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167;5马尔科夫预测技术

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马尔科夫预测

马尔科夫预测

马尔可夫预测马尔可夫预测方法不需要大量历史资料，而只需对近期状况作详细分析。

它可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测等等，还可用来分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考。

6.1 马尔可夫预测的基本原理马尔可夫（A.A.Markov ）是俄国数学家。

二十世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状态有关，而与事物的过去状态无关。

具有这种特性的随机过程称为马尔可夫过程。

设备维修和更新、人才结构变化、资金流向、市场需求变化等许多经济和社会行为都可用这一类过程来描述或近似，故其应用范围非常广泛。

6.1.1 马尔可夫链为了表征一个系统在变化过程中的特性（状态），可以用一组随时间进程而变化的变量来描述。

如果系统在任何时刻上的状态是随机的，则变化过程就是一个随机过程。

设有参数集(,)T ⊂-∞+∞，如果对任意的t T ∈，总有一随机变量t X 与之对应，则称{,}t X t T ∈为一随机过程。

如若T 为离散集（不妨设012{,,,...,,...}n T t t t t =），同时t X 的取值也是离散的，则称{,}t X t T ∈为离散型随机过程。

设有一离散型随机过程，它所有可能处于的状态的集合为{1,2,,}S N =，称其为状态空间。

系统只能在时刻012,,,...t t t 改变它的状态。

为简便计，以下将n t X 等简记为n X 。

一般地说，描述系统状态的随机变量序列不一定满足相互独立的条件，也就是说，系统将来的状态与过去时刻以及现在时刻的状态是有关系的。

在实际情况中，也有具有这样性质的随机系统：系统在每一时刻（或每一步）上的状态，仅仅取决于前一时刻（或前一步）的状态。

这个性质称为无后效性，即所谓马尔可夫假设。

具备这个性质的离散型随机过程，称为马尔可夫链。

用数学语言来描述就是：马尔可夫链 如果对任一1n >，任意的S j i i i n ∈-,,,,121 恒有{}{}11221111,,,n n n n n n P X j X i X i X i P X j X i ----======= (6.1.1)则称离散型随机过程{,}t X t T ∈为马尔可夫链。

马尔科夫预测法

马尔科夫预测法

• 定义2： (k) pij (m) = P(Xm+k = E j | Xm = Ei ) 为k步 称 的转移概率。 特别是，当k=1时， P( xm+1 = Ej | Xm = Ei)称为一步转移概率，记为：
p ij (m) = P(X m +1 = E j | X m = E i )
若对任何非负整数n,马尔科夫链 ｛ Xn,n ≥ 0｝的一步转移概率 pij (m) 与m无 关，则为齐次马尔科夫链。记作 p ij
V (1) +r V2(1) +r 1 11 12 R = V (1) +r V (1) +r 21 2 22 1
• 由此二步转移之后的期望利润为 • V (2) = V (1) + r p + V (1) + r
i
[1
i1
]
i1
[2
i2
]pi2
= ∑Vj (1)pij + qi
S = P ,P ,P
0 (0) 1 (0) 2
式中： S (0)------初始市场占有率向量 (0) p i i=1，2，3------甲乙丙厂初始市 场占有率 另有市场占有率转移概率矩阵：
(
(0) 3
)
P 11 P = P21 P 31
P 12 P22 P32
P 13 P32 P33
用数学表达定义为（定义1）： 设随机时间序列｛ Xn,n ≥ 0｝满足如下条件： （1）每个随机变量Xn只取非负整数值。 （2）对任何的非负整数t1< t2 <… <m <m+k,及E1, E2,…, Em ；当P(Xt1 = E1 , Xt2 = E2,…… Xm = Em) ＞0 时，有 P( Xm+k = Ej | Xt1 = E1 , Xt2 = E2，…， Xm = Em)=P( xm+k = Ej | Xm = Em)，则称｛ Xn,n ≥ 0｝ 为马尔科夫链。

