当前位置：文档之家 › 薛定谔方程习题

薛定谔方程习题

  • 格式：doc
  • 大小：161.98 KB
  • 文档页数：6

Chapter2. S.E
1
第二章 习 题
1.质量为μ的粒子，约束在一维势V(x)中，设在某些区域V(x)是常数，V(x)=V0，
在这些区域里，求：(1) E>V0; (2)E三种情况下粒子的定态波函数，此处E为粒子能量。
2.考虑一个粒子受不含时势()Vr的束缚，
(1) 设粒子的态用的形如(,)()()Vrtrt的波函数描述，证明：()ittAe（A

是常数），而必须满足方程：22()()()()2rVrrr
(2) 证明：(1)中情况下，概率密度不依赖于时间。
3.质量为的粒子束缚在形如：(,,)()()()VxyzVxUyWz的三维势场中，用分
离变量法导出三个独立的一维问题，并建立三维能量和一维问题有效能量的关
系。
4.设束缚态波函数和是S.E的两个解，证明：*12d(全空间)与时间无关。（可用两

种方法证）
（奥斯特罗格拉德斯基公式：()()VsAdAds）

5.NaCl晶体内有些负离子空穴，每个空穴束缚一个电子，因此可将这些电子看
成束缚在边长为晶格常数a的立方体内的粒子，设在室温下电子处于基态，求处
于基态的电子吸收电磁波跃迁到第一激发态时，所吸收电磁波的波长。
6.将在动量空间中的波函数：()exp()(0,)CpNPPP归一化，并证明

在坐标空间中的波函数表达式为：3/2221()(2)()rr（提示：在球面坐标
ρ、θ、φ下由傅立叶变换关系求证）
7.粒子在：(1)一维无限深方势阱(0≤x≤a)；
—V0<0 xa
(2)一维有限深方势阱：V(x)=
0
xa
Chapter2. S.E
2
中运动，运用索末菲量子化条件()qPdqnh求体系束缚定态能谱。
8.证明氢原子稳定轨道上正好能容纳下整数个电子的德布罗意波波长，上述结果同样适用于

椭圆轨道。（对于椭圆轨道有：r()()qrpdqpdrpdnnh）
9.粒子在势能U(x)中运动，当U(x)→U(x)+C，粒子的能量是否改变？波函数ψ(x)是否会改
变？ψ(x，t)呢？是通过计算加以回答。
10.图(a)中的定态波函数对应于图中哪一个势函数图？

说明理由。
11.有下列波函数，其中和ψ1描写同一状态的有哪些？
2/2/2/1232/(2/)3/456;;(42);;3;.ixhixhixhixhixhixheeieeee





12.一维运动粒子处于定态2212()xxAxe中，求粒子所处势场？若V(0)=0,则E=？
2
423422
[()(3)()()(3)]2xxxUxEx，

13.设V(x)中的粒子波函数为()()xnaxxAea，其中A,n,a为常数，当x→∞时，V(x)→0
，

求V(x)及E。
/1/2/2221(1)[()()2()()]nxanxanxaxnxnnxxAeAeAeaaaaaa




2
122()[12()(1)()]2xxUxEnnnaaa


14*.
质量为

μ的粒子，处于一维短程势0V()()xAVx中，求粒子的束缚态能量

E。（注意束缚态能量的含义）
Chapter2. S.E
3
15.若描述粒子状态的波函数为：12,0(),0xxAexxAex
讨论：若
()x具有确定的宇称性，则A1与A2间的关系如何？()x

具有何种宇称？

16.试证明，对任意的一维势垒，关系式R+D=1都自动满
足。（见图示）
提示：求出x→±∞的渐近解()x；再求出J；然后由R+D
求证R+D=1。

17.如图所示，设有一个一维势垒0,0()0,0UxUxx
今有一束能量为E的粒子从左向右入射，求出这束粒子被势
垒反射的概率，分别讨论E>U0和E果与经典力学的结果作比较，讨论在何种情况下经典与量子
的结果相符合。
18.如图所示，一维方势阱代表金属中电子发射的模型，试求：E>0的电子在金属表面的反
射系数。
19.如图所示，设粒子(E>0)从左入射，被势阱散射，求透射系数。
20.若粒子从右边入射，求一维阶梯势的R和D。（因从右入射，故E>U0）
Chapter2. S.E

