经济预测与决策 第6章 马尔科夫预测法

4.6 马尔可夫预测4.6.1 马尔可夫预测法分析概述马尔可夫是俄国著名的数学家，马尔可夫过程是以马尔可夫名字命名的一种特殊的描述事物发展过程的方法。

马尔可夫过程主要用于对企业产品的市场占有率的预测。

众所周知，事物的发展状态总是随着时间的推移而不断地变化的。

对于有些事物的发展,需要综合考察其过去与现在的状态，才能预测未来。

但有些事物的发展，只要知道现在状态,就可以预测将来的状态而不需要知道事物的过去状态。

例如，在下中国象棋时，一个棋子下一步应该怎样走，只与它当前的位置有关，而不需要知道它以前处于什么位置，也不需要知道它是怎么走到当前位置的。

这种与过去的取值无关，称为无后效性。

这种无后效性的事物的发展过程，就称为马尔可夫过程。

1.一步转移概率与转移概率矩阵如果变量的状态是可数的，假设有N个，那么从状态i经一步转移到j,都有发生的可能，我们称Pij为一步转移概率。

将这些依序排列起来构成的一个矩阵，叫做转移概率矩阵：转移概率矩阵具有下述性质;(1)矩阵每个元素均非负；(2)矩阵每行元素之各等于1.2.多步转移概率与转移概率矩阵在一步转移概率概念的基础上，可导出多步转移概率。

若系统在时刻T0处于状态i,经过n步转移，在时刻Tn时处于状态j,这种转移的可能性的数量指标称为n步转移概率，记为P（Xn=j|X0=i）=Pij(n)。

n步转移概率矩阵记为经过计算，可以得到一个有用的结论：同时,n步转移概率同一步转移概率一样具有下列性质;2.4.2市场占有率预测分析1.市场占有率预测分析概述在市场经济条件下，各企业都十分重视扩大自身产品的市场占有率。

因此，预测企业产品市场占有率，也就成为企业十分关心的问题。

市场占有率是指在一定地理范围内，某一类商品因为具有相同的用途或性质而相互竞争，那么在这类商品的整个销售市场上，每一种品牌的产品的销售额（销量）点该类商品总销售额（销量）的份额即为该品牌商品的市场占有率。

2.市场占有率预测分析的基本市场占有率预测分析的基本步骤如下:假设该地区市场上有三种同类商品。

马尔可夫预测算法综述马尔可夫预测法以系统状态转移图为分析对象，对服从给定状态转移率、系统的离散稳定状态或连续时间变化状态进行分析马尔可夫预测技术是应用马尔可夫链的基本原理和方法研究分析时间序列的变化规律，并预测其未来变化趋势的一种技术。

方法由来马尔可夫是俄国的一位著名数学家 (1856—1922)，20世纪初，他在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。

针对这种情况，他提出了马尔可夫预测方法，该方法具有较高的科学性，准确性和适应性，在现代预测方法中占有重要地位。

基础理论在自然界和人类社会中，事物的变化过程可分为两类:一类是确定性变化过程；另一类是不确定性变化过程。

确定性变化过程是指事物的变化是由时间唯一确定的，或者说，对给定的时间，人们事先能够确切地知道事物变化的结果。

因此，变化过程可用时间的函数来描述。

不确定性变化过程是指对给定的时间，事物变化的结果不止一个，事先人们不能肯定哪个结果一定发生，即事物的变化具有随机性。

这样的变化过程称为随机过程一个随机试验的结果有多种可能性，在数学上用一个随机变量（或随机向量）来描述。

在许多情况下，人们不仅需要对随机现象进行一次观测，而且要进行多次，甚至接连不断地观测它的变化过程。

这就要研究无限多个，即一族随机变量。

随机过程理论就是研究随机现象变化过程的概率规律性的。

客观事物的状态不是固定不变的，它可能处于这种状态，也可能处于那种状态，往往条件变化，状态也会发生变化状态即为客观事物可能出现或存在的状况，用状态变量表示状态：⎪⎪⎭⎫⎝⎛⋅⋅⋅=⋅⋅⋅==,2,1,,2,1t N i i X t 它表示随机运动系统，在时刻),2,1( =t t 所处的状态为),2,1(N i i =。

状态转移：客观事物由一种状态到另一种状态的变化。

设客观事物有N E E E E ...,,321共 N 种状态，其中每次只能处于一种状态，则每一状态都具有N 个转向（包括转向自身），即由于状态转移是随机的，因此，必须用概率来描述状态转移可能性的大小，将这种转移的可能性用概率描述，就是状态转移概率。

马尔科夫预测马尔柯夫预测法第三节马尔柯夫预测 ? 马尔柯夫(A.A Markov)预测法是应用概率论中马尔柯夫链的理论和方法来研究随机事件变化并借此分析预测未来变化趋势的一种方法。

? 马尔柯夫(A.A Markov 俄国数学家)。

一(基本概念二(稳态概率三(实例第三节马尔可夫决策案例引入:实例2: P198 例6-7 我国出口某种设备，在国际市场上的销售状况有两种:畅销和滞销。

畅销每年可以获利 100万元，滞销时每年仅获利30万元。

以一年为一个时期，如果不采用广告推广产品或采取广告措施，状态的转移矩阵分别为如表6-5、表6-6所示。

第三节马尔可夫决策表6-3 不采取广告措施畅销畅销滞销 0.8 0.4 滞销0.2 0.6 表6-4采取广告措施畅销畅销滞销 0.9 0.7 滞销 0.1 0.3 假定上一年处于畅销状态，每年的广告费为15 万元。

