人教版2021最新八年级上数学期末复习主题训练 新定义题型 精心整理

八年级数学上期末复习新题型（阅读理解、新定义找规律）精选一、阅读理解题 1．阅读材料：课堂上，老师设计了一个活动：将一个4×4的正方形网格沿着网格线．．．．．划分成两部分（分别用阴影和空白表示），使得这两部分图形是全等的，请同学们尝试给出划分的方法．约定：如果两位同学的划分结果经过旋转、翻折后能够重合，那么就认为他们的划分方法相同．小方、小易和小红分别对网格进行了划分，结果如图1、图2、图3所示． 小方说：“我们三个人的划分方法都是正确的．但是将小红的整个图形（图3）逆时针旋转90°后得到的划分方法与我的划分方法（图1）是一样的，应该认为是同一种方法，而小易的划分方法与我的不同．”老师说：“小方说得对．”完成下列问题：（1）图4的划分方法是否正确？答：_______________．（2）判断图5的划分方法与图2小易的划分方法是否相同，并说明你的理由； 答：____________________________________________________________________． （3）请你再想出一种与已有方法不同的划分方法，使之满足上述条件，并在图6中画出来．图4图5图6图1图2图32.阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：在△ABC中，AB＝9，AC＝5，求BC边上的中线AD的取值范围。

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）：①延长AD到Q，使得DQ＝AD；②再连接BQ，把AB、AC、2AD集中在△ABQ中；③利用三角形的三边关系可得4<AQ<14，则AD的取值范围是_____________。

感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”等条件，可以考虑倍长中线，构造全等三角形，把分散的己知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中。

（2）请你写出图1中AC与BQ的位置关系并证明。

（3）思考：已知，如图2，AD是△ABC的中线，AB＝AE，AC＝AF，∠BAE＝∠FAC ＝90°。

专题08 新定义问题（1）【规律总结】※知识精要新定义型问题是学习型阅读理解题，是指题目中首先给出一个新定义（新概念或新公式），通过阅读题目提供的材料，理解新定义，再通过对新定义的理解来解决题目提出的问题。

其主要目的是通过对新定义的理解与运用来考查学生的自主学习能力，便于学生养成良好的学习习惯。

※要点突破解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”——明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论;（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题。

【典例分析】例1．（2020·湖南广益实验中学七年级月考）规定：用{}m 表示大于m 的最小整数，例如5{}32=，{4}5=，{1.5}1-=-等；用[]m 表示不大于m 的最大整数，例如7[]32=，[2]2=，[3.2]4-=-，如果整数x 满足关系式：2{}3[]32x x +=，则x 的值为（ ） A ．3B ．5-C ．6D ．7【答案】C【分析】 根据题意，可将2x ＋3[x]＝32变形为2x ＋2＋3x ＝32，解方程后即可得出结论．【详解】解：∵x 为整数，∵{x}＝x ＋1， [x]＝x ，∵2{x}＋3[x]＝32可化为：2（x ＋1）＋3x ＝32去括号，得 2x ＋2＋3x ＝32，移项合并，得5x ＝30，系数化为1，得x ＝6．故选：C ．【点睛】本题结合新定义主要考查解一元一次方程，比较新颖，注意仔细审题，理解新定义运算的规则是解题的关键．例2．（2021·河南安阳市·八年级期末）对于有理数a ，b ，定义{}min ,a b ：当a b ≥时，{}min ,a b b =；当a b ≤时，{}min ,a b a =．若{}22min 40,12440m n m n -+--=，则n m 的值为______．【答案】36【分析】根据22124-+--m n m n 与40的大小，再根据{}22min 40,12440m n m n-+--=，从而确定m ，n 的值即可得出n m 的值．【详解】解：∵{}22min 40,12440m n m n -+--=，∵40≤22124-+--m n m n ；∵22412400+-≤++m n n m∵（m+6）2+（n -2）2≤0，∵（m+6）2+（n -2）2≥0，∵m+6=0，n -2=0，∵m=-6，n=2，∵()2636=-=n m故答案为：36．【点睛】本题考查了配方法的应用和非负数的性质．根据题意理解新定义的计算公式是解题的关键．例3．（2021·北京西城区·八年级期末）给出如下定义：在平面直角坐标系xOy 中，已知点123(,),(,),(,)P a b P c b P c d ，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点123,,P P P 的“最佳间距”．例如：如图，点123(1,2),(1,2),(1,3)P P P -的“最佳间距”是1．（1）点1(2,1)Q ，2(4,1)Q ，3(4,4)Q 的“最佳间距”是__________；（2）已知点(0,0)O ，(3,0)A -，(3,)B y -．①若点O ，A ，B 的“最佳间距”是1，则y 的值为__________；②点O ，A ，B 的“最佳间距”的最大值为________；（3）已知直线l 与坐标轴分别交于点()0,3C 和()4,0D ，点()P m n ,是线段CD 上的一个动点．当点()0,0O ，(),0E m ，()P m n ,的“最佳间距”取到最大值时，求此时点P 的坐标．【答案】（1）2；（2）①±1；②3；（3）P （127，127）． 【分析】（1）根据题意，分别求出点1(2,1)Q ，2(4,1)Q ，3(4,4)Q 任意两点间的距离，比较后即可得出结论；（2）①根据三个点的坐标特点可得AB∵y 轴，由此可求出OA 、OB 均不满足点O ，A ，B 的“最佳间距”是1，则可得AB ＝1，从而求出y 值的两种情况；② 根据OA ＝3，且OA 为定值，可得无论y 取何值，点O ，A ，B 的“最佳间距”的最大值为3；（3）根据题目中的已知条件，可利用待定系数法求出直线CD 的解析式，由(),0E m ，()P m n ,可判断PE∵x 轴，同（2）②则可得出点()0,0O ，(),0E m ，()P m n ,的“最佳间距”取到最大值时的条件为OE ＝PE ，从而可列出关于m 的方程，求解后即可求出点P 的坐标．【详解】解：（1）∵点1(2,1)Q ，2(4,1)Q ，3(4,4)Q ，∵212Q Q =，323Q Q =，13Q Q ==，∵2＜3∵点1(2,1)Q ，2(4,1)Q ，3(4,4)Q 的“最佳间距”是2．故答案为：2．（2）①∵点(0,0)O ，(3,0)A -，(3,)B y -，∵AB∵y 轴，∵OA ＝3，OB ＞OA ，∵点O ，A ，B 的“最佳间距”是1，∵AB ＝1，∵y ＝±1．故答案为：±1．②当－3≤y≤3时，点O ，A ，B 的“最佳间距”是y ＝AB≤3，当y ＞3或y ＜－3时，AB ＞3，点O ，A ，B 的“最佳间距”是OA ＝3，∵点O ，A ，B 的“最佳间距”的最大值为3．故答案为：3．（3）如图，设直线CD 的解析式为y ＝k 1x ＋b 1，将()0,3C ，()4,0D 代入得：111340b k b =⎧⎨+=⎩ 解得11343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∵334y x =-+， ∵()P m n ,，(),0E m ，∵PE∵x 轴，当且仅当OE ＝PE 时，点()0,0O ，(),0E m ，()P m n ,的“最佳间距”取到最大值， ∵OE ＝m ，PE ＝n ＝334m -+， ∵334m m =-+， 解得127m =， ∵P （127，127），当点O ，E ，P 的“最佳间距”取到最大值时，点P 的坐标为（127，127）． 【点睛】本题考查了新定义运算的综合应用，弄清新定义的规则，并灵活应用所学知识求解是解题的关键．【真题演练】一、单选题1．（2020·福建省泉州实验中学八年级月考）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“匀称三角形”．若Rt ABC 是“匀称三角形”，且90C ∠=︒，AC BC >，则::AC BC AB 为（ ）A 2B ．2:C ．2D ．无法确定【答案】B【分析】作Rt∵ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，由“匀称三角形”的定义可判断满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC=2a ，则CE=a ，BE=2a ，在Rt∵BCE 中∵BCE=90°，根据勾股定理可求出BC 、AB ，则AC ：BC ：AB 的值可求出．【详解】解：如图①，作Rt∵ABC 的三条中线AD 、BE 、CF ，∵∵ACB=90°， ∵12CF AB AB =≠， 又在Rt∵ABC 中，AD ＞AC ＞BC ，,AD BC ∴≠∵满足条件的中线是BE ，它是AC 边上的中线，设AC=2a ，则,2,CE AE a BE a ===在Rt∵BCE 中∵BCE=90°，∵,BC ==在Rt∵ABC 中，,AB ===∵AC ：BC ：AB=22:a =故选：B ．【点睛】考查了新定义、勾股定理的应用，算术平方根的含义，解题的关键是理解“匀称三角形”的定义，灵活运用所学知识解决问题．2．（2021·上海徐汇区·九年级一模）定义：[]x 表示不超过实数x 的最大整数例如：[]1.71=，305⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，1234⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦根据你学习函数的经验，下列关于函数[]y x =的判断中，正确的是（ ）A ．函数[]y x =的定义域是一切整数 B ．函数[]y x =的图像是经过原点的一条直线C ．点2(2,2)5在函数[]y x =图像上 D ．函数[]y x =的函数值y 随x 的增大而增大【答案】C【分析】根据题意描述的概念逐项分析即可．【详解】A 、对于原函数，自变量显然可取一切实数，则其定义域为一切实数，故错误；B 、因为原函数的函数值是一些整数，则图象不会是一条过原点的直线，故错误；C 、由题意可知2225⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则点2(2,2)5在函数[]y x =图像上，故正确； D 、例如113⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，即当13x =，12x =时，函数值均为1y =，不是y 随x 的增大而增大，故错误；故选：C ．【点睛】本题考查函数的概念以及新定义问题，仔细审题，理解材料介绍的的概念是解题关键．二、填空题 3．（2020·浙江杭州市·七年级其他模拟）定义运算“※”：, ,a a b a b a b b a b b a ⎧>⎪⎪-=⎨⎪<⎪-⎩※，若5x ※的值为整数，则整数x 的值为_______．【答案】0或4或6或10【分析】根据题中的新定义可分若5＞x ，若5＜x ，两种情况分别求解，最后合并结果．【详解】解：若5＞x ，则5x ※=55x-为整数， 则x=0或4或6（舍）或10（舍），若5＜x ，则5x ※=5551555x x x x x -+==+---为整数， 则x=0（舍）或4（舍）或6或10，综上：整数x 的值为：0或4或6或10，故答案为：0或4或6或10．【点睛】此题主要考查了分式的值的求法，要熟练掌握，解答此题的关键是理解题中的新定义． 4．（2020·浙江嘉兴市·七年级期末）材料：一般地，n 个相同因数a 相乘：n a a a a a⋅⋅⋅⋅⋅个记为n a ．如328=，此时3叫做以2为底的8的对数，记为2log 8（即2log 83=）．那么3log 9=_____，()2231log 16log 813+=_____． 【答案】3； 1173． 【分析】由239=可求出2log 93=，由4216=，43=81可分别求出2log 164=，3log 814=，继而可计算出结果．【详解】解：（1）由题意可知：239=，则2log 93=，（2）由题意可知：4216=，43=81，则2log 164=，3log 814=， ∵223141(log 16)log 811617333+=+=， 故答案为：3；1173． 【点睛】 本题主要考查定义新运算，读懂题意，掌握运算方法是解题关键．三、解答题6．（2021·北京顺义区·七年级期末）我们规定：若有理数,a b 满足a b ab +=，则称,a b 互为“等和积数”，其中a 叫做b 的“等和积数”，b 也叫a 的“等和积数”．例如：因为()11122+-=-，()11122⨯-=-，所以()()221111-=⨯-+，则12与1-互为“等和积数”． 请根据上述规定解答下列问题：（1）有理数2的“等和积数”是__________；（2）有理数1_________（填“有”或“没有”）“等和积数”；（3）若m 的“等和积数”是25，n 的“等和积数”是37，求34m n +的值． 【答案】（1）2；（2）没有；（3）-5【分析】（1）根据“等和积数”的定义列方程求解即可；（2）根据“等和积数”的定列方程求解即可；（3）根据“等和积数”的定列方程求出m 和n 的值，代入34m n +计算即可．【详解】解：（1）设有理数2的“等和积数”是x ，由题意得2+x=2x ，解得x=2，故答案为：2；（2）设有理数1的“等和积数”是y ，由题意得1+y=y ，∵y -y=1，∵此方程无解，∵有理数1没有 “等和积数”；故答案为：没有；（3）∵m 的“等和积数”是25， ∵m+25=25m ，解得m=23-； ∵n 的“等和积数”是37， ∵n+37=37n ， 解得 n=34-； ∵34m n +=3×(23-)+4×(34-)=-5． 【点睛】本题考查了新定义，以及一元一次方程的应用，根据新定义列方程求解是解答本题的关键．6．（2021·北京海淀区·北理工附中七年级期末）我们把a cb d 称为二阶行列式，且a cad bc b d =-．如：121(4)321034=⨯--⨯=--．（1）计算：2135=-_______；4235=-________；（2）小明观察（1）中两个行列式的结构特点及结果，归纳总结，猜想：若行列式中的某一行（列）的所有数都乘以同一个数k ，等于用数k 乘以此行列式．即ka kca cka ca kca ck b d kb kd kb d b kd b d ====，你认为小明的猜想正确吗？若正确请说明理由，若错误请举出反例．（3）若1k ≠，且113232x x x xk k ++=，求x 的值．【答案】（1）13；26；（2）不正确；反例见解析；（3）2．【分析】（1）各式利用题中的新定义计算即可求出值；（2）小明的说法不正确，举一个反例即可；（3）已知等式利用题中的新定义化简，计算即可求出x 的值．【详解】解：（1）原式=2×5-1×（-3）=10+3=13；原式=4×5-2×（-3）=20+6=26；故答案为：13；26；（2）小明的说法错误，当k=0时，203054145⨯⨯=-=， 而002345=⨯，不相等；（3）已知等式整理得：2（x+1）-3x=2k （x+1）-3kx ，去括号得：2x+2-3x=2kx+2k -3kx ，整理得：（k -1）x=2（k -1），∵k≠1，∵k -1≠0，解得：x=2．【点睛】此题考查了有理数的混合运算，整式的加减、新定义，解一元一次方程等知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键．。

