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第十讲 马尔可夫预测方法

第十讲 马尔可夫预测方法
P P( E1 E1 ) P( E1 E1 ) 11
P P( E1 E2 ) P( E2 E1 ) 12
3 0.2000 15
7 0.4667 15 5 P P( E1 E3 ) P( E3 E1 ) 0.3333 13 15
同理可得：
7 P21 P( E2 E1 ) P( E1 E2 ) 0.5385 13 2 P22 P( E2 E2 ) P( E2 E2 ) 0.1538 13 4 P23 P( E2 E3 ) P( E3 E2 ) 0.3077 13
(1) (0) P 1 (2) (1) P (0) P (k ) (k 1) P (0) P k
（3.6.8）
式中，(0) [1 (0), 2 (0),, n (0)] 为初始状态概率向量。
• 第k个时刻（时期）的状态概率预测
年份
状态 概率
2008
2009
2010
E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 0.3 0.3 0.2 653 525 799 653 525 799 653 525 799
终极状态概率预测
① 定义 ：经过无穷多次状态转移后所得到的状态概率称为终
马尔可夫预测方法
对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各
种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率。
马尔可夫（Markov）预测法，就是一种预测事件 发生的概率的方法。它是基于马尔可夫链，根据事件 的目前状况预测其将来各个时刻（或时期）变动状况 的一种预测方法。马尔可夫预测法是对地理事件进行

马尔科夫预测法

马尔科夫预测法

• 定义2： (k) pij (m) = P(Xm+k = E j | Xm = Ei ) 为k步 称 的转移概率。 特别是，当k=1时， P( xm+1 = Ej | Xm = Ei)称为一步转移概率，记为：
p ij (m) = P(X m +1 = E j | X m = E i )
若对任何非负整数n,马尔科夫链 ｛ Xn,n ≥ 0｝的一步转移概率 pij (m) 与m无 关，则为齐次马尔科夫链。记作 p ij
V (1) +r V2(1) +r 1 11 12 R = V (1) +r V (1) +r 21 2 22 1
• 由此二步转移之后的期望利润为 • V (2) = V (1) + r p + V (1) + r
i
[1
i1
]
i1
[2
i2
]pi2
= ∑Vj (1)pij + qi
S = P ,P ,P
0 (0) 1 (0) 2
式中： S (0)------初始市场占有率向量 (0) p i i=1，2，3------甲乙丙厂初始市 场占有率 另有市场占有率转移概率矩阵：
(
(0) 3
)
P 11 P = P21 P 31
P 12 P22 P32
P 13 P32 P33
用数学表达定义为（定义1）： 设随机时间序列｛ Xn,n ≥ 0｝满足如下条件： （1）每个随机变量Xn只取非负整数值。 （2）对任何的非负整数t1< t2 <… <m <m+k,及E1, E2,…, Em ；当P(Xt1 = E1 , Xt2 = E2,…… Xm = Em) ＞0 时，有 P( Xm+k = Ej | Xt1 = E1 , Xt2 = E2，…， Xm = Em)=P( xm+k = Ej | Xm = Em)，则称｛ Xn,n ≥ 0｝ 为马尔科夫链。

马尔可夫预测算法

马尔可夫预测算法

马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。

方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。

针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。

基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。

确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。

因此，变化过程可用时间的函数来描述。

不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。

这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。

在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。

这就要研究无限多个，即一族随机变量。

随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。

客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。

状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。

设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。

马尔科夫预测法完整版53页PPT

马尔科夫预测法完整版53页PPT

▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
马尔科夫预测法完整版
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在 我们的 后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收 敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚 的工人 总是说 工具不 好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎 能克服 任何恐 惧。因 为，请 记住， 除了在 脑海中 ，恐惧 无处藏 身。-- 戴尔． 卡耐基 。

