＋B ＋C ＝180°， 所以3B ＝180°，所以B ＝60°.题型一 等差数列的通项公式 探究1 基本量的计算【例1】(1)在等差数列{a n }中，已知a 6＝12，a 18＝36，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }为等差数列，a 3＝54，a 7＝－74，则a 15＝________.【答案】(1)2n (2)－314【解析】(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋5d ＝12a 1＋17d ＝36，⎩⎪⎨⎪⎧解得d ＝2，a 1＝2，∴a n ＝2＋(n －1)×2＝2n .(2)法一：(方程组法)由⎩⎨⎧a 3＝54，a 7＝－74，得⎩⎨⎧a 1＋2d ＝54，a 1＋6d ＝－74，解得⎩⎨⎧a 1＝114，d ＝－34，∴a 15＝a 1＋(15－1)d ＝114＋14×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 法二：(利用a m ＝a n ＋(m －n )d 求解)由a 7＝a 3＋(7－3)d ，即－74＝54＋4d ，解得d ＝－34，∴a 15＝a 3＋(15－3)d ＝54＋12×⎝⎛⎭⎫－34＝－314. 探究2 判断数列中的项【例2】100是不是等差数列2,9,16，…的项？如果是，是第几项？如果不是，说明理由． 【解析】∵a n ＝2＋(n －1)×7＝7n －5， 由7n －5＝100，得n ＝15， ∴100是这个数列的第15项．探究3 等差数列中的数学文化 【例3】《莱因德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一，书中有一道这样的题目：把100个面包分给五个人，使每个人所得成等差数列，最大的三份之和的17是最小的两份之和，则最小的一份的量是( )A.116B.103C.56D.53【答案】D【解析】由题意可得中间的那份为20个面包， 设最小的一份为a 1，公差为d ，由题意可得[20＋(a 1＋3d )＋(a 1＋4d )]×17＝a 1＋(a 1＋d )，解得a 1＝53，故选D.【方法归纳】(1)已知a n ，a 1，n ，d 中的任意三个量，求出第四个量．(2)应用等差数列的通项公式求a 1和d ，运用了方程的思想．一般地，可由a m ＝a ，a n ＝b ，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(m －1)d ＝aa 1＋(n －1)d ＝b ，求出a 1和d ，从而确定通项公式．(3)若已知等差数列中的任意两项a m ，a n ，求通项公式或其它项时，则运用a m ＝a n ＋(m －n )d 较为简捷． 【跟踪训练】(1)等差数列{a n }中，a 1＝13，a 2＋a 5＝4，a n ＝33，则n 等于( )A ．50B ．49C ．48D ．47 【答案】A【解析】由题得2a 1＋5d ＝4，将a 1＝13代入得，d ＝23，则a n ＝13＋23(n －1)＝33，故n ＝50.(2)等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31. ①求a 20；②85是不是该数列中的项？若不是，说明原因；若是，是第几项？ 【解析】(2)①设数列{a n }的公差为d . 因为a 5＝10，a 12＝31，由a n ＝a 1＋(n －1)d 得，⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋4d ＝10，a 1＋11d ＝31，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，d ＝3. 即a n ＝－2＋3(n －1)＝3n －5，则a 20＝3×20－5＝55. ②令3n －5＝85，得n ＝30，所以85是该数列{a n }的第30项． 题型二 等差数列的判定与证明【例4】已知数列{a n }满足a 1＝4且a n ＝4－4a n －1(n >1)，记b n ＝1a n －2.(1)求证：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：∵b n ＋1－b n ＝1a n ＋1－2－1a n －2＝1⎝⎛⎭⎫4－4a n －2－1a n －2＝a n 2(a n －2)－1a n －2＝a n －22(a n －2)＝12又b 1＝1a 1－2＝12∴数列{b n }是首项为12，公差为12的等差数列．(2)由(1)知，b n ＝12＋(n －1)×12＝12n ∵b n ＝1a n －2∴a n ＝1b n ＋2＝2n＋2.要证{b n }是等差数列，只需证b n ＋1－b n ＝常数或b n －b n －1＝常数(n ≥2)．【变式探究1】将本例中的条件“a 1＝4，a n ＝4－4a n －1”改为“a 1＝2，a n ＋1＝2a na n ＋2”，求a n .【解析】∵a n ＋1＝2a na n ＋2∴取倒数得：1a n ＋1＝a n ＋22a n ＝12＋1a n ∴1a n ＋1－1a n ＝12，又1a 1＝12，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为12，公差为12的等差数列， ∴1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝12＋n 2－12＝n 2，∴a n ＝2n . 【方法归纳】定义法判断或证明数列{a n }是等差数列的步骤： (1)作差a n ＋1－a n ，将差变形；(2)当a n ＋1－a n 是一个与n 无关的常数时，数列{a n }是等差数列；当a n ＋1－a n 不是常数，是与n 有关的代数式时，数列{a n }不是等差数列．【跟踪训练】已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n2n －1，证明：数列{b n }是等差数列．(2)求数列{a n }的通项公式．【解析】(1)证明：因为a n ＋1＝2a n ＋2n ，所以a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n2n －1＋1，所以a n ＋12n －a n2n －1＝1，n ∈N *.又b n ＝a n2n －1，所以b n ＋1－b n ＝1.所以数列{b n }是等差数列，其首项b 1＝a 1＝1，公差为1. (2)由(1)知b n ＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝2n －1b n ＝n ·2n －1，经检验，n ＝1时a 1＝1也满足上式． 题型三 等差中项【例5】已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，则这三个数为________． 【答案】3,5,7或7,5,3【解析】设此三个数分别为x －d ，x ，x ＋d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝15(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝83 解得x ＝5，d ＝±2.∴所求三个数分别为3,5,7或7,5,3.【总结】三个数成等差数列可设为x -d,x,x+d【变式探究2】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这四个数． 【解析】法一：(设四个变量)设这四个数分别为a ，b ，c ，d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧b －a ＝c －b ＝d －c ，a ＋b ＋c ＋d ＝26，bc ＝40，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝5，c ＝8，d ＝11或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝11，b ＝8，c ＝5，d ＝2，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法二：(设首项与公差)设此等差数列的首项为a 1，公差为d ，根据题意，得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(a 1＋d )＋(a 1＋2d )＋(a 1＋3d )＝26，(a 1＋d )(a 1＋2d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝26，a 21＋3a 1d ＋2d 2＝40， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝2，d ＝3，或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝11，d ＝－3，∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.