2021年八年级数学上几何新定义题型专题训练一．填空题（共1小题）1．（2019•金昌）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A＝80°，则它的特征值k＝．二．解答题（共17小题）2．（2020秋•丹阳市期末）[定义]如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“二分等腰线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“三分等腰线”．[理解]（1）如图（1），在△ABC中，∠A＝33°，∠C＝81°，请你在这个三角形中画出它的“二分等腰线”，不限作法，请在图中标出等腰三角形顶角的度数．（2）如图（2），已知△ABC是一个顶角为36°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“三分等腰线”，不限作法，请在图中标出所分得的等腰三角形底角的度数．[应用]（3）小明在学习了上面的材料后得到一个结论：直角三角形一定存在“二分等腰线”；而小丽则认为直角三角形也一定存在“三分等腰线”．①你认为直角三角形的就是它的“二分等腰线”；②如图（3），在△ABC中，∠C＝90°，请你在图（3）中帮助小丽画出△ABC的“三分等腰线”（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（4）在△ABC中，∠C＝33°，AD和DE分别是△ABC的“三分等腰线”，点D在BC边上，点E在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请根据题意写出∠B度数的所有可能的值．3．（2018秋•滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C ＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB 边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．4．（2016•顺义区一模）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：Rt△ABC，取边AB的中点D，线段CD就是△ABC的等腰线段．（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；（2）如图，在△EFG中，若∠G＝2∠F，且△EFG有等腰线段，请直接写出∠F的度数的取值范围．5．（2020秋•亭湖区校级期中）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”．（1）如图1，在△ABC中，D是边BC上一点，若∠B＝30°，∠BAD＝∠C＝40°，求证：AD为△ABC 的“等角分割线”；（2）如图2，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°；①利用直尺和圆规，作出△ABC的“等角分割线”；②若BC＝6，求出①中画出的“等角分割线”的长度．（3）在△ABC中，∠A＝42°，若△ABC存在“等角分割线”CD，求出所有符合要求的∠ACB的度数．6．（2019秋•高安市期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念（1）如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用（2）如图2，在△ABC 中，CD 为角平分线，∠A ＝40°，∠B ＝60°．求证：CD 为△ABC 的等角分割线．（3）在△ABC 中，∠A ＝42°，CD 是△ABC 的等角分割线，直接写出∠ACB 的度数．7．（2019秋•西城区校级期中）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形．（1）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若∠A ＝60°，∠DCB＝∠EBC =12∠A ．请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（2）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠DCB ＝∠EBC ═12∠A ．探究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论．8．（2019秋•临沭县期中）若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC 中，BA＝BC，D在边CB上，且DB＝DA＝AC．（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；（2）若M为线段BC上的点，过M作直线MH⊥AD于H，分别交直线AB，AC于点N，E，如图2，试写出线段BN、CE、CD之间的数量关系，并加以证明．9．（2018秋•海安市期末）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．（1）如图①，小海同学在作△ABC的外心时，只作出两边BC，AC的垂直平分线得到交点O，就认定点O是△ABC的外心，你觉得有道理吗？为什么？（2）如图②，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF，连接DE，EF，DF，得到△DEF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．10．（2020•汇川区模拟）我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC中，把AB绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB′，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC′，连接B′C′，当α+β＝180°时，我们称△AB'C′是△ABC的“旋补三角形”，△AB′C′边B'C′上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB′C′均是△ABC的“旋补三角形”．（1）①如图2，当△ABC为等边三角形时，“旋补中线”AD与BC的数量关系为：AD＝BC；②如图3，当∠BAC＝90°，BC＝8时，则“旋补中线”AD长为．（2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD与BC的数量关系，并给予证明．11．（2020•天心区开学）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为AC上一点，当AP＝时，△ABP与△CBP为偏等积三角形．（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C 作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度（3）如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边问外作正方形ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．12．（2018秋•海淀区期末）如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，若EC＝ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标：；②若AE＝2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围：（用含n的代数式表示）．13．（2019秋•东城区期末）对于△ABC及其边上的点P，给出如下定义：如果点M1，M2，M3，……，M n都在△ABC的边上，且PM1＝PM2＝PM3＝……＝PM n，那么称点M1，M2，M3，……，M n为△ABC 关于点P的等距点，线段PM1，PM2，PM3，……，PM n为△ABC关于点P的等距线段．（1）如图1，△ABC中，∠A＜90°，AB＝AC，点P是BC的中点．①点B，C△ABC关于点P的等距点，线段P A，PB△ABC关于点P的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC关于点P的两个等距点M1，M2分别在边AB，AC上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM1，PM2；（2）△ABC是边长为4的等边三角形，点P在BC上，点C，D是△ABC关于点P的等距点，且PC ＝1，求线段DC的长；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）2021年八年级数学上新定义题型参考答案与试题解析一．填空题（共1小题）1．（2019•金昌）定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k 称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC 中，∠A ＝80°，则它的特征值k ＝85或14 ． 【解答】解：①当∠A 为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：180°−80°2=50°∴特征值k =80°50°=85 ②当∠A 为底角时，顶角的度数为：180°﹣80°﹣80°＝20°∴特征值k =20°80°=14综上所述，特征值k 为85或14故答案为85或14 二．解答题（共17小题）2．（2020秋•丹阳市期末）[定义]如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“二分等腰线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“三分等腰线”．[理解]（1）如图（1），在△ABC 中，∠A ＝33°，∠C ＝81°，请你在这个三角形中画出它的“二分等腰线”，不限作法，请在图中标出等腰三角形顶角的度数．（2）如图（2），已知△ABC 是一个顶角为36°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“三分等腰线”，不限作法，请在图中标出所分得的等腰三角形底角的度数．[应用]（3）小明在学习了上面的材料后得到一个结论：直角三角形一定存在“二分等腰线”；而小丽则认为直角三角形也一定存在“三分等腰线”．①你认为直角三角形的 斜边上的中线 就是它的“二分等腰线”；②如图（3），在△ABC 中，∠C ＝90°，请你在图（3）中帮助小丽画出△ABC 的“三分等腰线”（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．（4）在△ABC 中，∠C ＝33°，AD 和DE 分别是△ABC 的“三分等腰线”，点D 在BC 边上，点E 在AB边上，且AD＝DC，BE＝DE，请根据题意写出∠B度数的所有可能的值38°或22°．【解答】解：（1）如图（1）中，线段CD即为所求；（2）如图（2）中，线段AE，BF即为所求；（3）①你认为直角三角形的斜边上的中线就是它的“二分等腰线”；故答案为：斜边上的中线．②如图（3），线段BE，CT即为所求；（4）设∠B＝x，①当AD＝DE时，如图1（a），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝33°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x，∴∠AED＝∠DAE＝2x，∴33°×2+2x+x＝180°，∴x＝38°，∴∠B＝38°；②当AD＝AE时，如图1（b），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝33°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x，∴∠AED＝∠ADE＝2x，∴2x+x＝33°+33°，∴x＝22°，∴∠B＝22°．③当EA＝DE时，∵90°﹣x+33°+33°+x＝180°，∴x不存在，应舍去．综合上述：∠B的度数的所有可能值为38°或22°，故答案为：38°或22°．3．（2018秋•滨湖区期中）【定义】数学课上，陈老师对我们说，如果1条线段将一个三角形分成2个等腰三角形，那么这1条线段就称为这个三角形的“好线”，如果2条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，那么这2条线段就称为这个三角形的“好好线”．【理解】如图①，在△ABC中，∠A＝36°，∠C ＝72°，请你在这个三角形中画出它的“好线”，并标出等腰三角形顶角的度数．如图②，已知△ABC是一个顶角为45°的等腰三角形，请你在这个三角形中画出它的“好好线”，并标出所分得的等腰三角形底角的度数．【应用】（1）在△ABC中，已知一个内角为42°，若它只有“好线”，请你写出这个三角形最大内角的所有可能值103.5°或126°；（2）在△ABC中，∠C＝27°，AD和DE分别是△ABC的“好好线”，点D在BC边上，点E在AB 边上，且AD＝DC，BE＝DE，请你根据题意画出示意图，并求∠B的度数．【解答】解：【定义】如图①，如图②所示，【应用】（1）①如图④当∠B＝42°，AD为“好线”，则BA＝BD，AD＝CD，这个三角形最大内角是∠BAC＝103.5°；②如图⑦当∠B＝42°时，CD为“好线”，则AD＝AC，CD＝BD，故这个三角形最大内角是∠ACB＝126°，综上所述，这个三角形最大内角的所有可能值是103.5°或126°，故答案为：103.5°或126°；（2）设∠B＝x°，①当AD＝DE时，如图1（a），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠DAE＝2x°，∴27×2+2x+x＝180，∴x＝42，∴∠B＝42°；②当AD＝AE时，如图1（b），∵AD＝CD，∴∠C＝∠CAD＝27°，∵DE＝EB，∴∠B＝∠EDB＝x°∴∠AED＝∠ADE＝2x°，∴2x+x＝27+27，∴x＝18，∴∠B＝18°．③当EA＝DE时，∵90﹣x+27+27+x＝180，∴x不存在，应舍去．综合上述：满足条件的x＝42°或18°．4．（2016•顺义区一模）我们把过三角形的一个顶点且能将这个三角形分割成两个等腰三角形的线段称为该三角形的“等腰线段”．例如：Rt△ABC，取边AB的中点D，线段CD就是△ABC的等腰线段．（1）请分别画出下列三角形的等腰线段；（2）如图，在△EFG中，若∠G＝2∠F，且△EFG有等腰线段，请直接写出∠F的度数的取值范围．【解答】解：（1）三角形的等腰线段如图所示，（2）设∠F＝x，则∠G＝2x，如图2，线段EM是等腰线段，∵△EMG是等腰三角形，∴EM＝EG，ME＝MF，∴∠F＝∠MEF＝x，∠EMG＝∠G＝2x，∴2x＜90°，∴x＜45°；如图3，GN为等腰线段，若NF＝NG，GN＝GE，∴∠F＝∠NGF＝x，∠E＝∠ENG，∴∠EGN＝x，∠ENG＝2x，∴∠E＝2x，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，若NF＝NG，NE＝NG，∴△EFG为等腰直角三角形，∴∠F＝45°，∴∠F的度数的取值范围为0°＜x≤45°．5．（2020秋•亭湖区校级期中）从三角形一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，若分得的两个小三角形中一个三角形为等腰三角形，另一个三角形的三个内角与原来三角形的三个内角分别相等，则称这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．例如，等腰直角三角形斜边上的高就是这个等腰直角三角形的一条“等角分割线”．（1）如图1，在△ABC中，D是边BC上一点，若∠B＝30°，∠BAD＝∠C＝40°，求证：AD为△ABC 的“等角分割线”；（2）如图2，△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°；①利用直尺和圆规，作出△ABC的“等角分割线”；②若BC＝6，求出①中画出的“等角分割线”的长度．（3）在△ABC中，∠A＝42°，若△ABC存在“等角分割线”CD，求出所有符合要求的∠ACB的度数．【解答】（1）证明：∵∠B＝30°，∠BAD＝∠C＝40°，∴∠ADB＝∠BAC＝180°﹣40°﹣30°＝110°，又∵∠B＝∠B，∴△ABD的三个内角与△ABC的三个内角的度数分别相等，∵∠B＝30°，∠BAD＝40°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝70°，又∵∠C＝40°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝70°＝∠ADC，∴AC＝DC，∴△ACD是等腰三角形，∴AD为△ABC的“等角分割线”；（2）解：①画∠BAC的角平分线，交BC于点D，线段AD即为所求；如图2所示：理由如下：∵∠C＝90°，∠B＝30°，∴∠BAC＝90°﹣30°＝60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝∠DAB＝30°＝∠B，∴∠ADC＝60°＝∠BAC，又∵∠C＝∠C，∴△ADC的三个内角与△ABC的三个内角分别相等，∵∠BAD＝∠B，∴AD＝BD，∴△ABD是等腰三角形，∴AD为△ABC的“等角分割线”；②设CD＝x，∵△ADC中，∠C＝90°，∠DAC＝30°，∴AD＝2CD＝2x，∴BD＝AD＝2x，∵BC＝6，∴x+2x＝6，∴x＝2，∴AD＝2x＝4；（3）当△ACD是等腰三角形，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，当△ACD是等腰三角形，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，∠BCD＝∠A＝42°，∴∠ACB＝69°+42°＝111°，当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，当△BCD是等腰三角形，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，∴∠ACB＝92°，当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，设∠BDC＝∠BCD＝x，则∠B＝180°﹣2x，则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，由题意得，180°﹣2x+42°＝x，解得，x＝74°，∴∠ACD＝180°﹣2x＝32°，∴∠ACB＝106°，当△BCD是等腰三角形，CD＝CB的情况不存在，∴∠ACB的度数为111°或84°或106°或92°．6．（2019秋•高安市期中）概念学习规定：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“等角三角形”．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形是“等角三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的“等角分割线”．理解概念（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，请写出图中两对“等角三角形”．概念应用（2）如图2，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°．求证：CD为△ABC的等角分割线．（3）在△ABC中，∠A＝42°，CD是△ABC的等角分割线，直接写出∠ACB的度数．【解答】解：（1）△ABC与△ACD，△ABC与△BCD，△ACD与△BCD是“等角三角形”；（2）∵在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝60°∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝80°∵CD为角平分线，∴∠ACD＝∠DCB=12∠ACB＝40°，∴∠ACD＝∠A，∠DCB＝∠A，∴CD＝DA，∵在△DBC中，∠DCB＝40°，∠B＝60°，∴∠BDC＝180°﹣∠DCB﹣∠B＝80°，∴∠BDC＝∠ACB，∵CD＝DA，∠BDC＝∠ACB，∠DCB＝∠A，∠B＝∠B，∴CD为△ABC的等角分割线；（3）当△ACD是等腰三角形，如图2，DA＝DC时，∠ACD＝∠A＝42°，∴∠ACB＝∠BDC＝42°+42°＝84°，当△ACD是等腰三角形，如图，3，DA＝AC时，∠ACD＝∠ADC＝69°，∠BCD＝∠A＝42°，∴∠ACB＝69°+42°＝111°，当△ACD是等腰三角形，CD＝AC的情况不存在，当△BCD是等腰三角形，如图4，DC＝BD时，∠ACD＝∠BCD＝∠B＝46°，∴∠ACB＝92°，当△BCD是等腰三角形，如图5，DB＝BC时，∠BDC＝∠BCD，设∠BDC＝∠BCD＝x，则∠B＝180°﹣2x，则∠ACD＝∠B＝180°﹣2x，由题意得，180°﹣2x +42°＝x ，解得，x ＝74°，∴∠ACD ＝180°﹣2x ＝32°，∴∠ACB ＝106°，当△BCD 是等腰三角形，CD ＝CB 的情况不存在，∴∠ACB 的度数为111°或84°或106°或92°．7．（2019秋•西城区校级期中）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似的，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等边四边形．（1）如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，设CD ，BE 相交于点O ，若∠A ＝60°，∠DCB ＝∠EBC =12∠A ．请你写出图中一个与∠A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形？（2）在△ABC 中，如果∠A 是不等于60°的锐角，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且∠DCB ＝∠EBC ═12∠A ．探究：满足上述条件的图形是否存在等对边四边形，并证明你的结论．【解答】解：（1）∵∠A ＝60°，∠DCB ＝∠EBC =12∠A ，∴∠OBC ＝∠OCB ＝30°，∴∠BOD ＝∠EOC ＝∠OBC +∠OCB ＝60°，∴与∠A 相等的角是∠BOD ，∠EOC ．如图1，过点B 作BG ⊥CD 于G ，过点C 作CF ⊥BE 于F ．∵∠DCB ＝∠EBC =12∠A ，∴OB ＝OC ，在△BGO 和△CFO 中，{∠BGO =∠CFO ∠BOG =∠COF OB =OC，∴△BGO ≌△CFO （AAS ），∴BG ＝CF ，∵∠BOD ＝∠A ，∴∠BDG ＝∠BOD +∠ABE ＝∠A +∠ABE ＝∠CEF ，∵∠BDG ＝∠CEF ，∠BGD ＝∠CEF ＝90°，BG ＝CE ，∴△BGD ≌△CFE （AAS ）∴BD ＝CE ，∴四边形BCED 是等对边四边形；（3）结论：四边形BCED 是等对边四边形．理由如下：如图2中，作BG ⊥CD 于G ，CF ⊥BE 于F ．∵∠DCB ＝∠EBC =12∠A ，∴OB ＝OC ，在△BGO 和△CFO 中，{∠BGO =∠CFO ∠BOG =∠COF OB =OC，∴△BGO ≌△CFO （AAS ），∴BG ＝CF ，∵∠BOD ＝∠A ，∴∠A +∠DOE ＝180°，∠ADO +∠AEO ＝180°，∵∠AEO +∠CEF ＝180°，∠ADO ＝∠BDG ，∴∠BDG ＝∠CEF ，∵∠BDG ＝∠CEF ，∠BGD ＝∠CEF ＝90°，BG ＝CE ，∴△BGD ≌△CFE （AAS ）∴BD ＝CE ，∴四边形BCED 是等对边四边形．8．（2019秋•临沭县期中）若等腰三角形的顶角为36°，则这个三角形称为黄金三角形．如图，在△ABC中，BA ＝BC ，D 在边CB 上，且DB ＝DA ＝AC ．（1）如图1，写出图中所有的黄金三角形，并证明；（2）若M 为线段BC 上的点，过M 作直线MH ⊥AD 于H ，分别交直线AB ，AC 于点N ，E ，如图2，试写出线段BN 、CE 、CD 之间的数量关系，并加以证明．【解答】解：（1）△ABC和△ADC都是黄金三角形，理由如下：∵BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵DB＝DA，∴∠BAD＝∠B，∵DA═AC，∴∠ADC＝∠C＝∠BAC＝2∠B，又∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∴∠B+2∠B+2∠B＝180°，∴∠B＝∠DAC＝36°，∴△ABC和△ADC都是黄金三角形；（2）CD＝BN+CE，理由如下；由（1）知，∠BAD＝∠B＝36°，∠CAD＝36°＝∠BAD，∴AD是∠BAC的平分线，在△ANH和△AEH中{∠BAD=∠CAD ∠AHN=∠AHE AH=AH∴△ANH≌△AEH（ASA），∴AN＝AE，即AB﹣BN＝AC+CE，又∵BA＝BC＝BD+DC，AC＝AD＝BD，∴BC﹣BN＝AD+CE∴BD+CD﹣BN＝AD+CE，又∵AD＝BD，∴CD﹣BN＝CE，即CD＝BN+CE．9．（2018秋•海安市期末）定义：到一个三角形三个顶点的距离相等的点叫做该三角形的外心．（1）如图①，小海同学在作△ABC的外心时，只作出两边BC，AC的垂直平分线得到交点O，就认定点O是△ABC的外心，你觉得有道理吗？为什么？（2）如图②，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF，连接DE，EF，DF，得到△DEF．若点O为△ABC的外心，求证：点O也是△DEF的外心．【解答】（1）解：定点O 是△ABC 的外心有道理．理由如下：连接OA 、OB 、OC ，如图①，∵BC ，AC 的垂直平分线得到交点O ，∴OB ＝OC ，OC ＝OA ，∴OA ＝OB ＝OC ，∴点O 是△ABC 的外心；（2）证明：连接OA 、OD 、OC 、OF ，如图②，∵点O 为等边△ABC 的外心，∴OA ＝OC ，点O 也是△ABC 的角平分线的交点，∴∠OAC ＝∠OCA ＝30°，∴∠AOC ＝120°，在△AOD 和△COF 中{OA =OC ∠OAD =∠OCF AD =CF，∴△AOD ≌△COF （SAS ），∴OD ＝OF ，同理可得OD ＝OE ，∴OD ＝OE ＝OF ，∴点O 是△DEF 的外心．10．（2020•汇川区模拟）我们定义：如图1、图2、图3，在△ABC 中，把AB 绕点A 顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB ′，把AC 绕点A 逆时针旋转β得到AC ′，连接B ′C ′，当α+β＝180°时，我们称△AB 'C ′是△ABC 的“旋补三角形”，△AB ′C ′边B 'C ′上的中线AD 叫做△ABC 的“旋补中线”，点A 叫做“旋补中心”．图1、图2、图3中的△AB ′C ′均是△ABC 的“旋补三角形”．（1）①如图2，当△ABC 为等边三角形时，“旋补中线”AD 与BC 的数量关系为：AD ＝12 BC ；②如图3，当∠BAC ＝90°，BC ＝8时，则“旋补中线”AD 长为 4 ．（2）在图1中，当△ABC 为任意三角形时，猜想“旋补中线”AD 与BC 的数量关系，并给予证明．【解答】解：（1）①如图2中，∵△ABC 是等边三角形，∴AB ＝BC ＝AC ＝AB ′＝AC ′，∵DB ′＝DC ′，∴AD ⊥B ′C ′，∵∠BAC ＝60°，∠BAC +∠B ′AC ′＝180°，∴∠B ′AC ′＝120°，∴∠B ′＝∠C ′＝30°，∴AD =12AB ′=12BC ，故答案为12． ②如图3中，∵∠BAC＝90°，∠BAC+∠B′AC′＝180°，∴∠B′AC′＝∠BAC＝90°，∵AB＝AB′，AC＝AC′，∴△BAC≌△B′AC′，∴BC＝B′C′，∵B′D＝DC′，∴AD=12B′C′=12BC＝4，故答案为4．（2）结论：AD=12BC．理由：如图1中，延长AD到M，使得AD＝DM，连接B′M，C′M∵B′D＝DC′，AD＝DM，∴四边形AC′MB′是平行四边形，∴AC′＝B′M＝AC，∵∠BAC+∠B′AC′＝180°，∠B′AC′+∠AB′M＝180°，∴∠BAC＝∠MB′A，∵AB＝AB′，∴△BAC≌△AB′M，∴BC＝AM，∴AD=12BC．11．（2020•天心区开学）新定义：我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，P为AC上一点，当AP＝2时，△ABP与△CBP为偏等积三角形．（2）如图2，△ABD与△ACD为偏等积三角形，AB＝2，AC＝6，且线段AD的长度为正整数，过点C 作CE∥AB交AD的延长线于点E，求AE的长度（3）如图3，已知△ACD为直角三角形，∠ADC＝90°，以AC，AD为边问外作正方形ACFB和正方形ADGE，连接BE，求证：△ACD与△ABE为偏等积三角形．【解答】解：（1）如图1中，当AP＝PC＝2时，S△P AB＝S△PBC，∵△ABP与△PBC不全等，∴△ABP与△CBP为偏等积三角形，故答案为2．（2）如图2中，∵△ABD与△ACD为偏等积三角形，∴BD＝CD，∵AB ∥EC ，∴∠BAD ＝∠E ，∵∠ADB ＝∠EDC ，∴△ADB ≌△EDC （AAS ），∴AD ＝DE ，AB ＝EC ＝2，∵AC ＝6，∴6﹣2＜AE ＜6+2，∴4＜2AD ＜8，∴2＜AD ＜4，∵AD 为正整数，∴AD ＝3，∴AE ＝2AD ＝6．（3）如图3中，过点B 作BH ⊥AE ，垂足为H ．∵四边形ABFC 和四边形ADGE 均为正方形，∴∠HAC +DAC ＝90°，∠BAH +∠HAC ＝90°，AB ＝AC ，AD ＝AE ．∴∠BAH ＝∠DAC ．在△ABH 和△ACD 中，{∠BAH =∠DAC ∠H =∠ADC =90°AB =AC，∴△ABH ≌△ACD （AAS ）．∴CD ＝HB ．∵S △ABE =12AE •BH ，S △CDA =12AD •DC ，AE ＝AD ，CD ＝BH ，∴S △ABE ＝S △CDA ．∴△ACD 与△ABE 为偏等积三角形．12．（2018秋•海淀区期末）如图1，E是等边三角形ABC的边AB所在直线上一点，D是边BC所在直线上一点，且D与C不重合，若EC＝ED．则称D为点C关于等边三角形ABC的反称点，点E称为反称中心．在平面直角坐标系xOy中，（1）已知等边三角形AOC的顶点C的坐标为（2，0），点A在第一象限内，反称中心E在直线AO上，反称点D在直线OC上．①如图2，若E为边AO的中点，在图中作出点C关于等边三角形AOC的反称点D，并直接写出点D的坐标：（﹣1，0）；②若AE＝2，求点C关于等边三角形AOC的反称点D的坐标；（2）若等边三角形ABC的顶点为B（n，0），C（n+1，0），反称中心E在直线AB上，反称点D在直线BC上，且2≤AE＜3．请直接写出点C关于等边三角形ABC的反称点D的横坐标t的取值范围：n ﹣3＜t≤n﹣2或n+2≤t＜n+3（用含n的代数式表示）．【解答】解：（1）①如图，过点E作EF⊥OC，垂足为F，∵EC＝ED，EF⊥OC∴DF＝FC，∵点C的坐标为（2，0），∴AO＝CO＝2，∵点E是AO的中点，∴OE＝1，∵∠AOC＝60°，EF⊥OC，∴∠OEF＝30°，∴OE＝2OF＝1∴OF=1 2，∵OC＝2，∴CF=32=DF，∴DO＝1∴点D坐标（﹣1，0）故答案为：（﹣1，0）②∵等边三角形AOC的两个顶点为O（0，0），C（2，0），∴OC＝2．∴AO＝OC＝2．∵E是等边三角形AOC的边AO所在直线上一点，且AE＝2，∴点E与坐标原点O重合或点E在边OA的延长线上，如图，若点E与坐标原点O重合，∵EC＝ED，EC＝2，∴ED＝2．∵D是边OC所在直线上一点，且D与C不重合，∴D点坐标为（﹣2，0）如图，若点E在边OA的延长线上，且AE＝2，∵AC＝AE＝2，∴∠E＝∠ACE．∵△AOC为等边三角形，∴∠OAC＝∠ACO＝60°．∴∠E＝∠ACE＝30°．∴∠OCE ＝90°．∵EC ＝ED ，∴点D 与点C 重合．这与题目条件中的D 与C 不重合矛盾，故这种情况不合题意，舍去，综上所述：D （﹣2，0）（2）∵B （n ，0），C （n +1，0），∴BC ＝1，∴AB ＝AC ＝1∵2≤AE ＜3，∴点E 在AB 的延长线上或在BA 的延长线上，如图点E 在AB 的延长线上，过点A 作AH ⊥BC ，过点E 作EF ⊥BD∵AB ＝AC ，AH ⊥BC ，∴BH ＝CH =12，∵AH ⊥BC ，EF ⊥BD∴AH ∥EF∴AB BE =BH BF若AE ＝2，AB ＝1∴BE ＝1，∴AB BE =BH BF =1∴BH ＝BF =12∴CF =32=DF∴D 的横坐标为：n −12−32=n ﹣2，若AE ＝3，AB ＝1∴BE ＝2，∴AB BE =BH BF =12 ∴BF ＝2BH ＝1∴CF ＝DF ＝2∴D 的横坐标为：n ﹣1﹣2＝n ﹣3，∴点D 的横坐标t 的取值范围：n ﹣3＜t ≤n ﹣2，如图点E 在BA 的延长线上，过点A 作AH ⊥BC ，过点E 作EF ⊥BD ，同理可求：点D 的横坐标t 的取值范围：n +2≤t ＜n +3，综上所述：点D 的横坐标t 的取值范围：n ﹣3＜t ≤n ﹣2或n +2≤t ＜n +3．故答案为：n ﹣3＜t ≤n ﹣2或n +2≤t ＜n +3．13．（2019秋•东城区期末）对于△ABC 及其边上的点P ，给出如下定义：如果点M 1，M 2，M 3，……，M n 都在△ABC 的边上，且PM 1＝PM 2＝PM 3＝……＝PM n ，那么称点M 1，M 2，M 3，……，M n 为△ABC 关于点P 的等距点，线段PM 1，PM 2，PM 3，……，PM n 为△ABC 关于点P 的等距线段．（1）如图1，△ABC 中，∠A ＜90°，AB ＝AC ，点P 是BC 的中点．①点B ，C 是 △ABC 关于点P 的等距点，线段P A ，PB 不是 △ABC 关于点P 的等距线段；（填“是”或“不是”）②△ABC 关于点P 的两个等距点M 1，M 2分别在边AB ，AC 上，当相应的等距线段最短时，在图1中画出线段PM 1，PM 2；（2）△ABC 是边长为4的等边三角形，点P 在BC 上，点C ，D 是△ABC 关于点P 的等距点，且PC＝1，求线段DC的长；（3）如图2，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°．点P在BC上，△ABC关于点P的等距点恰好有四个，且其中一个是点C．若BC＝a，直接写出PC长的取值范围．（用含a的式子表示）【解答】解：（1）①∵点P是BC的中点，∴PB＝PC，∴点B，C是△ABC关于点P的等距点；∵AB＝AC，∴P A⊥BC，P A≠PB，∴线段P A，PB不是△ABC关于点P的等距线段；故答案为：是，不是；②作PM1⊥AB于M1，PM2⊥AC于M2，连接P A，如图1﹣1所示：∵AB＝AC，点P是BC的中点，∴P A平分∠BAC，∴PM1＝PM2；由垂线段最短可知：PM1，PM2是△ABC关于点P等距线段最短的线段；（2）如图1﹣2，以P为圆心，PC长为半径作圆P，交AC于D，交BC于D'，连接PD，则PD'＝PC＝PD＝1，∴CD'＝PC+PD'＝2；∵△ABC是等边三角形，∴BC＝AC＝4，∠C＝60°，∴△PCD是等边三角形，∴CD＝PC＝1；即线段DC的长为2或1；（3）当PC=12BC=12a时，当P为BC的中点，则PB＝PC，∴B、C是，△ABC关于点P的等距点，作PE⊥AB于E，截取EF＝EB，连接PF，如图2所示：则PF＝PB=12a，∵∠B＝30°，∴PE =12BP =14a ，∴AB 边上存在2个△ABC 关于点P 的等距点，∵△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C ． ∴PC ＜12BC ，即PC ＜a 2；当PC =13BC =13a 时，PB =23a ，PE =12BP =13a ，则△ABC 关于点P 的等距点有2个在BC 上，有1个在AB 上， ∵△ABC 关于点P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C ． ∴PC ＞13BC ，∴PC 长的取值范围是a 3＜PC ＜a 2．。

