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数列的概念与通项打印

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数列的概念与通项【典型例题】例1：已知数列通项公式是3tanπn a n =，（1）求9a ；（2）3是否是数列中的项？如果是，假设该数列共有100项时，其中是3的有几项？例2：写出下面各数列的一个通项公式：（1）3，5，7，9，…； （2）21，43，87，1615，3231，…； （3）-1，23，-31，43，-51，63，…； （4）32，-1，710，-917，1126，-1337，…；（5）3，33，333，3 333，…； （6）数列}{n a 中，若*),2(11,2111N n n a a a n n ∈≥-==-，则=2010a ． 例3：已知数列}{n a 的前n 项和n S ，（1）若1322+-=n n S n ，求数列}{n a 的通项公式n a ；（2）若b S nn +=3，求数列}{n a 的通项公式n a ；（3）若23-=n n a S ，求数列}{n a 的通项公式n a ； （4）数列}{n a 满足*)(52212121221N n n a a a n n ∈+=+++ ，求数列}{n a 的通项公式．巩固练习1．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1(1)n a n n =+，则5S = ．2．已知数列1，－1，1，－1，…，则下列各式中能作为它的通项公式的是 ． ①1)1(--=n n a ②2)12(sinπ-=n a n ③⎩⎨⎧-=)(1)(1为偶数为奇数n n a n ④ nn a )1(-=3．数列-1,58，-715，924，…的一个通项公式是 ． 4．已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 92-=，第k 项满足5＜k a ＜8，则k = ．5．数列}{n a 中，=n a n 2＋12n ＋2，*N n ∈，则数列}{n a 中的项的最小值为________．6．已知=n a n －98n －99(n ∈N *)，则在数列}{n a 中的前30项中，最大项和最小项分别是第________项、第________项．7．已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足1)1(log 2+=+n S n ，求n a ．8．已知*)(10)1(9N n n a nn n ∈+=，问数列}{n a 中有无最大项？若有？求出此最大项，若无，说明理由．等差数列【典型例题】例1：(1) (2010南京调研)若等差数列}{n a 的前5项和305=S ，且72=a ，则=7a ____； （2）（2010淮安模拟）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．例2：已知数列}{n a 中，531=a ， )2(121≥-=-n a a n n ,数列}{nb 满足*)(11N n a b n n ∈-=． （1）求证：数列}{n b 是等差数列； （2）记数列}{n b 的前n 项和为n S ，求nS n 82+的最小值．例3：在等差数列}{n a 中，已知1a =20,前n 项和为n S ，且1510S S =，求当n 取何值时，n S 取得最大值，并求出它的最大值．巩固练习1.（08·广东）记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1a =21，4S =20，则6S = . 2.（08陕西）已知}{n a 是等差数列, 1a +2a =4, 7a +8a =28,则该数列前10项和S 10= . 3. 已知两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且n n B A =3457++n n ，则使得nnb a 为整数的正整数n 的个数是 个. 4. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 . 5. 设等差数列{a n }的前n 项和为n S ，若1917124a a a a +++=8，则25S 的值为 . 6. 凸多边形各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n = ． 7. 数列{}n a 是公差为－2的等差数列，若50...97741=++++a a a a ，则99963...a a a a ++++等于 ．8.设{}n a 为等差数列, n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知75,7157==S S ,n T 为数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 的前n 项和,求n T .9.等差数列{}n a 中，1291,0S S a =<,该数列前多少项的和最小？等比数列【典型例题】例1：已知实数列{}n a 是等比数列，其中17=a ，且654,1,a a a +成等差数列． （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）数列}{n a 的前n 项和为n S ，证明：n S <128( ,3,2,1=n )．例2：设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为 ．例3：（1）若数列}{n a 的前n 项之和为n S ，且满足n S n =+)1lg(，求证：数列}{n a 是等比数列；（2）若数列}{n a 的前n 项之和为n S ，且满足n k S n =+)lg(，k ≠1,求证：数列}{n a 不是等比数列；（3）已知等比数列}{n a 的前n 项之和为n S ，且满足n k S n =+)lg(，求常数k 的值．例4：已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对任意n ∈N *有n S a n n =+.（1）设1-=n n a b ,求证：数列}{n b 是等比数列；（2）设11a c =且)2(1≥-=-n a a c n n n ，求}{n c 的通项公式.巩固练习1.