马尔科夫预测课件.ppt

马尔科夫预测课件.ppt
别统计出:连续畅销、由畅转滞、由滞转畅和连续滞销的次数。
以 p11 表示连续畅销的可能性，以频率代替概率，得：
p11
7 15 1
50%
??
分子 7 是表中连续出现畅销的次数，分母 15 是表中出现畅销的 次数，因为第24季度是畅销，无后续记录，故减1。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
7 p21 9 78% 分子 7 是表中由滞销转入畅销的次数，分母数 9 是表中出
现滞销的次数。
季度
销售 状态
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 畅畅滞畅滞滞畅畅畅滞畅滞 112122111212
季度
销售 状态
13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 畅畅滞滞畅畅滞畅滞畅畅畅 112211212111
一、基本概念
它可能跳到第一张或者第三张荷叶，也可能在原地不动。 我们把青蛙在某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态， 这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状 态有关，与它以前所处的状态无关，这种性质就是所谓 的“无后效性”。 上例中，青蛙所处的那张荷叶，称为青蛙所处的状态， 在经济系统的研究中，一种经济现象，在某一时刻 t 所 出现的某种结果，就是该系统在该时间t 所处的状态。
第三节 马尔可夫决策
一、基本概念
经济学中把这种现象称为“无后效性”，即 “系统在每一时刻的状态仅仅取决于前一时刻 的状态”。 例如，池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假 设有个青蛙在荷叶上随机地跳来跳去，在初始 时刻 t0，它在第二张荷叶上。在时刻t1，
2
3 1

马尔可夫预测方法

马尔可夫预测方法

1
③ 例题：在例1中，设终极状态的状态概率为 [ 1 , 2 , 3 ] 则
0 . 2000 [ 1 , 2 , 3 ] [ 1 , 2 , 3 ] 0 . 5385 0 . 3636 0 . 4667 0 . 1538 0 . 4545 0 . 3333 0 . 3077 0 . 1818
马尔可夫预测方法
对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各
种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率。
马尔可夫（Markov）预测法，就是一种预测事件 发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件 的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况 的一种预测方法。马尔可夫预测法是对地理事件进行
xi 1
这样的向量α称为平衡向量，或终极向量。这就是 说，标准概率矩阵一定存在平衡向量。
P
使得：
（3.7.4）
• 状态转移概率矩阵的计算。 计算状态转移概率矩阵P，就是求从每个状态转移到其 它任何一个状态的状态转移概率 。
几 个 基 本 概
念
ij 为了求出每一个，一般采用频率近似概率的思想进行 计算。 • 例题1： 考虑某地区农业收成变化的三个状态，即“丰收”、 “平收”和“欠收”。记E1为“丰收”状态，E2为“平收” 状态，E3为“欠收”状态。表3.7.1给出了该地区1960～ 1999年期间农业收成的状态变化情况。试计算该地区农业 收成变化的状态转移概率矩阵。
状态转移概率。在事件的发展变化过程中，从某一种状
几 个 基 本 概
念
态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转 移概率。由状态Ei转为状态Ej的状态转移概率 P(E i E j ) 是
P ( E i E j ) P ( E j / E i ) Pij

马尔科夫链预测方法

马尔科夫链预测方法

一、几个基本概念
3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前 一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或 者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状 态转移过程就称为马尔可夫过程。
在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状 态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的 发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。
9月
10月
0.1 0.2 0.7 p( 2) p(0) P 2 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88
2
11月
0.1 0.2 0.7 (0.2512 ,0.1816 ,0.5672) p( 3) p(0) P 3 (0.3,0.2,0.5) 0 . 1 0 . 7 0 . 2 0.08 0.04 0.88 (0.2319 ,0.1698 ,0.5983 )
3
1 0.7 1 0.1 2 0.08 3 2 0.1 1 0.7 2 0.04 3 由 得 (0.219,0.156,0.625) 3 0.2 1 0.2 2 0.88 3 1 2 3 1
率及极限分布.
解：频数转移矩阵为
得转移概率矩阵为
336 48 96 N 32 224 64 64 32 704
0.7 P 0.1 0.08
0.1 0.7 0.04
0.2 0.2 0.88
n个月的市场占有率为 p(n)= p(0) Pn
二、马尔可夫预测法
表2-19 某地区1990—2000年农业收成状态概率预测值
二、马ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ可夫预测法
（二)终极状态概率预测