为了保证今后3年的利润最大化，是否应该采用广告措施,案例引入:例6-5P194 某企业为使技术人员具有多方面经验，实行技术人员在技术部门，生产部门和销售部门的轮换工作制度。

轮换办法采取随机形式，每半年轮换一次，初始状态，即技术人员开始是在某部门工作概率用表示，j=1，2，;pij表示处于第i个部门的技术人员在半年后(一步) 转移到第j个部门的概率。

已知状态转移概率 ? P1 1 ? P ? P2 1 ? ?P ? 31 P (0) P1 2 P2 2 P3 2 (0) (0) P1 3 ? ? 0 .5 ? ? P2 3 ? 0 ? ? P3 3 ? ? 0 .7 5 ? ? (0) 0 .5 0 .5 0 .2 50 ? ? 0 .5 ? 0 ? ? ? ( p1 , p 2 , p 3 ) 如果某人开始在工程技术部门工作(部门1)，则经过2次转移后它在生产部门工作(部门2) 的概率是多少,一、基本概念 ? 20世纪初，马尔科夫在研究中发现自然界中有一类事物的变化过程仅与事物的近期状况有关，而与事物的过去状态无关。

马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。

这就是关于事件发生的概率预测。

马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。

它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。

马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。

2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。

所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。

一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。

譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。

2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。

事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。

3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。

在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。

（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。

根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。

马尔科夫预测与决策法马尔科夫预测与决策法——是应用随机过程中马尔科夫链的理论和方法研究分析有关经济现象变化规律并借此对未来进行预测和决策的一种方法。

池塘里有三张荷叶，编号为1，2，3，假设有一只青蛙随机地在荷叶上跳来跳去。

在初始时刻t，它在第二张荷叶上。

在时，它有可能跳到第一张或者第三张荷叶上，也有可能在原刻t1地不动。

我们把青蛙某个时刻所在的荷叶称为青蛙所处的状态。

这样，青蛙在未来处于什么状态，只与它现在所处的状态有关，与它以前所处的状态无关。

实际上青蛙在一段时间内在荷叶间跳或不跳的过程就是一个马尔科夫过程。

2010年6月6日Sunday2马尔可夫性与转移概率矩阵一个过程或系统在未来时刻的状态只依赖于现状时刻的状态，而与以往更前的时刻无关，这一特性就成为无后效性（无记忆性）或马尔可夫性（简称马氏性）。

换一个说法，从过程演变或推移的角度上考虑，如果系统在时刻的状态概率，仅依赖于当前时刻的状态，而与如何达到这个状态的初始概率无关，这一特性即马尔可夫性。

2010年6月6日Sunday3设随机变量序列，{X,X2, ···,X n, ···},它的状态集合记为1S= {s1,s2 , ···, s n, ···}若对任意的k和任意的正整数i, i2 , ···,i k, i k+1,有下式成1立：P{X k+1= s ik+1| X1= s i1, X2= s i2, ···X k= s ik}= P{X k+1= s ik+1| X k= s ik},X2, ···,X n, ···} 为一个马尔可夫则称随机变量序列{X1链（Markov chains）。

2010年6月6日Sunday42010年6月6日Sunday 5如果系统从状态s i 转移到状态s j ，我们将条件概率P { s i | s j }称为状态转移概率，记作：P ( s i | s j )=p ij 简单地说，p ij 是从i 到j 的转移概率。

马尔可夫预测方法1马尔可夫预测的性质及运用对事件的全面预测，不仅要能够指出事件发生的各种可能结果，而且还必须给出每一种结果出现的概率，说明被预测的事件在预测期内出现每一种结果的可能性程度。

这就是关于事件发生的概率预测。

马尔可夫（Markov)预测法，就是一种关于事件发生的概率预测方法。

它是根据事件的目前状况来预测其将来各个时刻（或时期)变动状况的一种预测方法。

马尔可夫预测法是地理预测研究中重要的预测方法之一。

2基本概念（一)状态、状态转移过程与马尔可夫过程1.状态 在马尔可夫预测中，“状态”是一个重要的术语。

所谓状态，就是指某一事件在某个时刻（或时期)出现的某种结果。

一般而言，随着所研究的事件及其预测的目标不同，状态可以有不同的划分方式。

譬如，在商品销售预测中，有“畅销”、“一般”、“滞销”等状态；在农业收成预测中，有“丰收”、“平收”、“欠收”等状态；在人口构成预测中，有“婴儿”、“儿童”、“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等状态；等等。

2.状态转移过程 在事件的发展过程中，从一种状态转变为另一种状态，就称为状态转移。

事件的发展，随着时间的变化而变化所作的状态转移，或者说状态转移与时间的关系，就称为状态转移过程，简称过程。

3.马尔可夫过程 若每次状态的转移都只仅与前一时刻的状态有关、而与过去的状态无关，或者说状态转移过程是无后效性的，则这样的状态转移过程就称为马尔可夫过程。

在区域开发活动中，许多事件发展过程中的状态转移都是具有无后效性的，对于这些事件的发展过程，都可以用马尔可夫过程来描述。

（二)状态转移概率与状态转移概率矩阵1.状态转移概率 在事件的发展变化过程中，从某一种状态出发，下一时刻转移到其它状态的可能性，称为状态转移概率。

根据条件概率的定义，由状态E i 转为状态E j 的状态转移概率P （E i →E j )就是条件概率P （E j /E i )，即 P(Ei Ej)=P(Ej/Ei)=Pij → （１）2.状态转移概率矩阵 假定某一种被预测的事件有E 1，E 2，…，E n ，共n 个可能的状态。