八年级上期末复习专题新定义题型一．选择题（共1小题）1．（2019•随县模拟）定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--，已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，⋯，以此类推，2009a 的值为( )A ．13-B ．34C ．4D ．43二．填空题（共3小题）2．（2020秋•海淀区校级月考）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为30︒，那么这个“特征角” α的度数为 ．3．（2011•毕节地区）对于两个不相等的实数a 、b ，定义一种新的运算如下，*0)a b a b =+>，如：3*2==， 那么6*(5*4)= ．4．（2014•射阳县校级模拟）定义一种运算☆，其规则为a ☆11b a b=+，根据这个规则，计算2☆3的值是 ． 三．解答题（共9小题）5．（2020秋•鄞州区期中）概念学习．已知ABC ∆，点P 为其内部一点，连接PA 、PB 、PC ，在PAB ∆、PBC ∆、PAC ∆中，如果存在一个三角形，其内角与ABC ∆的三个内角分别相等，那么就称点P 为ABC ∆的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30︒、60︒、90︒的三角形存在等角点； ； ②任意的三角形都存在等角点； ；（2）如图①，点P 是锐角ABC ∆的等角点，若BAC PBC ∠=∠，探究图①中，BPC ∠、ABC ∠、ACP ∠之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在ABC ∆中，A B C ∠<∠<∠，若ABC ∆的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，求ABC ∆三角形三个内角的度数．6．（2013秋•抚州期末）如图1，像我们常见的学习用品-圆规．我们不妨把这样的图形叫作“规形图”，那么这个简单的图形中，到底隐藏了那些数学知识呢？下面就请发挥你的聪明才智解决一下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠，B ∠，C ∠之间的关系，并证明． （2）请你直接利用以上的结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC ∆上，使三角尺的两条直角边XY ，XZ 恰好经过点B ，C ．若50A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠= ︒．②如图3，BG 平分ABD ∠，GC 平分ACD ∠．若50BAC ∠=︒，140CDB ∠=︒，求BGC ∠的度数．③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G ，2G ，⋯，9G ．若160BDC ∠=︒，170BG C ∠=︒，求A ∠的度数．7．（2018秋•綦江区校级月考）若一个整数能表示成{2}{2}(a b a +、b 是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为{2}{2}211=+，再如，{2}{2}{2}{2}22()(M x xy y x y y x y =++=+++，y 是正整数），所以M 也是“丰利数”． （1）20 “丰利数”（填是或不是）；最小的三位“丰利数”是 ；（2）已知{2}{2}26(S x y x y x =++-+、y 是整数，是常数），要使S 为“丰利数”，试求出符合条件的一个值(10200)<，并说明理由．（3）若{2}{2}4269p x mxy y y =-+-+（其中x ，y 是正整数，m 是常数）是“丰利数”，则m = ．（只写答案，不写理由）8．（2017春•九龙坡区校级月考）定义：若数p 可以表示成22(P x y xy x =+-，y 为自然数）的形式，则称P 为“希尔伯特”数．例如：2132121=+-⨯，22397575=+-⨯，2214713111311=+-⨯⋯ 所以3，39，147是“希尔伯特”数． （1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位．那么形如(a bi a +，b 为实数）的数就叫做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2)(34)53i i i ++-=-． （1）填空：3i = ，42i = ； （2）计算：①(2)(2)i i +-； ②2(2)i +；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题： 已知：(3)3(1)x y i x yi ++=--，(x ，y 为实数），求x ，y 的值．（4）试一试：请你参照21i =-这一知识点，将225(m m +为实数）因式分解成两个复数的积．10．（2020春•东台市期中）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++ （1）下列分式中，属于真分式的是 （填序号）；①21a a -+②21x x +③2231a a +-④223b b +（2）将假分式4321a a +-化为整式与真分式的和的形式：4321a a +=- ；若假分式4321a a +-的值为正整数，则整数a 的值为 ；（3）请你写出将假分式2261a a +-化成整式与真分式的和的形式的完整过程．类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式． 拓展定义：对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式，如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----；2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++．理解定义：（1）下列分式中，属于真分式的是： 属于假分式的是： （填序号）①21a a -+；②21x x +；③223b b +；④2231a a +-．拓展应用： （2）将分式4321a a +-化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式231a a +-化成整式与真分式的和的形式．12．（2018春•蜀山区校级期中）对于实数a ，我们规定：用符号整数，称为叫做a 的根整数，例如：3=，3=．（1）仿照以上方法计算：= ；= ．（2）若2=，写出满足题意x 的整数值 ．如果我们对a 连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次31=→=，这时候结果为1．（3）对100连续求根整数， 次之后结果为1．13．（2018秋•西城区校级期中）如果一个正整数能写成223a b +的形式（其中a 、b 均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为22=+⨯，7231 2231233=+⨯．（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数；（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．八年级上新定义题型参考答案与试题解析一．选择题（共1小题）1．（2019•随县模拟）定义：a 是不为1的有理数，我们把11a-称为a 的差倒数，如：2的差倒数是1112=--，1-的差倒数是111(1)2=--，已知113a =-，2a 是1a 的差倒数，3a 是2a 的差倒数，4a 是3a 的差倒数，⋯，以此类推，2009a 的值为( )A ．13-B ．34C ．4D ．43【解答】解：113a =-，213141()3a ∴==--，314314a ==-，411143a ==--，⋯∴每3个数为一周期循环，200936692÷=⋯，2009234a a ∴==， 故选：B ．二．填空题（共3小题）2．（2020秋•海淀区校级月考）定义：当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中α称为“特征角”．如果一个“特征三角形”的一个内角为30︒，那么这个“特征角” α的度数为 30︒或60︒或100︒ ． 【专题】32：分类讨论；66：运算能力；552：三角形 【解答】解：当“特征角”为30︒时，即特征角” 30α=︒； 当30β=︒时，“特征角” 23060α=⨯︒=︒；当第三个角为30︒时，“特征角”1301802αα++︒=︒，解得100α=，综上，这个“特征角”α的度数为30︒或60︒或100︒．故答案为30︒或60︒或100︒．3．（2011•毕节地区）对于两个不相等的实数a、b，定义一种新的运算如下，*0)a b a b=+>，如：3*2==，那么6*(5*4)=1．【专题】23：新定义【解答】解：*0)a b a b=+>，5*43∴=，6*(5*4)6*3∴=，=1=．故答案为：1．4．（2014•射阳县校级模拟）定义一种运算☆，其规则为a☆11ba b=+，根据这个规则，计算2☆3的值是56．【专题】23：新定义【解答】解：2☆1153236 =+=．故答案为56．三．解答题（共9小题）5．（2020秋•鄞州区期中）概念学习．已知ABC∆，点P为其内部一点，连接PA、PB、PC，在PAB∆、PBC∆、PAC∆中，如果存在一个三角形，其内角与ABC∆的三个内角分别相等，那么就称点P为ABC∆的等角点．理解应用（1）判断以下两个命题是否为真命题，若为真命题，则在相应横线内写“真命题”；反之，则写“假命题”．①内角分别为30︒、60︒、90︒的三角形存在等角点； 真命题 ； ②任意的三角形都存在等角点； ；（2）如图①，点P 是锐角ABC ∆的等角点，若BAC PBC ∠=∠，探究图①中，BPC ∠、ABC ∠、ACP ∠之间的数量关系，并说明理由．解决问题如图②，在ABC ∆中，A B C ∠<∠<∠，若ABC ∆的三个内角的角平分线的交点P 是该三角形的等角点，求ABC ∆三角形三个内角的度数． 【专题】66：运算能力；552：三角形 【解答】解：理解应用（1）①内角分别为30、60、90的三角形存在等角点是真命题； ②任意的三角形都存在等角点是假命题，如等边三角形不存在等角点； 故答案为：真命题，假命题；（2）如图①，在ABC ∆中，BPC ABP BAC ACP ∠=∠+∠+∠，BAC PBC ∠=∠， BPC ABP PBC ACP ABC ACP ∴∠=∠+∠+∠=∠+∠；解决问题如图②，连接PB ，PCP 为ABC ∆的角平分线的交点，12PBC ABC ∴∠=∠，12PCB ACB ∠=∠，P 为ABC ∆的等角点，PBC BAC ∴∠=∠，22BCP ABC PBC BAC ∠=∠=∠=∠，4ACB BPC A ∠=∠=∠，又180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒， 24180A A A ∴∠+∠+∠=︒， 1807A ︒∴∠=， ∴该三角形三个内角的度数分别为1807︒，3607︒，7207︒． 6．（2013秋•抚州期末）如图1，像我们常见的学习用品-圆规．我们不妨把这样的图形叫作“规形图”，那么这个简单的图形中，到底隐藏了那些数学知识呢？下面就请发挥你的聪明才智解决一下问题：（1）观察“规形图”，试探究BDC ∠与A ∠，B ∠，C ∠之间的关系，并证明． （2）请你直接利用以上的结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ 放置在ABC ∆上，使三角尺的两条直角边XY ，XZ 恰好经过点B ，C ．若50A ∠=︒，则ABX ACX ∠+∠= 40 ︒．②如图3，BG 平分ABD ∠，GC 平分ACD ∠．若50BAC ∠=︒，140CDB ∠=︒，求BGC ∠的度数．③如图4，ABD ∠，ACD ∠的10等分线相交于点1G ，2G ，⋯，9G ．若160BDC ∠=︒，170BG C ∠=︒，求A ∠的度数．【解答】解：（1）连接AD 并延长至点F ，由外角定理可得BDF BAD B ∠=∠+∠，CDF C CAD ∠=∠+∠，BDC BDF CDF ∠=∠+∠，BAC BAD CAD ∠=∠+∠，∴相加可得：BDC A B C ∠=∠+∠+∠；（2）①由（1）的结论易得：ABX ACX A BXC ∠+∠+∠=∠， 又50A ∠=︒，90BXC ∠=︒， 905040ABX ACX ∴∠+∠=︒-︒=︒，故答案为：40；②如图3，由（1）的结论易得BDC A ABD ACD ∠=∠+∠+∠， 50BAC ∠=︒，140CDB ∠=︒， 1405090ABD ACD ∴∠+∠=︒-︒=︒；11()90509522BGC ABD ACD A ∴∠=∠+∠+∠=⨯︒+︒=︒；③如图4，11()10BG C ABD ACD A ∠==∠+∠+∠， 170BG C ∠=︒，∴设A ∠为x ︒， 160ABD ACD x ∠+∠=︒-︒ ∴1(160)7010x x -+=， 解得：60x =A ∴∠为60︒．7．（2018秋•綦江区校级月考）若一个整数能表示成{2}{2}(a b a +、b 是正整数）的形式，则称这个数为“丰利数”．例如，2是“丰利数”，因为{2}{2}211=+，再如，{2}{2}{2}{2}22()(M x xy y x y y x y =++=+++，y 是正整数），所以M 也是“丰利数”．（1）20 是 “丰利数”（填是或不是）；最小的三位“丰利数”是 ；（2）已知{2}{2}26(S x y x y x =++-+、y 是整数，是常数），要使S 为“丰利数”，试求出符合条件的一个值(10200)<，并说明理由．（3）若{2}{2}4269p x mxy y y =-+-+（其中x ，y 是正整数，m 是常数）是“丰利数”，则m = ．（只写答案，不写理由）【专题】整式；运算能力【解答】解：（1）{2}{2}2042=+，20∴是“丰利数”；{2}636=，{2}864=，∴最小的三位“丰利数”是：{2}{2}68100+=，故答案为：是；100；（2）{2}{2}26S x y x y =++-+，{2}{2}(21)(69)(10)x x y y =+++-++-，{2}{2}(1)(3)(10)x y =++-+-，当{2}(1)x +、{2}(3)y -是正整数的平方时，10-为零时，S 是“丰利数”， 故的一个值可以是10．备注：当1x =-时，可以为14，当3y =时，可以为26．（3）{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}{2}4269(4)(69)(4)(3)p x mxy y y x mxy y y y x mxy y y =-+-+=-++-+=-++-，且{2}{2}4269p x mxy y y =-+-+（其中x ，y 是正整数，m 是常数）是“丰利数”， (221)m ∴-=±⨯⨯，4m ∴=±．故答案为：4±．8．（2017春•九龙坡区校级月考）定义：若数p 可以表示成22(P x y xy x =+-，y 为自然数）的形式，则称P 为“希尔伯特”数．例如：2132121=+-⨯，22397575=+-⨯，2214713111311=+-⨯⋯所以3，39，147是“希尔伯特”数．（1）请写出两个10以内的“希尔伯特”数．（2）像39，147这样的“希尔伯特”数都是可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，试说明所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）已知两个“希尔伯特”数，它们都可以用连续两个奇数按定义给出的运算表达出来，且它们的差是224，求这两个“希尔伯特”数．【专题】21：阅读型【解答】解：（1）220000=+⨯，2211010=+-⨯，2132121=+-⨯，2242020=+-⨯，2272323=+-⨯，2293030=+-⨯，10∴以内的“希尔伯特”数有0，1，3，4，7，9；（2）设“希尔伯特”数为22(21)(21)(21)(21)n n n n ++--+-．(n 为自然数）222(21)(21)(21)(21)43n n n n n ++--+-=+，24n 能被4整除，∴所有用连续两个奇数表达出的“希尔伯特”数一定被4除余3．（3）设两个“希尔伯特”数分别为：22(21)(21)(21)(21)m m m m ++--+-和22(21)(21)(21)(21)n n n n ++--+-．(m ，n 为自然数）．由题意：2222(21)(21)(21)(21)[(21)(21)(21)(21)]224m m m m n n n n ++--+--++--+-=， 2256m n ∴-=，()()56m n m n ∴+-=，可得整数解：95m n =⎧⎨=⎩或1513m n =⎧⎨=⎩， ∴这两个“希尔伯特”数分别为：327和103或903和679．9．（2017秋•洛江区期中）阅读理解题：定义：如果一个数的平方等于1-，记为21i =-，这个数i 叫做虚数单位．那么形如(a bi a +，b 为实数）的数就叫做复数，a 叫这个复数的实部，b 叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：(2)(34)53i i i ++-=-．（1）填空：3i = i - ，42i = ；（2）计算：①(2)(2)i i +-； ②2(2)i +；（3）若两个复数相等，则它们的实部和虚部必须分别相等，完成下列问题：已知：(3)3(1)x y i x yi ++=--，(x ，y 为实数），求x ，y 的值．（4）试一试：请你参照21i =-这一知识点，将225(m m +为实数）因式分解成两个复数的积．【专题】21：阅读型【解答】解：（1）21i =-，321i i i i i ∴==-=-，422222(1)(1)2i i i ==--=，故答案是：i ；2；（2）①2(2)(2)4145i i i +-=-+=+=；②22(2)4414434i i i i i +=++=-++=+；（3）(3)3(1)x y i x yi ++=--，31x y x ∴+=-，3y =-，5x ∴=，3y =-；（4）225(5)(5)m m i m i +=+-．10．（2020春•东台市期中）我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式． 如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----； 2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++ （1）下列分式中，属于真分式的是 ④ （填序号）； ①21a a -+②21x x +③2231a a +-④223b b + （2）将假分式4321a a +-化为整式与真分式的和的形式：4321a a +=- ；若假分式4321a a +-的值为正整数，则整数a 的值为 ；（3）请你写出将假分式2261a a +-化成整式与真分式的和的形式的完整过程． 【专题】66：运算能力；513：分式【解答】解：（1）223b b +的分子整式的次数小于分母整式的次数， ∴223b b +是真分式， 故答案为：④；（2）4342552212121a a a a a +-+==+---， 假分式4321a a +-的值为正整数，则整数a 为1或3或2-， 故答案为：5221a +-；1或3或2-； （3）22262282(1)(1)88221111a a a a a a a a a +-++-+===++----． 11．（2018秋•宁城县期末）阅读理解：类比定义：我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数，类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．拓展定义：对于任何一个分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：112122111111x x x x x x x x +-+-==+=+-----；2322522552()11111x x x x x x x x -+-+-==+=+-+++++． 理解定义：（1）下列分式中，属于真分式的是： ③ 属于假分式的是： （填序号） ①21a a -+；②21x x +；③223b b +；④2231a a +-． 拓展应用：（2）将分式4321a a +-化成整式与真分式的和的形式； （3）将假分式231a a +-化成整式与真分式的和的形式． 【专题】11：计算题；23：新定义；513：分式【解答】解：（1）属于真分式的是：③；属于假分式的是①②④；故答案为：③，①②④；（2）434252(21)5522121212121a a a a a a a a +-+-==+=+-----；（3）22314(1)(1)441 11111a a a aaa a a a a+-++-==+=++-----．12．（2018春•蜀山区校级期中）对于实数a，我们规定：用符号整数，称为叫做a的根整数，例如：3=，3=．（1）仿照以上方法计算：=4；=．（2）若2=，写出满足题意x的整数值．如果我们对a连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对10连续求根整数2次31=→=，这时候结果为1．（3）对100连续求根整数，次之后结果为1．【专题】61：数感；511：实数【解答】解：（1）4=，5=，故答案为：4；5；（2）[]2x=，23x∴<，49x∴<，x∴的整数值为4，5，6，7，8，故答案为：4，5，6，7，8；（3）10=，3=，1=，∴对100连续求根整数，3次之后结果为1，故答案为：3．13．（2018秋•西城区校级期中）如果一个正整数能写成223a b+的形式（其中a、b均为自然数），则称之为婆罗摩笈多数，比如7和31均是婆罗摩笈多数，因为227231=+⨯，2231233=+⨯．（1）请证明：28和217都是婆罗摩笈多数；（2）请证明：任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．【专题】512：整式；44：因式分解【解答】证明：（1）222813328=+⨯=，222171334217=+⨯=，28∴和217都是婆罗摩笈多数．（2）设一个婆罗摩笈多数为223x a b =+，另一个婆罗摩笈多数为223y c d =+， 2222(3)(3)xy a b c d =++22222222339a c a d b c b d =+++222222()(3)6633ac bd abcd abcd a d b c =++-++22()3()ac bd ad bc =++-因此，任何两个婆罗摩笈多数的乘积依旧是婆罗摩笈多数．。