法三：(灵活设元)设这四个数分别为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，根据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ (a －3d )＋(a －d )＋(a ＋d )＋(a ＋3d )＝26，(a －d )(a ＋d )＝40，化简，得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝26，a 2－d 2＝40，解得⎩⎨⎧a ＝132，d ＝±32.∴这四个数分别为2,5,8,11或11,8,5,2.【小结】四个数成等差数列可设为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d【变式探究3】已知五个数成等差数列，它们的和为5，平方和为859，求这5个数．【解析】设第三个数为a ，公差为d ，则这5个数分别为a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d .由已知有 ⎩⎪⎨⎪⎧(a －2d )＋(a －d )＋a ＋(a ＋d )＋(a ＋2d )＝5，(a －2d )2＋(a －d )2＋a 2＋(a ＋d )2＋(a ＋2d )2＝859， 整理得⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝5，5a 2＋10d 2＝859.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，d ＝±23. 当d ＝23时，这5个分数分别是－13，13，1，53，73.当d ＝－23时，这5个数分别是73，53，1，13，－13.综上，这5个数分别是－13，13，1，53，73或73，53，1，13，－13.【方法归纳】当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间的一项为a ，再以d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当等差数列的项数n 为偶数时，可设中间两项分别为a －d ，a ＋d ，再以2d 为公差向两边分别设项，即设为…，a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，….【易错辨析】忽视等差数列中的隐含条件致误【例6】已知{a n }为等差数列，首项为125，它从第10项开始比1大，那么公差d 的取值范围是( )A ．d >875B ．d <325C.875<d <325D.875<d ≤325 【答案】D【解析】由题意可得a 1＝125，且⎩⎪⎨⎪⎧a 10>1a 9≤1即⎩⎨⎧125＋9d >1125＋8d ≤1解得875<d ≤325，故选D.【易错警示】1. 出错原因(1)错选A ，只看到了a 10>1而忽视了a 9≤1，是审题不仔细而致误； (2)错选C ，误认为a 9<1，是由不会读题，马虎造成错误. 2. 纠错心得认真审题，充分挖掘题目中的隐含条件.一、单选题1．等差数列{}n a 的公差为3，若2a ，4a ，8a 成等比数列，则{}n a 的前2n 项2n S =（ ）． A ．3(21)n n - B ．3(21)n n + C ．3(1)2n n + D ．3(1)2n n - 【答案】B 【分析】根据等差数列与等比数列的性质可得数列的通项公式，进而可得2n S . 【解析】等差数列{}n a 的公差为3，且2a ，4a ，8a 成等比数列，2428a a a ∴=，()()2222618a a a ∴+=+，解得26a =，1233a a ∴=-=，{}∴n a 的前2n 项， 22(21)2332n n n S n -=⋅+⨯ 3(21)n n =+．故选：B ．2．已知数列{}n a 满足()()11220n n n n a a a a ++--+=，下列结论正确的是（ ） A ．当11a =时，10a 的最大值258 B ．当11a =时，9a 的最小值384- C ．当101a =时，1a 的最小值17- D ．当91a =时，1a 的最大值132【答案】C【分析】根据题干中的条件可得：12n n a a +-=或120n n a a ++=，即{}n a 是等差数列或等比数列，A 选项分别把两种情况下的10a 算出来，比较大小，求出10a 的最大值，同样的道理，其他选项也可以判断出来，进而选出正确的选项 【解析】()()11220n n n n a a a a ++--+=则120n n aa +--=或120n n a a ++=A 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，101911819a a d =+=+= 当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()9102512a =-=-，10a 的最大值为19，故A 选项错误；B 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当11a =时，91811617a a d =+=+=当120n n a a ++=时，12n na a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当11a =时，()892256a =-=，9a 的最小值为17，故B 选项错误；C 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当101a =时，即1192a +⨯=，解得：117a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当101a =时，即()9112a -=，解得：11512a =-，117512<--，故1a 的最小值为17-，故选项C 正确 D 选项，当120n n a a +--=时，{}n a 是等差数列，公差为2，当91a =时，1161a += ，解得：115a =- 当120n n a a ++=时，12n n a a +=-，{}n a 是等比数列，公比为-2，当91a =时，即()8112a -=，解得：11256a =，此时1a 的最大值为1256，D 选项错误 故选：C3．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若235a a +=，728S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2【答案】C 【分析】由等差数列性质，747S a =求得44a =，根据项与项之间的关系代入条件求得公差. 【解析】由题知，74728S a ==，则44a =，设数列公差为d ，则234424435a a a d a d d +=-+-=+-=， 解得1d =， 故选：C4．在等差数列{}n a 中，前9项和918S =，266a a +=，则3n a =（ ） A ．33-n B ．35n + C ．73n - D ．213n -【答案】C 【分析】根据918S =，266a a +=，可求得公差，再利用等差数列的通项公式即可得解. 【解析】 解：()199599182a a S a ===+，52a ∴=，又26426a a a +==，43a ∴=，∴公差541d a a =-=-，()447n a a n d n =+-⋅=-，373n a n ∴=-．故选：C.5．在ABC ∆中，“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C 【分析】若π3B =，则2π23AC B +==，若A ，B ，C 成等差数列，则π3B =，得到答案. 【解析】在ABC ∆中，若π3B =，则2ππ23A CB B +=-==，所以A ，B ，C 成等差数列，充分性成立. 反之，若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，因为3πA B C B ++==，所以π3B =，必要性成立.所以“π3B =”是“角A ，B ，C 成等差数列”的充要条件. 故选：C.6．已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且{}n a 满足122n n n a a a ++=+，532a a -=，若424S S =，则9a =（ ） A ．9 B ．172C ．10D ．192【答案】B 【分析】根据122n n n a a a ++=+判断出{}n a 是等差数列，然后将条件化为基本量，进而解出答案. 【解析】由122n n n a a a ++=+可知，{}n a 是等差数列，设公差为d ，所以53221a a d d -==⇒=， 由()1421114642241S S a a a ⇒+=⨯+⇒==，所以9117822a =+=. 故选：B.7．