马尔科夫预测法简介

马尔科夫预测法简介

故可用矩阵式表达所有状态:
[S1(k),S2(k), …… ,SN(k)]= [S1(0),S2(0), …… ,SN(0)] P[k]
即 S(k) = S(0) P [k] 当满足稳定性假设时,有
S(k) = S(0) Pk 这个公式称为已知初始状态条件下的市场占有
率k步预测模型.
例:东南亚各国味精市场占有率预测, 初期工作: a)行销上海,日本,香港味精,确定状态1,2,3. b)市场调查,求得目前状况,即初始分布 c)调查流动状况;上月转本月情况,求出一步状 态转移概率. 1)初始向量: 设 上海味精状况为1;
0.5
P = 0.78
0.22
此式说明了：若本季度畅销，则下季度畅销和滞销的可能性 各占一半
若本季度滞销，则下季度滞销有78%的把握，滞销风 险22%
二步状态转移矩阵为：
[2] 2
P=P=
0.5 0.5
0.5 0.5
0.78 0.22 0.78 0.22
0.64
0.36
= 0.5616 0.4384
求T
0.6 0.1 0.3 解：设 U = [U1 U2 U3] = [U1 U2 1－U1－U2]
由 UP = U 有
0.4 0.3 0.3
[U1 U2 1－U1－U2] 0.6 0.3 0.1 = [U1 U2 U3]
0.6 0.1 0.3
即
-0.2U1 + 0.6 = U1
0.2U1 + 0.2U2 + 0.1 =U2
定理二：设X为任意概率向量，则XT = U 即任意概率向量与稳态概率矩阵之点积为 固定概率向量。
事实上： U1 U2 …… UN
XT = X• : :

第4章 马尔科夫预测方法

第4章 马尔科夫预测方法

4.3.3“规划求解”求稳态市场占有率
4.4马尔科夫分析在管理决策中的应用
【例4.6】 达众出租车公司在甲 （旅店）、乙（机场）、丙（度假 村）三个地点附近设有停车场。顾 客可由甲、乙、丙三处租车，汽车 送走旅客后，也回到甲、乙、丙三 租 车 处候客。根据以往统计资料，汽车 在三处往返关系的概率如表，若公 司想要选择一处附设保养场，应设 何处比较好？ 即确定公司在经过长期经营之后， 集结在何处的汽车较多？ 返 甲 甲 乙 丙 0.8 0.2 0.2 回 乙 0.2 0 0.2 丙 0 0.8 0.6
电力消费量年平均增长 速度 国民经济年平均增长速 度
电力消费弹性系数 =
弹性系数
1.80 1.60 1.40 1.20 1.00 0.80 0.60 0.40 0.20 0.00
电力消费弹性系数
1985 1990 1991 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008
第四步：预测2010年的上海电力消费弹性系数最大可能的状态， 求转移概率矩阵的平方P2ij： 鼠标先预留P2ij 输出的区域 “$H$17:$K$20”，→编辑栏点击插入函数fx→选择数学计算中矩 阵乘积函数“MMULT”→两相乘的矩阵分别点取输入转移概率矩 阵“$H$100:$K$13”，见图中矩阵乘积的参数设置，→编辑栏中 等号前键入“Ctri+Shift+Enter”，出现 {=MMULT(H10:K13,H10:K13)}，表示对整个数组的运算。 第五步：按“确定”，可见转移概率矩阵的平方P2的输出单元格 “$H$17:$K$20” 从2008年上海电力消费弹性系 2008 数所处的第二状态出发，经过 二步转移之后，在P2中可以看 出， P222=0.4994为最大概率 值，下一步最有可能处于第二 状态： 0.6＜电力消费弹性系数≤0.9。

经济决策课件系列 第七章 马尔可夫预测法


•
安全在于心细，事故出在麻痹。21.1.1 321.1.1 301:42:3101:4 2:31Jan uary 13, 2021
•
加强自身建设，增强个人的休养。202 1年1月 13日上 午1时4 2分21. 1.1321. 1.13
•
扩展市场，开发未来，实现现在。202 1年1月 13日星 期三上 午1时4 2分31 秒01:42:3121.1. 13
•
感情上的亲密，发展友谊；钱财上的 亲密， 破坏友 谊。21. 1.13202 1年1月 13日星 期三1 时42分3 1秒21. 1.13
谢谢大家！
4、预测第21月的销售情况
由于第20月的销售量属于畅销状态，而经由一次 转移到达三种状态的概率是：
P31
2 7
P32＝0 P33＝
5 7
P33 P31 P32
因此，第21月超过100（千件）的可能性最大。 即预测第21月的销售状态是“畅销”。
•
每一次的加油，每一次的努力都是为 了下一 次更好 的自己 。21.1.1 321.1.1 3Wedn esday , January 13, 2021
P(n) P PP Pn
n个
即n步转移概率等于一步转移矩阵的n次方。
定理2：若记Pn的元素为Pij(n) 则有
lim
n
p (n) ij
pj
系统处在 j 状态的概率与它在很元的过去处在什么情况无关。
经济预测与决策方法
例 已知市场上有A，B，C三种牌子的洗衣粉，上月的市场占有分布为(0.3
0.4 0.3)，且已知转移概率矩阵为
•
做专业的企业，做专业的事情，让自 己专业 起来。2 021年1 月上午 1时42 分21.1.1 301:42 January 13, 2021

