2019年八年级数学下册22微专题新定义问题习题(新版)冀教版

*微专题：正方形中的典型模型问题◆模型一正方形对角线交点处含一直角的问题一、通过全等转化求重叠部分的面积【教材P63实验与探究拓展】1．(2017·秦皇岛海港区期末)如图，正方形ABCD边长为a，O为正方形ABCD的对角线的交点，正方形A1B1C1O绕点O旋转，则两个正方形重叠部分的面积为________．第1题图变式题图【变式题】将5个边长都是2cm的正方形如图摆放，点A，B，C，D分别是四个正方形对角线的交点，则阴影部分的面积为________．二、证明相关线段长度的等量关系2．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在AB，BC上，且∠EOF＝90°.(1)求证：OE＝OF；(2)下列结论：①AE＝BF；②BE＋BF＝AD；③AE2＋CF2＝2OE2.其中正确的有__________(填序号)．◆模型二正方形内部含互相垂直的两条线段3．(2017·石家庄新华区期末)如图，点E，F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE＝DF，AE与BF相交于点O.下列结论：①AE＝BF；②AE⊥BF；③AD＝OE；④S△AOB＝S四.其中正确的有( )A．4个B．3个C．2个D．1个◆模型三含一外角平分线问题4．如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°，EF交正方形外角的平分线CF于F.求证：AE＝EF.【变式题】如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，过B作BG⊥AE于G，延长BG至点F使∠CFB＝45°.(1)求证：∠BAG＝∠CBF；(2)求证：AG＝FG.参考答案与解析1.14a 2 【变式题】4cm 2 2．(1)证明：∵BD ，AC 为正方形ABCD 的对角线，∴OB ＝OC ，∠EBO ＝∠FCO ＝45°，∠BOF ＋∠FOC ＝90°.∵∠EOF ＝∠EOB ＋∠BOF ＝90°，∴∠EOB ＝∠FOC .在△EOB 和△FOC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EBD ＝∠FCO ，BO ＝CO ，∠EOB ＝∠FOC ，∴△EOB ≌△FOC (ASA)，∴OE ＝DF . (2)解：①②③3．B4．证明：如图，取AB 的中点H ，连接EH .∵∠AEF ＝90°，∴∠2＋∠AEB ＝90°.∵四边形ABCD 是正方形，∴∠1＋∠AEB ＝90°，∴∠1＝∠2.∵E 是BC 的中点，H 是AB 的中点，∴BH ＝BE ，AH ＝CE ，∴∠BHE ＝45°.∵CF 是∠DCG 的平分线，∴∠FCG ＝45°，∴∠AHE ＝∠ECF＝135°.在△AHE 和△ECF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠1＝∠2，AH ＝EC ，∠AHE ＝∠ECF ，∴△AHE ≌△ECF (ASA)，∴AE ＝EF .【变式题】(1)证明：∵BG ⊥AE ，∴∠AGB ＝90°，∴∠ABG ＋∠BAG ＝90°.∵∠CBF ＋∠ABG ＝90°，∴∠BAG ＝∠CBF .(2)证明：如图，过点C 作CH ⊥BF 于H 点．∵∠CFB ＝45°，∴CH ＝HF .∵AG ⊥BF ，CH ⊥BF ，∴∠AGB ＝∠BHC ＝90°.在△AGB 和△BHC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AGB ＝∠BHC ，∠BAG ＝∠CBH ，AB ＝BC ，∴△AGB ≌△BHC ，∴AG ＝BH ，BG ＝CH ＝HF .∵BH ＝BG ＋GH ，∴BH ＝HF ＋GH ＝FG ，∴AG ＝FG .。

例题精讲【例1】．定义一种新运算：，例如．若，则k＝．变式训练【变1-1】．定义：对于实数a，符号[a]表示不大于a的最大整数．例如：[5.7]＝5，[5]＝5，[﹣π]＝﹣4，如果，则x的取值范围是（）A．5≤x＜7B．5＜x＜7C．5＜x≤7D．5≤x≤7【变1-2】．规定：符号[x]叫做取整符号，它表示不超过x的最大整数，例如：[5]＝5，[2.6]＝2，[0.2]＝0．现在有一列非负数a1，a2，a3，…，已知a1＝10，当n≥2时，a n＝a n﹣1+1﹣5（[]﹣[]），则a2022的值为．【例2】．定义：如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，把形如a+bi的数叫做复数，其中a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加、减、乘法运算与整数的加、减、乘法运算类似．例如计算：（4+i）+（6﹣2i）＝4+6+i﹣2i＝10﹣i（2﹣i）（3﹣i）＝6﹣2i﹣3i+i2＝6﹣5i﹣1＝5﹣5i根据以上信息计算（1+2i）（2﹣i）+（2﹣i）2＝．变式训练【变2-1】．贾宪是生活在北宋年间的数学家，著有《黄帝九章算法细草》《释锁算书》等书，但是均已失传．所谓“贾宪三角”指的是如图所示的由数字所组成的三角形，称为“开方作法本源”图，也称为“杨辉三角”．贾宪发明的“开方作法本源“图作用之一，是为了揭示二项式（a+b）n（n＝1，2，3，4，5）展开后的系数规律，即（a+b）1＝a+b，（a+b）2＝a2+2ab+b2，（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b3，（a+b）4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4，（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．则二项式（a+b）n（n为正整数）展开后各项的系数之和为（）A．2n﹣1+1B．2n﹣1+2C．2n D．2n+1【变2-2】．已知n行n列（n≥2）的数表中，对任意的i＝1，2，…，n，j＝1，2，…，n，都有a ij＝0或1．若当a st＝0时，总有（a1t+a2t+…+a nt）+（a s1+a s2+…+a sn）≥n，则称数表A为典型表，此时记表A中所有a ij的和记为S n．（1）若数表，，其中典型表是；（2）典型表中S5的最小值为．1．对任意两个实数a，b定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，并且定义运算顺序仍然是先做括号内的，例如：（﹣2）⊕3＝3，（﹣2）⊗3＝﹣2，（（﹣2）⊕3）⊗2＝3⊗2＝2，则等于（）A．B．3C．D．22．对于两个不相等的实数a、b，我们规定符号Min{a，b}表示a、b中较小的值，如Min{2，4}＝2，按照这个规定，方程Min{}＝的解为（）A．1或3B．1或﹣3C．1D．33．定义：如果a x＝N（a＞0，a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记做x＝log a N．例如：因为72＝49，所以log749＝2；因为53＝125，所以log5125＝3．则下列说法正确的个数为（）①log61＝0；②log323＝3log32；③若log2（3﹣a）＝log827，则a＝0；④log2xy＝log2x+log2y（x＞0，y＞0）．A．4B．3C．2D．14．我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为＝ad﹣bc．如＝2×5﹣3×4＝﹣2，请你计算的值为．5．对于实数a，b，定义运算“◎”如下：a◎b＝（a+b）2﹣（a﹣b）2．若（m+1）◎（m ﹣2）＝16，则m＝6．设n为正整数，记n！＝1×2×3×4×…×n（n≥2），1！＝1，则+++…++＝．7．新定义：任意两数m，n，按规定y＝﹣m+n得到一个新数y，称所得新数y为数m，n 的“愉悦数”．则当m＝2x+1，n＝x﹣1，且m，n的“愉悦数”y为正整数时，正整数x 的值是．8．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式23＝8可以转化为对数式3＝log28，对数式2＝log636，可以转化为指数式62＝36．计算log39+log5125﹣log232＝．9．对于正整数m，我们规定：若m为奇数，则f（m）＝3m+3；若m为偶数，则f（m）＝．例如f（5）＝3×5+3＝18，f（8）＝＝4．若m1＝1，m2＝f（m1），m3＝f（m2），m4＝f（m3），…，依此规律进行下去，得到一列数m1，m2，m3，m4，…，m n，…（n为正整数），则m1+m2+m3+…+m2021＝．10．如图，把平面内一条数轴x绕原点O逆时针旋转角θ（0°＜θ＜90°）得到另一条数轴y，x轴和y轴构成一个平面斜坐标系．规定：过点P作y轴的平行线，交x轴于点A，过点P作x轴的平行线，交y轴于点B，若点A在x轴上对应的实数为a，点B在y轴上对应的实数为b，则称有序数对（a，b）为点P的斜坐标．（1）点P（x，y）关于原点对称的点的斜坐标是；（2）在某平面斜坐标系中，已知θ＝60°，点P的斜坐标为（2，4），点N与点P关于x 轴对称，则点N的斜坐标是．11．欧拉是18世纪瑞士著名的数学家，他的贡献不仅遍及高等数学的各个领域，在初等数学中也留下了他的足迹．下面是关于分式的欧拉公式：＝（其中a，b，c均不为零，且两两互不相等）．（1）当r＝0时，常数p的值为．（2）利用欧拉公式计算：＝．12．任何一个正整数n都可以进行这样的分解：（s、t是正整数，且s≤t），如果在n的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小，我们就称是n的最佳分解，并规定：F（n）＝．例如18可以分解成1×18，2×9，3×6这三种，这时就有F（18）＝＝．给出下列关于F（n）的说法：①F（2）＝；②F（48）＝；③F（n2+n）＝；④若n非0整数，则F（n2）＝1，其中正确说法的是（将正确答案的序号填写在横线上）．13．对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数．例如：M{1，2，9}＝＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1．请结合上述材料，解决下列问题：（1）min{sin30°，cos60°，tan45°}；（2）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值．14．定义为二阶行列式，规定它的运算法则为：＝ad﹣bc．例如：＝5×8﹣6×7＝﹣2．（1）求的值．（2）若＝20，求m的值．15．材料：对于一个四位正整数m，如果满足百位上数字的2倍等于千位与十位的数字之和，十位上数字的2倍等于百位与个位的数字之和，那么称这个数为“相邻数”．例如：∵3579中，2×5＝3+7＝10，7×2＝5+9＝14，∴3579是“相邻数”．（1）判断7653，3210是否为“相邻数”，并说明理由；（2）若四位正整数n＝1000a+100b+10c+d为“相邻数”，其中a，b，c，d为整数，且1≤a≤9，0≤b≤9，0≤c≤9，0≤d≤9，设F（n）＝2c，G（n）＝2d﹣a，若为整数，求所有满足条件的n值．16．我国宋朝数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），此图揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律．例如：（a+b）0＝1，它只有一项，系数为1；（a+b）1＝a+b，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；（a+b）2＝a2+2ab+b2，它有三项，系数分别为1，2，1，系数和为4；根据以上规律，解答下列问题：（1）（a+b）5展开式共有项，系数和为．（2）求（2a﹣1）5的展开式；（3）利用表中规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1（不用表中规律计算不给分）；（4）设（x+1）17＝a17x17+a16x16+…+a1x+a0，则a1+a2+a3+…+a16+a17的值为．17．若规定f（n，m）＝n×（n+1）×（n+2）×（n+3）×…×（n+m﹣1），且m，n为正整数，例如f（3，1）＝3，f（4，2）＝4×5，f（5，3）＝5×6×7．（1）计算f（4，3）﹣f（3，4）；（2）试说明：；（3）利用（2）中的方法解决下面的问题，记a＝f（1，2）+f（2，2）+f（3，2）+…+ f（27，2），b＝f（1，3）+f（2，3）+f（3，3）+…+f（11，3）．①a，b的值分别为多少？②试确定a b的个位数字．18．请阅读以下材料，解决问题．我们知道：在实数体系中，一个实数的平方不可能为负数，即a2≥0．但是，在复数体系中，如果一个数的平方等于﹣1，记为i2＝﹣1，这个数i叫做虚数单位，那么形如a+bi （a、b为实数）的数就叫做复数，a叫做这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部．它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似，例如计算：（3+i）i＝3i+i2＝3i﹣1（2+i）+（3﹣4i）＝（2+3）+（1﹣4）i＝5＝3i；若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等；若它们的实部相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭，如1+2i的共轭复数为1﹣2i．根据材料回答：（1）填空：①（2+i）（3i﹣1）＝；②将m2+9（m为实数）因式分解成两个复数的积：m2+9＝；（2）若a+bi是（1+2i）2的共轭复数，求（b﹣a）2022的值；（3）已知（a+i）（b+i）＝2﹣4i，求（a2﹣b2）（i2+i3+i4+…+i2023）的值．19．式子“1+2+3+4+…+100”表示从1开始的连续100个正整数的和，由于上述式子比较长，书写不方便，为了简便起见，可以将上述式子表示为，这里“∑”是求和的符号．例如“1+3+5+7+…+99”用“∑”可以表示为，“13+23+33+…+103”用“∑”可以表示为．（1）把写成加法的形式是；（2）“2+4+6+8+…+100”用“∑”可以表示为；（3）计算：．20．好学的小贤同学，在学习多项式乘以多项式时发现：（x+4）（2x+5）（3x﹣6）的结果是一个多项式，并且最高次项为：x•2x•3x＝3x3，常数项为：4×5×（﹣6）＝﹣120，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：×5×（﹣6）+2×（﹣6）×4+3×4×5＝﹣3，即一次项为﹣3x．请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．（1）计算（x﹣5）（3x+1）（5x﹣3）所得多项式的一次项系数为．（2）若计算（x2+x﹣1）（x2﹣2x+a）（2x+3）所得多项式的一次项系数为2，求a的值；（3）若（x+1）2022＝a0x2022+a1x2021+a2x2020+…+a2021x+a2022，则a2021＝．21．阅读下列材料．材料一：对于一个四位正整数，如果百位数字大于千位数字，且个位数字大于十位数字，则称这个数是“双增数”；如果百位数字小于千位数字，且个位数字小于十位数字，则称这个数是“双减数”．例如：3628、4747是“双增数”，5231、9042是“双减数”．材料二：将一个四位正整数m的百位数字和十位数字交换位置后，得到一个新的四位数m'，规定：F（m）＝m﹣m'，例如：F（2146）＝2146﹣2416＝﹣270．（1）最大的“双增数”是，最小的“双减数”是；（2）已知“双增数”s＝1000x+100（y+4）+10y+6（1≤x≤9，0≤y≤9，x、y是整数），“双减数”t＝3000+20a+b（0≤a≤9，0≤b≤9，a、b是整数），且t的各个数位上的数字之和能被12整除，现规定k＝F（s）+F（t），求k的最大值．。