期末复习(一) 三角形01 知识结构图02 重难点突破重难点1 与三角形有关的线段【例1】 如图，CH ，AD 分别为△ABC 的高与中线．若△ABD 的面积为2，AB ＝3，求CH 的长度．【解答】 ∵AD 为△ABC 的中线， ∴S △ABC ＝2S △ABD . ∵S △ABD ＝2，∴S △ABC ＝4. ∵AB ＝3，且12×3×CH ＝4，∴CH ＝83.三角形的三条重要线段各有作用：①中线等分边且等分面积；②高线垂直于边计算面积；③角平分线平分角求角的度数．1．若a ，b 是等腰△ABC 的两边长，且满足|a －3|＋(b －7)2＝0，则此三角形的周长是(B) A ．13 B ．17 C ．13或17 D ．202．如图，在△ABC 中，AM 是中线，AN 是高．如果BM ＝3.5 cm ，AN ＝4 cm ，那么△ABC 的面积是14_cm 2．重难点2 与三角形有关的角【例2】如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC于点E.若∠ADE＝80°，∠EAC＝20°，求∠B的度数．【解答】∵AE⊥BC，∠ADE＝80°，∴∠DAE＝10°.∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC＝∠DAE＋∠EAC＝30°.∵∠B＋∠BAD＝∠ADE＝80°，∴∠B＝80°－30°＝50°.3．已知：如图，AD为△ABC的角平分线，过BC延长线上的任意一点H作AD的垂线，分别交AB，AD，AC于E，F，G三点．若∠ACB＝85°，∠B＝45°，则∠H＝20°．4．如图，将一块直角三角板DEF放置在△ABC上，使得该三角板的两条直角边DE，DF恰好分别经过点B，C，过点A作直线MN∥DE.若∠ACD＝20°，则∠CAM＝110°．重难点3 多边形的内角和与外角和【例3】一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，求这个多边形的边数．【解答】设这个多边形的边数是n，依题意，得(n－2)×180＝3×360－180，解得n＝7.答：这个多边形的边数是7.n边形内角和公式为(n－2)×180°，任意多边形的外角和都是360°，与边数无关．5．多边形每一个内角都等于150°，则从此多边形一个顶点发出的对角线有9条．6.(2020·陕西)如图，在正五边形ABCDE中，DM是边CD的延长线，连接BD，则∠BDM的度数是144°．03复习自测一、选择题(每小题4分，共32分)1．下列各组中的三条线段能组成三角形的是(C)A．3，4，8 B．5，6，11 C．5，6，10 D．4，4，82．如图所示是一个起重机的示意图，在起重架中间增加了很多斜条，它所运用的几何原理是(B)A．三角形两边之和大于第三边B．三角形具有稳定性C．三角形两边之差小于第三边D．直角三角形的两锐角互余3．已知三角形的三边长分别为3，8，x.若周长是奇数，则x可取的值有(D)A．6个 B．5个C．4个 D．3个4．(2019·安阳殷都区期中)如图，在△ABC中，点D是BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝(B) A．20°B．25° C．30° D．35°5．如图所示，在△ABC中，点D，E，F分别在三角形的三边上，E是AC的中点，AD，BE，CF相交于一点G，BD＝2DC，S△GEC＝3，S△GDC＝4，则△ABC的面积是(B)A．25 B．30 C．35 D．406．将两个分别含30°和45°角的直角三角板如图放置，则∠α的度数是(B)A．10° B．15°C．20° D．25°7．不能作为正多边形内角的度数的是(D)A．120°B．108°C．144° D．145°8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝n(0°＜n＜45°)，D，E分别为AB，AC上一点，将△BCD，△ADE 分别沿CD，DE翻折，点A，B恰好重合于点F处，则∠ACF的度数用n表示为(A)A．90°－2n B.12n C．45°－n D．90°－n二、填空题(每小题5分，共20分)9．如图，以∠B为一个内角的三角形有4个．10．如图，AB∥CE，BF交CE于点D，DE＝DF，∠F＝20°，则∠B的度数为40°．11．根据如图所示的已知角的度数，求出其中∠α的度数为50°．12．(2019·株洲)如图所示，过正五边形ABCDE的顶点B作一条射线与其内角∠EAB的平分线相交于点P，且∠ABP＝60°，则∠APB＝66度．三、解答题(共48分)13．(10分)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高．(1)图中有几个直角三角形？是哪几个？(2)∠1和∠A有什么关系？∠2和∠A呢？还有哪些锐角相等？解：(1)图中有3个直角三角形，分别是△ACD，△BCD，△ABC.(2)∠1＋∠A＝90°，∠2＝∠A，∠1＝∠B.14．(12分)如图，B处在A处的南偏西42°方向，C处在A处的南偏东16°方向，C处在B处的北偏东72°方向，求从C处观测A，B两处的视角∠C的度数．解：根据题意可知，∠BAD＝42°，∠DAC＝16°，∠EBC＝72°，∴∠BAC＝58°.∵AD∥BE，∴∠EBA＝∠BAD＝42°.∴∠ABC＝30°.∴∠C＝180°－∠ABC－∠BAC＝92°.15．(12分)(2019·许昌禹州市期中)小月和小东在一起探究有关“多边形内角和”的问题，两人互相出题考对方，小月给小东出了一个这样的题目：一个四边形的各个内角的度数之比为1∶2∶3∶6，求各个内角的度数．小东想了想，说：“这道题目有问题．”(1)请你指出问题在哪里．(2)他们经过研究后，改变题目中的一个数，使这道题目没有问题，请你也尝试一下，换一个合适的数，使这道题目没有问题，并进行解答．解：(1)设此四边形的四个内角度数分别为x°，2x°，3x°，6x°，则x＋2x＋3x＋6x＝360.解得x＝30.所以最大的内角度数为6x°＝180°.则此多边形不是四边形．(2)将四边形的各个内角的度数之比为1∶2∶3∶6改为1∶2∶3∶4.设此四边形的四个内角度数分别为x°，2x°，3x°，4x°，则x＋2x＋3x＋4x＝360.解得x＝36.所以四边形的四个内角度数分别为36°，72°，108°，144°.(答案不唯一)16．(14分)在平面直角坐标系中，将等腰直角三角板OAB(∠OAB＝∠OBA＝45°)的直角顶点放在O点，直角边OB，OA分别在x轴、y轴上，A点的坐标为(0，4)．图1 图2 图3(1)如图1，D为AB上一点，且S△AOD＝S△BOD，求点D的坐标．(2)若将另一直角三角板OEF(∠OFE＝30°)的直角顶点放在O点(如图2)，直角边OF，OE分别在x轴、y轴上，EF交AB于点G，∠AOB的平分线与∠AGF的平分线相交于点P，求∠P的度数．(3)如图3，M，N为x轴、y轴上两点，∠ANM的平分线与∠ABO的外角的平分线相交于点Q，下列两个结论：①∠NMO－∠OAB∠Q的值不变；②∠NMO＋∠OAB∠Q的值不变．其中有且仅有一个是正确的，请你选出正确的结论，并求出其值．解：(1)∵S△AOD＝S△BOD，∴D为AB的中点．∴D(2，2)．(2)设AB，OP相交于点M，易得∠PMG＝90°，∵∠AGE＝60°－45°＝15°，∴∠AGF＝165°.∴∠AGP＝165°÷2＝82.5°.∴∠P＝90°－82.5°＝7.5°.(3)设∠ANQ ＝∠MNQ ＝x ，∠ABQ ＝y ，则y ＝12×(180°－45°)＝67.5°.∴∠NMO ＝2x －90°，∠Q ＝45°＋x －y ＝x －22.5°. ∴∠NMO ＋∠OAB ∠Q ＝2x －90°＋45°x －22.5°＝2，②正确．期末复习(二) 全等三角形01 知识结构图全等三角形⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧全等形、全等三角形的概念全等三角形的判定⎩⎪⎨⎪⎧边边边（SSS ）边角边（SAS ）角边角（ASA ）角角边（AAS ）斜边、直角边（HL ，只适用Rt △）全等三角形的性质⎩⎪⎨⎪⎧对应边相等对应角相等角的平分线的性质与判定02 重难点突破 重难点1 全等三角形的性质与判定 【例1】 如图，在五边形ABCDE 中：(1)若AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，F 为CD 的中点，求证：AF ⊥CD. (2)若AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，AF 平分∠BAE ，AF ⊥CD ，求证：F 为CD 的中点． (3)若∠B ＝∠E ，BC ＝ED ，∠C ＝∠D ，AF 平分∠BAE ，求证：F 为CD 的中点． 【解答】图1证明：(1)如图1，连接AC ，AD ， ∵AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BC ＝ED ， ∴△ABC ≌△AED(SAS)． ∴AC ＝AD. ∵F 为CD 的中点， ∴AF ⊥CD.图2(2)如图2，连接FB，FE，∵AF平分∠BAE，∴∠BAF＝∠EAF.又∵AB＝AE，AF＝AF，∴△ABF≌△AEF(SAS)．∴∠ABF＝∠AEF，∠AFB＝∠AFE，BF＝EF.∵∠ABC＝∠AED，∠AFC＝∠AFD＝90°，∴∠FBC＝∠FED，∠BFC＝∠EFD.∴△BCF≌△EDF(ASA)．∴FC＝FD，即F为CD的中点．图3(3)如图3，延长AB，AE分别与CD所在的直线相交于G，H.∵∠ABC＝∠AED，∠BCD＝∠CDE，∴∠GBC＝∠HED，∠BCG＝∠EDH.又∵BC＝ED，∴△GBC≌△HED(ASA)．∴∠G＝∠H，GC＝DH.∴AG＝AH.∵AF平分∠BAE，∴GF＝HF.∴GF－GC＝HF－DH，即CF＝DF.∴F为CD的中点．1．如图，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，∠ABC＝∠ADE＝90°，BC与DE相交于点F，连接CD，EB.(1)图中还有几对全等三角形？请一一列举．(2)求证：CF＝EF.解：(1)△ADC≌△ABE，△CDF≌△EBF.(2)证明：连接AF.∵Rt△ABC≌Rt△ADE，∴AB＝AD，BC＝DE.又∵AF＝AF，∠ABC＝∠ADE＝90°，∴Rt△ABF≌Rt△ADF(HL)．∴BF＝DF.又∵BC＝DE，∴BC－BF＝DE－DF，即CF＝EF.重难点2 角的平分线的性质与判定【例2】如图1，在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＝DF.探究发现：如图2，在△ABC中，仍然有条件“AD是∠BAC的平分线，点E，F分别在AB和AC上”．若∠AED＋∠AFD＝180°，则DE与DF是否仍相等？若相等，请证明；若不相等，请举反例说明．【解答】DE＝DF.证明：过点D作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，∵AD平分∠BAC，DM⊥AB，DN⊥AC，∴DM＝DN.∵∠AED＋∠AFD＝180°，∠AFD＋∠DFN＝180°，∴∠DFN＝∠AED.在△DME和△DNF中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DME ＝∠DNF ，∠DEM ＝∠DFN ，DM ＝DN ，∴△DME ≌△DNF(AAS)． ∴DE ＝DF.2．如图，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，BD ＝CD ，BE ＝CF. (1)求证：AD 平分∠BAC.(2)写出AB ＋AC 与AE 之间的等量关系，并说明理由．解：(1)证明：∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴∠E ＝∠DFC ＝90°.∴△BDE 与△CDF 均为直角三角形．在Rt △BDE 和Rt △CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，BE ＝CF ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF(HL)． ∴DE ＝DF. ∴AD 平分∠BAC. (2)AB ＋AC ＝2AE.理由：由(1)知，AD 平分∠BAC ， ∴∠EAD ＝∠CAD. 在△AED 和△AFD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠EAD ＝∠FAD ，∠AED ＝∠AFD ，AD ＝AD ，∴△AED ≌△AFD(AAS)． ∴AE ＝AF.∴AB ＋AC ＝AE －BE ＋AF ＋CF ＝AE ＋AF ＝2AE. 03 复习自测一、选择题(每小题4分，共40分)1．下列说法中正确的有(C)①形状相同的两个图形是全等形；②对应角相等的两个三角形是全等形；③全等三角形的面积相等；④若△ABC ≌△DEF，△DEF≌△MNP，则△ABC≌△MNP.A．0个B．1个C．2个 D．3个2．根据下列条件，不能画出唯一的△ABC的是(D)A．AB＝5，BC＝6，AC＝7 B．AB＝5，BC＝6，∠B＝45°C．AB＝5，AC＝4，∠C＝90°D．AB＝3，AC＝4，∠C＝45°3．如图，已知△ABE≌△ACD，∠1＝∠2，∠B＝∠C，则下列等式不正确的是(D)A．AB＝AC B．∠BAE＝∠CAD C．BE＝DC D．AD＝DE4．如图所示，亮亮书上的三角形被墨迹污染了一部分，很快他就根据所学知识画出了一个与书上完全一样的三角形，那么这两个三角形完全一样的依据是(D)A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA5．如图，从下列四个条件：①BC＝B′C；②AC＝A′C；③∠A′CA＝∠B′CB；④AB＝A′B′中，任取三个为条件，余下的一个为结论，则最多可以构成正确的结论的个数是(B)A．1 B．2 C．3 D．46．如图所示，∠ABC＝∠ACB，CD⊥AC于点C，BE⊥AB于点B，AE交BC于点F，且BE＝CD，则下列结论不一定正确的是(B)A．AB＝AC B．BF＝EF C．AE＝AD D．∠BAE＝∠CAD7．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D是AC的中点，EC⊥BD于点E，交BA的延长线于点F.若BF＝12，则△FBC的面积为(C)A．40 B．46 C．48 D．508．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β.满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是(D)A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为βB．两个角是β，它们的夹边为4C．三条边长分别是4，5，5D．两条边长是5，一个角是β9．如图所示，点A，B分别是∠NOP，∠MOP平分线上的点，AB⊥OP于点E，BC⊥MN于点C，AD⊥MN于点D，下列结论错误的是(C)A．AD＋BC＝AB B．∠AOB＝90°C．与∠CBO互余的角有两个 D．O是CD的中点10．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，AC＝5，∠DAB＝∠DCB＝90°，则四边形ABCD的面积为(B)A．15 B．12.5 C．14.5 D．17二、填空题(每小题4分，共24分)11．如图，AC，BD相交于点O，∠A＝∠D，请补充一个条件，使△AOB≌△DOC，你补充的条件是答案不唯一，如：AB＝CD(填出一个即可)．12．如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，AB＝6，BC＝8，CD＝2，点P为BC边上一动点．当BP＝2时，形成的Rt△ABP与Rt△PCD全等．13．如图，已知AB∥CF，E为DF的中点．若AB＝11 cm，CF＝5 cm，则BD＝6cm.14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，AB＝5 cm，O是∠CAB与∠CBA平分线的交点，则O点到AB的距离为1_cm．15．如图，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B.下列结论中成立的有①③④(填写正确结论的序号)．①PA＝PB；②AB垂直平分OP；③OA＝OB；④PO平分∠APB.16．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有3个．三、解答题(共36分)17．(10分)已知：如图，∠BAC＝∠DAM，AB＝AN，AD＝AM.求证：∠B＝∠ANM.证明：∵∠BAC ＝∠DAM ，∠BAC ＝∠BAD ＋∠DAC ，∠DAM ＝∠DAC ＋∠NAM ， ∴∠BAD ＝∠NAM. 在△BAD 和△NAM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AN ，∠BAD ＝∠NAM ，AD ＝AM ，∴△BAD ≌△NAM(SAS)． ∴∠B ＝∠ANM.18．(12分)如图，在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，E 是AB 边上一点，过点C 作CF ∥AB 交ED 的延长线于点F.(1)求证：△BDE ≌△CDF.(2)当AD ⊥BC ，AE ＝1，CF ＝2时，求AC 的长．解：(1)证明：∵CF ∥AB ， ∴∠B ＝∠FCD ，∠BED ＝∠F. ∵AD 是BC 边上的中线， ∴BD ＝CD.∴△BDE ≌△CDF(AAS)．(2)∵△BDE ≌△CDF ，∴BE ＝CF ＝2. ∴AB ＝AE ＋BE ＝1＋2＝3. ∵AD ⊥BC ，BD ＝CD ，∴AC ＝AB ＝3.19．(14分)已知△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点(点D 不与点B ，C 重合)．以AD 为边作等边三角形ADE ，连接CE.(1)如图1，当点D 在边BC 上时． ①求证：△ABD ≌△ACE ；②直接判断结论BC ＝DC ＋CE 是否成立(不需证明)．(2)如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，请写出BC ，DC ，CE 之间存在的数量关系，并写出证明过程．解：(1)①∵△ABC 和△ADE 是等边三角形， ∴∠BAC ＝∠DAE ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE. ∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC. ∴∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ②成立． (2)BC ＋CD ＝CE.∵△ABC 和△ADE 是等边三角形，∴∠BAC ＝∠DAE ＝60°，AB ＝BC ＝AC ，AD ＝DE ＝AE. ∴∠BAC ＋∠DAC ＝∠DAE ＋∠DAC. ∴∠BAD ＝∠CAE.在△ABD 和△ACE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ，AD ＝AE ，∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ∴BD ＝CE.∵BD ＝BC ＋CD ，∴CE ＝BC ＋CD.期末复习(三) 轴对称01 知识结构图02 重难点突破重难点1 平面直角坐标系中的轴对称变换【例1】 如图，在△ABC 中，BC ＝2，BC ∥x 轴，点B 的坐标是(－3，1)，点A 的坐标是(－4，3)． (1)画出△ABC 关于y 轴对称的△A ′B ′C ′. (2)求以点A ，B ，B ′，A ′为顶点的四边形的面积．【思路点拨】 (1)利用关于y 轴对称的点的坐标的性质得出对应点位置，进而得出答案；(2)利用点的坐标得出各线段长，进而利用梯形面积公式求出即可．【解答】 (1)如图所示，△A ′B ′C ′即为所求．(2)∵BC ＝2，BC ∥x 轴，点B 的坐标是(－3，1)，点A 的坐标是(－4，3)， ∴AA ′＝4＋4＝8，BB ′＝3＋3＝6.∴四边形ABB ′A ′的面积为12×(6＋8)×2＝14.重难点2 线段的垂直平分线【例2】 如图所示，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 是AB 上一点，BD ＝BC ，过点D 作AB 的垂线交AC 于点E ，CD 交BE 于点F.求证：BE 垂直平分CD.【思路点拨】 先根据“HL ”证明Rt △EBC 与Rt △EBD 全等，可得EC ＝ED ，即点E 在CD 的垂直平分线上．又由BD ＝BC 可知点B 在CD 的垂直平分线上．最后根据两点确定一条直线得证BE 就是线段CD 的垂直平分线．【解答】 证明：∵BD ＝BC ， ∴点B 在线段CD 的垂直平分线上．∵∠ACB ＝90°，DE ⊥AB ， ∴∠EDB ＝∠ACB ＝90°.在Rt △EBC 和Rt △EBD 中，⎩⎪⎨⎪⎧BE ＝BE ，BC ＝BD ，∴Rt △EBC ≌Rt △EBD(HL)． ∴EC ＝DE.∴点E 在线段CD 的垂直平分线上． ∵两点确定一条直线，∴BE 垂直平分CD.证明某条直线垂直平分某条线段时，只要分别证明该直线上任意两点到该线段两端点的距离相等即可．1．(2020·新乡长垣市期末)如图，在△ABC 中，点D 是边AB ，AC 的垂直平分线的交点，已知∠A ＝50°，则∠BDC ＝(B)A ．180°B ．100°C ．80°D ．50°重难点3 等腰三角形的性质与判定【例3】 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝120°，AD ⊥BC ，垂足为G ，且AD ＝AB.∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB ，AC 于点E ，F.求证：(1)△ABD 是等边三角形． (2)BE ＝AF.【思路点拨】 (1)由等腰三角形的性质和已知条件得出∠BAD ＝∠DAC ＝12×120°＝60°，再由AD ＝AB ，即可证得；(2)由△ABD 是等边三角形，得BD ＝AD ，∠ABD ＝∠ADB ＝60°，证出∠BDE ＝∠ADF ，由“ASA ”证明△BDE ≌△ADF ，得出BE ＝AF.【解答】 证明：(1)∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝∠DAC ＝12∠BAC.∵∠BAC ＝120°，∴∠BAD ＝∠DAC ＝12×120°＝60°.又∵AD ＝AB ，∴△ABD 是等边三角形． (2)∵△ABD 是等边三角形， ∴∠ABD ＝∠ADB ＝60°，BD ＝AD. ∵∠EDF ＝60°，∴∠BDE ＝∠ADF. 在△BDE 和△ADF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DBE ＝∠DAF ，BD ＝AD ，∠BDE ＝∠ADF ，∴△BDE ≌△ADF(ASA)． ∴BE ＝AF.2．如图，已知△ABC 是等边三角形，点E ，D ，G 分别在AB ，BC ，AC 边上，且AE ＝BD ＝CG.连接AD ，BG ，CE ，相交于点F ，M ，N.(1)求证：AD ＝CE. (2)求∠DFC 的度数．(3)试判断△FMN 的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠BAC ＝∠ABC ＝60°，AB ＝AC. 又∵AE ＝BD ，∴△AEC ≌△BDA(SAS)． ∴AD ＝CE.(2)由(1)知△AEC ≌△BDA ，∴∠ACE＝∠BAD.∴∠DFC＝∠FAC＋∠ACE＝∠FAC＋∠BAD＝∠BAC＝60°.(3)△FMN为等边三角形，理由：由(2)知∠DFC＝60°，同理可求得∠AMG＝60°，∠BNF＝60°.∴△FMN是等边三角形．03复习自测一、选择题(每小题4分，共40分)1．被誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值．下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是(C)2．在平面直角坐标系中，点B的坐标是(4，－1)，点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是(A)A．(4，1) B．(－1，4) C．(－4，－1) D．(－1，－4)3．如图，△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，P为MN上任一点，下列结论中错误的是(D)A．△AA′P是等腰三角形B．MN垂直平分AA′，CC′C．△ABC与△A′B′C′面积相等D．直线AB，A′B′的交点不一定在MN上4．等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为(C)A．25 B．25或32 C．32 D．195．如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，已知AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为(C)A．7 cm B．10 cm C．12 cm D．22 cm6．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB＝AC，∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是(B)A．20°B．35° C．40° D．70°7．如图，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN 上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上．若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为(A) A．4.5 cm B．5.5 cm C．6.5 cm D．7 cm8．如图，∠A＝15°，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，则∠DEF等于(D)A．90° B．75° C．70° D．60°9．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，满足条件的点C有(D)A．6个B．7个C．8个D．9个10．如图，在△ABC中，AB＝20 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，以3 cm/s的速度向点A运动，点Q从点A 同时出发，以2 cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．当△APQ是以∠A为顶角的等腰三角形时，运动的时间是(D)A．2.5 s B．3 s C．3.5 s D．4 s二、填空题(每小题4分，共16分)11．如图，△ABC与△A1B1C1关于某条直线成轴对称，则∠A1＝75°．12．如图，在等边△ABC中，AC＝9，点O在AC上，且AO＝3，点P是AB上一动点，连接OP，以O为圆心，OP 长为半径画弧交BC于点D，连接PD.如果PO＝PD，那么AP的长是6．13．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿着射线BC的方向平移2个单位长度后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的周长为12．14．如图，点P是∠AOB内部的一点，∠AOB＝30°，OP＝8 cm，M，N是OA，OB上的两个动点，则△MPN周长的最小值为8cm.三、解答题(共44分)15．(8分)某科技公司研制开发了一种监控违章车辆的电子仪器．如图，有三条两两相交的公路，你认为这个监控仪器安装在什么位置可离三个路口的交叉点的距离相等，以便及时进行监控．解：作法：如图所示，A，B，C代替三个路口．①连接AB，BC.②分别作线段AB，BC的垂直平分线交于点P，则点P就是所求作的点．16．(10分)如图，△ABC为等边三角形，∠1＝∠2，BD＝CE.求证：△ADE是等边三角形．证明：∵△ABC 为等边三角形， ∴∠BAC ＝60°，AB ＝AC. 又∵∠1＝∠2，BD ＝CE ， ∴△ABD ≌△ACE(SAS)． ∴AD ＝AE ，∠BAD ＝∠CAE. ∵∠BAD ＝60°， ∴∠CAE ＝60°. ∴△ADE 为等边三角形．17．(12分)如图，已知在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，且AD ＝AE ，连接BE ，CD ，交于点F.(1)判断∠ABE 与∠ACD 的数量关系，并说明理由． (2)求证：过点A ，F 的直线垂直平分线段BC.解：(1)∠ABE ＝∠ACD.理由： 在△ABE 和△ACD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAE ＝∠CAD ，AE ＝AD ，∴△ABE ≌△ACD(SAS)． ∴∠ABE ＝∠ACD. (2)证明：连接AF.∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB. 由(1)可知∠ABE ＝∠ACD ， ∴∠FBC ＝∠FCB.∴FB ＝FC. ∴点F 在线段BC 的垂直平分线上．∵AB ＝AC ，∴点A 在线段BC 的垂直平分线上． ∴过点A ，F 的直线垂直平分线段BC.18．(14分)(2020·烟台)如图，在等边△ABC 中，点E 是边AC 上一定点，点D 是直线BC 上一动点，以DE 为一边作等边△DEF ，连接CF.【问题解决】如图1，若点D 在边BC 上，求证：CE ＋CF ＝CD. 【类比探究】如图2，若点D 在边BC 的延长线上，请探究线段CE ，CF 与CD 之间存在怎样的数量关系？并说明理由．解：【问题解决】证明：在CD 上截取CH ＝CE ， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ECH ＝60°. ∴△CEH 是等边三角形． ∴EH ＝EC ＝CH ，∠CEH ＝60°. ∵△DEF 是等边三角形， ∴DE ＝FE ，∠DEF ＝60°.∴∠DEH ＋∠HEF ＝∠FEC ＋∠HEF ＝60°. ∴∠DEH ＝∠FEC. 在△DEH 和△FEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧DE ＝FE ，∠DEH ＝∠FEC ，EH ＝EC ，∴△DEH ≌△FEC(SAS)．∴DH ＝CF.∴CD ＝CH ＋DH ＝CE ＋CF. ∴CE ＋CF ＝CD.【类比探究】线段CE ，CF 与CD 之间的等量关系是CF ＝CD ＋CE.理由如下： ∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝60°. 过点D 作DG ∥AB ，交AC 的延长线于点G ， ∴∠GDC ＝∠B ＝60°，∠DGC ＝∠A ＝60°. ∴∠GDC ＝∠DGC ＝60°.∴△GCD 为等边三角形． ∴DG ＝CD ＝CG ，∠GDC ＝60°. ∵△EDF 为等边三角形， ∴ED ＝DF ，∠EDF ＝∠GDC ＝60°. ∴∠EDG ＝∠FDC.在△EGD 和△FCD 中， ⎩⎪⎨⎪⎧ED ＝FD ，∠EDG ＝∠FDC ，DG ＝DC ，∴△EGD ≌△FCD(SAS)． ∴CF ＝EG ＝CG ＋CE ＝CD ＋CE.期末复习(四) 整式的乘法与因式分解01 知识结构图02 重难点突破 重难点1 幂的运算【例1】 下列算式的运算结果为a 4的是(B) A ．a 4·aB ．(a 2)2C ．a 3＋a 3D ．a 4÷a1．小明做题一向比较粗心，下面四道题他只做对了一道，他做对的那道题是(C) A ．x 4＋x 4＝x 8B ．a 2·a 4＝a8C ．－a 7·a 5＝－a 12D ．(2x 2y 3)2＝－2x 5y 62．已知3m＝a ，9n＝b ，则3m ＋2n －1的值用含a ，b 的式子表示为ab3．重难点2 整式的乘除【例2】 计算：[x(x 2y 2－xy)－y(x 2－x 3y)]÷x 2y. 【解答】 原式＝[x 2y(xy －1)－x 2y(1－xy)]÷x 2y ＝[x 2y(2xy －2)]÷x 2y ＝2xy －2.整式的混合运算与有理数的混合运算类似，主要紧扣运算顺序和运算法则两点．3．(2020·济宁)先化简，再求值：(x ＋1)(x －1)＋x(2－x)，其中x ＝12.解：原式＝x 2－1＋2x －x 2＝2x －1.当x ＝12时，原式＝2×12－1＝0.重难点3 乘法公式【例3】 如图，从边长为(a ＋1)cm 的正方形纸片中剪去一个边长为(a －1)cm 的正方形(a>1)，剩余部分沿虚线又剪拼成一个长方形(不重叠无缝隙)，则该长方形的面积为(C)A ．2 cm 2B ．2a cm2C ．4a cm 2D ．(a 2－1)cm 2【思路点拨】 由拼成的长方形(不重叠无缝隙)的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积求解．解答与整式运算的应用有关的题，关键是通过建立整式运算模型，把实际问题转化为整式运算问题来解．4．利用乘法公式计算： (1)199.5×200.5.解：原式＝(200－0.5)(200＋0.5) ＝2002－0.52＝39 999.75. (2)982－101×99.解：原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1) ＝1002－400＋4－1002＋1 ＝－395.重难点4 因式分解 【例4】 分解因式：(1)10a －5a 2－5. (2)(x 2＋3x)2－(x －1)2. 【解答】 (1)原式＝－5(a 2－2a ＋1) ＝－5(a －1)2.(2)原式＝(x 2＋3x ＋x －1)(x 2＋3x －x ＋1) ＝(x 2＋4x －1)(x 2＋2x ＋1) ＝(x 2＋4x －1)(x ＋1)2.把一个多项式分解因式通常采用的方法是先提公因式，再运用公式因式分解．5．因式分解：(1)(2020·济宁)a 3－4a ＝a(a ＋2)(a －2)． (2)(2020·黄石)m 3n －mn 3＝mn(m ＋n)(m －n)． 6．若a ＋b ＝3，ab ＝2，则a 2b ＋ab 2＝6． 7．因式分解：(x 2＋4y 2)2－16x 2y 2. 解：原式＝(x 2＋4y 2)2－(4xy)2＝(x 2＋4y 2－4xy)(x 2＋4y 2＋4xy) ＝(x －2y)2(x ＋2y)2.03 复习自测 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．(2020·柳州)2ab ·a 2的计算结果是(C) A ．2abB ．4abC ．2a 3bD ．4a 3b2．(2020·深圳)下列运算正确的是(B) A ．a ＋2a ＝3a 2B ．a 2·a 3＝a5C ．(ab)3＝ab 3D ．(－a 3)2＝－a 63．下列各式计算正确的是(C) A ．(x ＋2)(x －5)＝x 2－2x －3 B ．(x ＋3)(x －13)＝x 2＋x －1C ．(x －23)(x ＋12)＝x 2－16x －13D ．(x －2)(－x －2)＝x 2－44．下列式子：①x 2＋xy －y 2；②－x 2＋2xy －y 2；③x 2＋xy ＋y 2；④1－x ＋x24.其中能用完全平方公式分解因式的是(D)A ．①②B ．①③C ．①④D ．②④5．若将(3x ＋a)(3x ＋b)展开的结果中不含有x 项，则a ，b 的关系是(D) A ．ab ＝1B ．ab ＝0C ．a －b ＝0D ．a ＋b ＝06．化简(a －1)(a ＋1)(a 2＋1)－(a 4－1)的结果为(A) A ．0B ．2C ．－2D ．2a 47．如果单项式－2x a －2b y 2a ＋b与x 3y 8b是同类项，那么这两个单项式的积是(B)A ．－2x 6y 16B ．－2x 6y32C ．－2x 3y 8D ．－4x 6y 168．化简(－2)2n ＋1＋2(－2)2n的结果是(A)A ．0B ．－22n ＋1C ．22n ＋1D ．22n9．(2020·平顶山期末)对于算式2 0203－2 020，下列说法错误的是(A) A ．能被2 018整除B ．能被2 019整除C ．能被2 020整除D ．能被2 021整除10．(2019·烟台)南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了(a ＋b)n(n 为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将右表称为“杨辉三角”．(a ＋b)0＝1； (a ＋b)1＝a ＋b ； (a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2； (a ＋b)3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3； (a ＋b)4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4；(a ＋b)5＝a 5＋5a 4b ＋10a 3b 2＋10a 2b 3＋5ab 4＋b 5； ……则(a ＋b)9展开式中所有项的系数和是(C) A ．128B ．256C ．512D ．1 024二、填空题(每小题3分，共15分) 11．计算：4＋(π－2)0＝3.12．一个长方形的面积为a 3－2a 2＋a ，宽为a ，则长方形的长为(a －1)2. 13．若a 2＋2ab ＋b 2－c 2＝10，a ＋b ＋c ＝5，则a ＋b －c 的值是2. 14．已知a x b 2＝3，a 3b y＝4，则式子a2x ＋6b 2y ＋4的值为144．15．(2020·洛阳偃师市期中)若△ABC 的边a ，b 满足a 2－12a ＋b 2－16b ＋100＝0，则第三边c 上的中线长m 的取值范围为1＜m ＜7．三、解答题(共55分) 16．(12分)计算： (1)10012×9912.解：原式＝(100＋12)(100－12)＝1002－(12)2＝10 000－14＝9 99934.(2)(3a ＋2b －1)(3a －2b ＋1)．解：原式＝[3a ＋(2b －1)][3a －(2b －1)] ＝(3a)2－(2b －1)2＝9a 2－4b 2＋4b －1. (3)(a －b)2－(a ＋b)2.解：原式＝(a －b ＋a ＋b)(a －b －a －b) ＝2a ·(－2b) ＝－4ab. (4)(2x ＋y －3)2.解：原式＝4x 2＋4xy ＋y 2－12x －6y ＋9. 17．(12分)分解因式： (1)a 2x 2y －axy 2.解：原式＝axy(ax －y)． (2)－14abc －7ab ＋49ab 2c. 解：原式＝7ab(7bc －2c －1)． (3)9(a －b)2－16(a ＋b)2. 解：原式＝－(a ＋7b)(7a ＋b)． (4)3x 3－12x 2y ＋12xy 2. 解：原式＝3x(x －2y)2.18．(9分)如图所示，有一位狡猾的地主，把一块边长为a 米的正方形土地租给李老汉种植．今年，他对李老汉说：“我把你这块地一边减少4米，另一边增加4米，继续租给你，你也没有吃亏，你看如何？”李老汉一听，觉得好像没有吃亏，就答应了．同学们，你们觉得李老汉有没有吃亏？解：吃亏了．理由如下：原来的面积为a 2，后来的面积为(a ＋4)(a －4)＝a 2－16， ∵a 2>a 2－16，∴李老汉吃亏了．19．(10分)(2020·南阳期末)若x 满足(9－x)(x －4)＝4，求(4－x)2＋(x －9)2的值． 解：设9－x ＝a ，x －4＝b ，则(9－x)(x －4)＝ab ＝4，a ＋b ＝(9－x)＋(x －4)＝5， ∴(4－x)2＋(x －9)2＝a 2＋b 2＝(a ＋b)2－2ab ＝52－2×4＝17. 请仿照上面的方法求解下面的问题：若x 满足(x －2 018)2＋(x －2 021)2＝31，求(x －2 018)(x －2 021)的值． 解：设x －2 018＝a ，x －2 021＝b ， 则(x －2 018)2＋(x －2 021)2＝a 2＋b 2＝31， (x －2 018)－(x －2 021)＝a －b ＝3，(x －2 018)(x －2 021)＝ab ＝（a 2＋b 2）－（a －b ）22＝31－322＝11.20．(12分)阅读以下材料：对数的创始人是苏格兰数学家纳皮尔(J.Napier ，1550—1617)，纳皮尔发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉(Euler ，1707—1783)才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N(a ＞0，a ≠1)，则x 叫做以a 为底N 的对数，记作：x ＝log a N.比如指数式24＝16可以转化为4＝log 216，对数式2＝log 525可以转化为52＝25.我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a (M ·N)＝log a M ＋log a N(a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0)．理由如下： 设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m，N ＝a n， ∴M ·N ＝a m·a n＝am ＋n，由对数的定义得m ＋n ＝log a (M ·N)．又∵m ＋n ＝log a M ＋log a N ， ∴log a (M ·N)＝log a M ＋log a N. 解决以下问题：(1)将指数式43＝64转化为对数式：3＝log 464．(2)求证：log a MN ＝log a M －log a N(a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0)．(3)计算：log 32＋log 36－log 34＝1．证明：设log a M ＝m ，log a N ＝n ，则M ＝a m，N ＝a n， ∴M N ＝a ma n ＝a m －n，由对数的定义得m －n ＝log a M N . 又∵m －n ＝log a M －log a N ，∴log a MN＝log a M －log a N(a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0)．期末复习(五) 分式01 知识结构图分式⎩⎪⎨⎪⎧分式⎩⎪⎨⎪⎧概念、基本性质分式的化简分式的运算⎩⎪⎨⎪⎧分式的乘除、乘方分式的加减整数指数幂分式方程⎩⎪⎨⎪⎧分式方程的解法分式方程的应用02 重难点突破 重难点1 分式的有关概念及基本性质【例1】 若分式2aba ＋b 中a ，b 的值同时扩大到原来的10倍，则分式的值(B)A ．变为原来的20倍B ．变为原来的10倍C ．变为原来的110D ．不变解答此类问题的关键是抓住分子、分母变化的倍数，首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论．1．(2019·商丘柘城县期末)若分式3x1－2x 有意义，则x 的取值范围是(B)A ．x ≠0B ．x ≠12C ．x ＞12D ．x ＜122．下列等式成立的是(C) A.1a ＋2b ＝3a ＋bB.a 2＋b 2a ＋b＝a ＋bC.ab ab －b 2＝aa －bD.m m 2＋1＝1m ＋13．化简a 2b －ab2b －a ，结果正确的是(B)A ．abB ．－abC ．a 2－b2D ．b 2－a 2重难点2 分式的运算 【例2】 先化简，再求值： (1－1m )÷m 2－1m 2＋2m ＋1，其中m ＝2.【解答】 原式＝(m m －1m )÷（m ＋1）（m －1）（m ＋1）2＝m －1m ·m ＋1m －1 ＝m ＋1m.当m ＝2时，原式＝2＋12＝32.分式的运算要把握两个关键：一是灵活运用因式分解去通分和约分；二是巧借运算律简化运算．4．化简2a 2－1－1a －1的结果是－1a ＋1．5．化简：(1＋1x )÷(2x －1＋x2x )．解：原式＝x ＋1x ÷2x 2－1－x2x＝x ＋1x ·x x 2－1＝x ＋1x ·x （x ＋1）（x －1） ＝1x －1. 6．先化简，再求值：(a ＋1－4a －5a －1)÷(1a －1a 2－a )，其中a 从－2，0，1，2中选一个你喜欢的数代入求值．解：原式＝（a ＋1）（a －1）－（4a －5）a －1÷a －1－1a （a －1）＝a 2－1－4a ＋5a －1·a （a －1）a －2＝（a －2）2a －1·a （a －1）a －2＝a(a －2)．∵a ≠0，1，2，∴a ＝－2.当a ＝－2时，原式＝－2×(－2－2)＝8. 重难点3 分式方程【例3】 分式方程2x －5x －2＝32－x 的解是(C)A ．x ＝－2B ．x ＝2C ．x ＝1D ．x ＝1或x ＝2解分式方程应注意：(1)解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． (2)解分式方程一定要注意验根．7．已知关于x 的分式方程x ＋k x ＋1－k x －1＝1的解为负数，则k 的取值范围是k ＞12且k ≠1．8．解方程：12x －4＋12＝32－x .解：去分母，得1＋x －2＝－6. 移项、合并同类项，得x ＝－5. 检验：当x ＝－5时，2(x －2)≠0. 所以原分式方程的解为x ＝－5.9．(2020·威海)在“旅游示范公路”建设的过程中，工程队计划在海边某路段修建一条长1 200 m 的步行道．由于采用新的施工方式，平均每天修建步行道的长度是计划的1.5倍，结果提前5天完成任务．求计划平均每天修建步行道的长度．解：设计划平均每天修建步行道的长度为x m ，则采用新的施工方式后平均每天修建步行道的长度为1.5x m ，依题意，得1 200x －1 2001.5x ＝5， 解得x ＝80.经检验，x ＝80是原方程的解，且符合题意． 答：计划平均每天修建步行道的长度为80 m. 03 复习自测一、选择题(每小题3分，共30分)1．下列式子：－3x ，2a ，x 2－y 2xy ，－a 2π，x －1y 2，a －2b ，其中是分式的有(C)A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个2．分式a x ，x ＋y x 2－y 2，a －b a 2－b 2，x ＋yx －y 中，最简分式有(B) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个3．计算2a a ＋1＋2a ＋1的结果是(A)A ．2B ．2a ＋2C ．1D.4a a ＋14．若将分式2x 2yx ＋y 中x ，y 的值都扩大10倍，则该分式的值(C)A ．扩大到原来的10倍B ．缩小到原来的110C ．扩大到原来的100倍D ．不变5．下列运算正确的是(C) A.－x －y －x ＋y ＝x －y x ＋yB.a 2－b 2（a －b ）2＝a －b a ＋b C.a 2－b 2（a －b ）2＝a ＋b a －bD.x －11－x 2＝1x ＋16．(2020·贵港)目前世界上刻度最小的标尺是钻石标尺，它的最小刻度为0.2 nm(其中1 nm ＝10－9m)，用科学记数法表示这个最小刻度(单位：m)，结果是(C)A ．2×10－8mB ．2×10－9mC ．2×10－10m D ．2×10－11m7．化简：a ＋1a 2－2a ＋1÷(1＋2a －1)＝(A)A.1a －1B.1a ＋1C.1a 2－1D.1a 2＋18．(2020·郑州金水区校级模拟)某图书馆计划选购甲、乙两种图书．已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的2.5倍，用800元单独购买甲图书比用800元单独购买乙图书要少24本．求甲、乙两种图书每本价格分别为多少元．我们设乙图书每本价格为x 元，则可得方程(B)A.8002.5x －800x ＝24 B.800x －8002.5x＝24 C.800×2.5x －800x ＝24 D.800x 2.5－800x＝24 9．(2020·孝感)已知x ＝5－1，y ＝5＋1，那么式子x 3－xy2x （x －y ）的值是(D)A ．2B. 5C ．4D ．2 510．若分式方程3x x ＋1＝mx ＋1＋2无解，则m ＝(B)A ．－1B ．－3C ．0D ．－2二、填空题(每小题3分，共18分)11．若分式12x －1有意义，则x 的取值范围是x ≠12．12．计算：3－8＋(13)－2＋(π－1)0＝8．13．化简：(2x x －3－x x ＋3)·x 2－9x＝x ＋9.14．如图，点A ，B 在数轴上，它们所表示的数分别是－4，4x －45x ＋1，且点A 到原点的距离是点B 到原点距离的2倍，则x ＝－1．15．已知a 2－6a ＋9与|b －1|互为相反数，则式子(a b －b a )÷(a ＋b)的值是23．16．观察规律并填空． (1－122)＝12·32＝34；(1－122)(1－132)＝12·32·23·43＝12·43＝23；(1－122)(1－132)(1－142)＝12·32·23·43·34·54＝12·54＝58；(1－122)(1－132)(1－142)(1－152)＝12·32·23·43·34·54·45·65＝12·65＝35；……(1－122)(1－132)(1－142)…(1－1n 2)＝n ＋12n (用含n 的式子表示，n 是正整数，且n ≥2)．三、解答题(共52分) 17．(10分)计算： (1)(2x －3y 2)－2÷(x －2y)3. 解：原式＝14x 6y －4÷x －6y 3＝x 124y 7.(2)4－x x －2÷(x ＋2－12x －2)． 解：原式＝4－x x －2÷(x 2－4x －2－12x －2)＝4－x x －2÷x 2－4－12x －2 ＝4－x x －2·x －2（x ＋4）（x －4）＝－1x ＋4.18．(10分)解分式方程： (1)2x x ＋1－1＝1x ＋1. 解：方程两边乘(x ＋1)，得2x －x －1＝1. 解得x ＝2.检验：当x ＝2时，x ＋1≠0. 所以原分式方程的解为x ＝2. (2)x 2x －3＋53－2x＝4. 解：去分母，得x －5＝4(2x －3)． 解得x ＝1.检验：当x ＝1时，2x －3≠0. 所以原方程的解是x ＝1.19．(9分)先将(1－1x )÷x －1x 2＋2x 化简，然后请自选一个你喜欢的x 值代入求值．解：原式＝x －1x ÷x －1x 2＋2x＝x －1x ·x （x ＋2）x －1＝x ＋2.当x ＝10时，原式＝10＋2＝12. (注意：x 不能取0，1，－2)20．(11分)某校数学兴趣小组的成员在研究题目时发现一个有趣的现象：x ，y 表示两个正数，分别把它们作为分子、分母，得到两个分式y x ，xy .如果这两个正数的差等于它们的积，即x －y ＝xy ，那么这两个分式的和比这两个正数的积大2，即y x ＋xy＝xy ＋2.(1)写出两组符合条件x －y ＝xy 的正数x ，y 的值．(2)选(1)中的一组x ，y 的值，验证兴趣小组发现的结论y x ＋xy ＝xy ＋2.(3)在一般情形下，验证兴趣小组发现的结论． 解：(1)x ＝1，y ＝12或x ＝13，y ＝14.(2)当x ＝1，y ＝12时，x －y ＝1－12＝12＝1×12＝xy ，∵y x ＋x y ＝12＋2＝212，xy ＝12， ∴y x ＋xy ＝xy ＋2. (3)∵x －y ＝xy ，∴y x ＋x y －xy ＝y 2＋x 2－（xy ）2xy ＝x 2＋y 2－（x －y ）2xy ＝2. ∴当x －y ＝xy 时，y x ＋xy比xy 大2.21．(12分)某商场准备购进甲、乙两种商品进行销售，若每个甲商品的进价比每个乙商品的进价少2元，且用80元购进甲商品的数量与用100元购进乙商品的数量相同．(1)甲、乙两种商品每个的进价分别是多少元？(2)若该商场购进甲商品的数量比购进乙商品的数量的3倍还少5个，且购进甲、乙两种商品的总数量不超过95个，则商场最多购进乙商品多少个？(3)在(2)的条件下，如果甲、乙两种商品的售价分别是12元/个和15元/个，且将购进的甲、乙两种商品全部售出后，可使销售两种商品的总利润超过380元，那么该商场购进甲、乙两种商品有哪几种方案？解：(1)设每件乙种商品的进价为x 元，则每件甲种商品的进价为(x －2)元，根据题意，得 80x －2＝100x ， 解得x ＝10.经检验，x ＝10是原方程的根，且符合题意． ∴x －2＝8.。

