数列的概念与通项
【典型例题】
例1：已知数列通项公式是3
tan
πn a n =，（1）求9a ；（2）3是否是数列中的项？如果是，假设该数列共有100项时，其中是3的有几项？
例2：写出下面各数列的一个通项公式：
（1）3，5，7，9，…； （2）2
1，4
3，8
7，16
15，3231
，…； （3）-1，2
3，-3
1，4
3，-5
1，6
3，…； （4）32，-1，710，-9
17
，1126，-1337，…；
（5）3，33，333，3 333，…； （6）数列}{n a 中，若*),2(11
,211
1N n n a a a n n ∈≥-==
-，则=2010a ． 例3：已知数列}{n a 的前n 项和n S ，
（1）若1322
+-=n n S n ，求数列}{n a 的通项公式n a ；
（2）若b S n
n +=3，求数列}{n a 的通项公式n a ；
（3）若23-=n n a S ，求数列}{n a 的通项公式n a ； （4）数列}{n a 满足
*)(522
1
2121221N n n a a a n n ∈+=+++ ，求数列}{n a 的通项公式．
巩固练习
1．数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1
(1)
n a n n =
+，则5S = ．
2．已知数列1，－1，1，－1，…，则下列各式中能作为它的通项公式的是 ． ①1
)1(--=n n a ②2)12(sin
π
-=n a n ③⎩⎨⎧-=)
(1
)(1为偶数为奇数n n a n ④ n
n a )1(-=
3．数列-1,5
8
，-7
15，924
，…的一个通项公式是 ． 4．已知数列}{n a 的前n 项和n n S n 92
-=，第k 项满足5＜k a ＜8，则k = ．
5．数列}{n a 中，=n a n 2＋12
n ＋2
，*N n ∈，则数列}{n a 中的项的最小值为________．
6．已知=n a n －98
n －99
(n ∈N *)，则在数列}{n a 中的前30项中，最大项和最小项分别是第
________项、第________项．
7．已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足1)1(log 2+=+n S n ，求n a ．
8．已知*)(10
)
1(9N n n a n
n n ∈+=，问数列}{n a 中有无最大项？若有？求出此最大项，若无，说明理由．
等差数列
【典型例题】
例1：(1) (2010南京调研)若等差数列}{n a 的前5项和305=S ，且72=a ，则=7a ____； （2）（2010淮安模拟）有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和为16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
例2：已知数列}{n a 中，5
3
1=
a ， )2(121≥-=-n a a n n ,数列}{n
b 满足*)(1
1
N n a b n n ∈-=
． （1）求证：数列}{n b 是等差数列； （2）记数列}{n b 的前n 项和为n S ，求n
S n 8
2+的最小值．
例3：在等差数列}{n a 中，已知1a =20,前n 项和为n S ，且1510S S =，求当n 取何值时，n S 取得最大值，并求出它的最大值．
巩固练习
1.（08·广东）记等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若1a =2
1
，4S =20，则6S = . 2.（08陕西）已知}{n a 是等差数列, 1a +2a =4, 7a +8a =28,则该数列前10项和S 10= . 3. 已知两个等差数列}{n a 和}{n b 的前n 项和分别为n A 和n B ，且
n n B A =3
457++n n ，则使得n
n
b a 为整数的正整数n 的个数是 个. 4. 已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为 . 5. 设等差数列{a n }的前n 项和为n S ，若1917124a a a a +++=8，则25S 的值为 . 6. 凸多边形各内角度数成等差数列，最小角为120°，公差为5°，则边数n = ． 7. 数列{}n a 是公差为－2的等差数列，若50...97741=++++a a a a ，则
99963...a a a a ++++等于 ．
8.设{}n a 为等差数列, n S 为数列{}n a 的前n 项和,已知75,7157==S S ,n T 为数列
⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧n S n 的前n 项和,求n T .
9.等差数列{}n a 中，1291,0S S a =<,该数列前多少项的和最小？
等比数列
【典型例题】
例1：已知实数列{}n a 是等比数列，其中17=a ，且654,1,a a a +成等差数列． （1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）数列}{n a 的前n 项和为n S ，证明：n S <128( ,3,2,1=n )．
例2：设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 和为n S ，若1+n S ，n S ，2+n S 成等差数列，则q 的值为 ．
例3：（1）若数列}{n a 的前n 项之和为n S ，且满足n S n =+)1lg(，求证：数列}{n a 是等比数列；
（2）若数列}{n a 的前n 项之和为n S ，且满足n k S n =+)lg(，k ≠1,求证：数列}{n a 不是等比数列；
（3）已知等比数列}{n a 的前n 项之和为n S ，且满足n k S n =+)lg(，求常数k 的值．
例4：已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且对任意n ∈N *
有n S a n n =+.
（1）设1-=n n a b ,求证：数列}{n b 是等比数列；
（2）设11a c =且)2(1≥-=-n a a c n n n ，求}{n c 的通项公式.