案例九-马尔科夫预测

案例九-马尔科夫预测案例九 马尔科夫预测一、 市场占有率的预测重点例1：在北京地区销售鲜牛奶主要由三个厂家提供。

分别用1，2，3表示。

去年12月份对2000名消费者进行调查。

购买厂家1，2和3产品的消费者分别为800，600和600。

同时得到转移频率矩阵为：3202402403601806036060180N ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭其中第一行表示，在12月份购买厂家1产品的800个消费者中，有320名消费者继续购买厂家1的 产品。

转向购买厂家2和3产品的消费者都是240人。

N 的第二行与第三行的含义同第一行。

（1） 试对三个厂家1~7月份的市场占有率进行预测。

（2） 试求均衡状态时，各厂家的市场占有率。

解：（1）用800，600和600分别除以2000，得到去年12月份各厂家的市场占有率，即初始分布0(0.4,0.3,0.3)p =。

用800，600和600分别去除矩阵N 的第一行、第二行和第三行的各元素，得状态转移矩阵：0.40.30.30.60.30.10.60.10.3P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭于是，第k 月的绝对分布，或第 月的市场占有率为：00()(1,2,3,,7)k k P p P k p P =⋅=1k =时，()()10.40.30.30.40.30.30.60.30.10.520.240.240.60.10.3p ⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭2k =时，()()()220.40.30.30.520.240.240.4960.2520.252p P P ===3k =时,()()()330.40.30.30.4960.2520.2520.50080.24960.2496p P P === 类似的可以计算出4p ，5p ，6p 和7p 。

现将计算结果绘制成市场占有率变动表，如表所示：从表中可以看到，厂家1的市场占有率随时间的推移逐渐稳定在50%，而厂家2和厂家3的市场占有率随都逐渐稳定在25%.由于转移概率矩阵P 是正规矩阵，因此P 有唯一的均衡点μ。

第9讲 马尔可夫预测方法

状态概率预测值
2001 2002 2003
E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 E1 E2 E3 0.5385 0.1528 0.3077 0.3024 0.414 0.2837 0.3867 0.3334 0.2799 0.3587 0.3589 0.2779
2004
2005
2006
表7.1
年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 年份 序号 状态 1960 1 E1 1970 11 E3 1980 21 E3 1990 31 E1 1961 2 E1 1971 12 E1 1981 22 E3 1991 32 E3
某地区农业收成变化的状态转移情况
1962 3 E2 1972 13 E2 1982 23 E2 1992 33 E2 1963 4 E3 1973 14 E3 1983 24 E1 1993 34 E1 1964 5 E2 1974 15 E1 1984 25 E1 1994 35 E1 1965 6 E1 1975 16 E2 1985 26 E3 1995 36 E2 1966 7 E3 1976 17 E1 1986 27 E2 1996 37 E2 1967 8 E2 1977 18 E3 1987 28 E2 1997 38 E3 1968 1969 9 E1 1978 19 E3 1988 29 E1 1998 39 E1 10 E2 1979 20 E1 1989 30 E2 1999 40 E2
② 结论：该地区农业收成变化的状态转 移概率矩阵为
0.2000 P 0.5385 0.3636
0.4667 0.1538 0.4545
0.3333 0.3077 尔 可 夫 预 测 法