人教版2021年八年级数学上册期末考试及答案【精编】 班级： 姓名： 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1．2-的相反数是（ ）A ．2-B ．2C ．12D ．12- 2．计算：(a －b)(a ＋b)(a 2＋b 2)(a 4－b 4)的结果是( )A ．a 8＋2a 4b 4＋b 8B ．a 8－2a 4b 4＋b 8C ．a 8＋b 8D ．a 8－b 83．下列计算正确的是( )A ．235+=B ．3223-=C ．623÷=D ．(4)(2)22-⨯-=4．若关于x 的一元一次不等式组11(42)423122x a x x ⎧--≤⎪⎪⎨-⎪<+⎪⎩的解集是x ≤a ，且关于y 的分式方程24111y a y y y ---=--有非负整数解，则符合条件的所有整数a 的和为（ ）A ．0B ．1C ．4D ．6 5．若关于x 的一元二次方程(k －1)x 2＋4x ＋1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是（ ）A ．k<5B ．k<5，且k ≠1C ．k ≤5，且k ≠1D ．k>56．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点O ，6AB =，8BC =，过点O 作OE AC ⊥，交AD 于点E ，过点E 作EF BD ⊥，垂足为F ，则OE EF +的值为（ ）A ．485B ．325C ．245 D ．1257．四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ）A ．AB ∥DC ，AD ∥BCB ．AB=DC ，AD=BC C ．AO=CO ，BO=DOD ．AB ∥DC ，AD=BC8．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a ，较短直角边长为b ，若2)21a b +=（，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．69．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，且中间夹的三角形是直角三角形，则字母A 所代表的正方形的面积为（ ）A ．4B ．8C ．16D ．6410．下列图形中，是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．因式分解：3222x x y xy +=﹣__________． 2．若关于x 的方程2134416x m m x x ++=-+-无解，则m 的值为__________． 3．设m ，n 是一元二次方程x 2＋2x －7＝0的两个根，则m 2＋3m ＋n ＝_______.4．如图，▱ABCD 中，AB ＝3cm ，BC ＝5cm ，BE 平分∠ABC 交AD 于E 点，CF 平分∠BCD 交AD 于F 点，则EF 的长为________m ．5．如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60°，AB ＝3，四边形ACEF 是正方形，则EF 的长为__________．6．如图一个圆柱，底圆周长10cm ，高4cm ，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A 点爬到B 点，则最少要爬行_______cm .三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．用适当的方法解方程组（1）3322x y x y =-⎧⎨+=⎩ （2）353123x y x y -=⎧⎪⎨-=⎪⎩2．先化简，再求值：（a ﹣2b ）（a+2b ）﹣（a ﹣2b ）2+8b 2，其中a=﹣2，b=12．3．已知关于x ，y 的方程组325x y a x y a -=+⎧⎨+=⎩． （1）若x ，y 为非负数，求a 的取值范围；（2）若x y >，且20x y +<，求x 的取值范围．4．已知：如图所示△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD．求证：AE=BD．5．某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y （℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；（2）求恒温系统设定的恒定温度；（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？6．去冬今春，我市部分地区遭受了罕见的旱灾，“旱灾无情人有情”．某单位给某乡中小学捐献一批饮用水和蔬菜共320件，其中饮用水比蔬菜多80件．（1）求饮用水和蔬菜各有多少件？（2）现计划租用甲、乙两种货车共8辆，一次性将这批饮用水和蔬菜全部运往该乡中小学．已知每辆甲种货车最多可装饮用水40件和蔬菜10件，每辆乙种货车最多可装饮用水和蔬菜各20件．则运输部门安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来；（3）在（2）的条件下，如果甲种货车每辆需付运费400元，乙种货车每辆需付运费360元．运输部门应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、B3、D4、B5、B6、C7、D8、C9、D10、D二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、()2x x y -2、-1或5或13-3、54、15、36三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、(1)47xy=-⎧⎨=⎩；(2)831xy⎧=⎪⎨⎪=⎩2、4ab，﹣4．3、（1）a≥2；（2）-5＜x＜14、略.5、（1）y关于x的函数解析式为210(05)20(510)200(1024)x xy xxx⎧⎪+≤<⎪=≤<⎨⎪⎪≤≤⎩；（2）恒温系统设定恒温为20°C；（3）恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．6、（1）饮用水和蔬菜分别为200件和120件（2）设计方案分别为：①甲车2辆，乙车6辆；②甲车3辆，乙车5辆；③甲车4辆，乙车4辆（3）运输部门应选择甲车2辆，乙车6辆，可使运费最少，最少运费是2960元。