设等比数列}{n a 的公比q=2,前n 项和为n S ,则24a S = . 2.如果9,,,,1--cb a 成等比数列,那么=b ,ac = . 4. 在等比数列}{n a 中，854321=++++a a a a a 且11a +21a +31a +41a +51a =2,则3a = .3.（08浙江）已知}{n a 是等比数列,2a =2,5a =41,则13221...++++n n a a a a a a = .4. 若数列}{n a 的前n 项和a S nn -=3，数列}{n a 为等比数列，则实数a 的值是 .5.设}{n a 为公比q>1的等比数列，若2004a 和2005a 是方程24830x x -+=的两根，则=+20072006a a ___ ___.6．等比数列}{n a 中，对任意自然数n ，a a a a nn -=++221 ，则 22221n a a a ++的值为 ．7.设数列}{n a 的前n 项和为n S ，且*)(32)3(N n m ma S m n n ∈+=+-，其中m 为常数，且m ≠-3, m ≠0.（1）求证：}{n a 是等比数列；（2）若数列}{n a 的公比)(m f q =,数列}{n b 满足11a b =,)(231-=n n b f b (n ≥2),求证：⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为等差数列，并求n b .求数列的通项【典型例题】例1：（1）若数列{}n a 中，n a a a n n 3,211+==+，求n a ；（2）若数列{}n a 中，nn n a a a 3,211+==+，求n a ；（3）若数列{}n a 中，)1(1,211++==+n n a a a n n ，求n a ．例2：（1）若数列{}n a 中，n n a n a a ⋅==+3,211，求n a ； （2）若数列{}n a 中，n n a n na a 1,211+==+，求n a ．例3：数列{}n a 中（1）23,211+==+n n a a a ，求a n ； （2）n a a a n n 23,211+==+，求a n ；（3）nn n a a a 23,211+==+，求a n ．例4：已知函数132)(+=x xx f ，数列{a n }，若 a 1=1，)(1n n a f a =+，求数列{a n }的通项公式．巩固练习1．（ 08·江西）在数列{}n a 中，12a =， 11ln(1)n n a a n+=++，则n a = ． 2．如果数列{}n a 满足123121,...,,,----n n a a a a a a a 是首项为1，公比为3的等比数列，则n a = ．3．已知数列{}n a 中，32,1411-==+n n a a a *)(N n ∈,则使01≤+n n a a 成立的n 为 ．4．如果数列{}n a 满足1,221==a a ，且11---n n n n a a a a =11++-n n n n a a a a (2≥n )，则此数列的第10项为 .5．在数列{}n a 中，已知11=a ，且n n a n g a ⋅=+)(1 ．若2)(=n g ，则n a =___________；若n n g 2)(=，则n a =__________；若2)(+=n nn g ，则n a =__________． 6．设{}n a 是首项为1的正项数列，且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n *)(N n ∈则它的通项公式是n a = ．7．若数列{}n a 满足313 (331)3221+=++++-n a a a a n n *)(N n ∈,则n a = ． 8．已知数列{}n a 满足， *11212,,2n n n a a a a a n N ++=∈’＋2＝＝．（1）令1n n n b a a +=-，证明：{}n b 是等比数列；（2）求{}n a 的通项公式．数列求和【典型例题】例1：求下列数列的和n S ：（1）123-+=nn n a ；（2）111,3,5,74816•••112 （3）（2010扬州模拟）求数列, (231),...,71,41,1112-++++-n aa a n 的前n 项和n S ．例2：已知数列}{n a 的前n 项的和为n S ，且24n n S a =- （1）求数列}{n a 的通项公式（2）设21log ,n n n n b a b b +=n 1求数列｛｝的前n 项和T ； （3）在（2）的条件下，若1n n T b λ+<对一切n N *∈都成立，试求实数λ的取值范围．例3：函数241)(+=x x f ，若121x x +=，则12()()f x f x += ，又若n N *∈则121()()()()n n f f f f n n n n-++•••++= ．例4：(2009全国卷)数列{}n a 中，11111,(1)2n n n n a a a n++==++．（1）设nn a b n=，求数列{}n b 的通项公式； （II ）求数列{}n a 的前n 项和n S ．巩固练习1．等差数列}{n a 的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是2．已知数列}{n a 的通项公式是,10,1n n a S n n ==++若则n 的值是 ． 3．等差数列}{n a 的通项公式21n a n =+，数列11n n n b a a -=，其前n 项和为n S = ． 4．已知数列}{n a 的前n 项的和242n S n n =-+，则1210||||||a a a ++•••+= ．5．数列1，1+2，1+2+4，•••，1+2+4+•••+12n -，•••的前n 项的和n S >1020，n 的最小值为 ．5．若数列}{n a 为正项数列，且2123n a a a n n ++•••+=+，则12231n a a a n ++•••++ = ． 6．数列{}n a 的通项222(cos sin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为 ．12．已知}{n a 是一个公差大于0的等差数列，且满足16,557263=+=a a a a ； (Ⅰ)求数列}{n a 的通项公式：（Ⅱ）若数列}{n a 和数列}{n b 满足等式：1+n a ＝)(2...222n 33221为正整数n bb b b n+++，求数列}{n b 的前n 项和S n。