新定义与阅读理解创新型问题(31题)一、单选题1(2023·湖北武汉·统考中考真题)皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多边形的面积S=N+12L-1，其中N,L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数．在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点为格点．已知A0,30，B20,10,O0,0，则△ABO内部的格点个数是()A.266B.270C.271D.2852(2023·湖南张家界·统考中考真题)“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图形．如图，分别以等边△ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边△ABC的边长为3，则该“莱洛三角形”的周长等于()A.πB.3πC.2πD.2π-33(2023·重庆·统考中考真题)在多项式x-y-z-m-n(其中x>y>z>m>n)中，对相邻的两个字母间任意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作”．例如：x-y-|z-m|-n=x-y-z+m-n，x-y-z-m-n=x-y-z-m+n，⋯．下列说法：①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果．其中正确的个数是()A.0B.1C.2D.34(2023·湖南岳阳·统考中考真题)若一个点的坐标满足k,2k，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y=t+1x2+t+2x+s(s,t为常数，t≠-1)总有两个不同的倍值点，则s的取值范围是()A.s<-1B.s<0C.0<s<1D.-1<s<05(2023·山东·统考中考真题)若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：A(1, 3),B(-2,-6),C(0,0)等都是三倍点”，在-3<x<1的范围内，若二次函数y=-x2-x+c的图象上至少存在一个“三倍点”，则c的取值范围是()A.-14≤c<1 B.-4≤c<-3 C.-14<c<5 D.-4≤c<56(2023·福建·统考中考真题)我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率π的近似值为3.1416．如图，⊙O 的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计⊙O 的面积，可得π的估计值为332，若用圆内接正十二边形作近似估计，可得π的估计值为()A.3B.22C.3D.23二、填空题7(2023·甘肃武威·统考中考真题)如图1，我国是世界上最早制造使用水车的国家．1556年兰州人段续的第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰．而今，兰州水车博览园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征．如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的辐条(圆的半径)OA 长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A 处离开水面，逆时针旋转150°上升至轮子上方B 处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从A 处(舀水)转动到B 处(倒水)所经过的路程是米．(结果保留π)8(2023·湖北随州·统考中考真题)某天老师给同学们出了一道趣味数学题：设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，⋯⋯，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”的灯共有多少盏？几位同学对该问题展开了讨论：甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，⋯⋯丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏．9(2023·湖南常德·统考中考真题)沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图．AB是以O 为圆心，OA 为半径的圆弧，C 是弦AB 的中点，D 在AB上，CD ⊥AB ．“会圆术”给出AB长l 的近似值s 计算公式：s =AB +CD 2OA，当OA =2，∠AOB =90°时，l -s =．(结果保留一位小数)10(2023·北京·统考中考真题)学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G 所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．11(2023·重庆·统考中考真题)对于一个四位自然数M ，若它的千位数字比个位数字多6，百位数字比十位数字多2，则称M 为“天真数”．如：四位数7311，∵7-1=6，3-1=2，∴7311是“天真数”；四位数8421，∵8-1≠6，∴8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为；一个“天真数”M 的千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，记P M =3a +b +c +d ，Q M =a -5，若P MQ M 能被10整除，则满足条件的M 的最大值为．12(2023·四川乐山·统考中考真题)定义：若x ，y 满足x 2=4y +t ,y 2=4x +t 且x ≠y (t 为常数)，则称点M (x ,y )为“和谐点”．(1)若P (3,m )是“和谐点”，则m =．(2)若双曲线y =kx(-3<x <-1)存在“和谐点”，则k 的取值范围为．13(2023·浙江绍兴·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，一个图形上的点都在一边平行于x 轴的矩形内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形．例如：如图，函数y =(x -2)20≤x ≤3 的图象(抛物线中的实线部分)，它的关联矩形为矩形OABC ．若二次函数y =14x 2+bx +c 0≤x ≤3 图象的关联矩形恰好也是矩形OABC ，则b =．14(2023·重庆·统考中考真题)如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab -bc =cd ，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41-12=29，∴4129是“递减数”；又如：四位数5324，∵53-32=21≠24，∴5324不是“递减数”．若一个“递减数”为a 312，则这个数为；若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc 与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，则满足条件的数的最大值是．三、解答题15(2023·内蒙古通辽·统考中考真题)阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0a ≠0 的两个实数根x 1，x 2和系数a ，b ，c 有如下关系：x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca．材料2：已知一元二次方程x 2-x -1=0的两个实数根分别为m ，n ，求m 2n +mn 2的值．16(2023·江苏徐州·统考中考真题)两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅·释器》记载：“肉倍好，谓之璧；肉好若一，调之环．”如图1，“肉”指边(阴影部分)，“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系．(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为；(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题(保留作图痕迹，不写作法)．①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若一”？②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔．17(2023·浙江宁波·统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．(1)如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC,∠A=90°，对角线BD平分∠ADC．求证：四边形ABCD为邻等四边形．(2)如图2，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点D．(3)如图3，四边形ABCD是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连接AC，过B作BE∥AC交DA的延长线于点E．若AC=8,DE=10，求四边形EBCD的周长．18(2023·山西·统考中考真题)阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务．瓦里尼翁平行四边形我们知道，如图1，在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD，DA的中点，顺次连接E,F, G,H，得到的四边形EFGH是平行四边形．我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFGH被称为瓦里尼翁平行四边形．瓦里尼翁Varingnon，Pierre1654-1722是法国数学家、力学家．瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切．①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形．②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系．③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半．此结论可借助图1证明如下：证明：如图2，连接AC ，分别交EH ,FG 于点P ,Q ，过点D 作DM ⊥AC 于点M ，交HG 于点N ．∵H ,G 分别为AD ,CD 的中点，∴HG ∥AC ,HG =12AC ．(依据1)∴DN NM =DG GC．∵DG =GC ，∴DN =NM =12DM ．∵四边形EFGH 是瓦里尼翁平行四边形，∴HE ∥GF ，即HP ∥GQ ．∵HG ∥AC ，即HG ∥PQ ，∴四边形HPQG 是平行四边形．(依据2)∴S ▱HPQG =HG ⋅MN =12HG ⋅DM ．∵S △ADC =12AC ⋅DM =HG ⋅DM ，∴S ▱HPQG =12S △ADC ．同理，⋯任务：(1)填空：材料中的依据1是指：．依据2是指：．(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形ABCD 及它的瓦里尼翁平行四边形EFGH ，使得四边形EFGH 为矩形；(要求同时画出四边形ABCD 的对角线)(3)在图1中，分别连接AC ,BD 得到图3，请猜想瓦里尼翁平行四边形EFGH 的周长与对角线AC ,BD 长度的关系，并证明你的结论．19(2023·河北·统考中考真题)在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点(x,y)移动到点(x+2,y+1)称为一次甲方式：从点(x,y)移动到点(x+1,y+2)称为一次乙方式．例、点P从原点O出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点M(4,2)；若都按乙方式，最终移动到点N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E(3,3)．(1)设直线l1经过上例中的点M,N，求l1的解析式；并直接写出将l1向上平移9个单位长度得到的直线l2的解析式；(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q(x,y)．其中，按甲方式移动了m次．①用含m的式子分别表示x,y；②请说明：无论m怎样变化，点Q都在一条确定的直线上．设这条直线为l3，在图中直接画出l3的图象；(3)在(1)和(2)中的直线l1,l2,l3上分别有一个动点A,B,C，横坐标依次为a,b,c，若A，B，C三点始终在一条直线上，直接写出此时a，b，c之间的关系式．20(2023·湖南张家界·统考中考真题)阅读下面材料：将边长分别为a，a+b，a+2b，a+3b的正方形面积分别记为S1，S2，S3，S4．则S2-S1=(a+b)2-a2=(a+b)+a⋅(a+b)-a=(2a+b)⋅b=b+2a b例如：当a=1，b=3时，S2-S1=3+23根据以上材料解答下列问题：(1)当a=1，b=3时，S3-S2=，S4-S3=；(2)当a=1，b=3时，把边长为a+n b的正方形面积记作S n+1，其中n是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出S n+1-S n等于多少吗？并证明你的猜想；(3)当a=1，b=3时，令t1=S2-S1，t2=S3-S2，t3=S4-S3，⋯，t n=S n+1-S n，且T=t1+t2+t3+⋯+t50，求T的值．21(2023·湖北荆州·统考中考真题)如图1，点P是线段AB上与点A，点B不重合的任意一点，在AB 的同侧分别以A，P，B为顶点作∠1=∠2=∠3，其中∠1与∠3的一边分别是射线AB和射线BA，∠2的两边不在直线AB上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段AB为等联线．(1)如图2，在5×3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，AB为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段AB为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；(2)如图3，在Rt△APC中，∠A=90°，AC>AP，延长AP至点B，使AB=AC，作∠A的等联角∠CPD 和∠PBD．将△APC沿PC折叠，使点A落在点M处，得到△MPC，再延长PM交BD的延长线于E，连接CE并延长交PD的延长线于F，连接BF．