人教版2021年八年级数学上册期末考试卷及答案【人教版2021年】班级：姓名：一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1）A．B C．2±D．22．若关于x的方程3m(x＋1)＋5＝m(3x－1)－5x的解是负数，则m的取值范围是（）A．m＞－54B．m＜－54C．m＞54D．m＜543．设4a，小数部分为b，则1ab-的值为（）A．B C．1+D．14．已知三角形三边长为a、b、c，且满足247a b-=，246b c-=-，2618c a-=-，则此三角形的形状是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．无法确定5．“绿水青山就是金山银山”．某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了25%，结果提前30天完成了这一任务．设实际工作时每天绿化的面积为x万平方米，则下面所列方程中正确的是（）A．606030(125%)x x-=+B．606030(125%)x x-=+C．60(125%)6030x x⨯+-=D．6060(125%)30x x⨯+-=6．下列对一元二次方程x2+x﹣3=0根的情况的判断，正确的是（）A．有两个不相等实数根B．有两个相等实数根C．有且只有一个实数根D．没有实数根7．汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由弦图变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1、S2、S3．若S1＋S2＋S3＝10，则S2的值为（）A．113B．103C．3 D．838．如图，在▱ABCD中，已知AD=5cm，AB=3cm，AE平分∠BAD交BC边于点E，则EC等于（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm9．如图，∠B的同位角可以是()A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠410．将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含30°角的三角板的一条直角边和含45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α的度数是（）.A．45°B．60°C．75°D．85°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．已知a、b为两个连续的整数，且11a b<<，则a b+=__________．2．以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是__________．3．如果不等式组841x xx m+<-⎧⎨>⎩的解集是3x>，那么m的取值范围是________.4．如图，在正五边形ABCDE中，AC与BE相交于点F，则∠AFE的度数为_____________．5．如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE．折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上．若5DE=，则GE的长为__________．6．如图△ABC中，分别延长边AB、BC、CA，使得BD=AB，CE=2BC，AF=3CA，若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为________.三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解下列方程组：(1)75331x y x y +=⎧⎨+=⎩； (2)()346126x y y x y y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩.2．先化简，再求值：（x+y ）（x-y ）-（4x 3y-8xy 3）÷2xy ，其中x=-1，y=12.3．已知关于x 的一元二次方程2(3)0x m x m ---=.（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）如果方程的两实根为1x ，2x ，且2212127x x x x +-=，求m 的值．4．如图，在▱ABCD 中，AE ⊥BC ，AF ⊥CD ，垂足分别为E ，F ，且BE=DF（1）求证：▱ABCD 是菱形；（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD 的面积．5．如图，点E ，F 在BC 上，BE ＝CF ，∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，AF 与DE 交于点O ．(1)求证：AB ＝DC ；(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．6．因魔幻等与众不同的城市特质，以及抖音等新媒体的传播，重庆已成为国内外游客最喜欢的旅游目的地城市之一．著名“网红打卡地”磁器口在2018年五一长假期间，接待游客达20万人次，预计在2020年五一长假期间，接待游客将达28.8万人次．在磁器口老街，美食无数，一家特色小面店希望在五一长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗6元，借鉴以往经验：若每碗卖25元，平均每天将销售300碗，若价格每降低1元，则平均每天多销售30碗．(1)求出2018至2020年五一长假期间游客人次的年平均增长率；(2)为了更好地维护重庆城市形象，店家规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天利润6300元？参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、B2、A3、D4、A5、C6、A7、B8、B9、D10、C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、72、30°或150°．3、3m≤.4、72°5、49 136、18三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、(1)52xy=⎧⎨=⎩;(2)2xy=⎧⎨=⎩2、223x y-+，14-．3、（1）略（2）1或24、（1）略；（2）S平行四边形ABCD=245、（1）略（2）等腰三角形，理由略6、(1)年平均增长率为20%；(2)每碗售价定为20元时，每天利润为6300元.。