马尔科夫预测法的原理

马尔科夫预测法的原理

马尔科夫预测法的原理
马尔科夫预测法是一种基于马尔科夫链的预测方法。

其原理是利用过去的一系列观测值，通过构建一个马尔科夫链模型来预测未来的观测值。

马尔科夫链是一种具有状态转移概率的数学模型，其特点是当前状态的转移只依赖于前一个状态，与其他历史状态无关。

马尔科夫预测法假设未来的观测值只与过去的观测值有关，而与其他因素无关。

具体实施马尔科夫预测法的步骤如下：
1. 收集并整理历史数据，将其分为一系列观测值的序列。

2. 根据历史数据计算每个状态之间的转移概率。

即计算每个观测值之间的转移概率，这可以通过统计历史数据中观测值之间的频率来进行估计。

3. 根据已知的初始状态分布，选择一个初始状态作为预测的起点。

4. 根据转移概率和初始状态，依次生成未来的观测值，直到达到所需的预测长度。

马尔科夫预测法的关键在于确定状态和计算状态之间的转移概率。

这可以通过统计方法、最大似然估计或其他相应的方法来实现。

然后，使用马尔科夫链的转移概率来模拟未来的状态转移，从而得到未来观测值的预测。

经济决策课件系列 第七章 马尔可夫预测法


•
安全在于心细，事故出在麻痹。21.1.1 321.1.1 301:42:3101:4 2:31Jan uary 13, 2021
•
加强自身建设，增强个人的休养。202 1年1月 13日上 午1时4 2分21. 1.1321. 1.13
•
扩展市场，开发未来，实现现在。202 1年1月 13日星 期三上 午1时4 2分31 秒01:42:3121.1. 13
•
感情上的亲密，发展友谊；钱财上的 亲密， 破坏友 谊。21. 1.13202 1年1月 13日星 期三1 时42分3 1秒21. 1.13
谢谢大家！
4、预测第21月的销售情况
由于第20月的销售量属于畅销状态，而经由一次 转移到达三种状态的概率是：
P31
2 7
P32＝0 P33＝
5 7
P33 P31 P32
因此，第21月超过100（千件）的可能性最大。 即预测第21月的销售状态是“畅销”。
•
每一次的加油，每一次的努力都是为 了下一 次更好 的自己 。21.1.1 321.1.1 3Wedn esday , January 13, 2021
P(n) P PP Pn
n个
即n步转移概率等于一步转移矩阵的n次方。
定理2：若记Pn的元素为Pij(n) 则有
lim
n
p (n) ij
pj
系统处在 j 状态的概率与它在很元的过去处在什么情况无关。
经济预测与决策方法
例 已知市场上有A，B，C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为(0.3
0.4 0.3)，且已知转移概率矩阵为
•
做专业的企业，做专业的事情，让自 己专业 起来。2 021年1 月上午 1时42 分21.1.1 301:42 January 13, 2021

利用马尔可夫模型进行天气预测的方法(四)