①确定△PCF的形状，并说明理由；②若AP:PB=1:2，BF=2k，求等联线AB和线段PE的长(用含k的式子表示)．22(2023·内蒙古赤峰·统考中考真题)定义：在平面直角坐标系xOy 中，当点N 在图形M 的内部，或在图形M 上，且点N 的横坐标和纵坐标相等时，则称点N 为图形M 的“梦之点”．(1)如图①，矩形ABCD 的顶点坐标分别是A -1,2 ，B -1,-1 ，C 3,-1 ，D 3,2 ，在点M 11,1 ，M 22,2 ，M 33,3 中，是矩形ABCD “梦之点”的是；(2)点G 2,2 是反比例函数y 1=kx图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点”H 的坐标是，直线GH 的解析式是y 2=．当y 1>y 2时，x 的取值范围是．(3)如图②，已知点A ，B 是抛物线y =-12x 2+x +92上的“梦之点”，点C 是抛物线的顶点，连接AC ，AB ，BC ，判断△ABC 的形状，并说明理由．23(2023·北京·统考中考真题)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1．对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点C 是弦AB 的“关联点”．(1)如图，点A -1,0 ，B 1-22,22，B 222,-22 ①在点C 1-1,1 ，C 2(-2,0)，C 30,2 中，弦AB 1的“关联点”是．②若点C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；(2)已知点M 0,3 ，N 655,0 ．对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”，记PQ 的长为t ，当点S 在线段MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．阅读材料：如图1，四边形ABCD是矩形，△AEF是等腰直角三角形，记∠BAE为α、∠FAD为β，若tanα=1 2，则tanβ=13．证明：设BE=k，∵tanα=12，∴AB=2k，易证△AEB≌△EFC AAS∴EC=2k,CF=k，∴FD=k,AD=3k∴tanβ=DFAD =k3k=13，若α+β=45°时，当tanα=12，则tanβ=13．同理：若α+β=45°时，当tanα=13，则tanβ=12．根据上述材料，完成下列问题：如图2，直线y=3x-9与反比例函数y=mx(x>0)的图象交于点A，与x轴交于点B．将直线AB绕点A顺时针旋转45°后的直线与y轴交于点E，过点A作AM⊥x轴于点M，过点A作AN⊥y轴于点N，已知OA=5．(1)求反比例函数的解析式；(2)直接写出tan∠BAM、tan∠NAE的值；(3)求直线AE的解析式．“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具．综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根带节流阀(控制水的流速大小)的软管制作简易计时装置．【实验操作】综合实践小组设计了如下的实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm，开始放水后每隔10min 观察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：流水时间t/min010203040水面高度h/cm(观察值)302928.12725.8任务1 分别计算表中每隔10min水面高度观察值的变化量．【建立模型】小组讨论发现：“t=0，h=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度h与流水时间t的关系．任务2 利用t=0时，h=30；t=10时，h=29这两组数据求水面高度h与流水时间t的函数解析式．【反思优化】经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差．小组决定优化函数解析式，减少偏差．通过查阅资料后知道：t为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对应h的观察值之差的平方和，记为w；w越小，偏差越小．任务3 (1)计算任务2得到的函数解析式的w值．(2)请确定经过0,30的一次函数解析式，使得w的值最小．【设计刻度】得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间．任务4 请你简要写出时间刻度的设计方案．26(2023·山西·统考中考真题)问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为△ABC和△DFE，其中∠ACB=∠DEF=90°,∠A =∠D．将△ABC和△DFE按图2所示方式摆放，其中点B与点F重合(标记为点B)．当∠ABE=∠A 时，延长DE交AC于点G．试判断四边形BCGE的形状，并说明理由．(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；(2)深入探究：老师将图2中的△DBE绕点B逆时针方向旋转，使点E落在△ABC内部，并让同学们提出新的问题．①“善思小组”提出问题：如图3，当∠ABE=∠BAC时，过点A作AM⊥BE交BE的延长线于点M,BM 与AC交于点N．试猜想线段AM和BE的数量关系，并加以证明．请你解答此问题；②“智慧小组”提出问题：如图4，当∠CBE=∠BAC时，过点A作AH⊥DE于点H，若BC=9,AC=12，求AH的长．请你思考此问题，直接写出结果．27(2023·吉林长春·统考中考真题)【感知】如图①，点A 、B 、P 均在⊙O 上，∠AOB =90°，则锐角∠APB 的大小为度．【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，⊙O 是等边三角形ABC 的外接圆，点P 在AC上(点P 不与点A 、C 重合)，连结PA 、PB 、PC ．求证：PB =PA +PC ．小明发现，延长PA 至点E ，使AE =PC ，连结BE ，通过证明△PBC ≌△EBA ，可推得PBE 是等边三角形，进而得证．下面是小明的部分证明过程：证明：延长PA 至点E ，使AE =PC ，连结BE ，∵四边形ABCP 是⊙O 的内接四边形，∴∠BAP +∠BCP =180°．∵∠BAP +∠BAE =180°，∴∠BCP =∠BAE ．∵△ABC 是等边三角形．∴BA =BC ，∴△PBC ≌△EBA (SAS )请你补全余下的证明过程．【应用】如图③，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠ABC =90°，AB =BC ，点P 在⊙O 上，且点P 与点B 在AC的两侧，连结PA 、PB 、PC ．若PB =22PA ，则PBPC的值为．28(2023·广西·统考中考真题)【探究与证明】折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘．【动手操作】如图1，将矩形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B落在EF上，并使折痕经过点A，得到折痕AM，点B，E的对应点分别为B ，E ，展平纸片，连接AB ，BB ，BE ．请完成：(1)观察图1中∠1，∠2和∠3，试猜想这三个角的大小关系；(2)证明(1)中的猜想；【类比操作】如图2，N为矩形纸片ABCD的边AD上的一点，连接BN，在AB上取一点P，折叠纸片，使B，P两点重合，展平纸片，得到折痕EF；折叠纸片，使点B，P分别落在EF，BN上，得到折痕l，点B，P 的对应点分别为B ，P ，展平纸片，连接，P B ．请完成：(3)证明BB 是∠NBC的一条三等分线．29(2023·河南·统考中考真题)李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯．下面是李老师在“图形的变化”主题下设计的问题，请你解答．(1)观察发现：如图1，在平面直角坐标系中，过点M4,0的直线l∥y轴，作△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1，再分别作△A1B1C1关于x轴和直线l对称的图形△A2B2C2和△A3B3C3，则△A2B2C2可以看作是△ABC绕点O顺时针旋转得到的，旋转角的度数为；△A3B3C3可以看作是△ABC向右平移得到的，平移距离为个单位长度．(2)探究迁移：如图2，▱ABCD中，∠BAD=α0°<α<90°，P为直线AB下方一点，作点P关于直线AB的对称点P1，再分别作点P1关于直线AD和直线CD的对称点P2和P3，连接AP，AP2，请仅就图2的情形解决以下问题：①若∠PAP2=β，请判断β与α的数量关系，并说明理由；②若AD=m，求P，P3两点间的距离．(3)拓展应用：在(2)的条件下，若α=60°，AD=23，∠PAB=15°，连接P2P3．当P2P3与▱ABCD的边平行时，请直接写出AP的长．30(2023·甘肃兰州·统考中考真题)在平面直角坐标系中，给出如下定义：P 为图形M 上任意一点，如果点P 到直线EF 的距离等于图形M 上任意两点距离的最大值时，那么点P 称为直线EF 的“伴随点”．例如：如图1，已知点A 1,2 ，B 3,2 ，P 2,2 在线段AB 上，则点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．(1)如图2，已知点A 1,0 ，B 3,0 ，P 是线段AB 上一点，直线EF 过G -1,0 ，T 0,33两点，当点P 是直线EF 的“伴随点”时，求点P 的坐标；(2)如图3，x 轴上方有一等边三角形ABC ，BC ⊥y 轴，顶点A 在y 轴上且在BC 上方，OC =5，点P 是△ABC 上一点，且点P 是直线EF ：x 轴的“伴随点”．当点P 到x 轴的距离最小时，求等边三角形ABC 的边长；(3)如图4，以A 1,0 ，B 2,0 ，C 2,1 为顶点的正方形ABCD 上始终存在点P ，使得点P 是直线EF ：y =-x +b 的“伴随点”．请直接写出b 的取值范围．31(2023·云南·统考中考真题)数和形是数学研究客观物体的两个方面，数(代数)侧重研究物体数量方面，具有精确性、形(几何)侧重研究物体形的方面，具有直观性．数和形相互联系，可用数来反映空间形式，也可用形来说明数量关系．数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优势，数形互化，共同解决问题．同学们，请你结合所学的数学解决下列问题．在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点．设函数y=(4a+2)x2+(9 -6a)x-4a+4(实数a为常数)的图象为图象T．(1)求证：无论a取什么实数，图象T与x轴总有公共点；(2)是否存在整数a，使图象T与x轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数a的值；若不存在，请说明理由．。

八年级数学第二学期第二十二章四边形章节练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、矩形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程27100-+=的一个根，则矩形ABCD的面积为x x（）A．B．12 C．D．2、如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E 到点B的距离为（）A B C D3、如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点．已知∠B＝55°，则∠AEF的度数是（）A．75°B．60°C．55°D．40°4、下列命题是真命题的是（）A．五边形的内角和是720°B．三角形的任意两边之和大于第三边C．内错角相等D．对角线互相垂直的四边形是菱形5、在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是(0，0)，(5，0)，(2，3)，则顶点C的坐标是（）A．（7，3）B．（8，2）C．（3，7）D．（5，3）6、如图，平行四边形ABCD的周长为36，对角线AC，BD相交于点O，点E是CD的中点，BD＝12，则△DOE的周长是（）A．12 B．15 C．18 D．247、垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（）A．1种B．2种C．3种D．4种8、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝16，则AB的长为（）A．16 B．12 C．8 D．49、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（）A．7 B．6 C．4 D．810、如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，若重叠部分为EBD∆，那么下列说法错误的是（）A．EBD∆是等腰三角形B．EBA∆全等∆和EDC∠相等C．折叠后得到的图形是轴对称图形D．折叠后ABE∠和CBD第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图，平行四边形ABCD，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，2OE=，则AD的长是________．2、过多边形的一个顶点作对角线，可将多边形分成5个三角形，则多边形的边数是______．3、如图，在一张矩形纸片ABCD中，AB＝30cm，将纸片对折后展开得到折痕EF．点P为BC边上任意一点，若将纸片沿着DP折叠，使点C恰好落在线段EF的三等分点上，则BC的长等于_________cm．4、如图，正方形ABCD中，AD＝，已知点E是边AB上的一动点（不与A、B重合）将△ADE沿DE对折，点A的对应点为P，当△APB是等腰三角形时，AE＝______ ．（温馨提示：∵(=）=22215、如果一个矩形较短的边长为5cm，两条对角线的夹角为60°，则这个矩形的对角线长是_________cm．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，点F在线段BD上，且DE＝BF．求证：AE∥CF．2、如图，在正方形ABCD 中，E 是AD 上一点（E 与A 、D 不重合）．连接CE ，将CED 绕点D 顺时针旋转90°，得到AFD ．（1）求证：CE AF ⊥；（2）连接EF ，若30ECD ∠=︒，求AFE ∠的度数．3、已知长方形ABCO ，O 为坐标原点，B 的坐标为（8，6），点A ，C 分别在坐标轴上，P 是线段BC 上的动点，设PC ＝m ．（1）已知点D 在第一象限且是直线y ＝2x ＋6上的一点，设D 点横坐标为n ，则D 点纵坐标可用含n 的代数式表示为 ，此时若△APD 是等腰直角三角形，求点D 的坐标；（2）直线y ＝2x ＋b 过点（3，0），请问在该直线上，是否存在第一象限的点D 使△APD 是等腰直角三角形？若存在，请直接写出这些点的坐标，若不存在，请说明理由．4、将矩形ABCD绕着点C按顺时针方向旋转得到矩形FECG，其中点E与点B，点G与点D分别是对应点，连接BG．（1）如图，若点A，E，D第一次在同一直线上，BG与CE交于点H，连接BE．①求证：BE平分∠AEC．②取BC的中点P，连接PH，求证：PH∥CG．③若BC＝2AB＝2，求BG的长．