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3724a a +=，840S =，则29a a +等于（ ） A ．44- B ．14C ．24D ．38【答案】D 【分析】根据条件，列出方程组，求出首项和公差即可求解. 【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由3724a a +=，840S =得112824,82840,a d a d +=⎧⎨+=⎩ 解得144,14,a d =-⎧⎨=⎩则2912938a a a d +=+= 故选：D8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，43a =，1224S =，若i 0j a a +=（i ，j N *∈，且1i j ≤<），则i 的取值集合是（ ）A ．{}1,2,3B ．{}1,2,3,4,5C ．{}6,7,8D ．{}6,7,8,9,10【答案】B 【分析】设公差为d ，结合等差数列的通项公式和求和公式即可求出首项和公差，即可写出数列中的项，从而可选出正确答案. 【解析】设公差为d ，由4133a a d =+=-及121121112242S a d ⨯=+=，解得19a =-，2d =， 所以数列为9-，7-，5-，3-，1-，1，3，5，7，9，11，…，故i 取值的集合为{}1,2,3,4,5. 故选:B .二、多选题9．将2n 个数排成n 行n 列的一个数阵，如下图： 1112131n a a a a ⋯⋯ 2122232n a a a a ⋯⋯ 3132333n a a a a ⋯⋯ ……123n n n nn a a a a ⋯⋯ 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列(其中0m >).已知1113612,1a a a ==+，记这2n 个数的和为S .下列结论正确的有（ ） A ．3m =B ．767173a =⨯C ．1()313j ij a i -=⨯-D ． (13)131(4)n S n n =-＋ 【答案】ACD 【分析】根据题意，利用等差数列和等比数列的通项公式以及求和公式，对各选项进行判断，即可得到结果. 【解析】由11136121a a a ==+，，可得22131161112525a a m m a a m m ===+=+，，所以22251m m =++，解得3m =或12m =- (舍去)，所以选项A 是正确的； 又由6666761(253)3173a a m ==+⨯⨯=⨯，所以选项B 不正确；又由1111111[()][2]11333()(3)1j j j j ij i a a m a i m m i i ----==+-⋅⋅=+-⨯⨯=-⨯，所以选项C 是正确的；又由这2n 个数的和为S ，则111212122212()()()n n n n nn S a a a a a a a a a =++⋯++++⋯++⋯+++⋯+()()()11211131313...131313n n n n a a a ---=+++--- ()()()()23111 313131224n n n n n n +-=-⨯=+-，所以选项D 是正确的； 故选：ACD.10．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若S 3＝0，a 4＝8，则（ ）A ．S n ＝2n 2－6nB ．S n ＝n 2－3nC ．a n ＝4n －8D ．a n ＝2n【答案】AC【分析】根据已知条件求得1,a d ，由此求得,n n a S ，从而确定正确选项，【解析】 依题意3408S a =⎧⎨=⎩， 1113304,438a d a d a d +=⎧⇒=-=⎨+=⎩， 所以2148,262n n n a a a n S n n n +=-=⋅=-. 故选：AC11．已知等差数列{a n }中，a 1＝3，公差为d (d ∈N *)，若2021是该数列的一项，则公差d 不可能是（ ） A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】BCD【分析】由已知得2021＝3＋(n －1)d ，即有n ＝2018d ＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.由此可得选项.【解析】解：由2021是该数列的一项，即2021＝3＋(n －1)d ，所以n ＝2018d＋1，因为d ∈N *，所以d 是2 018的约数，故d 不可能是3，4和5.故选：BCD.第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明三、填空题12．设n S 为正项数列{n a }的前n 14n a +，则通项公式n a =___________ 【答案】21()4n n N +-∈ 【分析】当1n =时，求得114a =；当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减得到112n n a a --=，结合等差数列的定义，即可求解其通项公式. 【解析】由n S 为正项数列{n a }的前n 14n a =+，当1n =114a =+，可得2111()4a a =+，解得114a =， 当2n ≥时，可得21()4n n S a =+，则2111()4n n S a --=+， 两式相减，可得1-11()()02n n n n a a a a -+--=， 因为0n a >，所以112n n a a --=， 所以数列{n a }是以12为公差，以14为首项的等差数列， 所以1121(1)424n n a n -=+-=. 故答案为：21()4n n N +-∈. 13．在等差数列{a n }中，a 3＝0．如果a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，那么k ＝________．【答案】9【分析】根据等比数列的性质以及等差数列的通项公式求解即可.【解析】设等差数列{a n }的公差为d ，由题意得a 3＝a 1＋2d ＝0，∈a 1＝－2d ．又∈a k 是a 6与a k ＋6的等比中项，266k k a a a +∴=，即[a 1＋(k －1)d ]2＝(a 1＋5d )·[a 1＋(k ＋5)d ]，[(k －3)d ]2＝3d ·(k ＋3)d ，解得k ＝9或k ＝0(舍去)． 故答案为：914．在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，则a 11＋a 15＝________.【答案】32【分析】由a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，两式相减求得公差即可.【解析】因为a 1＋a 5＝2，a 3＋a 7＝8，所以(a 3＋a 7)－(a 1＋a 5)＝4d ＝6，解得d ＝32， 所以a 11＋a 15＝(a 1＋a 5)＋20d ＝2＋20×32＝32. 故答案为：32四、解答题15．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且28S =，9411S a =. （1）求n a ；（2）若3n n S a =+2 ，求n .【答案】（1）21n a n =+（2）4n =【分析】（1）设公差为d ，根据28S =，9411S a =，列出方程组，求得首项跟公差，即可得出答案； （2）利用等差数列前n 项和的公式求得n S ，再根据3n n S a =+2 ，即可的解. （1）解：设公差为d ，由已知294811S S a =⎧⎨=⎩， 得：()11128936113a d a d a d +=⎧⎨+=+⎩，解得：132a d =⎧⎨=⎩， 所以21n a n =+；（2）解：()232122n n n S n n ++==+， 因为3n n S a =+2 ，即()223212n n n +=++，得2450n n --=，解得4n =，或1n =-（舍去）， 所以4n =.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1646,2a a a +==. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求n S 的最大值及相应的n 的值.【答案】（1）102n a n =-（2）当4n =或5n =时，n S 有最大值是20【分析】（1）用等差数列的通项公式即可. （2）用等差数列的求和公式即可. （1）在等差数列{}n a 中，∈1646,2a a a +==, ∈1125632a d a d +=⎧⎨+=⎩， 解得182a d =⎧⎨=-⎩， ∈1(1)102n a n d a n ==--+；（2）∈18,2a d ==-，1(1)2n n n S na d -=+ ∈1(1)(1)8(2)22n n n n n S na d n --=+=+-29n n =-+ ， ∈当4n =或5n =时，n S 有最大值是20。