利用马尔可夫模型进行天气预测的方法天气对人们的生活有着重要的影响，准确的天气预测可以帮助人们做出合理的安排，从而减少灾害损失，提高生产效率。

目前，天气预测主要依靠气象卫星、气象雷达等技术手段进行数据收集和分析。

然而，这些方法受到观测精度、数据更新速度等因素的限制，难以做到完全准确的天气预测。

因此，利用数学模型进行天气预测成为了一种重要的手段。

本文将探讨利用马尔可夫模型进行天气预测的方法。

一、马尔可夫模型简介马尔可夫模型是一种用来描述随机变量序列的数学模型。

它具有“马尔可夫性质”，即在给定当前状态的情况下，未来状态的变化只依赖于当前状态，而与历史状态无关。

这种性质使得马尔可夫模型在描述具有一定规律的状态转移过程时具有很好的表达能力。

在天气预测中，我们可以将天气状态看作是一个随机变量序列，例如“晴天”、“多云”、“雨天”等。

当天的天气状态取决于前一天的天气状态，因此天气预测可以看作是一个具有马尔可夫性质的状态转移过程。

利用马尔可夫模型来描述这种状态转移过程，可以帮助我们更好地理解和预测天气的变化。

二、构建天气状态转移矩阵要利用马尔可夫模型进行天气预测，首先需要确定天气状态及其相互转移的概率。

假设我们将天气状态分为三种：晴天（S）、多云（C）和雨天（R）。

我们可以通过历史天气数据来统计各种天气状态之间的转移概率，从而构建天气状态转移矩阵。

以某地区为例，我们可以统计过去一段时间内，晴天的下一天是多云的概率、下一天是雨天的概率，以及类似地统计多云和雨天的状态转移概率。

这样就可以得到一个3×3的状态转移矩阵，其中每个元素表示了两种天气状态之间的转移概率。

三、预测未来天气状态有了天气状态转移矩阵，我们就可以利用马尔可夫模型来预测未来的天气状态。

假设当前的天气状态为某种状态，我们可以利用状态转移矩阵来计算出下一天各种天气状态的概率分布。

例如，如果当前的天气状态是晴天，我们可以通过状态转移矩阵计算出下一天是晴天、多云、雨天的概率分布。

马尔可夫预测


林地
旱地 水田 园地 水域 居民点
0.984 0 0 0 0 0
0.0088 0.0048 0.983 0.0058 0.0138 0.979 0 0 0 0 0 0
0.0012 0 0.0003 0.0036 0.0003 0.0064 0 0.0002 0.0049 1 0 0 0 1 0 0 0 1
2.1 相关概念 状态：某一事件在某一时刻出现的某种结果。如，农 业
收成预测中有“丰收”、“平收” “欠收”等状态；人 口 构成预测中有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、 “老年”等状态
状态转移：事件的发展，从一种状态转变为另一种状态。
如，天气从“阴天”变为“晴天”。
马尔可夫过程：在事件的发展过程中，每次状态的转
某地区1990～2000年农业收成状态概率预测值
年份 2000 E1 E2 0.5 0.15 385 28 2004 E2 0.35 09 E3 0.27 99 2008 E1 0.36 47 E3 0.30 77 E1 0.30 24 2001 E2 0.41 4 2005 E2 0.35 32 E3 0.27 99 E1 0.36 56 2009 E3 0.28 37 E1 0.38 67 2002 E2 0.33 34 2006 E2 0.35 24 E3 0.27 99 E1 0.36 53 2010 E3 0.27 99 E1 0.35 87 2003 E2 0.35 89 2007 E2 0.35 26 E3 0.27 99 E3 0.27 79
7 P21 P( E2 E1 ) P( E1 E2 ) 0.5385 13
2 P22 P( E2 E2 ) P( E2 E2 ) 0.1538 13 4 P23 P( E2 E3 ) P( E3 E2 ) 0.3077 13 4 P31 P( E3 E1 ) P( E1 E3 ) 0.3636 11