（2）若点A，E，D第二次在同一直线上，BC＝2AB＝4，直接写出点D到BG的距离．5、如图，四边形ABCD是平行四边形，AC为对角线．（1）尺规作图：请作出AC的垂直平分线，分别交AD，BC，AC于点E，F，G，连接CE，AF．不写作法，保留作图痕迹；（2）请判断四边形AFCE的形状，并说明理由．-参考答案-一、单选题1、D【分析】先求27100x x -+=的两个根122,5,x x ==【详解】∵27100x x -+=，∴（x -2）（x -5）=0，∴122,5,x x ==∴矩形的面积为2×故选D ．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，一元二次方程的解法，熟练解方程，灵活用勾股定理是解题的关键．2、C【分析】由于AE 是折痕，可得到AB =AF ，BE =EF ，再求解5,51,ACCF 设BE =x ，在Rt △EFC 中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．【详解】解： 矩形ABCD ，90,B ∴∠=︒∵AE 为折痕，∴AB =AF=1，BE =EF =x ，∠AFE =∠B =90°，Rt △ABC 中，2222125,AC AB BC∴Rt △EFC 中，51FC ，EC =2-x ， ∴222251x x ，解得：x =，则点E 到点B ． 故选：C ．【点睛】本题考查了勾股定理和矩形与折叠问题；二次根式的乘法运算，利用对折得到1CF ，再利用勾股定理列方程是解本题的关键．3、C【分析】证EF 是△ABC 的中位线，得EF ∥BC ，再由平行线的性质即可求解．【详解】解：∵点E ，F 分别是AB ，AC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥BC ，∴∠AEF =∠B =55°，故选：C ．本题考查了三角形中位线定理以及平行线的性质；熟练掌握三角形中位线定理，证出EF∥BC是解题的关键．4、B【分析】利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定等知识，难度不大．5、A【分析】利用平行四边形的对边平行且相等的性质，先利用对边平行，得到D点和C点的纵坐标相等，再求出CD=AB=5，得到C点横坐标，最后得到C点的坐标．【详解】解：四边形ABCD为平行四边形。

第二十二章达标检测卷(100分，90分钟)题号一二三总分得分一、选择题(每题2分，共32分)1．在▱ABCD中，以下结论一定正确的选项是( )A．AC⊥BD B．∠A＋∠B＝180°C．AB＝AD D．∠A≠∠C2．顺次连接平行四边形各边中点所得的四边形是( )A．平行四边形B．长方形C．任意四边形D．正方形3．在四边形ABCD中，AB∥CD，添加以下一个条件后，一定能判定四边形ABCD是平行四边形的是( )A．AD＝BC B．AC＝BD C．AB＝CD D．∠A＝∠B4．▱ABCD的四个内角∠A，∠B，∠C，∠D的度数的比可能是( )A．232 3 B．344 3 C．443 2 D．235 65．一个多边形的每个内角均为108°，那么这个多边形是( )A．七边形B．六边形C．五边形D．四边形6.如图，在▱ABCD中，AD＝12 cm，AB＝ 8 cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，那么CE的长等于( )A．8 cm B．6 cm C．4 cm D．2 cm7.菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，∠BAD＝120°，AC＝4，那么该菱形的面积是( )A．16 3 B．16 C．8 3 D．88．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm，现将其沿AE折叠，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，那么CE的长为( )A．6 cm B．4 cm C．2 cm D．1 cm(第6题)(第8题)(第9题)9．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是BC的中点，AD＝6 cm，那么OE的长为( )A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm10．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF经过点O，分别交AD，BC于点E，F，且OE ＝4，AB＝5，BC＝9，那么四边形ABFE的周长是( )A．13 B．16 C．22 D．1811．如图，四边形ABCD的对角线AC＝BD，且AC⊥BD，分别过点A、B、C、D作对角线的平行线EF、FG、GH、EH，那么四边形EFGH是( )A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形(第10题)(第11题)(第12题)12．如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点O作EF⊥AC交BC于点E，交AD于点F，连接AE、CF，那么四边形AECF是( )A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形13．如图，周长为16的菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，AE＝1，AF＝3，P为BD上一动点，那么线段EP＋FP的长最短为( )A．3 B．4 C．5 D．6(第13题)(第14题)(第16题)14．如图，有一张矩形纸片ABCD ，AB ＝8，AD ＝6，将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，那么△CEF 的面积为( )A .12B .98C ．2D ．415．有3张边长为a 的正方形纸片，4张边长分别为a 、b(b ＞a)的矩形纸片，5张边长为b 的正方形纸片，从其中取出假设干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形(按原纸片进行无空隙、无重叠拼接)，那么拼成的正方形的边长最大可以为( )A ．a ＋bB ．2a ＋bC ．3a ＋bD ．a ＋2b16．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，以下结论：①BE ＝DF ，②∠DAF ＝15°，③AC 垂直平分EF ，④BE ＋DF ＝EF ，⑤S △CEF ＝2S △ABE .其中正确结论有( )A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题(每题3分，共12分)17．边数为2 017的多边形的外角和为__________．18．菱形的两条对角线长为12 cm 和6 cm ，那么这个菱形的面积为________cm 2.(第19题)19．如图，正方形ABCD 的边长为4，E 是边BC 上的一点且BE ＝1，P 为对角线AC 上的一动点，连接PB ，PE ，当点P 在AC 上运动时，△PBE 周长的最小值是________．20．矩形纸片ABCD 中，AD ＝8，AB ＝6，E 是边BC 上的点，以AE 为折痕折叠纸片，使点B 落在点F 处，连接FC ，当△EFC 为直角三角形时，BE 的长为________．三、解答题(21题8分，25题15分，其余每题11分，共56分)21．：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD 是BC 边上的中线，AE ∥BC ，CE ⊥AE ，垂足为E.(1)求证：△ABD ≌△CAE ；(2)连接DE ，线段DE 与AB 之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．(第21题)22．如图，▱ABCD 中，点E ，F 在直线AC 上(点E 在F 左侧)，BE ∥DF. (1)求证：四边形BEDF 是平行四边形；(2)假设AB ⊥AC ，AB ＝4，BC ＝213，当四边形BEDF 为矩形时，求线段AE 的长．(第22题)23. 如图，在边长为6的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，将 △ADE 沿AE 翻折至△AFE ，延长EF 交BC 于点G ，连接AG.(1)求证：△ABG ≌△AFG ； (2)求BG 的长．(第23题)24．如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点(E 与A ，D 不重合)，G ，F ，H 分别为BE ，BC ，CE 的中点．(1)试说明四边形EGFH 是平行四边形；(2)在(1)的条件下，假设EF ⊥BC ，且EF ＝12BC ，试说明平行四边形EGFH 是正方形．(第24题)25．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，现按如下步骤作图：①分别以A ，C 为圆心，a 为半径(a ＞12AC)作弧，两弧分别交于M ，N 两点；②过M ，N 两点作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ； ③将△ADE 绕点E 顺时针旋转180°，设点D 的对应点为点F. (1)请在图中直接标出点F 并连接CF ； (2)求证：四边形BCFD 是平行四边形； (3)当∠B 为多少度时，四边形BCFD 是菱形？(第25题)答案一、1.B 2.A 3.C4．A点拨：平行四边形的对角相等．5．C点拨：首先求得一个外角的度数，然后用360°除以一个外角的度数即可得到答案．6．C7.C8．C点拨：根据折叠的特点可得∠AB1E＝∠B＝90°，AB1＝AB，易知∠BAB1＝90°，然后得出四边形ABEB1是正方形．再根据正方形的性质可得BE＝AB，最后根据CE＝BC－BE，代入数据进行计算即可得解．9．C10.C11．A点拨：∵EF∥BD，GH∥BD，∴EF∥GH，同理可得EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，∴EH＝FG，EF＝HG.易证四边形EACH和四边形EFBD是平行四边形，∴EH＝AC，EF＝BD.∵AC＝BD，∴EH＝AC＝F G＝EF＝BD＝HG，∴四边形EFGH是菱形．∵AC⊥BD，AC∥EH，EF∥BD，∴EH⊥EF，∴∠E＝90°，∴四边形EFGH是正方形．12．C点拨：首先利用平行四边形的性质得出AO＝CO，AD∥BC，所以∠AFO＝∠CEO，又∠AOF ＝∠COE，所以△AFO≌△CEO，所以FO＝EO.最后利用平行四边形和菱形的判定定理得出结论．13．B点拨：∵四边形ABCD为菱形，(第13题)∴AD＝16÷4＝4.如图，在DC上截取DG＝FD＝AD－AF＝4－3＝1，连接EG，那么EG与BD的交点就是点P.∵AE＝DG，且AE∥DG，∴四边形ADGE是平行四边形，∴EG＝AD＝4.应选B.14．C15．D 点拨：3张边长为a 的正方形纸片的面积为3a 2，4张边长分别为a ，b 的矩形纸片的面积为4ab ，5张边长为b 的正方形纸片的面积为5b 2.∵a 2＋4ab ＋4b 2＝(a ＋2b)2，∴拼成的正方形的边长最大可以为a ＋2b. 16．C 点拨：∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝AD ，∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝∠BAD ＝90°. ∵△AEF 是等边三角形， ∴AE ＝EF ＝AF ，∠EAF ＝60°. ∴∠BAE ＋∠DAF ＝30°. 在Rt △ABE 和Rt △ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AF ，AB ＝AD ， ∴Rt △ABE ≌Rt △ADF(HL )， ∴BE ＝DF(故①正确)． 易知∠BAE ＝∠DAF.∴∠DAF ＋∠DAF ＝30°，即∠DAF ＝15°(故②正确)． ∵BC ＝CD ，∴BC －BE ＝CD －DF ，即CE ＝CF ， 又∵AE ＝AF ，∴AC 垂直平分EF(故③正确)．设EC ＝x ，由勾股定理，得EF ＝AE ＝2x ，∴EG ＝CG ＝22x ，∴AG ＝62x ， ∴AC ＝6x ＋2x2， ∴AB ＝BC ＝3x ＋x2， ∴BE ＝3x ＋x 2－x ＝3x －x2， ∴BE ＋DF ＝3x －x ≠2x(故④错误)． ∵S △CEF ＝x22，S △ABE ＝3x －x 2·3x ＋x22＝x24，∴2S △ABE ＝x22＝S △CEF (故⑤正确)．综上所述，正确的有4个．二、17.360°18．36 点拨：菱形的面积为12×12×6＝36(cm 2)．19．620．3或6 点拨：①∠EFC ＝90°时，如图①，先判断出点F 在对角线AC 上，利用勾股定理列式求出AC ，设BE ＝x ，表示出CE ，根据翻折变换的性质可得AF ＝AB ，EF ＝BE ，然后在Rt △CEF 中，利用勾股定理列出方程求解即可；②∠CEF ＝90°时，如图②，判断出四边形ABEF 是正方形，根据正方形的四条边都相等可得BE ＝AB.(第20题)三、21.(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠ACB.又∵AD 是BC 边上的中线， ∴AD ⊥BC ，即∠ADB ＝90°. ∵AE ∥BC ，∴∠EAC ＝∠ACB ， ∴∠B ＝∠EAC.∵CE ⊥AE ，∴∠CEA ＝90°， ∴∠CEA ＝∠ADB. 又AB ＝AC ，∴△ABD ≌△CAE(AAS )． (2)解：AB ∥DE 且AB ＝DE.证明如下：由(1)中△ABD ≌△CAE 可得AE ＝BD ， 又∵AE ∥BD ，∴四边形ABDE 是平行四边形． ∴AB ∥DE 且AB ＝DE.22．(1)证明：如图，连接BD ，设BD 交AC 于点O. ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由BE ∥DF ，得∠BEO ＝∠DFO.而∠EOB ＝∠FOD ，∴△BEO ≌△DFO. ∴BE ＝DF.又∵BE ∥DF ， ∴四边形BEDF 是平行四边形．(2)解：∵AB ⊥AC ，AB ＝4，BC ＝213，∴AC ＝6，AO ＝3. ∴在Rt △BAO 中，BO ＝AB 2＋AO 2＝42＋32＝5. 又∵四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ＝5.∴点E 在OA 的延长线上，且AE ＝2.(第22题)23．(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠D ＝90°，AD ＝AB. 由折叠的性质可知，AD ＝AF ， ∠AFE ＝∠D ＝90°， ∴∠AFG ＝90°，AB ＝AF. 又∵AG ＝AG ，∴Rt △ABG ≌Rt △AFG(HL )． (2)解：∵△ABG ≌△AFG ， ∴BG ＝FG.设BG ＝FG ＝x ，那么GC ＝6－x ， ∵E 为CD 的中点， ∴CE ＝EF ＝DE ＝3， ∴EG ＝x ＋3.在Rt △CEG 中，由勾股定理，得32＋(6－x)2＝(x ＋3)2，解得x ＝2， ∴BG ＝2.24．解：(1)在△BEC 中， ∵G ，F 分别是BE ，BC 的中点， ∴GF ∥EC(即GF ∥EH )且GF ＝12EC.∵H 为EC 的中点，∴EH ＝12EC ，∴GF ＝EH.∴四边形EGFH 是平行四边形．(2)连接GH.∵G ，H 分别是BE ，CE 的中点，∴GH ∥BC 且GH ＝12BC ，又∵EF ⊥BC 且EF ＝12BC ，∴EF ⊥GH 且EF ＝GH.∴平行四边形EGFH 是正方形．25．(1)解：如下图． (2)证明：连接AF ，DC.∵△CFE 是由△ADE 顺时针旋转180°后得到的，A 与C 是对应点，D 与F 是对应点， ∴AE ＝CE ，DE ＝FE.∴四边形ADCF 是平行四边形． ∴AD ∥CF.由作图可知MN 垂直平分AC ， 又∵∠ACB ＝90°， ∴MN ∥BC.∴四边形BCFD 是平行四边形．(第25题)(3)解：当∠B ＝60°时，四边形BCFD 是菱形．理由如下： ∵∠B ＝60°，∠ACB ＝90°， ∴∠BAC ＝30°.∴BC ＝12AB.又易知BD ＝12AB ，∴BD ＝BC.∵四边形BCFD 是平行四边形， ∴四边形BCFD 是菱形．。