等差数列的通项公式等差数列的通项公式是数学中常见的概念，用于求解等差数列中任意位置的数值。

通过本文，我们将深入探讨等差数列的概念，并详细介绍其通项公式的推导和应用。

一、等差数列的定义等差数列是指一个数列中的每个数字与它的前一个数字之间的差恒定的数列。

简而言之，就是每两个相邻数字之间的差值都是相等的。

我们可以用以下的形式来表示一个等差数列：a, a+d, a+2d, a+3d, ...其中，a为首项，d为公差，n为项数。

首项是指数列中的第一个数字，公差是指相邻两个数字之间的差值，项数表示数列中数字的个数。

二、等差数列的通项公式推导为了方便计算等差数列中任意位置的数值，我们需要推导出等差数列的通项公式。

首先，我们假设等差数列的首项为a，公差为d。

对于第n项的值，可以表示为：an = a + (n-1)d这个公式可以通过数学归纳法得到，我们不做进一步的展开。

通过这个公式，我们可以计算出等差数列中任意位置的数值。

三、等差数列通项公式的应用等差数列的通项公式在数学和实际生活中有着广泛的应用。

下面，我们将以几个具体的例子来说明应用场景。

1. 计算等差数列中某一项的值假设我们有一个等差数列：3, 7, 11, 15, 19, ...，我们想要计算该数列中的第10项的值。

根据等差数列的通项公式，我们可以计算如下：a10 = a + (10-1)d= 3 + 9*4= 3 + 36= 39所以，该数列中的第10项的值为39。

2. 求等差数列中某个位置的数字之和有时候，我们需要求等差数列中某个位置之前所有数字的和。

我们称这个和为等差数列的部分和。

通过等差数列的通项公式，我们可以得到以下的求和公式：Sn = (n/2)(2a + (n-1)d)其中，Sn表示等差数列的部分和。

例如，我们有一个等差数列：2, 5, 8, 11, 14, ...，我们想要求前5项的和。

根据求和公式，我们可以计算如下：S5 = (5/2)(2*2 + (5-1)*3)= (5/2)(4 + 12)= (5/2)(16)= 40所以，该数列前5项的和为40。

等差数列所有公式大全等差数列是数学中常见的一个概念，它在数学和实际生活中都有着重要的应用。

在学习等差数列时，掌握其相关公式是非常重要的。

本文将为大家详细介绍等差数列的所有公式，希望能够帮助大家更好地理解和运用等差数列的知识。

1. 等差数列的定义。

在介绍等差数列的公式之前，我们先来回顾一下等差数列的定义。

等差数列是指一个数列，其中相邻两项之间的差值都相等。

换句话说，如果一个数列满足每一项与它的前一项之差都相等，那么这个数列就是等差数列。

2. 等差数列的通项公式。

等差数列的通项公式是等差数列中最为重要的公式之一。

通项公式可以用来表示等差数列中任意一项的值。

假设等差数列的首项为a1，公差为d，那么等差数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d。

其中，an表示等差数列中第n项的值。

3. 等差数列的前n项和公式。

除了通项公式之外，等差数列还有一个重要的公式，那就是前n项和公式。

前n项和公式可以用来表示等差数列前n项的和。

假设等差数列的首项为a1，公差为d，那么等差数列的前n项和公式可以表示为：Sn = (n/2)(a1 + an)。

其中，Sn表示等差数列前n项的和。

4. 等差数列的性质。

除了上述的公式之外，等差数列还有一些重要的性质。

首先，等差数列中任意三项可以构成一个等差数列。

其次，等差数列中任意一项都可以表示为它前面的项与公差的和。

另外，等差数列中任意一项与它对称的项之和都相等。

5. 等差数列的应用。

等差数列在实际生活中有着广泛的应用。

比如，等差数列可以用来表示物理学中的等加速度运动，经济学中的等差增长，以及工程学中的等差数列模型等。

掌握等差数列的公式和性质，可以帮助我们更好地理解和解决实际生活中的问题。

总结：通过本文的介绍，我们详细了解了等差数列的所有公式，包括通项公式、前n 项和公式以及等差数列的性质和应用。

希望本文能够帮助大家更好地掌握等差数列的知识，提高数学水平，同时也能够更好地应用等差数列的知识解决实际问题。

等差数列的通项公式等差数列是数学中常见且重要的概念，它在许多实际问题中都有广泛的应用。

在研究等差数列时，我们经常需要计算其中的某个特定位置的项，这时通项公式就起到了重要的作用。

本文将介绍等差数列的通项公式及其推导，以及一些实例应用。

一、等差数列的定义与性质等差数列是指数列中相邻两项之间的差值固定。

设等差数列的首项为a1，公差为d，则数列的通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d其中，an表示数列的第n项。

根据等差数列的定义和通项公式，可以得到等差数列的一些基本性质：1. 等差数列的任意三项可以构成一个等差数列。

2. 等差数列的前n项和可以用求和公式表示为：Sn = (n/2)(2a1 + (n-1)d)。

3. 等差数列的前n项和与项数n成正比，当n趋向于无穷大时，前n项和趋向于无穷大。

二、等差数列通项公式的推导等差数列的通项公式可以通过数学归纳法来推导。

首先，我们验证当n=1时，通项公式成立：a1 = a1 + (1-1)da1 = a1，成立。

假设当n=k时，通项公式成立，即ak = a1 + (k-1)d。

接下来，我们验证当n=k+1时，通项公式也成立：ak+1 = a1 + (k+1-1)dak+1 = a1 + kd + dak+1 = a1 + (k-1)d + 2dak+1 = ak + 2d由假设可知 ak = a1 + (k-1)d，带入上式可得：ak+1 = a1 + (k-1)d + 2dak+1 = a1 + (k+1-1)d因此，假设成立，通项公式对于任意正整数n均成立。

三、等差数列通项公式的应用等差数列的通项公式在实际问题中具有广泛的应用。

以下是一些实例应用：1. 求解数列中的某一特定项根据通项公式，我们可以根据已知的首项和公差，计算出数列中的任意一项。

这在金融投资、工程建设等领域中经常用到。

2. 求解等差数列的前n项和通过等差数列的前n项和公式，我们可以快速计算等差数列的前n项的总和。

等差数列的通项公式等差数列是指数列中的每一个元素间的差都是相等的。

其通项公式可以用于求出数列中任意一个元素的值，也可以用于表示数列的全体元素。

本文将详细介绍等差数列的通项公式，希望对学习数学的读者有所帮助。

一、等差数列的定义和性质等差数列是数列中的每一项都与前一项之差相等的数列。

具体来说，若数列 ${\\left[a_{n}\\right]}_{n\\ge 1}$ 满足 $a_{n+1}-a_{n}=d\\ (n\\ge1)$，则称其为公差为 $d$ 的等差数列。

1. 等差数列的前 $n$ 项和公式等差数列的前 $n$ 项和可以用以下公式表示：$$S_n=\\frac{n}{2}\\left(a_{1}+a_{n}\\right)$$其中，$S_n$ 表示等差数列前 $n$ 项的和，$a_{1}$ 表示数列的首项，$a_{n}$ 表示数列的第 $n$ 项。

2. 等差数列的通项公式等差数列的通项公式是指能够求出数列中任一项 $a_{n}$ 的公式。

假设等差数列的公差为 $d$，首项为 $a_1$，则其通项公式为：$$a_{n}=a_{1}+(n-1) d\\qquad (n \\geqslant 1)$$这个公式表示了等差数列中第 $n$ 项与首项之间的差距。

更一般地，我们可以将通项公式表示为：$$a_{n}=a_{m}+(n-m) d\\qquad (m,n \\in Z)$$其中，$m$ 表示已知数列中的任意一项，而 $n$ 则表示需要求解的数列中的项数。