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数列概念及通项公式优秀课件

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6.若数列 {an} 满足 a1=1, an=a1+2a2+3a3+…+(n-1)an-1 (n≥2),
则当 n≥2 时, {an} 的通项 an=
n! 2.
7 将全体正整数排成一个三角形数阵：
1
23
456
7 8 9 10
．．．．．．．
按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的
第3 个数为 n 2 n 6 ． 2
an=an-1+(n-1),
所以a2+a3+…+an
=(a1+a2+…+an-1)+[1+2+3+…+(n-1)]，
所以an=
(
n
1)n 2
+2=
n
2
n 2
4
.
(方法二)因为an+1-an=n， 所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…
例3 根据下列条件,写出数列的通项公式：
（1）a1=2，an+1=an+n； （2）a1=1，an-1=2n-1an.
分析（1）将递推关系写成n-1个等式累
加，即“累加法”. （2）将递推关系写成n-1个等式相乘，即
“累积法”或用逐项迭代法.
(1)(方法一)an+1=an+n，
所以a2=a1+1，a3=a2+2，a4=a3+3，…,
解: (1)当 n=1 时, a1=S1=-1; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=4n-5, 故 an=4n-5(nN*).
(2)当 n=1 时, a1=S1=5; 当 n≥2 时, an=Sn-Sn-1=6n-2,
数列通项知识点总结

数列通项知识点总结

数列通项知识点总结一、数列通项的概念1.1 数列的定义数列是指按照一定顺序排列的一组数的集合。

数列可以是有限的，也可以是无限的。

有限数列通常用a1，a2，…，an表示，其中a1表示第一个数，an表示第n个数。

而无限数列通常用an表示，其中n为自然数。

1.2 数列的常见类型数列根据其间隔和规律的不同，可以分为等差数列、等比数列、斐波那契数列等。

下面分别对这几种常见类型进行介绍。

1.2.1 等差数列如果一个数列中任意两个相邻的数之差是一个常数d，则称这个数列为等差数列。

一般来说，等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，其中an表示第n个数，a1表示第一个数，d表示公差。