例题精讲考点1一次函数新定义问题【例1】．定义：我们把一次函数y＝kx+b（k≠0）与正比例函数y＝x的交点称为一次函数y＝kx+b（k≠0）的“不动点”．例如求y＝2x﹣1的“不动点”：联立方程，解得，则y＝2x﹣1的“不动点”为（1，1）．（1）由定义可知，一次函数y＝3x+2的“不动点”为；（2）若一次函数y＝mx+n的“不动点”为（2，n﹣1），求m、n的值；（3）若直线y＝kx﹣3（k≠0）与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线y＝kx﹣3上没＝3S△ABO，求满足条件的P点坐标．有“不动点”，若P点为x轴上一个动点，使得S△ABP变式训练【变1-1】．在初中阶段的函数学习中，我们经历了“确定函数的表达式一一利用函数图象研究其性质一一运用函数解决问题”的学习过程．在画函数图象时，我们通过描点或平移的方法画出了所学的函数图象．同时，我们也学习了绝对值的意义．结合上面经历的学习过程，现在来解决下面的问题：在函数y＝|kx﹣3|+b中，当x＝2时，y＝﹣4；当x＝0时，y＝﹣1．（1）求这个函数的表达式；（2）在给出的平面直角坐标系中，请用你喜欢的方法画出这个函数的图象，并写出这个函数的一条性质；（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．（4）若方程|x2﹣6x|﹣a＝0有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是．考点2反比例函数新定义问题【例2】．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程，以下是我们研究函数y＝x+|﹣2x+6|+m性质及其应用的部分过程，请按要求完成下列各小题．x…﹣2﹣1012345…y…654a21b7…（1）写出函数关系式中m及表格中a，b的值；m＝，a＝，b＝；（2）根据表格中的数据在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；（3）已知函数y＝﹣（x﹣2）2+8的图象如图所示，结合你所画的函数图象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集为．变式训练【定义】在平面内，把一个图形上任意一点与另一个图形上任意一点之间的距离的最小值，称为这两个图形之间的距离，即A，B分别是图形M和图形N上任意一点，当AB的长最小时，称这个最小值为图形M与图形N之间的距离．例如，如图1，AB⊥l1，线段AB的长度称为点A与直线l1之间的距离，当l2∥l1时，线段AB的长度也是l1与l2之间的距离．【应用】（1）如图2，在等腰Rt△BAC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为AB边上一点，过点D作DE∥BC交AC于点E．若AB＝6，AD＝4，则DE与BC之间的距离是；（2）如图3，已知直线l3：y＝﹣x+4与双曲线C1：y＝（x＞0）交于A（1，m）与B两点，点A与点B之间的距离是，点O与双曲线C1之间的距离是；【拓展】（3）按规定，住宅小区的外延到高速路的距离不超过80m时，需要在高速路旁修建与高速路相同走向的隔音屏障（如图4）．有一条“东南﹣西北”走向的笔直高速路，路旁某住宅小区建筑外延呈双曲线的形状，它们之间的距离小于80m．现以高速路上某一合适位置为坐标原点，建立如图5所示的直角坐标系，此时高速路所在直线l4的函数表达式为y＝﹣x，小区外延所在双曲线C2的函数表达式为y＝（x＞0），那么需要在高速路旁修建隔音屏障的长度是多少？考点3二次函数新定义问题【例3】．小爱同学学习二次函数后，对函数y＝﹣（|x|﹣1）2进行了探究．在经历列表、描点、连线步骤后，得到如图的函数图象．请根据函数图象，回答下列问题：（1）观察探究：①写出该函数的一条性质：；②方程﹣（|x|﹣1）2＝﹣1的解为：；③若方程﹣（|x|﹣1）2＝m有四个实数根，则m的取值范围是．（2）延伸思考：将函数y＝﹣（|x|﹣1）2的图象经过怎样的平移可得到函数y1＝﹣（|x﹣1|﹣1）2+2的图象？写出平移过程，并直接写出当1＜y1≤2时，自变量x的取值范围．变式训练【变3-1】．我们定义一种新函数：形如y＝|ax2+bx+c|（a≠0，b2﹣4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|ax2+bx+c|的图象（如图所示），下列结论正确的是（）A．图象具有对称性，对称轴是直线x＝1.5B．有且只有﹣1≤x≤1时，函数值y随x值的增大而增大C．若a＜0，则8a+c＞0D．若a＜0，则a+b≥m（am+b）（m为任意实数）【变3-2】．已知抛物线y＝ax2+c过点A（﹣2，0）和D（﹣1，3）两点，交x轴于另一点B．（1）求抛物线解析式；（2）如图1，点P是BD上方抛物线上一点，连接AD，BD，PD，当BD平分∠ADP时，求P点坐标；（3）将抛物线图象绕原点O顺时针旋转90°形成如图2的“心形”图案，其中点M，N 分别是旋转前后抛物线的顶点，点E、F是旋转前后抛物线的交点．①直线EF的解析式是；②点G、H是“心形”图案上两点且关于EF对称，则线段GH的最大值是．1．对于实数a，b，定义符号max|a，b|，其意义为：当a≥b时，max|a，b|＝a，当a＜b时，max|a，b|＝b．例如max|2，﹣1|＝2，若关于x的函数y＝max|2x﹣1，﹣x+5|，则该函数的最小值为（）A．B．1C．D．32．在平面直角坐标系xOy中，对于点P（a，b），若点P′的坐标为（ka+b，a+）（其中k为常数且k≠0），则称点P′为点P的“k关联点”．已知点A在反比例函数y＝的图象上运动，且点A是点B的“关联点”，当线段OB最短时，点B的坐标为．3．定义：由a，b构造的二次函数y＝ax2+（a+b）x+b叫做一次函数y＝ax+b的“滋生函数”，一次函数y＝ax+b叫做二次函数y＝ax2+（a+b）x+b的“本源函数”（a，b为常数，且a ≠0）．若一次函数y＝ax+b的“滋生函数”是y＝ax2﹣3x+a+1，那么二次函数y＝ax2﹣3x+a+1的“本源函数”是y＝﹣2x﹣1．4．在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“不动点”．例如（﹣3，﹣3）、（1，1）、（2023，2023）都是“不动点”．已知双曲线．（1）下列说法不正确的是．A．直线y＝x的图象上有无数个“不动点”B．函数的图象上没有“不动点”C．直线y＝x+1的图象上有无数个“不动点”D．函数y＝x2的图象上有两个“不动点”（2）求双曲线上的“不动点”；（3）若抛物线y＝ax2﹣3x+c（a、c为常数）上有且只有一个“不动点”，①当a＞1时，求c的取值范围．②如果a＝1，过双曲线图象上第一象限的“不动点”做平行于x轴的直线l，若抛物线上有四个点到l的距离为m，直接写出m的取值范围．5．在并联电路中，电源电压为U总＝6V，小亮根据“并联电路分流不分压”的原理知道：I总＝I1+I2（I1＝，I2＝），已知R1为定值电阻，当R变化时，干路电流I总也会发生变化，且干路电流I总与R之间满足如下关系：I总＝1+．（1）定值电阻R1的阻值为Ω；（2）小亮根据学习函数的经验，参照研究函数的过程与方法，对比反比例函数I2＝来探究函数I总＝1+的图象与性质．①列表：如表列出I总与R的几组对应值，请写出m，n的值：m＝，n＝；R…3456…I2＝…2 1.5 1.21…I总＝1+…3m 2.2n…②描点、连线：在平面直角坐标系中，以①给出的R的取值为横坐标，以I总相对应的值为纵坐标，描出相应的点，并将各点用光滑曲线顺次连接起来；（3）观察图象并分析表格，回答下列问题：①I总随R的增大而；（填“增大”或“减小”）②函数I总＝1+的图象是由I2＝的图象向平移个单位而得到．6．小欣研究了函数的图象与性质．其研究过程如下：（1）绘制函数图象①列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝；x…﹣4﹣3﹣2012…y…﹣1﹣2﹣332m…﹣﹣②描点：根据表中的数值描点（x，y）；③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．（2）探究函数性质：下列说法不正确的是A．函数值y随x的增大而减小B．函数图象不经过第四象限C．函数图象与直线x＝﹣1没有交点D．函数图象对称中心（﹣1，0）（3）如果点A（x1，y1）、B（x2，y2）在函数图象上，如果x1+x2＝﹣2，则y1+y2＝．7．九年级某数学兴趣小组在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数的图象与性质，其探究过程如下：（1）绘制函数图象，列表：下表是x与y的几组对应值，其中m＝．x…﹣3﹣2﹣1123…y…124421m…描点：根据表中各组对应值（x，y），在平面直角坐标系中描出各点，请你描出剩下的点；连线：用平滑的曲线顺次连接各点，已经画出了部分图象，请你把图象补充完整；（2）通过观察图象，下列关于该函数的性质表述正确的是：；（填写代号）①函数值y随x的增大而增大；②关于y轴对称；③关于原点对称；（3）在上图中，若直线y＝2交函数的图象于A，B两点（A在B左边），连接OA．过点B作BC∥OA交x轴于C．则S四边形OABC＝．8．【定义】从一个已知图形的外一点引两条射线分别经过该已知图形的两点，则这两条射线所成的最大角称为该点对已知图形的视角，如图①，∠APB是点P对线段AB的视角．【应用】（1）如图②，在直角坐标系中，已知点A（2，），B（2，2），C（3，），则原点O对三角形ABC的视角为；（2）如图③，在直角坐标系中，以原点O，半径为2画圆O1，以原点O，半径为4画圆O2，证明：圆O2上任意一点P对圆O1的视角是定值；【拓展应用】（3）很多摄影爱好者喜欢在天桥上对城市的标志性建筑拍照，如图④．现在有一条笔直的天桥，标志性建筑外延呈正方形，摄影师想在天桥上找到对建筑视角为45°的位置拍摄．现以建筑的中心为原点建立如图⑤的坐标系，此时天桥所在的直线的表达式为x ＝﹣5，正方形建筑的边长为4，请直接写出直线上满足条件的位置坐标．9．小明在学习函数的过程中遇到这样一个函数：y＝[x]，若x≥0时，[x]＝x2﹣1；若x＜0时，[x]＝﹣x﹣1．小明根据学习函数的经验，对该函数进行了探究．（1）①列表：下表列出y与x的几组对应值，请写出m，n的值m＝；n＝；x…﹣2﹣1012…y…1m00n…②描点：在平面直角坐标系中，以①给出的自变量x的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点并连线，作出函数图象；（2）下列关于该函数图象的性质正确的是；（填序号）①y随x的增大而增大；②该函数图象关于y轴对称；③当x＝0时，函数有最小值为﹣1；④该函数图象不经过第三象限．（3）若函数值y＝8，则x＝；（4）若关于x的方程2x+c＝[x]有两个不相等的实数根，请结合函数图象，直接写出c 的取值范围是．10．某公园内人工湖上有一座拱桥（横截面如图所示），跨度AB为4米．在距点A水平距离为d米的地点，拱桥距离水面的高度为h米．小红根据学习函数的经验，对d和h之间的关系进行了探究．下面是小红的探究过程，请补充完整：（1）经过测量，得出了d和h的几组对应值，如表．d/米00.61 1.8 2.43 3.64h/米0.88 1.90 2.38 2.86 2.80 2.38 1.600.88在d和h这两个变量中，d是自变量，h是这个变量的函数；（2）在下面的平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；（3）结合表格数据和函数图象，解决问题：①桥墩露出水面的高度AE为米；②公园欲开设游船项目，现有长为3.5米，宽为1.5米，露出水面高度为2米的游船．为安全起见，公园要在水面上的C，D两处设置警戒线，并且CE＝DF，要求游船能从C，D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离CE至少为米．（精确到0.1米）11．小明为了探究函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性质，他想先画出它的图象，然后再观察、归纳得到，并运用性质解决问题．（1）完成函数图象的作图，并完成填空．①列出y与x的几组对应值如表：x…﹣5﹣4﹣3﹣2﹣1012345…y…﹣8﹣3010﹣3010a﹣8…表格中，a＝；②结合上表，在下图所示的平面直角坐标系xOy中，画出当x＞0时函数M的图象；③观察图象，当x＝时，y有最大值为；（2）求函数M：y＝﹣x2+4|x|﹣3与直线l：y＝2x﹣3的交点坐标；（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）两点在函数M的图象上，当y1＜y2时，请直接写出m的取值范围．12．定义：平面直角坐标系xOy中，若点M绕原点顺时针旋转90°，恰好落在函数图象W 上，则称点M为函数图象W的“直旋点”．例如，点是函数y＝x图象的“直旋点”．（1）在①（3，0），②（﹣1，0），③（0，3）三点中，是一次函数图象的“直旋点”的有（填序号）；（2）若点N（3，1）为反比例函数图象的“直旋点”，求k的值；（3）二次函数y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，点D是二次函数y＝﹣x2+2x+3图象的“直旋点”且在直线AC上，求D点坐标．13．对某一个函数给出如下定义：若存在实数M＞0，对于任意的函数值y，都满足﹣M≤y ≤M，则称这个函数是有界函数，在所有满足条件的M中，其最小值称为这个函数的边界值．例如，图中的函数是有界函数，其边界是1．（1）直接判断函数y＝（x＞0）和y＝﹣2x+1（﹣4＜x≤2）是不是有界函数？若是有界函数，直接写出其边界值；（2）若一次函数y＝kx+b（﹣2≤x≤1）的边界值是3，且这个函数的最大值是2，求这个一次函数的解析式；（3）将二次函数y＝﹣x2（﹣1≤x≤m，m≥0）的图象向上平移m个单位，得到的函数的边界值是n，当m在什么范围时，满足≤n≤1．14．在平面直角坐标系中，由两条与x轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线C1与抛物线C2：y＝mx2+4mx﹣12m（m ＞0）的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为M，N（点M在点N的左侧），与y轴的交点分别为A，B，且点A的坐标为（0，﹣1）．（1）求M，N两点的坐标及抛物线C1的解析式；（2）若抛物线C2的顶点为D，当m＝时，试判断三角形MND的形状，并说明理由；（3）在（2）的条件下，点P（t，﹣）是抛物线C1上一点，抛物线C2第三象限上是＝S△ONQ，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，说否存在一点Q，使得S△APM明理由．15．