根据这个公式，我们可以轻松地求出等差数列中的任意一项。

3. 等差数列的性质等差数列还具有以下性质：（1）等差数列的公差决定了每一项之间的差距。

（2）等差数列的前 $n$ 项和与项数 $n$ 的关系是二次函数。

（3）等差数列经常被用于解决数学中的各种问题，如运用数列的差等于比的方法。

二、等差数列的求解在使用通项公式求解等差数列时，需要知道数列中的至少两个数。

等差数列的概念与通项公式（1）一、学习目标二、课堂学习一、知识建构1．情境：观察下列数列：⑴ 4，5，6，7，8，9，10，……； ①⑵ 3，0，3-，6-，……， ②⑶ 第23届到第28届奥运会举行的年份为：1984，1988，1992，1996，2000，2004 ③ ⑷ 某电信公司的一种计费标准是：通话时间不超过3分钟，收话费0.2元，以后每分钟收话费0.1元，那么通话费按从小到大的次序依次为：0.2,0.20.1,0.20.12,0.20.13,++⨯+⨯ ④⑸ 如果1年期储蓄的月利率为1.65%，那么将10000元分别存1个月， 2个月 ， 3个月 ，…… 12个月，所得的本利和依次为1000016.5,1000016.52,1000016.512++⨯+⨯ ， ⑤2．问题1：上面这些数列有何共同特征？等差数列的定义：一般地，如果一个数列从起，每一项减去它的前一项所得的差都等，那么这个数列就叫做．问题2.数列①、②、③、④、⑤的通项公式存在吗？如果存在，你能否写出其通项公式？若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ,则数列{}n a 的通项公式n a =.注：由此可知：⑴等差数列的单调性：d 0>为递增数列，0d =为常数列，0d < 为递减数列．（对比一次函数的k 的取值与函数的单调性来理解）⑵一个等差数列总可以由首项和公差来唯一确定．⑶在1,,,n a a d n 中“知三求一”．三、典型例题例1.判断下列数列是否是等差数列（1）1，1，1，1，1，（2）4，7，10，13，16（3）3， 2， 1，-1，-2，-3例2.求出下列等差数列的未知项（1）3，a ，5 （2）3，b ，c ，-9例3.（1）求等差数列8，5，2，…的第20项；（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?如果是，是第几项，如果不是，说明理由．变式：在等差数列中，已知．（1）求公差；（2）求．{}n a 51210,31a a ==d 7a例4.（1）在等差数列{}n a 中，是否有)2(211≥+=+-n a a a n n n ？ （2）在数列{}n a 中，如果对于任意的正整数)2(≥n n ，都有211+-+=n n n a a a ，那么数列{}n a 一定是等差数列吗？四、知识建构问题1：在等差数列{}n a 中，已知3910,28a a ==，则d =.归纳小结：在等差数列{}n a 中，d 为公差，m a 与n a 有何关系？问题2：在等差数列{}n a 中，若,15,15754==+a a a 则2a =.归纳小结：已知数列{}n a 是等差数列，公差为d ，当,,,m n p q N *∈且m n p q +=+时，有.等差数列的性质（1）在等差数列{}n a 中，相隔等距离的项组成的数列是.如：1a ，3a ，5a ，7a ，……；3a ，8a ，13a ，18a ，……；（2）在等差数列{}n a 中，若m ，n ，p ，q N +∈且m n p q +=+，则.（3）在等差数列{}n a 中，对任意m ，n N +∈，n a =，d =()m n ≠；（4）若三个数成等差数列，可设为，公差为 若四个数成等差数列，可设为，公差为.五、典型例题例1. 已知等差数列{}n a 的通项公式为12-=n a n ,求首项1a 和公差d .例2.已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求此三个数.例3. （1）在等差数列{}n a 中，是否有11(2)2n n n a a a n -++=≥？（2）在数列{}n a 中，若对于任意的正整数n ，都有11(2)2n n n a a a n -++=≥，那么数列{}n a 一定是等差数列吗？例4. 已知数列{}n a 满足14a =，144n n a a -=-，（2n ≥）,,a d a a d -+d 3,,,3a d a d a d a d --++2d（1）令12n n b a =-，求证数列{}n b 为等差数列； （2）求数列{}n a 的通项公式.例5：若三个数4,2,262a a a -+-，适当排列后构成递增等差数列，求a 的值和相应的数列．例6：若关于x 的方程20x x a -+=和20()x x b a b -+=≠的四个根可组成首项为14的等差数列，则a b +的值是_________．例7：已知一个数列的通项公式是230n a n n =+-．⑴ 问60-是否是这个数列中的项？⑵ 当n 分别为何值时，000n n n a a a =><，，？ ⑶ 当n 为何值时，n a 有最大值？并求出最大值．课后作业（1）1.下列数列不是等差数列的是.①0,0,0,,0, ②2,1,0,,3,n --- ③11251,,,,,3333n --+ ④11,1,1,1,,(1),n +---2.已知等差数列的前三项是315,,,222--则它的通项公式为.3.等差数列{}n a 中，33,n a n =-则等差数列的公差d =.4.若{}n a 是等差数列，且11,1,2a d ==则8a =.5.若{}n a 是等差数列，且162,12,a a =-=则d =.6.ABC ∆中，三内角,,A B C 成等差数列,则B =.7.已知12312,,,,,,,n n n a a a a a a + 是公差为d 的等差数列.⑴121,,,,n n a a a a - 仍为等差数列，公差是．⑵2462,,,,n a a a a 仍为等差数列，公差是．⑶将数列{}n a 中的每一项都乘以常数a ，所得的新数列仍为等差数列，公差是．⑷由数列{}n a 中的所有奇数项按原来的顺序组成的新数列{}n c 仍为等差数列，公差是，首项是．8. 在1和100之间插入8个数，使它们与这两个数组成等差数列，则这个数列的公差是.9.求出下列等差数列中的未知项：⑴,,10,,20;a b c -- ⑵,lg3,lg6,.x y10.在1-与7之间顺次插入三个数,,,a b c 使这五个数成等差数列，求此数列.课后作业（2）1.等差数列{}n a 中，若51010,5a a ==，则公差d =.2.已知等差数列的通项公式为11,2n a n =-则它的首项1a =，公差d =.3.一个等差数列的第40项等于第20项与第30项的和，且公差是10,-则首项1a =， 第10项10a =.4.一个等差数列的第5项510,a =且1233,a a a ++=则有1a =，d =.5.等差数列{}n a 中，154533,153,a a ==则217是这个数列的第项.6.设y a a x ,,2,1成等差数列，12,,,x b b y b ,3也成等差数列，则2131_____________a a b b -=-.7.在等差数列{}n a 中，若81110,a a +=则415a a +=.8.在等差数列{}n a 中，若,(),p q a q a p p q ==≠则p q a +=.9.有3个数成等差数列，公差大于0,它们的和为12，它们的积为28，求这3个数.10.已知等差数列{}n a 中，23101136,a a a a +++=求58.a a +。