例如，数列1，3，5，7，9，11，… 是一个公差为2的等差数列，其通项公式为an=1+2(n-1)。

1.2.2 等比数列如果一个数列中任意两个相邻的数之比是一个常数r，则称这个数列为等比数列。

一般来说，等比数列的通项公式为an=a1*r^(n-1)，其中an表示第n个数，a1表示第一个数，r表示公比。

例如，数列2，6，18，54，… 是一个公比为3的等比数列，其通项公式为an=2*3^(n-1)。

1.2.3 斐波那契数列斐波那契数列是指从0和1开始，后面每一项都等于前两项之和的数列。

斐波那契数列的通项是比较特殊的，通常用递推关系式来表示。

1.3 数列通项的作用数列通项是对数列中每一项的值进行一般性表示的公式，它能够帮助我们更方便地计算和推导数列中的每一项的值。

通过数列通项，我们可以更好地理解数列的规律和特性，进而推导出一些有用的结论，应用在数学、物理、工程等领域中，具有一定的实际意义。

因此，掌握数列通项的知识是非常重要的。

二、数列通项的求解方法2.1 等差数列的通项对于等差数列，我们可以通过分析数列中相邻两项之间的关系，利用其公差d来推导出数列通项的公式。

一般可以按照以下步骤进行求解：（1）确定公差d；（2）利用已知项求解通项公式。

数列初步数列的定义通项公式与性质

数列初步数列的定义通项公式与性质

数列初步数列的定义通项公式与性质数列是高中数学中的重要概念之一，它在数学和实际问题中具有广泛的应用。

本文将介绍数列的定义、通项公式以及数列的一些性质。

1. 数列的定义数列是按照一定规律排列的一组数，这组数按照一定的次序排列并形成一个序列。

数列可以用形如{a₁,a₂,a₃,...,aₙ}的符号表示，其中a₁、a₂、a₃...分别表示数列的前n项。

2. 数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个公式来表示数列中第n项与其序号n 之间的关系。

通常用aₙ表示数列的第n项，则数列的通项公式常用一般项公式表示。

对于等差数列来说，其通项公式为：aₙ = a₁ + (n-1)d其中a₁为第一项，d为公差。

同样的，等比数列的通项公式为：aₙ = a₁ * r^(n-1)其中a₁为第一项，r为公比。

3. 数列的性质数列有许多重要的性质，下面列举几个常见的性质：- 等差数列的前n项和公式：Sₙ = (2a₁ + (n-1)d) * n / 2其中Sₙ表示数列的前n项和。

- 等差数列的性质：（1）若数列是等差数列，则其相邻两项之差是相等的。

（2）若数列是等差数列，则数列的前n项和等于数列的后n项和。

- 等比数列的求和公式：Sₙ = a₁ * (1 - rⁿ) / (1 - r)其中Sₙ表示数列的前n项和。

- 等比数列的性质：若数列是等比数列且公比不为0，则其相邻两项之比是相等的。

4. 数列在实际问题中的应用数列作为一种数学工具，在实际问题中有广泛的应用。

例如，利用数列的通项公式和性质，我们可以解决各种问题，如等差数列在算术问题和几何问题中的应用，等比数列在利滚利、递增递减等问题中的应用。

综上所述，数列的定义、通项公式和性质是数学中重要的概念。

熟练掌握数列的基本概念和相关公式，对于解决各种实际问题具有重要的意义。

希望本文对读者理解数列有所帮助。

第四章 数列(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)

第四章 数列(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)

第四章数列（公式、定理、结论图表）一．数列的概念：1.定义：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。

2．数列是按一定顺序排列的一列数，记作,,,,321 n a a a a 简记{}n a .3．数列{}n a 的第n 项n a 与项数n 的关系若用一个公式)(n f a n =给出，则这个公式叫做这个数列的通项公式。

4．数列的项为当自变量由小到大依次取值时对应的一列函数值，它的图像是一群孤立的点。

5、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式．6、求数列中最大最小项的方法：最大⎩⎨⎧≥≥-+11n n n n a a a a 最小⎩⎨⎧≤≤-+11n n n n a a a a 考虑数列的单调性二、等差数列1、定义：（1）文字表示：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，则这个数列称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差．（2）符号表示：11(2)(1)n n n n a a d n a a d n -+-=≥-=≥或2、通项公式：若等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则()11n a a n d =+-．通项公式的变形：①()n m a a n m d =+-；②n ma a d n m-=-．通项公式特点：1()n a d n a d =+-),为常数，（m k m kn a n +=是数列{}n a 成等差数列的充要条件。

3、等差中项若三个数a ，A ，b 组成等差数列，则A 称为a 与b 的等差中项．若2a cb +=，则称b 为a 与c 的等差中项．即a 、b 、c 成等差数列<=>2a cb +=4、等差数列{}n a 的基本性质),,,(*∈N q p n m 其中（1）q p n m a a a a q p n m +=++=+，则若。