阅读材料：一般地，对于某个函数，如果自变量x在取值范围内任取x＝a与x＝﹣a时，函数值相等，那么这个函数是“对称函数”．例如：y＝x2，在实数范围内任取x＝a时，y ＝a2；当x＝﹣a时，y＝（﹣a）2＝a2，所以y＝x2是“对称函数”．（1）函数y＝2|x|+1对称函数（填“是”或“不是”）．当x≥0时，y＝2|x|+1的图象如图1所示，请在图1中画出x＜0时，y＝2|x|+1的图象．（2）函数y＝x2﹣2|x|+1的图象如图2所示，当它与直线y＝﹣x+n恰有3个交点时，求n的值．（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点坐标分别是A（﹣3，0），B（2，0），C（2，﹣3），D（﹣3，﹣3），当二次函数y＝x2﹣b|x|+1（b＞0）的图象与矩形的边恰有4个交点时，求b的取值范围．16．定义：把一个半圆与抛物线的一部分合成封闭图形，我们把这个封闭图形称为“蛋圆”．如果一条直线与“蛋圆”只有一个交点，那么这条直线叫做“蛋圆”的切线．如图，A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，已知点D的坐标为（0，8），AB为半圆的直径，半圆的圆心M的坐标为（1，0），半圆半径为3．（1）请你直接写出“蛋圆”抛物线部分的解析式y，自变量的取值范围是；（2）请你求出过点C的“蛋圆”切线与x轴的交点坐标；（3）求经过点D的“蛋圆”切线的解析式．17．规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“O—函数”．这组点称为“XC点”．例如：点P（1，1）在函数y＝x2上，点Q（﹣1，﹣1）在函数y＝﹣x﹣2上，点P与点Q关于原点对称，此时函数y＝x2和y＝﹣x﹣2互为“O—函数”，点P与点Q则为一组“XC点”．（1）已知函数y＝﹣2x﹣1和y＝﹣互为“O—函数”，请求出它们的“XC点”；（2）已知函数y＝x2+2x+4和y＝4x+n﹣2022互为“O—函数”，求n的最大值并写出“XC 点”；（3）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）与y＝2bx+1互为“O—函数”有且仅存在一组“XC点”，如图，若二次函数的顶点为M，与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）其中0＜x1＜x2，AB＝，过顶点M作x轴的平行线l，点P在直线l上，记P的横坐标为﹣，连接OP，AP，BP．若∠OPA＝∠OBP，求t的最小值．18．如果三角形的两个内角α与β满足2α+β＝90°，那么我们称这样的三角形为“CJ三角形”．（1）判断下列三角形是否为“CJ三角形”？如果是，请在对应横线上画“√”，如果不是，请在对应横线上画“×”；①其中有两内角分别为30°，60°的三角形；②其中有两内角分别为50°，60°的三角形；③其中有两内角分别为70°，100°的三角形；（2）如图1，点A在双曲线y＝（k＞0）上且横坐标为1，点B（4，0），C为OB中点，D为y轴负半轴上一点，若∠OAB＝90°．①求k的值，并求证：△ABC为“CJ三角形”；②若△OAB与△OBD相似，直接写出D的坐标；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，E为BC边上一点，BE ＞CE且△ABE是“CJ三角形”，已知A（﹣6，0），记BE＝t，过A，E作抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0），B在A右侧，且在x轴上，点Q在抛物线上，使得tan∠ABQ＝，若符合条件的Q点个数为3个，求抛物线y＝ax2+bx+c的解析式．。

微专题：函数图像信息问题【河北热点】【河北中考分布：河北2015T14，2014T6考查由函数图像确定字母系数的范围】◆类型一 根据一次函数图像确定字母系数的范围1．(2016·石家庄模拟)直线l ：y ＝(2－k )x ＋2(k 为常数)的图像如图所示，则k 的取值范围在数轴上表示为( )2．(2017·营口中考)若一次函数y ＝ax ＋b 的图像经过第一、二、四象限，则下列不等式一定成立的是( )A ．a ＋b ＜0B ．a －b ＞0C ．ab ＞0 D.b a＜0 3．(2017·泰安中考)已知一次函数y ＝kx －m －2x 的图像与y 轴的负半轴相交，且函数值y 随自变量x 的增大而减小，则下列结论正确的是( )A ．k ＜2，m ＞0B ．k ＜2，m ＜0C ．k ＞2，m ＞0D ．k ＜0，m ＜04．将6×6的正方形网格按如图所示放置在平面直角坐标系中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长都是1，正方形ABCD 的顶点都在格点上．若直线y ＝kx (k ≠0)与正方形ABCD 有公共点，则k 的值不可能是( )A ．3B ．2C ．1 D.12第4题图 第5题图 ◆类型二 获取实际问题中图像的信息5．(2016·哈尔滨中考)明君社区有一块空地需要绿化，某绿化组承担了此项任务，绿化组工作一段时间后，提高了工作效率．该绿化组完成的绿化面积S (m 2)与工作时间t (h)之间的函数关系如图所示，则该绿化组提高工作效率前每小时完成的绿化面积是( )A ．300m 2B ．150m 2C ．330m 2D ．450m 26．(2017·石家庄长安区期中)如图所示的图像反映的过程是：甲、乙两人同时从A 地驾车出发，以各自的速度匀速向B 地行驶，甲先到B 地停留半小时后，按原路以另一速度匀速返回，直至与乙相遇．乙的速度为60km/h ，y (km)表示甲、乙两人相距的距离，x (h)表示乙行驶的时间．现有以下4个结论：①A ，B 两地相距305km; ②点D的坐标为(2.5，155); ③甲去时的速度为152.5km/h; ④甲返回的速度是95km/h.其中，正确的是________(填序号)．7．小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发．家到公园的距离为2500m，如图是小明和爸爸所走的路程s(m)与步行时间t(min)的函数图像．(1)直接写出小明所走路程s与时间t的函数关系式；(2)小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？参考答案与解析1．A 2.D 3.A4．A 解析：∵由图可知A (1，2)，C (2，1)，∴当直线y ＝kx 过点A 时，k ＝2；当直线过点C 时，2k ＝1，即k ＝12，∴12≤k ≤2时，直线y ＝kx 与正方形ABCD 有公共点，∴k 不可能是3.故选A. 5．B6．①②③④ 解析：设甲去时的速度为x km/h ，根据题意得2(x －60)＝185，解得x ＝152.5，由于152.5×2＝305，∴A ，B 两地相距305km ，故选项①③正确；∵甲车先到达B 地，停留半小时后按原路以另一速度匀速返回，∴D 的横坐标应为2.5.∵乙车的速度为60km/h ，∴半小时后行驶距离为30km ，故纵坐标为185－30＝155，∴点D 的坐标(2.5，155)，故选项②正确；设甲车返回时行驶速度v km/h ，∴(v ＋60)×1＝155，解得v ＝95.故甲返回的速度是95km/h ，故选项④正确，故正确的是为①②③④.7．解：(1)当0≤t ≤20时，设s ＝k 1t ，将A (20，1000)代入s ＝k 1t ，得1000＝20k 1，解得k 1＝50，∴s ＝50t ；当20＜t ≤30时，s ＝1000；当30＜t ≤60时，设s ＝k 2t ＋b ，将B (30，1000)，C (60，2500)代入s ＝k 2t ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧30k 2＋b ＝1000，60k 2＋b ＝2500，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝50b ＝－500. ∴s ＝50t －500.综上所述，s ＝⎩⎪⎨⎪⎧50t （0≤t ≤20），1000（20＜t ≤30），50t －500（30＜t ≤60）.(2)设小明的爸爸所走的路程s 与步行时间t 的函数关系式为s ＝k 3t ＋b 0，则⎩⎪⎨⎪⎧25k 3＋b 0＝1000，b 0＝250，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 3＝30，b 0＝250，则s ＝30t ＋250.由50t －500＝30t ＋250，解得t ＝37.5，即小明出发37.5min 时，小明与爸爸第三次相遇．。

专题31 中考热点新定义问题专项训练（解析版）专题诠释：新定义题型是近几年来中考的热点问题。

它常集合数形结合思想，类比思想，转化思想，分类讨论思想，方程思想，函数思想于一体。

常以压轴题身份出现。

本专题精选新定义问题共20条，欢迎下载使用。

一．选择题1．（2021•河北模拟）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y}＝x，当x＜y时，max{x，y}＝y．例如max{﹣1，﹣2}＝﹣1，max{3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（ ）A．B．C．D．思路引领：令3x＝x+2，解得x＝1，画出直线y＝3x和直线y＝x+2的图象即可判断．解：令3x＝x+2，解得x＝1，直线y＝3x和直线y＝x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1，3），由图象可知，x＜1时，x+2＞3x；当x＞1时，3x＞x+2，故关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象．故选：C．总结提升：本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键．二．填空题2．（2021•深圳模拟）用“●”“□”定义新运算：对于数a，b，都有a●b＝a和a□b＝b．例如3●2＝3，3□2＝2，则（2020□2021）●（2021□2020）＝ ．思路引领：根据“●”“□”的运算法则进行计算即可得解．解：∵a●b＝a，a□b＝b，∴（2020□2021）●（2021□2020）＝2021●2020＝2021．故答案为：2021．总结提升：本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理清新定义的运算方法是解题的关键．3．（2021•碑林区校级模拟）（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线BF 的延长线与边DE的延长线交于点M，则∠M的大小为　．思路引领：根据正求出多边形的内角和公式∠DEF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BFE，计算即可．解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，∴∠DEF＝（8﹣2）×180°÷8＝135°，∴∠FEM＝45°，∴∠DEF＝∠EFG，∵BF平分∠EFG，∴∠EFB＝∠BFG=12∠EFG＝67.5°，∵∠BFE＝∠FEM+∠M，∴∠M＝∠BFE﹣∠FEM，∴∠M＝22.5°．故答案为：22.5°．总结提升：本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．4．（2019•福田区三模）对于m，n（n≥m）我们定义运算A n m＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣（m﹣1）），A73＝7×6×5＝210，请你计算A42＝　．思路引领：将n＝4，m＝2代入公式求解可得．解：A42＝4×（4﹣1）＝12，故答案为：12．总结提升：本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则．5．（2022春•塔城地区期末）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a+3b．如：1⊕5＝2×1+3×5＝17．则不等式x⊕4＞0的解集为 ．思路引领：根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可求得．解：不等式x⊕4＞0化为：2x+12＞0，2x＞﹣12，x＞﹣6，故答案为：x＞﹣6．总结提升：本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解不等式的步骤．6．（2022秋•魏县期中）若x是不等于1的实数，我们把11―x称为x的差倒数，如2的差倒数是11―2=―1，﹣1的差倒数为11―(―1)=12，现已知x1=13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2022的值为　．思路引领：根据差倒数的定义，通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，由此可得x2022＝x3＝﹣2．解：∵x1=1 3，∴x2=11―13=32，x3=11―32=―2，x4=11―(―2)=13，……，∴每3次运算结果循环出现一次，∵2022÷3＝674，∴x2022＝x3＝﹣2，∴x2022的值为﹣2，故答案为：﹣2．总结提升：本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．三．解答题7．（2021秋•汉阳区期中）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．（1）请任意写出两个“极数” ， ；（2）猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；（3）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=m33，则满足D（m）是完全平方数的所有m的值是 ．思路引领：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”即可；（2）由“极数”的定义可得出n＝99（10a+b+1），进而可得出任意一个“极数”都是99的倍数；（3）由（2）可得出D（m）＝3（10x+y+1），由D（m）为完全平方数，可得出10x+y+1＝12，10x+y+1＝27，10x+y+1＝48，10x+y+1＝75，解之可得出x，y的值，进而可得出m的值，即可得出结论．解：（1）由“极数”的定义得，1287，2376，故答案为1287，2376；（2）任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：设任意一个“极数”为ab(9―a)(9―b)（1≤a≤9，0≤b≤9，且a、b为整数），则ab(9―a)(9―b)=1000a+100b+10（9﹣a）+（9﹣b）＝990a+99b+99＝99（10a+b+1），∵1≤a≤9，0≤b≤9，且a、b为整数，∴10a+b+1是整数，∴任意一个“极数”都是99的倍数．（3）设四位数m为xy(9―x)(9―y)（1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），∵四位数m为“极数”，D（m）=m 33，∴D（m）=99(10x+y+1)33=3（10x+y+1）．∵D（m）是完全平方数，1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数，∴10x+y+1＝3×4＝12，10x+y+1＝3×9＝27，10x+y+1＝3×16＝48，10x+y+1＝3×25＝75，∴x=1y=1或x=2y=6或x=4y=7或x=7y=4，∴m可以为1188或2673或4752或7425．