马尔可夫预测方法

年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 1960 1 E1 1970 11 E3 1980 21 E3 1990 31 E1 1961 2 E1 1971 12 E1 1981 22 E3 1991 32 E3 1962 3 E2 1972 13 E2 1982 23 E2 1992 33 E2 1963 4 E3 1973 14 E3 1983 24 E1 1993 34 E1 1964 5 E2 1974 15 E1 1984 25 E1 1994 35 E1 1965 6 E1 1975 16 E2 1985 26 E3 1995 36 E2 1966 7 E3 1976 17 E1 1986 27 E2 1996 37 E2 1967 8 E2 1977 18 E3 1987 28 E2 1997 38 E3 1968 1969 9 E1 1978 19 E3 1988 29 E1 1998 39 E1 10 E2 1979 20 E1 1989 30 E2 1999 40 E2
个时刻（ 第k个时刻（时期）的状态概率预测 个时刻 时期）
如果某一事件在第0个时刻（或 时期）的初始状态已知，即π ( 0 ) 已知， 则利用递推公式(3.7.8)，就可以求得 它经过k次状态转移后，在第k个时刻 （时期）处于各种可能的状态的概率， 即 ，从而就得到该事件在第k个 π (k ) 时刻（时期）的状态概率预测。
状态转移： 状态转移： 事件的发展，从一种状态转变为另一种状态， 称为状态转移。例如某产品在当前考察时处于畅 销阶段，过了一段时间，我们再来考察时，犹豫 市场竞争等多种因素，产品可能不再畅销，比如 处于滞销，则其状态从1转移到了2；某产品当前 装有是其市场占有率的20%，假如在下一个考察 时间点其市场占有率为25%，则其装有从20%转移 到了25%；某机器设备当前状态处于正常运转， 下一个考察时间点其状态有可能仍然是正常运转， 也可能处于待修状态。
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则｛Xn；n=1,2, … ｝为马尔科夫链。
A B CD
A 0.90 0.05 0.03 0.02
B 0.10 0.80 0.05 0.05 P C 0.08 0.10 0.80 0.02 D 0.10 0.10 0.10 0.70
问：市场占 有率如何变
化？
2. 马尔科夫链
2.1 转移概率矩阵 2.2 转移概率的计算 2.3 预测模型
中的一个，且事先未知试验出现何种结果。
随机试验的每一个可能结果，称为基本事件，
它们之间是互斥的。
基本事件的全体构成了样本空间。
称基本事件 Ei (i 1, 2, , n)为状态。
若 Ei 出现，则称事物处于状态 Ei 。
转移概率：
（1）条件概率
假定先发生了事件B（其概率为P(B)）在B发 生的条件下发生事件A，则其概率为P(A/B)。此即 称为事件B发生条件下，事件A发生的条件概率。
0.524 0.028 0.049 0.059 0.111
0.070 0.733 0.051 0.029 0.042
0.026 0.014 0.662 0.026 0.026
0.356 0.211 0.212 0.873 0.090
0.024 0.014 0.025 0.014 0.731
用地面积预测
p2
N
(n)
p NN (n)
据上式可对n步转移后的系统状态进行预测。
3. 实例分析
根据某地区1990年和2000年间土地利用类型之 间的变化，预测2010年和2020年土地利用结构。
某地区1990至2000年间土地利用结构变化
耕地 林地 草地 建设用地 其它用地
1990 年
1080 320 120 220 180
再由状态 Eik (m)转移成为状态 E j 的概率。
由于无后效性，这些转移可看作互相独立， 故可由全概率公式有：
pij (n) pik (m) pkj (n m),(1 m n)
此即切普曼――柯尔莫可洛夫方程
按矩阵乘法规则有：P(2) P P P2 利用数学归纳法，可得：P(n) Pn 因此，利用矩阵乘法规则，可由一阶转移概率 矩阵Ｐ逐步求得高阶转移概率矩阵 P(n) 已知转移概率矩阵 P(n) 和初始状态 Ei
P(A/ B) P(A B) P(B)
（2）转移概率
以 pij (t, ) 表示在已知时刻t系统处于 Ei
状态条件下，在时刻τ（τ＞t）系统处于状态
E j 的条件概率，则称 pij (t, ) 为转移概率。
无后效性：
在已知时刻t系统所处状态条件下，此后系统 将要到达的状态的情况与时刻t以前系统所处状态 无关，这称为过程的无后效性。
t 若系统在 n 时刻状态为 Ei
经过n步转移，在时刻 tnm 时处于状态 E j
这种转移可能性的数量指标为n步转移概率， 记为：
p(Enm j | Em i) pij (n)
n步转移概率矩阵
如果随机过程状态由状态Ei经过2次，3次， 以至n次转移到状态Ej
则相应的转移概率称之为2阶，3阶，…，k
练习
若三种产品的市场占有率为（0.5,0.3,0.2）， 三种产品销售情况的转移矩阵为：
0.4 0.3 0.3
P
0.5
0.3 0.2
0.45 0.35 0.2
试求两个时间单位后，各产品的市场占有率。
表3.7 某地区16天阴晴变化
时间 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 3 14 15 16 天气 阴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 状态 2 2 1 1 1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 1 2