等差数列的概念与性质等差数列是数学中常见的一种数列类型，它具有一定的规律和性质。

在本文中，将介绍等差数列的概念、公式以及一些重要的性质。

1. 概念等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差值相等的数列。

通常用字母a表示首项，d表示公差，n表示项数。

例如，一个等差数列可以表示为：a，a+d，a+2d，a+3d，...，a+(n-1)d。

2. 公式等差数列有两种常见的表示形式：一般形式和通项公式。

(1) 一般形式：等差数列的一般形式可以用递推关系式来表示，即：an = a1 + (n-1)d。

其中，an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。

(2) 通项公式：等差数列的通项公式用来表示第n项的值，通常表示为：an = a1 + (n-1)d。

这个公式可以直接求得等差数列的任意一项的值。

3. 性质等差数列具有一些重要的性质，下面将介绍其中的几个。

(1) 公差性质：等差数列中的任意两个相邻项之间的差值都相等，这个差值称为公差。

公差可以用来确定等差数列的特征。

(2) 通项性质：通过等差数列的通项公式，可以快速计算出数列的任意一项的值。

这个性质在数学问题的求解中非常有用。

(3) 首项与末项性质：等差数列的首项和末项可以通过公式an = a1 + (n-1)d来计算。

当已知首项、公差和项数时，可以快速计算出末项的值。

(4) 项数性质：等差数列的项数n可以通过通项公式an = a1 + (n-1)d 来求解。

这个性质在确定等差数列的有效区间时非常有用。

4. 应用等差数列在实际问题中有广泛的应用。

例如，在数学、物理、经济等领域中，等差数列常被用来描述一些随时间变化的规律。

通过对等差数列的分析，可以求解一些复杂的数学问题，帮助理解和解决实际应用中的相关问题。

综上所述，等差数列是数学中常见的一种数列类型，具有一定的规律和性质。

理解等差数列的概念、公式以及性质，对于解决实际问题和推导数学知识都有重要的意义。

通过运用等差数列的知识，我们可以更好地理解和应用数学中的相关概念。

等差等比数列通项及前N项和公式数列是数学中的一个重要概念，它是由一组按照一定规律排列的数所组成的序列。

在数列中，等差数列和等比数列是最基本的两种形式。

而通项公式和前N项和公式则是用来表示等差数列和等比数列的重要公式。

本文将详细介绍等差数列和等比数列的概念，并给出它们的通项公式和前N 项和公式。

一、等差数列等差数列是指数列中相邻两项之间的差值是一个常数d，这个常数称为公差。

等差数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，第n项为an，则等差数列的通项公式为：an = a1 + (n - 1)d2.前N项和公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，前N项的和为Sn，则等差数列的前N项和公式为：Sn = (a1 + an) * n / 2在等差数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。

根据这个公式，我们可以很方便地计算等差数列的前N项和。

二、等比数列等比数列是指数列中相邻两项之间的比值是一个常数q，这个常数称为公比。

等比数列的通项公式和前N项和公式如下：1.通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，第n项为an，则等比数列的通项公式为：an = a1 * q^(n-1)2.前N项和公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，前N项的和为Sn，则等比数列的前N项和公式为：Sn=(a1*(q^N-1))/(q-1)（当q≠1时）在等比数列中，从第一项到第N项的和可以用前N项和公式来表示。

需要注意的是，当公比q等于1时，等比数列通项公式中含有0的指数项，这时候通项公式的形式为an = a1，等比数列变成了一个常数数列。

三、等差数列和等比数列的应用等差数列和等比数列在数学中有着广泛的应用。

在实际生活中，很多事物的变化规律都可以用等差数列或等比数列来描述。

1.等差数列应用举例：（1）一些数学问题中常常出现等差数列的求和问题，比如计算一些等差数列的前N项和，这在数学竞赛中是经常出现的题型。

等差数列的概念等差数列，是指数列中任意相邻两项的差值都相等的数列。

在数学中，等差数列是一种常见的数列类型。

其定义和性质对于数学学习和应用都具有重要的意义。

一、等差数列的定义等差数列可以用以下的方式进行定义：假设有一个数列 a₁, a₂,a₃, ..., an，如果对于该数列，存在一个常数 d，使得任意相邻两项的差值都等于d，那么该数列就是等差数列。

可以用数学公式来表达等差数列的定义：a₂ - a₁ = a₃ - a₂ = a₄ - a₃ = ... = an - aₙ₋₁ = d其中，a₁为等差数列的首项，d为公差（任意相邻两项的差值）。

二、等差数列的性质等差数列具有许多重要的性质，以下是其中几个常见的性质：1. 通项公式：等差数列可以用通项公式来表示，通项公式可以用来求解数列中任意一项的数值。

对于等差数列 a₁, a₂, a₃, ..., an，其通项公式为：an = a₁ + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a₁为首项，d为公差。

通过通项公式，可以快速计算出等差数列中任意一项的数值。

2. 等差数列的和：等差数列的前n项和可以用求和公式来表示。

对于等差数列a₁, a₂, a₃, ..., an，其前n项和Sn可以表示为：Sn = (n/2)(a₁ + an)通过求和公式，可以快速计算等差数列的前n项和。

3. 等差数列的性质：等差数列具有递推性质，即任意一项与它的前一项之间的差值等于公差。

通过这个性质，可以进一步推导出等差数列的各种性质和定理。

三、等差数列的应用等差数列在数学中被广泛应用，它有着重要的意义和应用价值。

以下是等差数列的一些常见应用：1. 等差数列的求和：通过等差数列的求和公式，可以解决一些实际问题，如计算数列中一段连续数值的总和。

这在计算、统计学等领域具有广泛的应用。

2. 线性函数：等差数列可以被看作是线性函数的离散形式，它们之间存在着密切的联系。

线性函数在数学和物理学等领域中具有广泛的应用，而等差数列则为理解和应用线性函数提供了基础。

等差数列的概念及通项公式等差数列是数学中非常重要的一种数列，它是指一个数列中的每一项与它的前一项之差都相等的数列。

这个差值称为等差数列的公差，用d来表示。

等差数列可以用一般形式的公式表示为：an=a1+(n-1)d，其中an表示等差数列中的第n项，a1表示等差数列的首项，n表示等差数列的项数。

由等差数列的定义可知，等差数列的相邻两项之间的差值是固定不变的。

这个差值可以是正数、零或者负数。

如果差值为正数，那么数列逐渐增大；如果差值为零，那么数列各项都相等；如果差值为负数，那么数列逐渐减小。

不管差值的正负与大小如何，等差数列都具有相同的通项公式。

等差数列的通项公式是指通过已知条件求解等差数列中任意一项的公式。

等差数列的通项公式有很多不同的形式，最常用的是：an=a1+(n-1)d，其中an表示等差数列的第n项，a1表示等差数列的首项，d表示等差数列的公差，n表示等差数列的项数。