总结提升：本题考查了完全平方数以及倍数，解题的关键是：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”；（2）根据“极数”的定义，找出n＝99（10a+b+1）；（3）根据D（m）是完全平方数，找出10x+y+1的值．8．（2022秋•胶州市期末）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．定义：对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．（1）判断2022是否是“纯数”？请说明理由；（2）请直接写出2023到2050之间的“纯数”；（3）不大于100的“纯数”的个数为 ．思路引领：（1）根据“纯数”的定义判断；（2）根据“纯数”的定义求解；（3）根据“纯数”的定义写出数，再查个数．解：（1）∵计算2022+2023+2024时，各数位都不产生进位，∴2022是“纯数”；（2）2023到2050之间的“纯数”有：2030，2031，2032，；（3）不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，30，32，100共13个，故答案为：13．总结提升：本题考查了整式的加减，理解新定义是解题的关键．9．（2021•任城区二模）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此时，称△ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF边半高三角形，GH是“EF边半高”．（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝ cm；（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为 ．（3）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点P是抛物线y＝x2上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为“RS边半高三角形”．当点P介于点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标．思路引领：（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，由勾股定理即可求解；（2）分“半高”是底边上的高、“半高”是腰上的高两种情况，分别求解即可；（3）当点P介于点R与点S之间时，与RS平行且与抛物线只有一个交点P′时，PQ取得最小值，即可求解．解：（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，由勾股定理得：h2+（2h）2＝102，解得：h＝25，故答案为25；（2）①当“半高”是底边上的高时，如图1，AD是“半高”，AB、AC为等腰三角形的腰，由题意得：AD ＝2，BC ＝4；②当“半高”是腰上的高时，如下图，底边为BC 、“半高”CD 为腰上的高，如图2，当△ABC 为锐角三角形时，CD ＝2，AB ＝AC ＝4，在Rt △ADC 中，AD =AC 2―CD 2=23，在Rt △BCD 中，BC =BD 2+CD 2=(4―23)2+22=26―22；如图3，当△ABC 为钝角三角形时，CD ＝2，AB ＝AC ＝4，同理可得：BC ＝26+22；故答案为：4或26+22或26―22；（3）将抛物线的表达式y ＝x 2与直线方程y ＝x +2联立并解得：x ＝﹣1或2，即：点R 、S 的坐标分别为（﹣1，1）、（2，4），则RS ＝32，则RS 边上的高为：12×32=322，则点Q 在于RS 平行的上下两条直线上，如下图，设直线RS 与y 轴交于点N ，故点N 作NQ ⊥TQ 于点Q ，则NQ =322，则QT =QH sin45°=3，点T （0，5），则点M （0，5），点M 于点T 重合，则点Q 的直线方程为：y ＝x +5，当该直线在直线RS 的下方时，y ＝x ﹣1，故点Q 所在的直线方程为：y ＝x +5或y ＝x ﹣1；如图4，当点P 介于点R 与点S 之间时，设与RS 平行且与抛物线只有一个交点P ′的直线方程为：y ＝x +d ，将该方程与抛物线方程联立并整理得：x 2﹣x ﹣d ＝0，△＝1+4d ＝0，解得：d =―14，此时，x 2﹣x +14=0，解得：x =12，点P ′（12，14），此时，P （P ′）Q 取得最小值．总结提升：本题主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根的判别式、三角形有关计算等，此类新定义型题目，通常按题设顺序逐次求解．10．（2022春•梁平区期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点A （a ，b ），B （c ，d ），若点T （x ，y ）满足x =a +c 3，y =b +d 3那么称点T 是点A ，B 的融合点．例如：A ＝（﹣1，8），B ＝（4，﹣2），当点T （x ，y ）满足x =―1+43=1，y =8+(―2)3=2时，则点T （1，2）是点A ，B 的融合点．（1）已知点A （﹣1，5），B （7，7），C （2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．（2）如图，点D （3，0），点E （t ，2t +3）是直线l ：y ＝2x +3上任意一点，点T （x ，y ）是点D ，E 的融合点．①试确定y与x的关系式．②若直线ET交x轴于点H，当∠TDH为直角时，求直线ET的解析式．思路引领：（1）根据点T是点A，B的融合点的定义判断即可；（2）①根据融合点的定义，构建关系式，可得结论；②图中，当∠TDH＝90°时，点T、D横坐标相同，再根据①中得到的横纵坐标关系即可求出点T坐标，再根据融合点定义求出点E坐标，求一次函数解析式即可．解：（1）∵A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），∴x=13×（﹣1+7）＝2，y=13×（5+7）＝4，∴点C是点A、B的融合点；（2）①∵点T（x，y）是点D，E的融合点，∴x=13（3+t），y=13（0+2t+3），∴y＝2x﹣1；②如图，当∠TDH＝90°时，∴点T、D横坐标相同，x T＝x D＝3，∴y T＝2x﹣1＝2×3﹣1＝5，即T（3，5），∵点E（t，2t+3），点T（3，5），点D（3，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．∴3=13（3+t），∴t＝6，∴点E（6，15），设直线ET的解析式为：y＝kx+b，把E（6，15），T（3，5），代入得：6k+b=153k+b=5，解得：k=103b=―5，∴直线ET的解析式为：y=103x﹣5．总结提升：本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的判定和性质，融合点的定义，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．11．（2019•浙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x ﹣m）2+m+2的顶点．（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．思路引领：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题．（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时m的值，即可判断．解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．∵当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝4，∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．（3）由于0＜m＜2，取m＝1开始，发现抛物线内有10个好点，不符合意思，所以抛物线向下并向左移动，可得如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，解得m=5―132或5+132（舍弃），当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，解得m＝1或4（舍弃），∴当5―132≤m＜1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．12．（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．求证：四边形ABEF是邻余四边形．（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝4BE，QB＝6，求邻余线AB的长．思路引领：（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得AD⊥BC，则可得∠DAB与∠DBA互余，即∠FAB 与∠EBA互余，从而可得答案；（2）画出图形即可．（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得BD＝CD、DM＝ME，再判定△DBQ∽△ECN，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解．解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∴∠FAB与∠EBA互余，∴四边形ABEF是邻余四边形；（2）如图所示（答案不唯一），四边形AFEB为所求；（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，∴BD＝CD，∵DE＝4BE，∴BD＝CD＝5BE，∴CE＝CD+DE＝9BE，∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，∴DM＝ME，∴∠MDE＝∠MED，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴△DBQ∽△ECN，∴QBNC=BDCE=59，∵QB＝6，∴NC=54 5，∵AN＝CN，∴AC＝2CN=108 5，∴AB＝AC=108 5．总结提升：本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键．13．（2021•南丰县模拟）如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB，E为BC中点，连接DE．求证：四边形ADEC为理想四边形；（2）如图2，△ABD是等边三角形，若BD为理想对角线，为使四边形ABCD为理想四边形，小明同学给出了他的设计图（见设计后的图），其中圆心角∠BOD＝120°；请你解释他这样设计的合理性．（3）在（2）的条件下，①若△BCD为直角三角形，BC＝3，求AC的长度；②如图3，若CD＝x，BC＝y，AC＝z，请直接写出x，y，z之间的数量关系．思路引领：（1）证明△ACB∽△ADC，推出∠ADC＝∠ACB＝90°，再证明△CDE是等边三角形即可．（2）如设计后的图中，△ABD是等边三角形，当点C在BCD上时，∠DCB=12∠DOB＝60°，满足条件．（3）①分两种情形：如图3中，当∠CDB＝90°时，如图4中，当∠CBD＝90°时，分别利用勾股定理求解即可．②以CD为边作等边△ECD，连接BE，作EF⊥BC交BC的延长线于F．利用全等三角形的性质以及勾股定理可得结论．解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，∴∠A＝60°，∵CD⊥AB，∴∠BDC＝90°，∴∠BCD＝°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，∵E为BC中点，∴DE＝CE，∴△CDE是等边三角形，∴四边形ADEC为理想四边形；（2）如设计后的图中，△ABD是等边三角形，OD＝OB，∠BOD＝120°，当点C 在BCD 上时，∠DCB =12∠DOB ＝60°，故四边形ABCD 为理想四边形．（3）①当∠CDB ＝90°时，如图3中，∵∠CDB ＝90°，∠BCD ＝60°，BC ＝3，∴BD ＝BC •sin60=332，∠CBD ＝30°，∵△ABD 是等边三角形，∴AB ＝BD =332，∠ABD ＝60°，∴∠ABC ＝90°，∴AC =AB 2+BC 2=(332)2+32=372；当∠CBD ＝90°时，如图4中，同法可得AC =AD 2+CD 2=(33)2+62=37；综上所述，AC 的值为372或37．②如图5中，结论：x 2+xy +y 2＝z 2．理由如下：以CD 为边作等边△ECD ，连接BE ，作EF ⊥BC 交BC 的延长线于F ．∵∠EDC ＝∠ADB ＝60°，∴∠EDB ＝∠CDA ，∵ED ＝CD ，BD ＝AD ，∴△EDB ≌△CDA （SAS ），∴AC ＝BE ＝z ，∵∠ECD ＝∠DCB ＝60°，CD ＝CE ＝x ，∴∠ECF ＝60°，∠CEF ＝30°，∴CF=12EC=12x．EF=3CF=32x．在Rt△EFB中，∵BE2＝EF2+BF2，∴z2＝（32x）2+（y+12x）2，整理得：x2+xy+y2＝z2．总结提升：本题属于四边形综合题，考查了理想四边形的定义，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确理解并运用新定义“理想四边形”和“理想对角线”，学会用分类讨论的思想思考问题．14．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，0），B（t+2，0），C（n，1），若射线OC上存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．（1）如图，t＝0，①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是 ；②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；（2）若n=33，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是 ．思路引领：（1）①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP＝AB＝2，由此即可解决问题．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．求出点P的横坐标，利用图象法即可解决问题．（2）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．首先证明∠COH＝30°，∵由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，推出射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，求出几种特殊位置t的值，利用数形结合的思想解决问题即可．解：（1）①如图1中，由题意A（0，0），B（2，0），C（0，1），∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点，∴OP＝AB＝2，∴P（0，2）．