人教版2021年八年级数学上册期末考试及答案【完美版】 班级： 姓名： 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分） 1．2020的相反数是（ ）A ．2020B ．2020-C ．12020D ．12020- 2．如果y ＝2x -+2x -+3，那么y x 的算术平方根是（ ）A ．2B ．3C ．9D ．±33．下列各式中，正确的是（ ）A ．2(3)3-=-B ．233-=-C ．2(3)3±=±D ．23=3±4．若x 取整数，则使分式6321x x +-的值为整数的x 值有（ ） A ．3个 B ．4个 C ．6个 D ．8个5．如图，a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，化简22()a a c c b -++-的结果是（ ）A ．2c ﹣bB ．﹣bC ．bD ．﹣2a ﹣b6．下列二次根式中能与23合并的是（ ）A ．8B ．13C ．18D ．97．如图，在△ABC 中，AB=3，AC=4，BC=5，P 为边 BC 上一动点，PE ⊥AB 于 E ，PF ⊥AC 于 F ，M 为 EF 中点，则 AM 的最小值为（ ）A ．1B ．1.3C ．1.2D ．1.58．如图,已知点E 在正方形ABCD 内,满足∠AEB=90°,AE=6,BE=8,则阴影部分的面积是（）A．48 B．60C．76 D．809．李大爷要围成一个矩形菜园，菜园的一边利用足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长应恰好为24米．要围成的菜园是如图所示的矩形ABCD．设BC边的长为x米，AB边的长为y米，则y与x之间的函数关系式是( )A．y=－2x+24(0<x<12) B．y=－x＋12(0<x<24)C．y=2x－24(0<x<12) D．y=x－12(0<x<24)10．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．AB=DC C．∠ACB=∠DBC D．AC=BD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．如图，数轴上点A表示的数为a，化简：a244+-+=________．a ax x的取值范围为__________．23．若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n＝________．4．如图，直线y=x+b与直线y=kx+6交于点P（3，5），则关于x的不等式x+b＞kx+6的解集是_________．5．如图，直线AB ，CD 被BC 所截，若AB ∥CD ，∠1=45°，∠2=35°，则∠3= _________度。