通过这个通项公式，我们可以很方便地求解等差数列中任意一项的值。

例如，如果我们知道一个等差数列的首项是3，公差是2，我们想要知道它的第10项的值，那么我们只需要将a1=3，d=2，n=10代入通项公式中，即可得到a10=3+(10-1)×2=3+18=21、因此，这个等差数列的第10项的值是21另外，由等差数列的通项公式还可以得到等差数列的公式和等差数列的前n项和的公式。

等差数列的公式是指将等差数列中的每一项按照一定的规律列出来。

例如，对于一个等差数列的首项是2，公差是3，如果我们想知道它的前5项的值，那么我们可以用通项公式计算得到a1=2，a2=2+3×1=5，a3=2+3×2=8，a4=2+3×3=11，a5=2+3×4=14、因此，这个等差数列的前5项的值是2，5，8，11，14而等差数列的前n项和的公式是指等差数列前n项的总和。

可以通过通项公式将等差数列的前n项求和转化为求一等差数列的前n项和的问题。

4.2.1&4.2.2 等差数列的概念与等差数列的通项公式一、等差数列的定义1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2、符号语言：若()12n n a a d n --=≥，则数列{}n a 为等差数列（通常可称为AP 数列） 【注意】（1）“从第2项起”是指第1项前面没有项，无法与后续条件中“与前一项的差”相吻合． （2）“每一项与它的前一项的差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”，强调了：①作差的顺序； ②这两项必须相邻．（3）定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数列不能称为等差数列．二、等差数列的通项公式与等差中项 1、等差数列的通项公式已知等差数列{}n a 的首项为a 1，公差为d ，则通项公式为：()()11n a a n d n N *=+-∈等差数列通项公式的推导过程：如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，根据等差数列的定义得到：21a a d -=，32a a d -=，43a a d -=，…所以21a a d =+，32112a a d a d d a d =+=++=+， 431123a a d a d d a d =+=++=+， ……由此归纳出等差数列的通项公式为()11n a a n d =+-． 2、等差中项如果三个数a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项． 这三个数满足的关系式是A ＝a ＋b2. 三、判断或证明一个数列是等差数列的方法1、定义法：1n n a a d +-=（常数）()n N *∈⇒{}n a 是等差数列；2、中项法：122n n n a a a ++=+()n N *∈⇒{}n a 是等差数列；3、通项公式法：n a kn b =+（k ，b 为常数）{}n a ⇒是等差数列。