9.马尔可夫预测方法

2016/11/29
（8.3）
8
例 1 ：不可越壁（反 弹壁）的随机游动
1
2
3
4
5
设一质点在线段[1，5 ]上随机游动，状态空间I={1，2， 3，4，5}，每秒钟发生一次随机游动，移动的规则是： 1 （1）若移动前在2，3，4处，则均以概率 向左 或向右移动一单位，或停留在原处；3 （2）若移动前在1处，则以概率1移到2处； （3）若移动前在5处，则以概率1移到4处。
齐次马尔柯夫链
如果马氏链的一步转移概率 pij (n) 与 n 无关，
即
P{X n1 j | X n i} pij
则称此马尔柯夫链为齐次马尔柯夫链（即关于时间为齐次）。
设 p0 (i) P{X 0 i} ，i I ，
初始分布
如果对一切 i I 都有
p0 (i) 0
马尔柯夫链在时刻n处于状态 i 的条件下，到时刻n+1转 移到状态 j 的条件概率，
即
P{X n1 j | X n i}
记作 pij (n)
称为在时刻n的一步转移概率，
注:
由于概率是非负的，且过程从一状态出发，经过一步 转移后，必到达状态空间中的某个状态 一步转移概率满足
（1） pij (n) 0 , i, j I
（2）
一步转移矩阵
p (n) 1 ,
jI ij
iI
如果固定时刻n T
则由一步转移概率为元素构成的矩阵 P 1 ：
称为在时刻n的一步转移矩阵
即 有
p00 ( n) p ( n) 10 P 1 pn 0 ( n )
p01 ( n) p11 ( n) pn1 ( n)
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(3)30
试计算： 1、初始状态概率。 2、该地区农业收成变化的一步和二步转移
概率矩阵。 3、2006-2010年可能出现的各种状态的概
率 4、终极状态的概率
(3)31
1、初始状态概率估算 上表中40个记录，有15个处于状态S1，14
个处于状态S2,11个处于状态S3 初始状态概率为：
(3)32
若一步转移概率不发生变化，假设稳定的市场占 有率情况为
S (x1, x2 , x3 )
(3)16
(3)17
所以，市场占有率的平衡状态是；A、B、C三 个厂的市场占有率分别是50%、25%和25%。
马尔可夫过程的平衡状态仅与 转移概率有关，与初始状态无关。
(3)18
• 一.市场占有率预测 • 市场竞争中，市场占有率问题具有马尔
p11(k)
P(k
)


p21
(k
)


pn1
(k
)
p12 (k) p22 (k)
pn2 (k)
p1n (k) p2n (k)
pnn (k)
0 pij (k) 1
n
pij (k) 1
j 1
• 如果1次转移概率矩阵不发生变化，有
Pk P(1)k
(3)24
问题
1、对三个厂家次年1-6月份的市场占有率 进行预测。
2、试求当市场处于均衡状态时，各厂商的 市场占有率是多少。
(3)25
1、先求出12月份，厂商1、2、3的市场占 有率情况，得到初始分布为
2、通过转移频数矩阵计算转移概率矩阵
(3)26
假设P是稳定的，得到： 1月份各厂家的市场占有率，即当k=1时，
(3)39
公司
A B C 周期 1 的 顾客数
周期 0 的 顾客数
5000 3000 2000
——
周期 1 的供应公司
A
B
C
3500 500 1000
300 2400 300
100 100 1800
3900 3000 3100
(3)40
公司
A B C 周期 1 的 顾客数
周期 0 的 顾客数
5000 3000 2000
(3)20
1.市场调查
• （1）调查目前的市场占有情况，即调查 所有顾客在目前消费该类商品时购买各 种商品的比重，获得初始分布
（2）调查顾客在选择n种品牌的流动情况，先获 得转移频率矩阵，从而由频率估算概率，获得转 移概率矩阵
(3)21
2.建立数学模型
• 通过一步转移概率矩阵P，测算出第k步 转移概率矩阵P(k)
B 0.1 0.8 0.1

C
0.05
0.05
0.9
(0) (0.5 0.3 0.2)
(3)42
未来各期的市场占有率：
1 0 P
0.7 0.1 0.2


0.5,
0.3,
0.2



0.1
0.8
0.1
0.05 0.05 0.9
0.39,0.3,0.31
3.市场预测 （1）预测第k期的市场占有率
(3)22
• （3）预测稳定状态下的市场占有率，即 顾客的流动对市场占有率没有影响，即 顾客流动过程中，各种品牌在顾客流动 的过程中争取到的顾客和失去的顾客相 互抵消。
(3)23
例6-2
某地区销售的洗发水主要有三个厂家提 供，分别用1,2,3来表示。在12月对2000 名消费者进行调查，购买厂家1、厂家2、 厂家3的产品的消费者人数分别为 1400,200和400。同时得到用户的转移频 数矩阵为：
科夫链的特征，因此，可以用马尔科夫 预测法来对市场占有率的发展变化进行 预测。
(3)19
• 假设顾客在市场上对一类商品有n种选择， 它们是n个不同品牌，分别记为
• 顾客在本期选择了 品牌的产品，在下 一期有可能转移购买其他同类产品的品 牌，这一过程就构成了马尔科夫链，可 用马尔科夫原理对这n种品牌的市场占有 率进行预测。
Si
(3)5
二.状态转移、转移概率及状态转移矩阵
• 2.状态转移概率矩阵 一次转移概率矩阵P
p11 p12 p1n
P