人教版2021年八年级数学上册期末考试及答案【精选】 班级： 姓名： 一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1．6的相反数为( )A ．-6B ．6C ．16-D ．162．估计7+1的值（ ）A ．在1和2之间B ．在2和3之间C ．在3和4之间D ．在4和5之间 3．化简二次根式 22a a a +-的结果是（ ） A ．2a -- B ．－2a --C ．2a -D ．－2a - 4．如果一次函数y=kx+b （k 、b 是常数，k ≠0）的图象经过第一、二、四象限，那么k 、b 应满足的条件是（ ）A ．k ＞0，且b ＞0B ．k ＜0，且b ＞0C ．k ＞0，且b ＜0D ．k ＜0，且b ＜05．下列各组数中，能作为一个三角形三边边长的是（ ）A ．1，1，2B ．1，2，4C ．2，3，4D ．2，3，56．如图，AB ∥CD ，点E 在线段BC 上，若∠1＝40°，∠2＝30°，则∠3的度数是（ ）A ．70°B ．60°C ．55°D ．50°7．如图，将矩形ABCD 沿GH 折叠，点C 落在点Q 处，点D 落在AB 边上的点E处，若∠AGE=32°，则∠GHC等于（）A．112°B．110°C．108°D．106°8．如图，小华剪了两条宽为1的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为60，则它们重叠部分的面积为（）A．1 B．2 C 3 D．23 39．如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，那么小巷的宽度为（）A．0.7米B．1.5米C．2.2米D．2.4米10．如图，将△ABC沿DE，EF翻折，顶点A，B均落在点O处，且EA与EB重合于线段EO，若∠DOF＝142°，则∠C的度数为（）A．38°B．39°C．42°D．48°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1．9的平方根是_________．2．已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k 的值为__________．3．若分式1xx-的值为0，则x的值为________.4．如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是________．5．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D是AB的中点，则CD=_____．6．如图，ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M．如果CDM的周长为8，那么ABCD的周长是_____．三、解答题（本大题共6小题，共72分）1．解方程组：（1）329817x yx y-=⎧⎨+=⎩（2）272253xyyx⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩2．先化简，再求值：2282442xxx x x⎛⎫÷--⎪-+-⎝⎭，其中2x=.3．已知关于x的一元二次方程22240x x k++-=有两个不相等的实数根（1）求k的取值范围；（2）若k为正整数，且该方程的根都是整数，求k的值．4．如图，点A、D、C、F在同一条直线上，AD=CF，AB=DE，BC=EF.(1)求证：ΔABC≌△DEF；(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F的度数.5．如图，点E，F在BC上，BE＝CF，∠A＝∠D，∠B＝∠C，AF与DE交于点O．(1)求证：AB＝DC；(2)试判断△OEF的形状，并说明理由．6．某商场计划用56000元从厂家购进60台新型电子产品，已知该厂家生产甲、，台，其中每台乙、丙三种不同型号的电子产品，设甲、乙型设备应各买入x y的价格、销售获利如下表：甲型乙型丙型价格（元/台）1000800500销售获利（元/台）260190120（1）购买丙型设备台(用含,x y的代数式表示) ；（2）若商场同时购进三种不同型号的电子产品(每种型号至少有一台)，恰好用了56000元，则商场有哪几种购进方案?（3）在第（2）题的基础上，为了使销售时获利最多，应选择哪种购进方案?此时获利为多少?参考答案一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分）1、A2、C3、B5、C6、A7、D8、D9、C10、A二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1、±32、﹣33、1.4、x=25、36、16三、解答题（本大题共6小题，共72分）1、（1）11xy=⎧⎨=⎩；（2）23xy=⎧⎨=⎩2、22x-，12-.3、（1）k＜52（2）24、（1）略；（2）37°5、（1）略（2）等腰三角形，理由略6、(1) 60x y--； (2) 购进方案有三种，分别为:方案一:甲型49台，乙型5台，丙型6台；方案二:甲型46台，乙型10台，丙型4台；方案三:甲型43台，乙型15台，丙型2台；(3) 购进甲型49台，乙型5台，丙型6台，获利最多，为14410元。