若以状态1代表晴天，状态2代表阴天，则16天中 共有9个晴天和7个阴天。现分别统计由晴至晴，由 晴至阴，由阴至阴和由阴至晴的次数。
或称之高阶转移概率矩阵。
n步转移概率矩阵性质：
（1）元素非负性，即: pij (n) 0,i, j 1, 2, , N.
（2）矩阵行元素的和等于1，即:
N
pij (n) 1,i 1, 2, N.
j 1
2.2 转移概率的计算
方法1： 由资料直接计算
方法2： 利用马尔柯夫链的性质计算
2.2.1 由资料直接计算
表3.9 一步转移概率矩阵
耕地 林地 草地 建设用地 其它用地
耕地 0.800 0.010 0.020 0.025 0.050
林地 0.030 0.900 0.020 0.010 0.015
草地 0.010 0.005 0.870 0.010 0.010
建设用地 0.150 0.080 0.080 0.950 0.025
p11 p12
P
p21
p22
pN1 pN 2
p1N
p2
N
PNN
例：以某产品的周销售状况为例，建立马尔 柯夫链。
状态： “增加”（状态1） “减少”（状态2）
若未来销售状况只与目前销售状况有 关，而与过去销售状态无关（无后效性）， 则销售状况的转移构成马尔柯夫链。
En表示第n周的销售状态，则En取值为1和2：
2000年
耕地 林地 草地 建设用地
864 32.4 10.8 3.2 288 1.6 2.4 2.4 104.4 5.5 2.2 2.2
9 2.7 1.8
162 25.6 9.6 209 4.5
其它用地 10.8 1.6 1.2 1.1 162
转移概率矩阵
以频率代替概率，由上表数据建立转移概率矩阵
其它用地 0.010 0.005 0.010 0.005 0.900
两步和三步转移概率矩阵
利用公式 P(n) Pn (n=2,3)计算： 表3.10 二步转移概率矩阵
耕地 耕地 0.645 林地 0.019 草地 0.036 建设用地 0.044 其它用地 0.086
林地 0.053 0.811 0.037 0.020 0.029
马尔柯夫链分析法
是一种统计分析方法： 概率论和随机过程为基础
是一种动态分析法： 以发展的观点分析客观对象发展变化过程
中的数量关系及其规律。 马尔柯夫链预测是根据状态之间的转移概率来
推测系统未来发展变化。转移概率反映了各种随机 因素的影响程度，因而马尔柯夫链适合于随机波动 较大的序列的预测问题。
马尔柯夫链应用领域
阶转移概率，记为: pij (2), pij (3), ,pij (n)
n步转移概率矩阵为：
p (n)
11
p P(n)
(n)
21
p
(n)
N1
p (n) 12
p (n) 22
p (n) N2
p (n)
1N
p (n)
2N
p
NN (n)
上述转移概率组成的矩阵P(2),P(3),…P(n)， 相应称之为2阶，3阶，…，n阶转移概率矩阵.
草 地 建设用地 其它用地 0.019 0.266 0.018 0.010 0.150 0.010 0.758 0.151 0.018 0.019 0.908 0.010 0.019 0.056 0.811
表3.11 三步转移概率矩阵
耕 地 林 地 草 地 建设用地 其它用地
耕地 林地 草地 建设用地 其它用地
根据两步和三步转移概率矩阵与1990年分类用地 值相乘，可预测2010年和2020年各类用地的面积。
表3.12 该地区未来土地利用结构预测结果
1990年 2000年 2010年 2020年
耕地 林地 草地 建设用地 其它用地
1080 320 120 220 180
884.1 327.7 120.8 410.7 176.7
也称为无后效的随机过程。 按时间可分为：
连续的 离散的 马尔科夫链： 时间与状态均离散的马尔科夫过程。
某地销售四种啤酒，状态空间S＝｛ A,B,C,D ｝
调查表明消费者购买何种啤酒，仅与前一次购买 的啤酒有关，而与此前购买的啤酒无关。
（无后效性）
X0表示某消费者最初购买的啤酒；
X1,X2,…分别表示此后购买的商标；
P21和P22时，总数减1。 因此，阴晴状态的转移概率矩阵为：
pp11 p21p1源自 p220.56 0.67
0.44 0.33
同理可计算多步转移概率。
2.2.2 利用马尔柯夫链的性质计算
对于n阶转移概率(n≥2),
pij (n) 可认为随机过程是由状态 Ei
经过ｍ次(n>ｍ≥1)转移成为状态 Eik (m)
即可建立了马尔柯夫链。
2.3 预测模型
若系统的初始状态为 (P1, P2, , Pn ) 则第n步状态为：
(P1(n), P2 (n), , Pn (n))
(P1, P2 ,
p (n)
11
p ,
Pn
)
(n)
21
p
(n)
N1
p (n) 12
p (n) 22
p (n) N2
p (n) 1N
时齐性：
若转移概率 pij (t, ) 仅与i,j及时间间距(τ-t)有关，
则称该过程为时齐的，简记为： pij ( ) pij (t, t )
结合平稳时间序列的 时间平移不变性理解
马尔科夫过程：
马尔柯夫过程：若随机过程x(t)在时刻t处于 状态E，时刻τ(τ>t)系统所处状态与t以前所处 状态无关，则称马尔科夫过程。
2.1 转移概率矩阵
记En为时刻t事物所处的状态，则
P(En1 j | En i) pij (i, j 1, 2, n)
表示事物由状态En(tn时刻）转移到En+1 (tn+1时刻）的可能性，即从状态i一步转移