p21
p22
p2
n



pn1
pn2
pnn

0 pij 1
n
pij 1
j 1
(3)6
• k次转移概率矩阵
基期 t=0 时的状态概率称为初始概率，初始概率
向量为 (0) (1(0), 2 (0), n (0))
，多次转移概率
矩阵为 Pk Pk，预测稳定下来的平衡向量。
当马尔可夫过程达到平衡状态时，上一期的状态
经过转移之后其状态应该保持不变。先假设平衡
状态为 (1,2,L n) 则 P
• 这个稳定下来的值我们称为平衡向量，也叫终极状 态概率。我们会在后面补充。
(3)10
6.2 状态概率的估算
• 一.状态概率估计
ni
(3)11
6.2 状态概率的估算
• 二.转移概率估计
• 要注意的是：计算一步概率时，最后一期不参加计算，因为它将 转移到哪个状态还不确定。
(3)12
补充内容（平衡向量求解）
（2）状态转移概率
状态
状态 下一步状态
S1
S2
S3
当
前
S1
3
7
5
状
S2
7
2
4
态
S3
4
5
2
(3)33
• 由上表，可以得到一步状态转移概率矩 阵为：
(3)34
• 二步转移概率矩阵为：
(3)35
将2005年的农业收成记为 ，因为2005年
是平收状态，因此
，这是预
测2006-2010年状态概率的初始向量。若
公司
A B C
A
3500/5000=0.7 300/3000=0.1 100/2000=0.05
B
500/5000=0.1 2400/3000=0.8 100/2000=0.05
C
1000/5000=0.2 300/3000=0.1 1800/2000=0.950
A B C
P A 0.7 0.1 0.2
(3)43
未来各期的市场占有率：
1 0 P
0.7 0.1 0.2


0.5,
0.3,
0.2


0.1
0.8
0.1
0.05 0.05 0.9
0.39,0.3,0.31
(2) (1)P (0.319,0.294,0.387)
2月份各厂家的市场占有率，即当k=2时，
(3)27
2、由于概率矩阵P是标准概率矩阵，因此 存在唯一的市场均衡点。因此存在 使得
因此，可以求得市场均衡时，各厂商的 占有率
(3)28
6.4马儿科夫预测案例
考虑某地区农业收成变化的三个状态， 即“丰收”，“平收”，“欠收”。记 S1为“丰收”状态，S2为“平收”状态， S3为“欠收”状态。表6-3给出了该地区 1966-2005年期间农业收成的状态变化情 况。
马尔可夫链在经济预测方面的应 用案例
例4 公司A、B、C产品销售额的市场占有率分别 为50%，30%，20%。由于C公司实行了改善销售与服务 方针的经营管理决策，使其产品销售额逐期稳定上升， 而A公司却下降。通过市场调查发现三个公司间的顾客 流动情况如表所示。其中产品销售周期是季度。问题： 按照目前的趋势发展下去，A公司的产品销售额或客户 转移的影响将严重到何种程度？更全面的，三个公司 的产品销售额的占有率将如何变化？
• 马尔可夫过程的时间可以是无限连续的，在实际经济 问题中，时间取离散值，在某一时间的状态也是离散 可列的，我们称这样的马尔可夫过程为马尔可夫链。 它表示事物前一时期的状态转移到现在的状态，由现 在的状态转移为将来的状态，一环接一环，像一根链 条。
(3)9
四、标准概率矩阵与平衡向量
• 如果马尔可夫过程的一步转移概率矩阵不发生变化， 则无论基期处于什么样的状态，经过多期转移后， 状态的概率趋于一个和基期无关的并且稳定下来的 值，这称为马尔可夫过程的稳定性或遍历性。
(3)7
例 ：S1—畅销 S2—滞销 k=1(一步转移） S1 S1 P11=0.7 S1 S2 P12=0.3 S2 S1 P21=0.4 S2 S2 P22=0.6
P(1)

0.7 0.4
0.3 0.6
K=2(二步转移）
S1 S2 0.7×0.7+0.3 ×0.4=0.61
0.7
s1
0.61 P(2) 0.52
0.7
s1
s1
0.3 s2 0.4
0.39 0.48
(3)8
三.马尔科夫过程
• 某现象在时间m+1时所处的状态Sj的概率仅仅与该现象 在时间m所处的状态Si有关，而与时间m前所处何种状 态无关的特性成为无后效性，也称为马尔科夫性，具 有这种特性的时间转移和状态转移过程称为马尔科夫 过程。
——
周期 1 的供应公司
A
B
C
3500 500 1000
300 2400 300
100 100 1800
3900 3000 3100
初始分布为： (0) (0.5 0.3 0.2)
公司
A
A
3500/5000=0.7
B
300/3000=0.1
C