§12.3 等差数列的概念与通项公式教学目标(1)进一步熟悉等差数列的定义和通项公式，并能利用它们解决数列的相关问题；(2)了解等差数列的一些简单性质．重点、难点重点：等差数列定义及其通项公式的应用；难点：等差数列的性质．教学过程一、回顾复习1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示．2．等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ；a n ＝a m ＋(n －m )d ．(n ，m ∈N *)．3．等差中项若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项，其中A ＝a ＋b 2． 4．等差数列的判定方法利用定义判定：{a n }成A ．P ． a n ＋1－a n ＝d ．二、数学探究与应用1．探究一问题1 等差数列的通项公式是什么？问题2 如何方便地画出等差数列的图象？问题3 我们知道函数y ＝kx ＋b 的图象是一条直线，那么如果一个数列{a n }的通项公式为a n ＝kn ＋b ，其中k ，b 都是常数，那么这个数列一定是等差数列吗？分析 由等差数列的定义，要判定{a n }是不是等差数列，只要看a n －a n －1(n ≥2)是不是一个与n 无关的常数．证明 因为当n ≥2时，a n －a n －1＝(kn ＋b )－[k (n －1)＋b ]＝k (为常数)，所以{a n }是等差数列，首项a 1＝k ＋b ，公差为k ．注：①若k ＝0，则{a n }是公差为0的等差数列，即为常数列b ，b ，b ，…．②若k ≠0，则{a n }是关于n 的一次式,从图象上看，表示数列的各点均在一次函数y ＝kx ＋b 的图象上，一次项的系数是公差，直线在y 轴上的截距为b ．2．数学应用1例1 已知等差数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －１，求首项a 1和公差d ．解 由题知a 1＝2×1－1＝1，a 2＝2×2－1＝3，所以d ＝a 2－a 1＝2．例2 (1)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，a 2＝4，求a n ；(2)在等差数列{a n }中，已知a 1＝10，a 7＝28，求a n ；(3)在等差数列{a n }中，已知a 3＝10，a 9＝28，求a n ． 解 (1)因为d ＝ a 2－a 1＝4－10＝－6，所以a n ＝ a 1＋(n －1)d ＝10－6(n －1)＝16－6n ．(2)因为a 7＝a 1＋6d ＝10＋6d ＝28，所以 d ＝3，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋3(n －1)＝3n ＋7．(3)解法一：因为a 3＝10，a 9＝28，所以 ⎩⎨⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋8d ＝28， 解得 ⎩⎨⎧a 1＝4，d ＝3．所以a n ＝ a 1＋(n －1)d ＝4＋3(n －1)＝ 3n ＋1．解法二：因为d ＝a 9－a 39－3＝3， 所以a n ＝a 3＋(n －3)d ＝10＋3(n －3)＝3n ＋1． (或a n ＝a 9＋(n －9)d ＝28＋3(n －9)＝3n ＋1)例3 梯子最高一级宽33cm ，最低一级宽为110cm ，中间还有10级，各级的宽度成等差数列，试求梯子中间各级的宽度． 解 梯子共有12级，设a n 表示梯子自上而下第n 级的宽度，所以a 1，a 2，…，a n …，a 12成等差数列．由已知条件，a 1＝33，a 12＝110，可得a 12－a 1＝(12－1)d ＝110－33，解得 d ＝7．因此 a 2＝a 1＋d ＝33＋7＝40，a 3＝a 2＋d ＝40＋7＝47，a 4＝a 3＋d ＝47＋7＝54，a 5＝a 4＋d ＝54＋7＝61，a 6＝a 5＋d ＝61＋7＝68，a 7＝a 6＋d ＝68＋7＝75，a 8＝a 7＋d ＝75＋7＝82，a 9＝a 8＋d ＝82＋7＝89，a 10＝a 9＋d ＝89＋7＝96，a 11＝a 10＋d ＝96＋7＝103，答 梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm ，47cm ，54cm ，61cm ，68cm ，75cm ，82cm ，89cm ，96cm ，103cm ．3．探究2问题4 如果A ，B ，C 成等差数列，则A ，B ，C 满足什么关系？问题5 任意给一个等差数列{a n }，任取其相邻的三项，该三项是否构成等差数列？问题6 问题5中任取相邻的三项a n －1，a n ，a n ＋1满足什么关系？ 问题7 在数列{a n }中，如果对于任意的正整数n (n ≥2)，都有a n ＝a n －1＋a n +12，那么数列{a n }一定是等差数列吗？证明：在数列{a n }中，对于任意的正整数n (n ≥2)，都有a n ＝a n －1＋a n +12， 那么 a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． 这表明，这个数列从第2项起，后一项减去前一项所得的差始终相等，所以数列{a n }是等差数列．说明：如果a n ＝a n －1＋a n +12，则称a n 为a n －1，a n ＋1的等差中项． 4．数学应用2例4 如图，三个正方形的边AB ，BC ，CD的长组成等差数列，且AD ＝21cm ，这三个正方形的面积之和是179cm 2．(1)求AB ，BC ，CD 的长； (2)若AB ，BC ，CD 的长为等差数列的前三项，以第10项为边长的正方形的面积是多少？解 (１)设公差为d (d ＞0)，BC ＝x ，则AB ＝x －d ，CD ＝x ＋d ．由题意得 ⎩⎨⎧(x －d )＋x ＋(x ＋d )＝21，(x －d )2＋x 2＋(x ＋d )2＝179， 解得 ⎩⎨⎧x ＝7，d ＝4．所以AB ＝3(cm)，BC ＝7(cm)，CD ＝11(cm)．(2)因为正方形的边长组成首项是3，公差是4的等差数列{a n }，所以a 10＝3＋(10－1)×4＝39．a 210＝392＝1521(cm 2)．答 所求正方形的面积为1521cm 2．5．探究3数列：1，3，5，7，9，11，13…中，5是3和7的等差中项，也是1和9的等差中项；9是7和11的等差中项，也是5和13的等差中项．由此我们发现，在这个数列中，a 1＋a 5＝a 2＋a 4，a 3＋a 7＝a 4＋a 6．从而可得：在等差数列{a n }中，若n ＋m ＝p ＋q ，且n ，m ，p ，q ∈N*，则a n ＋a m ＝a p ＋a q ．问题8 在等差数列{a n }中，若a n ＋a m ＝a p ＋a q ，且n ，m ，p ，q ∈N*，则n ＋m ＝p ＋q 成立吗？6．数学应用3例5 在等差数列{a n }中，若a 1＋a 6＝9，a 4＝7，求a 3，a 9． 分析 要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差)，本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手．解 因为{a n }是等差数列，所以 a 1＋a 6＝a 4＋a 3＝9，a 3＝9－a 4＝2，所以 d ＝a 4－a 3＝7－2＝5，A B C D所以 a 9＝a 4＋(9－4)d ＝32．故 a 3＝2，a 9＝32．例6 等差数列{a n }中，a 1＋a 3＋a 5＝－12，且a 1·a 3·a 5＝80，求通项a n ．分析 要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题．而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元(项)或再弄一个等式出来．解 因为 a 1＋a 5＝2a 3且a 1＋a 3＋a 5＝－12，所以 a 1＋a 5＝－8，a 3＝－4．所以 ⎩⎨⎧a 1 a 5＝－20，a 1＋a 5＝－8． 解得 ⎩⎨⎧a 1＝－10，a 5＝2或⎩⎨⎧a 1＝2，a 5＝－10．因为 d ＝a 5－a 15－1， 所以 d ＝3或d ＝－3，所以 a n ＝－10＋3(n －1)＝3n －13或 a n ＝2－3(n －1)＝－3n ＋5．例7 已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11…都有100项，问它们有多少共同项？分析 两个等差数列的相同的项按原来的前后次序组成一个新的等差数列，且公差为原来两个公差的最小公倍数． 解 设两个数列的共同项组成的新数列为{a n }，则{a n }是首项为11的等差数列．因为等差数列5，8，11，…和3，7，11…的公差分别为3与4，所以数列{a n }公差d ＝3×4＝12，所以 a n ＝11＋(n －1)·12＝12n －1．因为数列5，8，11，…和3，7，11…的第100项分别为302与399，所以 a n ＝12n －1≤302，所以 n ≤25.5，因为 n ∈N*，所以所给两数列有25共同项．例8 已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋6a n(n ∈N *)，求数列{a n }的通项公式．解 因为 a n ＋1＝a n 1＋6a n ，a 1＝1， 所以 a n ≠0．否则，若存在a k ＝0(k ≥2)，则根据a k ＝a k －11＋6a k －1a k －1＝0，从而可推得a 1＝0，与a 1＝1≠0矛盾．所以 1a n ＋1＝1a n ＋6，所以数列{1a n }是以1a 1＝1为首项，6为公差的等差数列， 所以 1a n＝1＋6(n －1)＝6n －5， 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝16n －5． 三、课堂反馈1．已知三个数成等差数列，其和为15，首末两项的积为9，求这三个数．2．成等差数列的四个数之和为26，第二数与第三数之积为40．求这四个数．3．有四个数成等差数列．四个数的平方和等于94，第一数与第四数的积比第二数与第三数的积少18，求这四个数．4．在三角形ABC 中，若角A ，B ，C 成等差数列，则求B ．5．已知实数a ，b ，c ，若a 2，b 2，c 2成等差数列，求证：1b ＋c1c ＋a ，1a ＋b成等差数列．四、回顾反思1．利用定义判定：{a n }成A ．P ．⇔a n ＋1－a n ＝d ．说明：(1)2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)⇔{a n }是等差数列；(2)a n ＝kn ＋b (k ，n 为常数)⇔{a n }是等差数列．等差数列的通项公式可以表示为a n ＝kn ＋b ，通项公式是a n ＝kn ＋b 的数列是等差数列，其中k 是该数列的公差． 等差数列的性质2．在公差为d 的等差数列{a n }中．(1)若d ＞0，则{a n }是递增数列；若d ＜0，则{a n }是递减数列．(2)d ＝a n ＋1－a n ＝a n －a 1n －1＝a n －a m n －m． (3)设n ，m ，p ，q ，k ∈N*，若n ＋m ＝p ＋q ，则a n ＋a m ＝a p ＋a q ；若n ＋m ＝2k ，则a n ＋a m ＝2a k ．反之不成立．(4){a n }是有穷等差数列，则首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a k ＋a n ＋1－k ．(5)若{a n }是等差数列，{b n }是等差数列，则{a n ±b n }，{ka n ±b n }也是等差数列．五、课堂反馈P 37——1，2，3，4，5，6．六、课外作业P 38——7，8，10．。