4
21.S.E的逆问题
粒子在一维势场中运动，其束缚态定态波函数为：

(1)2250,()15(),16xaxaxxaa

(2)()()xxex
(3)3()2()xxxex

求粒子相应的能级及势场V(x)。(已知:222()dxxdx)
22.由连续性方程证明，定态下概率分布函数与时间无关。

23.已知()x描述粒子的归一化波函数，求在x→x+dx区间内发现粒子的概率，在px→px+dx
区间内发现粒子动量值的概率。

24.归一化的基态波函数为：(1)()(,,),rreerrr、为正常数，
设r→∞时，()0Ur
求势场()Ur及基态能量的值？
25.设1()x与2()x均为S.E中属于同一能量E的解。则1212常数。
26.设粒子的波函数为(,,)xyz，写出（x，x+dx）范围内粒子的概率。
27.思考：“粒子在空间x处的波长λ”这一提法有无意义？为什么？
28.下列波函数所描述的状态是否为定态？为什么？

(1)1(,)()()EEixitixitxtUxeUxe
(2)122(,)()()EEititxtUxeUxe
(3)12312(,)()()()EEititxtUxeUxeEE
29.请在下图中将代表奇宇称态和偶宇称态的波函数图挑选出来。
Chapter2. S.E

5
30.当描述微观粒子的波函数()r具有确定的宇称时，粒子所处的势场具有何种特征？
31.一个质量为m的粒子，在势V(x)的作用下作一维运动，假如它处在222rEm的能量本征
态2221/4/2()(/)rxxre上
(1) 求粒子的平均位置；
(2) 求粒子的平均动量；
(3) 求V(x)；
(4) 求粒子动量在p→p+dp间的概率。
32.束缚态能级所满足的方程问题
(1) 周世勋《量子力学教程》第2版2.7题P45.
(2) 考虑质点在下列势中运动的一维问题。

0
,00,0,VxVxaVVxa







证明束缚态能级由方程1/20tan2/[/()]mEaEVE给出。

33.已知一维谐振子221()2Uxxax（a为常数），求nE和()nx。

34.粒子在22,0()=1,02xUxxx中运动，求()?nnxE、
Chapter2. S.E
6
35.质量为μ的一维粒子，处于势221()4UxSxbx中，求其定态能级和定态波函数。其
中s、b为常数。
36.设有一维不对称有限深方势阱，势能为

1

2

,0()=0,0,VxUxxaVxa






（其中：12VV）

求：(1)能级20VE所满足的方程；
(2)证明当12VV时，能级所满足的方程与一维无限深势阱相同。

合集下载

薛定谔方程

薛定谔方程


k0 a =0 , k0 a = 2π ,4π ,6π ,… 2 (8) k0 a k0 a = π ,3π ,5π ,… 奇宇称 cos 2 = 0 , 亦即阱口刚好出现束缚态能级的条件为 k0 = nπ , n = 1 , 2 ,3 ,… (9)
偶宇称 sin
(10) 即 2mV0 a2 h2 = n2π 2 . 2 2 2 一维势阱至少有一个束缚能级.因此, 如 2mV0a h < π , 2 2 2 只存在一个束缚态,偶宇称(基态). 如 2mV0a h = π , 除基态外,阱口将再出现一个奇宇称能级,共二个能级. 2 2 2 如 2mV0a h = (2π ) , 阱口将出现第三个能级(偶宇称). 依次类推.由此可知,对于任何 V0a2值,束缚态能级总数 为 a Nn = 1+ 2mV0 , (11) hπ
ψ = sin η x
x <a
ψ = D sin k ( L − x ) a< x <L (-L<x<-a区间的ψ 可以按偶函数条件写出）能级方程为
(12)
kctgk ( L − a ) = −η cthη a,
(13)
11
讨论
如
a → 0, V0 → ∞,
2aV0 → U0
0
，则
−a
∫ V ( x)dx = 2aV
∑
C n (ih
(12 )
ˆ = ih 其中 x
∂ ∂p
(13 )
代入式(10),即得
p2 ∂ Ψ ( p) + V (ih )Ψ( p) = EΨ ( p) 2m ∂p (14)
例四 粒子在图示之势场： 粒子在图示之势场：
V0 , V ( x ) = 0 , ∞,
势箱中的粒子的薛定谔方程及其解