故答案为（0，2）．②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．在Rt△POH中，∵PH＝OC＝1，OP＝AB＝2∴OH=OP2―PH2=22―12=3，观察图象可知：若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n＜―3．（3）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．由题意C（33，1），∴CH=33，OH＝1，∴tan∠COH=CHOH=33，∴∠COH＝30°，当⊙B经过原点时，B（﹣2，0），此时t＝﹣4，∵射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，∴射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，观察图象可知当﹣4＜t≤﹣2时，满足条件，如图3﹣2中，当点A在原点时，∵∠POB＝60°，此时两圆的交点P在射线OC上，满足条件，此时t＝0，如图3﹣3中，当⊙B与OC相切于P时，连接BP．∴OC是⊙B的切线，∴OP⊥BP，∴∠OPB＝90°，∵BP＝2，∠POB＝60°，∴OB=PBcos60°=433，此时t=433―2，如图3﹣4中，当⊙A与OC相切时，同法可得OA=433，此时t=433，此时符合题意．如图3﹣5中，当⊙A 经过原点时，A （2，0），此时t ＝2，观察图形可知，满足条件的t 的值为：433―2＜t ≤2，综上所述，满足条件t 的值为﹣4＜t ≤﹣2或t ＝0或433―2＜t ≤2或t =433故答案为：﹣4＜t ≤﹣2或t ＝0或433―2＜t ≤2或t =433．总结提升：本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段AB 关于射线OC 的等腰点的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．15．（2022•房山区模拟）对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2，给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N （点M ，N 可以重合）使得AM ＝2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系．（1）如图1，点C （3，0），D （0，﹣1），E （0，1），点P 在线段CE 上运动（点P 可以与点C ，E 重合），连接OP ，DP ．①线段OP 的最小值为 ，最大值为 ；线段DP 的取值范围是 ；②在点O ，点D 中，点 与线段DE 满足限距关系；（2）在（1）的条件下，如图2，⊙O 的半径为1，线段FG 与x 轴、y 轴正半轴分别交于点F ，G ，且FG ∥EC ，若线段FG 与⊙O 满足限距关系，求点F 横坐标的取值范围；（3）⊙O 的半径为r （r ＞0），点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，2为半径作圆得到⊙H 和⊙K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．思路引领：（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP ，DP 的最大值，最小值即可解决问题；②根据限距关系的定义判断即可；（2）根据两直线平行k 相等计算设FG 的解析式为：y =―33x +b ，得G （0，b ），F （3b ，0），分三种情形：①线段FG 在⊙O 内部，②线段FG 与⊙O 有交点，③线段FG 与⊙O 没有交点，分别构建不等式求解即可；（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，根据⊙H 和⊙K 都满足限距关系，构建不等式求解即可．解：（1）①如图1中，∵点C（3，0），E（0，1），∴OE＝1，OC=3，∴EC＝2，∠ECO＝30°，当OP⊥EC时，OP的值最小，当P与C重合时，OP的值最大是3，Rt△OPC中，OP=12OC=32，即OP的最小值是32；如图2，当DP⊥EC时，DP的值最小，Rt△DEP中，∠OEC＝60°，∴∠EDP＝30°，∵DE＝2，∴cos30°=DP DE，∴DP2=32，∴DP=3，当P与E重合时，DP的值最大，DP的最大值是2，∴线段DP的取值范围是：3≤DP≤2；故答案为：32，3，3≤DP≤2；②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM＝2ON，如图3，故点O与线段DE满足限距关系；根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足DM＝2DN，如图3，故点D与线段DE满足限距关系；故答案为：O和D；（2）∵点C（3，0），E（0，1），∴设直线CE的解析式为：y＝kx+m，+m=01，解得：k=―33m=1，∴直线CE的解析式为：y=―33x+1，∵FG∥EC，∴设FG的解析式为：y=―33x+b，∴G（0，b），F（3b，0），∴OG＝b，OF=3b，当0＜3b＜1时，如图5，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1―3b，最大距离为1+3b，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴1+3b≥2（1―3b），解得3b≥1 3，∴b的取值范围为13≤3b＜1；当1≤3b≤6时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，当3b＞6时，如图6，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为3b﹣1，最大距离为3b+1，∵线段FG与⊙O满足限距关系，∴3b+1≥2（3b﹣1），而3b+1≥2（3b﹣1）总成立，∴3b＞6时，线段FG与⊙O满足限距关系，综上所述，点F横坐标的取值范围是：3b≥1 3；（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K ，⊙H 的圆心在x 轴上位于y 轴的两侧，两圆的距离的最小值为2r ﹣4，最大值为2r +4，∵⊙H 和⊙K 都满足限距关系，∴2r +4≥2（2r ﹣4），解得r ≤6，故r 的取值范围为0＜r ≤6．总结提升：本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．16．（2022•西城区校级模拟）点P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x 1≠x 2．若存在一个正数k ，使点P ，Q 的坐标满足|y 1﹣y 2|＝k |x 1﹣x 2|，则称P ，Q 为一对“限斜点”，k 叫做点P ，Q 的“限斜系数”，记作k （P ，Q ）．由定义可知，k （P ，Q ）＝k （Q ，P ）．例：若P （1，0），Q （3，12），有|0―12|=14|1﹣3|，所以点P ，Q 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为14．已知点A （1，0），B （2，0），C （2，﹣2），D （2，12）．（1）在点A ，B ，C ，D 中，找出一对“限斜点”： ，它们的“限斜系数”为 ；（2）若存在点E ，使得点E ，A 是一对“限斜点”，点E ，B 也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E 的坐标；（3）⊙O 半径为3，点M 为⊙O 上一点，满足MT ＝1的所有点T ，都与点C 是一对“限斜点”，且都满足k （T ，C ）≥1，直接写出点M 的横坐标x M 的取值范围．思路引领：（1）根据定义通过计算求解即可；（2）设E （x ，y ），由题意可得|y |＝|x ﹣1|，|y |＝|x ﹣2|，求解方程即可求点E 的坐标；（3）由题意可知C 点在直线y ＝﹣x 上，T 点在以M 为圆心1为半径的圆上，M 点在以O 为圆心3为半径的圆上，则T 点在以O 为圆心2为半径的圆上或以O 为圆心4为半径的圆上，当T 点在直线y ＝﹣x 上时，k ＝1，再由k （T ，C ）≥1，可知T 点在直线y ＝﹣x 的上方，T 点在直线y ＝﹣x 的上方，直线y ＝x ﹣4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部．解：（1）A （1，0），C （2，﹣2），有|0+2|＝2|1﹣2|，∴A 、C 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为2；A （1，0），D （2，12），有|0―12|=12|1﹣2|，∴A 、D 为一对“限斜点”，且“限斜系数”为12；故答案为：A 、C 或A 、D ，2或12；（2）设E （x ，y ），∴|y |＝|x ﹣1|，|y |＝|x ﹣2|，∴|x ﹣1|＝|x ﹣2|，解得x =32，∴y ＝±12，∴E （32，12）或（32，―12）；（3）∵C （2，﹣2），∴C 点在直线y ＝﹣x 上，∵MT ＝1，∴T点在以M为圆心1为半径的圆上，∵M点在以O为圆心3为半径的圆上，∴T的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环，当T点在直线y＝﹣x上时，设T（m，﹣m），∴|﹣m+2|＝k|m﹣2|，∴k＝1，∵k（T，C）≥1，∴T点在直线y＝﹣x的上方，直线y＝x﹣4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部，如图所示，∴―322≤x M≤4．总结提升：本题考查圆的综合应用，弄清定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合解题是关键．17．（2020•密云区一模）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”．例如：点M（1，3）的特征线是y＝x+2和y＝﹣x+4；（1）若点D的其中一条特征线是y＝x+1，则在D1（2，2）、D2（﹣1，0）、D3（﹣3，4）三个点中，可能是点D的点有　D2　；（2）已知点P（﹣1，2）的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线y＝kx+b （k≠0）经过点P，且与x轴交于点B．若使△BPA的面积不小于6，求k的取值范围；（3）已知点C（2，0），T（t，0），且⊙T的半径为1．当⊙T与点C的特征线存在交点时，直接写出t 的取值范围．思路引领：（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可．（2）过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+b，求出△PAB的面积为6时点B 的坐标，再利用待定系数法求直线PB的解析式，结合图形即可解决问题．（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x+2，设当⊙T与直线y＝﹣x+2相切于点M时，当⊙T′与直线y＝x﹣2相切于点N时，分别求出OT，OT′结合图象即可解决问题．解：（1）如图1中，观察图象可知，点D2的特征线是y＝x+1．故答案为D2．（2）如图2中，设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+b，∴1+b＝2，∴b＝1，∴过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+1，∴A（1，0），当△BPA的面积＝6时，12•AB•2＝6，∴AB＝6，∴B（﹣5，0）或（7，0），当y＝kx+b′经过P（﹣1，2），B（﹣5，0）时，―k+b′=2―5k+b′=0解得k=1 2，当直线y＝kx+b′经过P（﹣1，2），B（7，0）时，―k+b′=27k+b′=0，解得k=―1 4，观察图形可知满足条件的k的值为―14≤k≤12且k≠0．（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x+2，当⊙T与直线y＝﹣x+2相切于点M时，连接TM，在Rt△TCM中，∵∠TMC＝90°，∠MCT＝45°，∴MT＝MC＝1，∴TC=2TM=2，∴OT＝2―2，此时t＝2―2．当⊙T′与直线y＝x﹣2相切于点N时，同理可得OT′＝2+2，此时t＝2+2，结合图象可知满足条件的t的值为：2―2≤t≤2+2．总结提升：本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，三角形的面积，点P的“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．18．（2022秋•西城区校级期中）已知函数y＝x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．（1）直接写出y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式；（2）如图，请补全分段函数y=―x2+2x+1(x＜2)x2+bx+c(x≥2)的图象（不要求列表）．并回答以下问题：①写出此分段函数的一条性质： ；②若此分段函数的图象与直线y＝m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线y=12x―1围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．思路引领：（1）用待定系数法求函数解析式即可；（2）①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；（3）根据图象求整点坐标即可．解：（1）把A（2，1），B（5，4）代入解析式得：4+2b+c=125+5b+c=4，解得b=―6 c=9，∴y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式为y＝x2﹣6x+9；（2）如图所示：①性质：抛物线关于点（2，1）成中心对称，故答案为：抛物线关于点（2，1）成中心对称；②由图象可得：实数m的取值范围为0＜m＜2；（3）如图：由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为（0，0），（1，1）．总结提升：本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用．19．（2021春•丰台区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．（1）当⊙O的半径为1时，①在点A（﹣3，0），B（﹣1，3），C（2，﹣1）中，⊙O的伴随点是 ；②点D在直线y＝﹣x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；（2）⊙M的圆心为M（m，0），半径为3，直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．思路引领：（1）①画出图形，求出切线长，根据⊙O的伴随点的定义判断即可．②如图2中，设点D的坐标为（d，﹣d+3），构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问。