势箱中的粒子的薛定谔方程及其解


三.量子力学处理问题的一般方法
1. 2. 3. 写出体系的哈密顿算符[H](主要是势能算符); 写出Sch.方程; 解Sch.方程.解Sch.方程和通常解微分方程差不 多,解Sch.方程时,把 Ψ 当作未知函数E 作为参 数看待. 4. 由所得Ψi就可知道体系的几率分布以及体系的其 它物理性质.
1 4
第一章习题 6 7 9 11 12 18 21
�
1 2 X (x) 1 2Y ( y) 1 2 Z (z) 8π 2 m + + = 2 (Ex + Ey + Ez ) 2 2 2 X (x) x Y ( y) y Z (z) z h
因为x,y,z是三个变数,要满足上式,必须下列三式同时成立
d 2 X ( x) 8π 2 mE x + X ( x) = 0 2 2 dx h 2 8π 2 mE y d Y ( y) + Y ( y) = 0 2 2 dy h
长,宽,高分别为a,b,c 的三维势箱,Sch.方程为
2 2 2 [ 2 ( 2 + 2 + 2 ) + V ( x, y, z )]ψ ( x, y, z ) = Eψ ( x, y, z ) y 8π m x z h2
设
Ψ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z) E = E x + Ey + E z 8π 2 m 代入Sch.方程,并以X(x)Y(y)Z(z)除之,两边乘 2 h
通式 R2N-(CH=CH-)rCH=NR2+
E h[(r + 3) 2 (r + 2) 2 ] h(2r + 5) = = ν= 2 h 8ml 8ml 2
8ml 2 c 3.30l 2 3.30(248r + 565) 2 = = λ = c/ν = pm h(2r + 5) 2r + 5 2r + 5
量子力学习题及答案

量子力学习题及答案

?2k ( 7 )
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
?
4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x
第五章 薛定谔方程数值解法-1

第五章 薛定谔方程数值解法-1


D1

由此解得 C1 和 D1 为
1 r2W (W ) C1 e ( W ) 2 r2 1 r2W (W ) D1 e ( W ) 2 r2
(5.1.16)

由上面过程可见，C 0和D 0的值完全确定了 A1，B1，C1和D1的值，结果完全确定了波 函数。一般情况下C1的值不一定为零。为了 满足 时， ( x) 为零，必须要 求C1=0。这就对E的取值进行了限制，不能 取任意值，只能取某些确定值，才能保证 C1=0的要求。
(5.1.3) (5.1.4)
其中E为波函数的本征值。

由(5.1.3)式，直接可得
f (t ) ce
iEt /
其中c为任意常数。粒子的波函数 可表示成
( x,
(5.1.5)
这就是定态波函数，其中常数c已经包括在 ( x) 中。

几率密度为
(5.2.2)

如果考虑原子的外层电子运动，这时内层电子的 作用可近似考虑成电子云，它的密度为 (r ) ，这 时的势能由两部分组成，即
Ze (r ) U (r ) r r
2
(5.2.3)
第一项是核子的贡献，Z 为带正电的核子数，第 二项为电子云的贡献。以上三种情况都属于辏力 场的情况。
(0) r2 C0 r2 (0) r1 A1

可解得
r2 A1 r 1
(5.1.13)
同理，利用在势阱的另一边 X W 处，波函数 和它的一次导数都连续，得到
r2 (W ) sin Wr1 cos Wr1 r1
(5.1.14-1) (5.1.14-2)
(W ) C1e